资源简介

湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷
1．（2026九上·常宁期末）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。因此，
∵，∴属于最简二次根式。故选B。
2．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．（2026九上·常宁期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程得标准形式，进行对比，知道选项A符合要求，对于B选项：为一元一次方程；对于C选项：为二元一次方程；对于D选项为一元三次方程.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程得标准形式进行逐项对比即可求解.
4．（2026九上·常宁期末）用配方法解方程 时，原方程变形为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
故选：B.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方、写成完全平方的形式解答即可.
5．（2026九上·常宁期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）.
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30% ，可以估计摸到黄球的概率为30%，所以盒子中的小球数量n=9÷30%=30（个）.
故答案为：D.
【分析】根据用频率估计概率的定义，可得摸到黄球的概率为30%；根据用样本估算总体的方法，总小球数=，解得盒子中的小球数量.
6．（2026九上·常宁期末）在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=4， AC=1， 则cosA的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦的概念
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴cosA=，
故选：A.
【分析】根据余弦的定义解答即可.
7．（2026九上·常宁期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再代入求值.
8．（2026九上·常宁期末） 如图， 线段AB 两个端点的坐标分别为A(6， 6)， B(8， 2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的 后得到线段CD，则端点 C 的坐标为(　　)
A．(4，3) B．(3，3) C．(3， 1) D．(4，1)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
【分析】利用位似比为k的点的横、纵左边乘以k或-k得到点的坐标即可．
9．（2026九上·常宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】母子模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．
故选A．
【分析】根据两角对应相等得到△ACD∽△ABC，然后根据对应边成比例解答即可.
10．（2026九上·常宁期末） 如图， 在正方形ABCD 中， △BPC 是等边三角形， BP， CP的延长线分别交AD于点 E， F， 连接BD， DP， BD 与CF相交于点H， 给出下列结论： ①BE=2AE； ②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB； ④DP2=PH·PC.其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH PC，故④正确；
故选C．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得ABE=∠DCF=30°，然后根据30°的直角三角形的性质判断①；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠FDP=∠PBD，再根据∠DFP=∠BPC=60°证明两三角形相似判断②；得到∠PFD≠∠PDB判断③；根据两角对应相等得到△DPH∽△CPD，根据对应边成比例判断④解答即可．
11．（2026九上·常宁期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件.(选填“必然”“不可能”或“随机”)
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据随机事件的定义“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”解答即可．
12．（2026九上·常宁期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡度为 坝高 BC=6m， 则坡面AB的长度是　 　m.
【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度为，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：12．
【分析】利用坡比的定义求出长，然后根据勾股定理求出长解答即可．
13．（2026九上·常宁期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm， EF=20cm， 测得边DF离地面的高度AC=1.5m， CD=8m， 则树高AB =　 　m.
【答案】5.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴，即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
故答案为：5.5m.
【分析】根据两角对应相等得到△DEF∽△DBC，根据对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可.
14．（2026九上·常宁期末）如图， 在Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， D、E、F分别为AB、BC、CA 的中点， 若EF=3，则CD=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵在中，为的中点，
∴，
故答案为：3
【分析】根据三角形中位线性质求出，再根据直角三角形斜边中线性质求得长解答即可．
15．（2026九上·常宁期末） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为　 　.
【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
16．（2026九上·常宁期末） 如图， 已知两点A(2，0)、B(0，4)， 且∠1=∠2， 则　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标；解直角三角形—边角关系；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴ =tan==2
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据正切定义解答即可.
17．（2026九上·常宁期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解答即可；
（2）先花间二次根式，计算二次根式的乘除法，然后合并解答即可．
18．（2026九上·常宁期末）解方程：x2-2x-3=0
【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
19．（2026九上·常宁期末）如图， 在 中，点D 是AB上一点，且
（1）求证：
（2）若 求BC的长.
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据已知得到，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
20．（2026九上·常宁期末）为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A.象棋；B.跳棋；C.飞行棋；D.五子棋.比赛形式分为“单人组”和“双人组”.
（1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是　 　.
（2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次.求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）利用概率公式解答即可．
（2）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．（2026九上·常宁期末）为了维护我国国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东( 方向上，海监船继续向东航行1 小时到达 B处，此时测得灯塔P 在北偏东 方向上.
（1）求B 处到灯塔P 的距离；
（2）已知灯塔P 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全
【答案】（1）解：由题意得：，，（海里），
，
，
（海里）
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）解：海监船继续向正东方向航行是安全的．理由如下：
如图所示，过点作于点，
在中，，
，
海监船继续向东方向航行是安全的．
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先得到∠PAB=∠APB，根据等角对等边得到BP=AB解答即可；
（2）过点作于点，根据正弦的定义求出PD长，然后判断解答即可．
22．（2026九上·常宁期末）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元.经过市场调研发现：每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系.
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式.
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元
【答案】（1）由题，可设y=kx+b，
当x=40时，y=600；当x=45时，y=550，
将两组值代入y=kx+b，
解得k=-10，b=1000.
∴y=-10x+1000
（2）由题意得(x-30)(-10x+1000)=10000，解得 (舍去).
∴当单价为50万元时，利润为 10000万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）利用总利润=每台的销售利润×年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该公司想获得10000万元的年利润，即可得出结论．
23．（2026九上·常宁期末）已知关于x的一元二次方程 满足2a+b+c=0.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为且 请求出 的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴或．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，然后得到解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，根据题意得到，即可得到，解方程求出的值解答即可．
24．（2026九上·常宁期末）如图， 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E， 已知.
（1） 若 求 的值；
（2） 若
①设的面积为的面积为求 的值；
②求 的值.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；

（2）①如图，由(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
即：，
解得，即，
在中，，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，
由①知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
和中，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）①根据（1）可得，根据两边成比例且夹角相等证明，即可得到，根据勾股定理求出. 再在中根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方根解答即可；
②过点作于点，根据线段的和差求出，根据相似三角形的对应边成比例得到，利用解直角三角形求出，，即可求出AG长，再利用正切的定义解答即可．
1 / 1湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷
1．（2026九上·常宁期末）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
3．（2026九上·常宁期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·常宁期末）用配方法解方程 时，原方程变形为(　　)
A． B． C． D．
5．（2026九上·常宁期末）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）.
A．20 B．24 C．28 D．30
6．（2026九上·常宁期末）在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=4， AC=1， 则cosA的值为(　　)
A． B． C． D．
7．（2026九上·常宁期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
8．（2026九上·常宁期末） 如图， 线段AB 两个端点的坐标分别为A(6， 6)， B(8， 2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的 后得到线段CD，则端点 C 的坐标为(　　)
A．(4，3) B．(3，3) C．(3， 1) D．(4，1)
9．（2026九上·常宁期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）
A． B． C． D．3
10．（2026九上·常宁期末） 如图， 在正方形ABCD 中， △BPC 是等边三角形， BP， CP的延长线分别交AD于点 E， F， 连接BD， DP， BD 与CF相交于点H， 给出下列结论： ①BE=2AE； ②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB； ④DP2=PH·PC.其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
11．（2026九上·常宁期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件.(选填“必然”“不可能”或“随机”)
12．（2026九上·常宁期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡度为 坝高 BC=6m， 则坡面AB的长度是　 　m.
13．（2026九上·常宁期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm， EF=20cm， 测得边DF离地面的高度AC=1.5m， CD=8m， 则树高AB =　 　m.
14．（2026九上·常宁期末）如图， 在Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， D、E、F分别为AB、BC、CA 的中点， 若EF=3，则CD=　 　.
15．（2026九上·常宁期末） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为　 　.
16．（2026九上·常宁期末） 如图， 已知两点A(2，0)、B(0，4)， 且∠1=∠2， 则　 　．
17．（2026九上·常宁期末）计算：
（1）
（2）
18．（2026九上·常宁期末）解方程：x2-2x-3=0
19．（2026九上·常宁期末）如图， 在 中，点D 是AB上一点，且
（1）求证：
（2）若 求BC的长.
20．（2026九上·常宁期末）为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A.象棋；B.跳棋；C.飞行棋；D.五子棋.比赛形式分为“单人组”和“双人组”.
（1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是　 　.
（2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次.求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.
21．（2026九上·常宁期末）为了维护我国国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东( 方向上，海监船继续向东航行1 小时到达 B处，此时测得灯塔P 在北偏东 方向上.
（1）求B 处到灯塔P 的距离；
（2）已知灯塔P 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全
22．（2026九上·常宁期末）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元.经过市场调研发现：每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系.
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式.
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元
23．（2026九上·常宁期末）已知关于x的一元二次方程 满足2a+b+c=0.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为且 请求出 的值.
24．（2026九上·常宁期末）如图， 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E， 已知.
（1） 若 求 的值；
（2） 若
①设的面积为的面积为求 的值；
②求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。因此，
∵，∴属于最简二次根式。故选B。
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程得标准形式，进行对比，知道选项A符合要求，对于B选项：为一元一次方程；对于C选项：为二元一次方程；对于D选项为一元三次方程.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程得标准形式进行逐项对比即可求解.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
故选：B.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方、写成完全平方的形式解答即可.
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30% ，可以估计摸到黄球的概率为30%，所以盒子中的小球数量n=9÷30%=30（个）.
故答案为：D.
【分析】根据用频率估计概率的定义，可得摸到黄球的概率为30%；根据用样本估算总体的方法，总小球数=，解得盒子中的小球数量.
6．【答案】A
【知识点】余弦的概念
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴cosA=，
故选：A.
【分析】根据余弦的定义解答即可.
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再代入求值.
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
【分析】利用位似比为k的点的横、纵左边乘以k或-k得到点的坐标即可．
9．【答案】A
【知识点】母子模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．
故选A．
【分析】根据两角对应相等得到△ACD∽△ABC，然后根据对应边成比例解答即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH PC，故④正确；
故选C．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得ABE=∠DCF=30°，然后根据30°的直角三角形的性质判断①；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠FDP=∠PBD，再根据∠DFP=∠BPC=60°证明两三角形相似判断②；得到∠PFD≠∠PDB判断③；根据两角对应相等得到△DPH∽△CPD，根据对应边成比例判断④解答即可．
11．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据随机事件的定义“随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”解答即可．
12．【答案】12
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡度为，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：12．
【分析】利用坡比的定义求出长，然后根据勾股定理求出长解答即可．
13．【答案】5.5
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴，即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
故答案为：5.5m.
【分析】根据两角对应相等得到△DEF∽△DBC，根据对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可.
14．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵在中，为的中点，
∴，
故答案为：3
【分析】根据三角形中位线性质求出，再根据直角三角形斜边中线性质求得长解答即可．
15．【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
16．【答案】2
【知识点】点的坐标；解直角三角形—边角关系；余角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴ =tan==2
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到，再根据正切定义解答即可.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解答即可；
（2）先花间二次根式，计算二次根式的乘除法，然后合并解答即可．
18．【答案】解：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据解方程的步骤进行计算得到答案。
19．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据已知得到，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）利用概率公式解答即可．
（2）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）解：由题意得：，，（海里），
，
，
（海里）
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）解：海监船继续向正东方向航行是安全的．理由如下：
如图所示，过点作于点，
在中，，
，
海监船继续向东方向航行是安全的．
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先得到∠PAB=∠APB，根据等角对等边得到BP=AB解答即可；
（2）过点作于点，根据正弦的定义求出PD长，然后判断解答即可．
22．【答案】（1）由题，可设y=kx+b，
当x=40时，y=600；当x=45时，y=550，
将两组值代入y=kx+b，
解得k=-10，b=1000.
∴y=-10x+1000
（2）由题意得(x-30)(-10x+1000)=10000，解得 (舍去).
∴当单价为50万元时，利润为 10000万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）利用总利润=每台的销售利润×年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该公司想获得10000万元的年利润，即可得出结论．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴或．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据题意得到，然后得到解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，根据题意得到，即可得到，解方程求出的值解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；

（2）①如图，由(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
即：，
解得，即，
在中，，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，
由①知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
和中，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）①根据（1）可得，根据两边成比例且夹角相等证明，即可得到，根据勾股定理求出. 再在中根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方根解答即可；
②过点作于点，根据线段的和差求出，根据相似三角形的对应边成比例得到，利用解直角三角形求出，，即可求出AG长，再利用正切的定义解答即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑