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四川省绵阳市安州区2024—2025学年下学期九年级开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九下·安州开学考）下列语句不正确的是（　　）
A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数
C．－22的平方根是±2 D．a是a2的一个平方根
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【解答】A.0的平方根是0，此选项不符合题意；
B.正数的两个平方根互为相反数，此选项不符合题意；
B.-22=-4，负数没有平方根，此选项符合题意；
D.a是a2的一个平方根，此选项正确．
故答案为：C.
【分析】利用0的平方根是0，可对A作出判断；利用正数的两个平方根互为相反数，可对B作出判断；再负数没有平方根可对C作出判断；利用平方根的性质可对D作出判断.
2．（2025九下·安州开学考）最新数据显示，截止2024年8月底，全国脱贫人口务工就业总规模达到了约32950000人，这个数字代表了人们的生计改善．请将这个数字用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，大于等于10的数用科学记数法表示时，n为原数字的整数位－1.
3．（2025九下·安州开学考）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（　　）
A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个
【答案】C
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：∵结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，
∴需要5个或6个小正方体.
故答案为：C．
【分析】根据主视图和俯视图确定层数及每层的数量即可求解．
4．（2025九下·安州开学考）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（　　）
A．众数是12 B．平均数是12 C．中位数是12 D．方差是
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A.12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，不符合题意；
B.这组数据的平均数：＝12，不符合题意；
C.把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，不符合题意；
D.方差是：×[（10﹣12）2＋（11﹣12）2＋3×（12﹣12）2＋（13﹣12）2＋（14﹣12）2]＝，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据众数，平均数，中位数和方差的定义对每个选项一一判断即可。
5．（2025九下·安州开学考）一组同学参加植树活动，如果每人种5棵，还剩下3棵树苗；如果每人种6棵，缺少5棵树苗. 设共有 名学生，树苗共有 棵. 根据题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设共有x名学生，树苗共有y棵.
根据题意可列方程组 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得两个相等关系：第一个相等关系， 每人种5棵时所有学生种的树苗=总树苗-3；第二个相等关系，每人种6棵时所有学生种的树苗=总树苗+5；根据相等关系即可列方程组。
6．（2025九下·安州开学考）如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
∵在Rt△PBC中，∠BPC=30°，
，
根据题意得，
解得，
即它的侧面展开图的圆心角的度数为，
故答案为：C．
【分析】设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，利用含30度的直角三角形的性质得到，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合 扇形的半径等于圆锥的母线长及弧长公式“”建立方程，求解可得答案.
7．（2025九下·安州开学考）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（　　）
A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
8．（2025九下·安州开学考）如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP AD＝CF CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵C为弧AD的中点，
∴
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，
∴，
∴，
∴CH＝AD；故③正确；
连接AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，
∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴，
∴PC CH＝CF CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP AD＝CF CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴，
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC BC＝AB CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝．故⑤错误，
故答案为：C．
【分析】由等弧所对的圆周角相等得到∠H＝∠ABC，由直角三角形两锐角互余得∠BCE+∠ABC＝90°，利用等量代换得∠H+∠C＝90°，根据三角形的内角和定理求得DH⊥BC，故①正确；由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD＝∠ABC，由直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，由直角三角形的两锐角互余求得∠BFD+∠DBF＝90°，由等角的余角相等及对顶角相等得到∠C＝∠CFP，由等角对等边得CP＝PF，故②正确；根据垂径定理得到，求得，由等弧所对的弦相等得到CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，由等弧所对的圆周角相等得到∠ACH＝∠CAD，由等角对等边得AP＝CP，根据垂径定理得到，由等弧所对的弦相等求得BC＝BH，由等边对等角得到∠BCH＝∠BHC，推出∠CFP＝∠BHC，由两组角相等的三角形相似得 △CPF∽△CBH，由相似三角形对应边成比例并结合PC=PA，CH=AD，可判断④； 由两组角相等的三角形相似得 △CAF∽△CBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC、BC，最后根据等面积法建立方程可求出CE，再结合CH=HE=2CE即可判断⑤.
9．（2025九下·安州开学考）求二次函数的最小值（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，抛物线开口向上，
当时，的值最小为，
故选：C．
【分析】将二次函数化为y=a(x-h)2+k 顶点式，当a＞0，x=h时，Y有最小值，最小值为K；当a＜0，x=h时，Y有最大值，最大值为K。
10．（2025九下·安州开学考）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（　　）
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格，
∴线段与线段的关系是平分且垂直，
故答案为：D
【分析】利用平移的性质及网格特点，可得到四边形ABCC'是菱形，利用菱形的性质可得答案.
11．（2025九下·安州开学考）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故答案为：C.
【分析】先解不等式为，由原不等式组至少有3个整数解，可得，再解分式方程得，由原分式方程的解是非负数，可得且，求出a的整数值，再相加即可.
12．（2025九下·安州开学考）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当时，点到达处，即；
过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
则四边形为矩形，
，
，
，
，
，
当时，点到达点处，则，
则，
由勾股定理得，故B正确．
故答案为：B．
【分析】利用点的运动方向和速度可得到AB的长，过点作交于点，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形为矩形，利用矩形的性质可证得AB=CE，利用等腰三角形三线合一的性质可求出CD的长；将S=15代入可求出BC的长，然后利用勾股定理求出AC的长即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（2025九下·安州开学考）在实数范围因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：
【分析】先根据“一、三”分组将多项式前三项分为一组利用完全平方公式进行分解，再用平方差公式分解即可．
14．（2025九下·安州开学考）若，，则=　 　.
【答案】90
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：=，
故答案是：90.
【分析】将2m+2n转化为2m·（2n）2，然后整体代入求值.
15．（2025九下·安州开学考）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得，
去括号，得，
解得，
∵原方程的解是正数，
∴，即且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】将m作为系数解方程，用含m的式子表示出x，然后根据原方程的解是正数列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
16．（2025九下·安州开学考）如图，，，，，，则这个图形的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长；由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，进而利用S△ABC-S△ACD可算出图形的面积．
17．（2025九下·安州开学考）如图，点A在x轴的正半轴上，函数的图象经过的顶点B和边AB上的点C，且，点B的横坐标为2，则点C的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：分别过B，C作，，垂足为D，E，则，
∵点B在图象上，横坐标为2，
∴纵坐标为，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
则，即，代入，得，
解得：，即，
∴，
故答案为：．
【分析】过B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得到BD∥CE；由反比函数图象上点的坐标特点求出点B的坐标，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，有相似三角形对应边成比例得到，设，则BD=3a，从而可求出a的值，进而再根据反比例函数图形上点的坐标特点求出点C的坐标.
18．（2025九下·安州开学考）如图，在中，若，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作的角平分线，作于点F
设，则
∵
∴，
∵
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（KL）
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：.
【分析】作的角平分线，作于点F，设，则CE=2-x，由直角三角形两锐角互余求出 ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=FE=x，从而利用“HL”证Rt△ADE≌Rt△AFE，由全等三角形的对应边相等得到；由角平分线的定义得出 ，从而利用有两组角相等的两个三角形相似再证，由相似三角形对应边成比例得，在直角三角形中利用勾股定理即可求出，即可求解．
三、计算题：本大题共1小题，共12分．
19．（2025九下·安州开学考）某水果商店计划采购甲、乙两种水果，从批发市场了解得知，购进甲种水果2箱和乙种水果3箱共需270元；购进甲种水果3箱和乙种水果2箱共需230元．
（1）求甲、乙两种水果每箱的进价分别是多少元？
（2）据市场行情预测：甲种水果能以每箱40元出售，乙种水果能以每箱90元出售．为保证供应，需购进甲、乙两种水果共100箱，且甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，请你帮助店主求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【答案】解：（1）设甲种水果每箱的进价是x元，乙种水果每箱的进价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两种水果每箱的进价分别是30元、70元；
（2）设购进甲种水果m箱，则购进乙种水果（100-m）箱，总利润为W，
由题意得W=（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，
∵甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，
∴m≥4（100-m），
解得m≥80，
当m=80时，-10m+2000取得最大值，即为-10×80+2000=1200，
∴100-m=20，
故当购进甲种水果80箱，乙种水果20箱时，获得最大利润，最大利润是1200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种水果每箱的进价是x元，乙种水果每箱的进价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购进甲种水果2箱和乙种水果3箱共需270元；购进甲种水果3箱和乙种水果2箱共需230元”列出方程组，求解即可得出答案；
（2）根设购进甲种水果m箱，则购进乙种水果（100-m）箱，根据每箱水果的利润乘以销售的箱数等于总利润可分别求出销售m箱甲种水果及销售(100-m)箱乙种水果的利润，再根据整式加法法则求出总利润关于m的函数解析式，根据“甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍”列出不等式求得m的取值范围，最后根据一次函数性质即可确定最大利润．
四、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（2025九下·安州开学考）（1）
（2），再选一个合适的的值代入求值，其中且为整数．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式，
要是分式有意义，则，
，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得tan45du3=1，根据零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-）0=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4 由平方根的性质可得=，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再根据分式有意义的条件选择x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
21．（2025九下·安州开学考）为了提高学生的交通安全意识，某校九年级准备举行一次交通安全知识竞赛．比赛规则为：每班参赛选手男、女生各1名，最后以总分高低决定名次．九（1）班先进行选拔测试，然后分别取男、女生前5名的成绩（单位：分）进行对比分析，绘制成如下统计表：
性别 前5名成绩 平均分
女 95 92 89 87 87 90
男 95 93 90 87 85
（1）求的值；
（2）若从该班成绩不低于90分的学生中随机抽取2名参赛，求恰好抽到男、女生各1名的概率．
【答案】（1）解：，
故m的值为90．
（2）解：从九（1）班成绩不低于90分（3男2女）的学生中随机抽取2名参赛，
画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12，
所以抽到男、女生各1名的概率＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列出出所有等可能的结果数，由树状图可知 共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12， 然后利用概率公式求解．
（1）解：，
故m的值为90．
（2）解：从九（1）班成绩不低于90分（3男2女）的学生中随机抽取2名参赛，
画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12，
所以抽到男、女生各1名的概率＝＝．
22．（2025九下·安州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的概念求出的度数，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠ACB的度数.
（2）利用平行四边形的性质可证得OA=OC，再利用垂直的定义可证得∠AEO=∠CFO=90°，然后利用AAS可证△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．（2025九下·安州开学考）如图，已知反比例函数的图象经过点轴于点，点为轴正半轴上一点，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；
（3）在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解： 如图，点即为所求；
（3）证明：∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，BD交x轴正半轴于点D，该点就是所求的角；
（3）利用A点的坐标可求出OB=AB=2，由垂直的定义得∠ABC=∠BOD=90°，从而利用“ASA”证明△ABC≌△BOD，由全等三角形的对应边相等得出AC=BD.
（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，点即为所求；
（3）∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
24．（2025九下·安州开学考）（1）如图①，是的弦，直线l上有两点M、N，点P在上，则、、的大小关系为__________＜__________＜__________；
（2）如图②，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，求出点C的坐标；
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C．点M为直线上一点且，为x轴上一条可移动的线段，，连接，点P为直线l上任意一点，连接．求当最小时，的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）如图2，
当过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，
∴，
连接，作于D，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
由题意得：，
在y轴上取点，将其向右移动20个单位至，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，
则最小，
∵，
∴点，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
由得，
∴点，
过A、B的圆I与相切于P时，最大，，
作于H，交于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴，，
∵，，
∴
【知识点】切线的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，
设交于C，的延长线交于D，连接，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】（1）设交于C，的延长线交于D，连接，利用同弧所对的圆周角相等可证得，再利用三角形外角的性质可证得，由此可得到∠AMB、∠ANB、∠APB的大小关系.
（2）过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，利用垂径定理可求出AD的长；连接，作于D，易证四边形CODI是矩形，利用矩形的性质可证得，再利用勾股定理求出DI的长，即可得到点C的坐标.
（3）在y轴上取点，利用点的坐标平移规律可求出点P的坐标，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，可知AC+BM最小，同时可求出点M的坐标；再利用待定系数法求出直线FM的函数解析式，利用函数解析式求出点B、A的坐标；过A、B的圆I与相切于P时，最大，，作于H，交于G，连接，可求出DH的长，再证明，设，利用解直角三角形可表示出GI、IH的长，利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，可得到PI、CQ的长及sin∠APB的值，然后求出OH+PQ及QH的长，可求出点P的坐标.
25．（2025九下·安州开学考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设线段上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N．是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的横坐标t；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设所求抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，
将点C(0，2)代入可得-8a=2，
解得a=-
∴所求函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解： 存在，理由：
∵B（4，0），C（0，2）
∴，，
设，则OP=t，
在线段上，
，，
①若，则，
由P的横坐标为t得，
解得：（舍），
②若，则，
得：，
解得：，
综上，当点P的横坐标或，以三点为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线解析式与x轴两交点的坐标，故设所求抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将点C的坐标代入求出a的值，即可求出抛物线的解析式，进而再利用配方法举哀那个解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）存在，由B、C两点的坐标可得OB=4，OC=2，根据抛物线上点的坐标特点，设，则OP=t，根据平面内两点间的距离公式表示出PN；分两种情况讨论：①若△OPN∽△OCB，②若△OPN∽△OBC，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程即可解答．
（1）解：把，，，代入得，
，
解得，
所以解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）存在，理由：
由题意可得，，，，
在线段上，
，，
①若，则，
由P的横坐标为t得，
解得：（舍），
②若，则，
得：，
解得：，
综上，当点P的横坐标或，以三点为顶点的三角形与相似．
1 / 1四川省绵阳市安州区2024—2025学年下学期九年级开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025九下·安州开学考）下列语句不正确的是（　　）
A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数
C．－22的平方根是±2 D．a是a2的一个平方根
2．（2025九下·安州开学考）最新数据显示，截止2024年8月底，全国脱贫人口务工就业总规模达到了约32950000人，这个数字代表了人们的生计改善．请将这个数字用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·安州开学考）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（　　）
A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个
4．（2025九下·安州开学考）疫情期间，某商店连续7天销售口罩的盒数分别为10，12，14，13，12，12，11．关于这组数据，以下结论错误的是（　　）
A．众数是12 B．平均数是12 C．中位数是12 D．方差是
5．（2025九下·安州开学考）一组同学参加植树活动，如果每人种5棵，还剩下3棵树苗；如果每人种6棵，缺少5棵树苗. 设共有 名学生，树苗共有 棵. 根据题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·安州开学考）如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·安州开学考）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（　　）
A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里
8．（2025九下·安州开学考）如图，△ABD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB于点E，交AD于点P，交⊙O于点H，连接DH，连接BC交AD于点F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝PF；③CH＝AD；④AP AD＝CF CB；⑤若⊙O的半径为5，AF＝，则CH＝．正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2025九下·安州开学考）求二次函数的最小值（　　）
A．0 B． C． D．
10．（2025九下·安州开学考）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（　　）
A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
11．（2025九下·安州开学考）如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．20 B．18 C．16 D．14
12．（2025九下·安州开学考）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（2025九下·安州开学考）在实数范围因式分解：　 　．
14．（2025九下·安州开学考）若，，则=　 　.
15．（2025九下·安州开学考）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为　 　．
16．（2025九下·安州开学考）如图，，，，，，则这个图形的面积为　 　．
17．（2025九下·安州开学考）如图，点A在x轴的正半轴上，函数的图象经过的顶点B和边AB上的点C，且，点B的横坐标为2，则点C的坐标是　 　．
18．（2025九下·安州开学考）如图，在中，若，若，则的长为　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共12分．
19．（2025九下·安州开学考）某水果商店计划采购甲、乙两种水果，从批发市场了解得知，购进甲种水果2箱和乙种水果3箱共需270元；购进甲种水果3箱和乙种水果2箱共需230元．
（1）求甲、乙两种水果每箱的进价分别是多少元？
（2）据市场行情预测：甲种水果能以每箱40元出售，乙种水果能以每箱90元出售．为保证供应，需购进甲、乙两种水果共100箱，且甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，请你帮助店主求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
四、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（2025九下·安州开学考）（1）
（2），再选一个合适的的值代入求值，其中且为整数．
21．（2025九下·安州开学考）为了提高学生的交通安全意识，某校九年级准备举行一次交通安全知识竞赛．比赛规则为：每班参赛选手男、女生各1名，最后以总分高低决定名次．九（1）班先进行选拔测试，然后分别取男、女生前5名的成绩（单位：分）进行对比分析，绘制成如下统计表：
性别 前5名成绩 平均分
女 95 92 89 87 87 90
男 95 93 90 87 85
（1）求的值；
（2）若从该班成绩不低于90分的学生中随机抽取2名参赛，求恰好抽到男、女生各1名的概率．
22．（2025九下·安州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
23．（2025九下·安州开学考）如图，已知反比例函数的图象经过点轴于点，点为轴正半轴上一点，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）；
（3）在（2）的条件下，求证：．
24．（2025九下·安州开学考）（1）如图①，是的弦，直线l上有两点M、N，点P在上，则、、的大小关系为__________＜__________＜__________；
（2）如图②，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，求出点C的坐标；
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C．点M为直线上一点且，为x轴上一条可移动的线段，，连接，点P为直线l上任意一点，连接．求当最小时，的最大值及此时点P的坐标．
25．（2025九下·安州开学考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设线段上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N．是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的横坐标t；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；平方根的性质
【解析】【解答】A.0的平方根是0，此选项不符合题意；
B.正数的两个平方根互为相反数，此选项不符合题意；
B.-22=-4，负数没有平方根，此选项符合题意；
D.a是a2的一个平方根，此选项正确．
故答案为：C.
【分析】利用0的平方根是0，可对A作出判断；利用正数的两个平方根互为相反数，可对B作出判断；再负数没有平方根可对C作出判断；利用平方根的性质可对D作出判断.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，大于等于10的数用科学记数法表示时，n为原数字的整数位－1.
3．【答案】C
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：∵结合主视图和俯视图可知，这个几何体共2层，底层有3个小正方体，第2层至少有2个小正方体，最多有3个小正方体，
∴需要5个或6个小正方体.
故答案为：C．
【分析】根据主视图和俯视图确定层数及每层的数量即可求解．
4．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：A.12出现了3次，出现的次数最多，则这组数据的众数是12，不符合题意；
B.这组数据的平均数：＝12，不符合题意；
C.把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是12，不符合题意；
D.方差是：×[（10﹣12）2＋（11﹣12）2＋3×（12﹣12）2＋（13﹣12）2＋（14﹣12）2]＝，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据众数，平均数，中位数和方差的定义对每个选项一一判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设共有x名学生，树苗共有y棵.
根据题意可列方程组 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得两个相等关系：第一个相等关系， 每人种5棵时所有学生种的树苗=总树苗-3；第二个相等关系，每人种6棵时所有学生种的树苗=总树苗+5；根据相等关系即可列方程组。
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，
∵在Rt△PBC中，∠BPC=30°，
，
根据题意得，
解得，
即它的侧面展开图的圆心角的度数为，
故答案为：C．
【分析】设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，利用含30度的直角三角形的性质得到，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合 扇形的半径等于圆锥的母线长及弧长公式“”建立方程，求解可得答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故答案为：B．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出BC的长即可。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵C为弧AD的中点，
∴
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，C为弧AD的中点，CH⊥AB，
∴，
∴，
∴CH＝AD；故③正确；
连接AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，
∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴，
∴PC CH＝CF CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP AD＝CF CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴，
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC BC＝AB CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝．故⑤错误，
故答案为：C．
【分析】由等弧所对的圆周角相等得到∠H＝∠ABC，由直角三角形两锐角互余得∠BCE+∠ABC＝90°，利用等量代换得∠H+∠C＝90°，根据三角形的内角和定理求得DH⊥BC，故①正确；由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD＝∠ABC，由直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，由直角三角形的两锐角互余求得∠BFD+∠DBF＝90°，由等角的余角相等及对顶角相等得到∠C＝∠CFP，由等角对等边得CP＝PF，故②正确；根据垂径定理得到，求得，由等弧所对的弦相等得到CH＝AD；故③正确；连接AC，BH，由等弧所对的圆周角相等得到∠ACH＝∠CAD，由等角对等边得AP＝CP，根据垂径定理得到，由等弧所对的弦相等求得BC＝BH，由等边对等角得到∠BCH＝∠BHC，推出∠CFP＝∠BHC，由两组角相等的三角形相似得 △CPF∽△CBH，由相似三角形对应边成比例并结合PC=PA，CH=AD，可判断④； 由两组角相等的三角形相似得 △CAF∽△CBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC、BC，最后根据等面积法建立方程可求出CE，再结合CH=HE=2CE即可判断⑤.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，抛物线开口向上，
当时，的值最小为，
故选：C．
【分析】将二次函数化为y=a(x-h)2+k 顶点式，当a＞0，x=h时，Y有最小值，最小值为K；当a＜0，x=h时，Y有最大值，最大值为K。
10．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格，
∴线段与线段的关系是平分且垂直，
故答案为：D
【分析】利用平移的性质及网格特点，可得到四边形ABCC'是菱形，利用菱形的性质可得答案.
11．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故答案为：C.
【分析】先解不等式为，由原不等式组至少有3个整数解，可得，再解分式方程得，由原分式方程的解是非负数，可得且，求出a的整数值，再相加即可.
12．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当时，点到达处，即；
过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
则四边形为矩形，
，
，
，
，
，
当时，点到达点处，则，
则，
由勾股定理得，故B正确．
故答案为：B．
【分析】利用点的运动方向和速度可得到AB的长，过点作交于点，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形为矩形，利用矩形的性质可证得AB=CE，利用等腰三角形三线合一的性质可求出CD的长；将S=15代入可求出BC的长，然后利用勾股定理求出AC的长即可.
13．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：
【分析】先根据“一、三”分组将多项式前三项分为一组利用完全平方公式进行分解，再用平方差公式分解即可．
14．【答案】90
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：=，
故答案是：90.
【分析】将2m+2n转化为2m·（2n）2，然后整体代入求值.
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得，
去括号，得，
解得，
∵原方程的解是正数，
∴，即且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】将m作为系数解方程，用含m的式子表示出x，然后根据原方程的解是正数列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
16．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长；由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，进而利用S△ABC-S△ACD可算出图形的面积．
17．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：分别过B，C作，，垂足为D，E，则，
∵点B在图象上，横坐标为2，
∴纵坐标为，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
则，即，代入，得，
解得：，即，
∴，
故答案为：．
【分析】过B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得到BD∥CE；由反比函数图象上点的坐标特点求出点B的坐标，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，有相似三角形对应边成比例得到，设，则BD=3a，从而可求出a的值，进而再根据反比例函数图形上点的坐标特点求出点C的坐标.
18．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作的角平分线，作于点F
设，则
∵
∴，
∵
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（KL）
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：.
【分析】作的角平分线，作于点F，设，则CE=2-x，由直角三角形两锐角互余求出 ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=FE=x，从而利用“HL”证Rt△ADE≌Rt△AFE，由全等三角形的对应边相等得到；由角平分线的定义得出 ，从而利用有两组角相等的两个三角形相似再证，由相似三角形对应边成比例得，在直角三角形中利用勾股定理即可求出，即可求解．
19．【答案】解：（1）设甲种水果每箱的进价是x元，乙种水果每箱的进价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两种水果每箱的进价分别是30元、70元；
（2）设购进甲种水果m箱，则购进乙种水果（100-m）箱，总利润为W，
由题意得W=（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，
∵甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍，
∴m≥4（100-m），
解得m≥80，
当m=80时，-10m+2000取得最大值，即为-10×80+2000=1200，
∴100-m=20，
故当购进甲种水果80箱，乙种水果20箱时，获得最大利润，最大利润是1200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种水果每箱的进价是x元，乙种水果每箱的进价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购进甲种水果2箱和乙种水果3箱共需270元；购进甲种水果3箱和乙种水果2箱共需230元”列出方程组，求解即可得出答案；
（2）根设购进甲种水果m箱，则购进乙种水果（100-m）箱，根据每箱水果的利润乘以销售的箱数等于总利润可分别求出销售m箱甲种水果及销售(100-m)箱乙种水果的利润，再根据整式加法法则求出总利润关于m的函数解析式，根据“甲种水果的数量不少于乙种水果数量的4倍”列出不等式求得m的取值范围，最后根据一次函数性质即可确定最大利润．
20．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式，
要是分式有意义，则，
，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得tan45du3=1，根据零次幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（-）0=1，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4 由平方根的性质可得=，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再根据分式有意义的条件选择x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
21．【答案】（1）解：，
故m的值为90．
（2）解：从九（1）班成绩不低于90分（3男2女）的学生中随机抽取2名参赛，
画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12，
所以抽到男、女生各1名的概率＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列出出所有等可能的结果数，由树状图可知 共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12， 然后利用概率公式求解．
（1）解：，
故m的值为90．
（2）解：从九（1）班成绩不低于90分（3男2女）的学生中随机抽取2名参赛，
画树状图：
共有20种等可能的结果数，其中抽到男、女生各1名的结果数为12，
所以抽到男、女生各1名的概率＝＝．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的概念求出的度数，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠ACB的度数.
（2）利用平行四边形的性质可证得OA=OC，再利用垂直的定义可证得∠AEO=∠CFO=90°，然后利用AAS可证△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解： 如图，点即为所求；
（3）证明：∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）利用尺规作一个角等于已知角的方法作，BD交x轴正半轴于点D，该点就是所求的角；
（3）利用A点的坐标可求出OB=AB=2，由垂直的定义得∠ABC=∠BOD=90°，从而利用“ASA”证明△ABC≌△BOD，由全等三角形的对应边相等得出AC=BD.
（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，点即为所求；
（3）∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）如图2，
当过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，
∴，
连接，作于D，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，
由题意得：，
在y轴上取点，将其向右移动20个单位至，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，
则最小，
∵，
∴点，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
由得，
∴点，
过A、B的圆I与相切于P时，最大，，
作于H，交于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴，，
∵，，
∴
【知识点】切线的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图1，
设交于C，的延长线交于D，连接，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：；．
【分析】（1）设交于C，的延长线交于D，连接，利用同弧所对的圆周角相等可证得，再利用三角形外角的性质可证得，由此可得到∠AMB、∠ANB、∠APB的大小关系.
（2）过A、B两点的圆I与x轴相切时，最大，利用垂径定理可求出AD的长；连接，作于D，易证四边形CODI是矩形，利用矩形的性质可证得，再利用勾股定理求出DI的长，即可得到点C的坐标.
（3）在y轴上取点，利用点的坐标平移规律可求出点P的坐标，连接，交x轴于B，将点B向左移动20个单位得A，可知AC+BM最小，同时可求出点M的坐标；再利用待定系数法求出直线FM的函数解析式，利用函数解析式求出点B、A的坐标；过A、B的圆I与相切于P时，最大，，作于H，交于G，连接，可求出DH的长，再证明，设，利用解直角三角形可表示出GI、IH的长，利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，可得到PI、CQ的长及sin∠APB的值，然后求出OH+PQ及QH的长，可求出点P的坐标.
25．【答案】（1）解：设所求抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，
将点C(0，2)代入可得-8a=2，
解得a=-
∴所求函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解： 存在，理由：
∵B（4，0），C（0，2）
∴，，
设，则OP=t，
在线段上，
，，
①若，则，
由P的横坐标为t得，
解得：（舍），
②若，则，
得：，
解得：，
综上，当点P的横坐标或，以三点为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线解析式与x轴两交点的坐标，故设所求抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将点C的坐标代入求出a的值，即可求出抛物线的解析式，进而再利用配方法举哀那个解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）存在，由B、C两点的坐标可得OB=4，OC=2，根据抛物线上点的坐标特点，设，则OP=t，根据平面内两点间的距离公式表示出PN；分两种情况讨论：①若△OPN∽△OCB，②若△OPN∽△OBC，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程即可解答．
（1）解：把，，，代入得，
，
解得，
所以解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）存在，理由：
由题意可得，，，，
在线段上，
，，
①若，则，
由P的横坐标为t得，
解得：（舍），
②若，则，
得：，
解得：，
综上，当点P的横坐标或，以三点为顶点的三角形与相似．
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