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浙江省杭州市萧山高桥初中教育集团2024-2025学年九年级下学期3月份素养调研数学试题
一、选择题：本大题有10个小题， 每小题3分， 共30分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合要求的．
1．（2025九下·萧山月考）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·萧山月考）的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．
3．（2025九下·萧山月考）将因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·萧山月考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点P的坐标为(　　)
A． B．) C． D．
6．（2025九下·萧山月考）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·萧山月考）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·萧山月考）已知抛物线与轴交于点，其中为常数，则该抛物线顶点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·萧山月考）如图，圆内接正五边形中，对角线，与相交于点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·萧山月考）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·萧山月考）计算：　 　．
12．（2025九下·萧山月考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，　 　．
13．（2025九下·萧山月考）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
14．（2025九下·萧山月考）如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则　 　．
15．（2025九下·萧山月考）已知是的一次函数，根据表格中的信息，则的值为　 　．
16．（2025九下·萧山月考）如图，在中，，是的角平分线，， ，，则　 　，过点作的平行线，交延长线于点F，则　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025九下·萧山月考）计算：．
18．（2025九下·萧山月考）解方程组：
19．（2025九下·萧山月考）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
20．（2025九下·萧山月考）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表 最喜爱的奥运会项目人数篮球20羽毛球9自行车10游泳a其他b合计　
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，______；
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______；
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数．
21．（2025九下·萧山月考）如图，四边形中，，过点C作的平行线交于点E，在上取点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
22．（2025九下·萧山月考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出时自变量的取值范围；
（3）点到的距离为 ．
23．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，横坐标为，其中．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点A在x轴上时，求点A的坐标；
（3）抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P，A）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值．
24．（2025九下·萧山月考）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）过点C作于点G，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
【分析】根据从左面看几何体得到的平面图形逐项判断解答即可．
2．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是3.
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵中的公因式为，
∴原式，
故选：B．
【分析】利用提取公因式分解因式即可．
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴图象位于第二、四象限.
故答案为：A．
【分析】根据k与0的关系，即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点P到轴的距离为3，到轴的距离为1，
∴点P的坐标为．
故答案为：C.
【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，据此结合第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接、，
∵，，
∴，
∴，
即弧的度数为，
故选：A．
【分析】先根据圆周角定理的推论得到，然后根据三角形的内角和定理得到的度数，再根据根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半解答即可．
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故答案为：C．
【分析】首先求出第一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集及确定方法，求出m的范围即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式可写成，
当时，，
该抛物线顶点的纵坐标为，
故选：D．
【分析】根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，根据交点式得到抛物线的解析式，把代入求出的值解答即可．
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：五边形圆内接正五边形，
，
∵正五边形的外角和为360°，
∴，
∵AB=BC，
，
同理可得，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，，
，
，
设，，
则，
∴，
∴或（舍去），
.
故答案为：B．
【分析】由正五边形的性质可得，，再分别求出，，，从而可证明，则，设，，则，建立关于x的方程，进而得出答案.
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点G作，
∵为矩形，
∴四边形、四边形、四边形均是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴AB=AF+FB=2+4=6，
由翻折可得AG=AB=6，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点G作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形，由翻折可得，得到；再根据相似求出，再证得，再代入求出FI，最后根据线段的和差即可得出答案.
11．【答案】3a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+2a=3a.
故答案为：3a.
【分析】直接合并同类项即可得出答案。
12．【答案】53°
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
又∵∠2=37°，
∴∠3=37°，
又∵∠1+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠1=53°，
故答案为：53°．
【分析】由平行线的性质求出∠2=∠3=37°，然后根据平角的定义解答即可．
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；几何概率；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的边长为a，连接GD．
由正六边形的性质可知，，，．
∴在中，，，
∴在中，，，
∴，．
∴．
∴飞镖落在阴影区域的概率．
故答案为：．
【分析】设正六边形的边长为a，连接GD，根据正六边形的性质结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理可表示出EG、DG、EH、GH，根据正六边形性质及梯形面积计算公式表示出正六边形BCDEFG的面积，由等边三角形面积计算公式表示出△CEG的面积，最后利用几何概率的意义，利用概率公式即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
14．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于H， 延长线于F， 连接BD，
又∵
∴四边形DECF是矩形，
∵AD平分
，
∵ DE是BC的垂直平分线，
设AF=x，则.AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，
即AF=1，
故答案为：
【分析】 如图，过点D作 于H， 延长线于F，连接BD，根据勾股定理求出.BC=4，根据矩形的判定与性质推出(CE=DF=2，根据全等三角形的判定与性质推出AF=AH，设AF=x，则AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，根据勾股定理求解即可.
15．【答案】10
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：设与的解析式为，
∴，解得：，
∴与的解析式为，
当时，，
当时，，则，
∴，
故答案为：．
【分析】利用表格数据得到与的解析式为，然后求出的值，再代入代数式解题．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=90°，
∴
∵，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴∠CAD=∠C，
∴，
∴，
过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：7；．
【分析】可设，则，根据勾股定建立关于的方程，确定，的值，再根据可得为等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差求得的长度；
过点作于点，过点作，交延长线于点，根据勾股定理解得，再求出，利用平行线分线段成比例定理可得，设，，建立方程式，求出的长度，最后利用三角函数解得，，的长度，进而得出答案.
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算0指数幂、幂的运算及代入特殊角的三角函数值，进而得出答案.
18．【答案】解： ，由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3(-2y)+4y=6，
解得：y=-3，
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
19．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据等边对等角可得，，然后根据角的和差解答即可．
20．【答案】（1）50，11
（2）
（3）解：（人），
答： 该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数为480人
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为：，
.
故答案为：50，11.
（2）360°×（）
=
=72°.
故答案为：.
【分析】（1）用“羽毛球”的人数9除以所占百分比18%，即可得出结果；
用总人数减去其他三项的人数即可得到结果；
（2）用×自行车的占比，即可得出答案；
（3）用总人数乘以“篮球”占比即可；
（1）解：，，
故答案为：50，11；
（2）解：项目为“自行车”占，
∴“自行车”对应的扇形的圆心角为：，
故答案为：；
（3）解：该校1200名学生中，估计最喜爱的省运会项目是“篮球”的学生人数为：（人）．
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵（有一个角是直角的三角形是矩形），
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵∠B=90°，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵=6，
∵四边形是矩形，
∴，=6，
∵，
∴
在中，，
∴
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）已证：四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
22．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵ ，
∴
（3）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：设点到的距离为，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先根据已知条件求出点的坐标，再代入中，即可求出函数解析式；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）等积法进行求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）由图象可知：的自变量的取值范围：；
（3）∵，，
∴
设点到的距离为，则：，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵ 抛物线（b是常数）经过点 ，
，
，
抛物线解析式为．
顶点坐标为
（2）解：∵ 点A在抛物线上，横坐标为，
∴y=(1-m-1)2-3=m2-3，
∵ 点A在x轴上，
∴m2-3=0，
或，
∵，
∴，
∴=1+，
∴点的坐标为
（3）解：令，
或，
∵点P为抛物线与x轴的左交点，
，
，
，
点在对称轴右侧，
，
当时，
则时，
∴，
，
当，
∴，
∴，
或（不合题意，舍去），
综上所述：或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得出答案；
（2）由题意可得点坐标为，又，在轴上，进而求得的值，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论∶①时，即时；
②时，即时，分别计算即可．
（1）解∶(1)根据题意，将点代入抛物线中，
，
，
抛物线解析式为∶．
顶点坐标为．
（2）解：根据题意得∶
点在该抛物线上，横坐标为，
点坐标为，
点在轴上，且．
，
或 (不合题意，舍去)
点的坐标为；
（3）解：根据题意，
令，
或，
，
，
，
点在对称轴右侧，
，
如图1，当时，
即时，
根据题意，，
；
如图2，当，即，
根据题意，，
或（不合题意，舍去），
综上所述，或．
24．【答案】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABD=90°，
∴AD2=AB2+BD2，
∵，，
∴，
∵∠ABD=90°，
∴cos∠D=，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：过点C作于点H，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵ ，
∴∠AGC=90°，
∴AC2=AG2+CG2，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴，（不合题意，舍去），
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先说明，，，可得，根据得，再根据得，由此即可得出结论；
（2）先求出AD的长度，再求出的长度，再求出，进而得出答案；
（3）过点C作于点H，根据等面积法求出，，，结合（2）知，，再说明∽，可得，则，设，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，再利用勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的直径，
∴，
∵，
∴在中，，，
由勾股定理得：，
，
∴，
由（1）知，，
∴；
（3）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，
∴由三角形面积公式得：，
∴，
由（2）知，，，
∵，
由三角形的面积公式得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由圆周角定理得：，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
1 / 1浙江省杭州市萧山高桥初中教育集团2024-2025学年九年级下学期3月份素养调研数学试题
一、选择题：本大题有10个小题， 每小题3分， 共30分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合要求的．
1．（2025九下·萧山月考）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
【分析】根据从左面看几何体得到的平面图形逐项判断解答即可．
2．（2025九下·萧山月考）的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是3.
故答案为：A．
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案.
3．（2025九下·萧山月考）将因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵中的公因式为，
∴原式，
故选：B．
【分析】利用提取公因式分解因式即可．
4．（2025九下·萧山月考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵
∴图象位于第二、四象限.
故答案为：A．
【分析】根据k与0的关系，即可得到答案．
5．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点P的坐标为(　　)
A． B．) C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点P到轴的距离为3，到轴的距离为1，
∴点P的坐标为．
故答案为：C.
【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，据此结合第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答即可.
6．（2025九下·萧山月考）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接、，
∵，，
∴，
∴，
即弧的度数为，
故选：A．
【分析】先根据圆周角定理的推论得到，然后根据三角形的内角和定理得到的度数，再根据根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半解答即可．
7．（2025九下·萧山月考）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故答案为：C．
【分析】首先求出第一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集及确定方法，求出m的范围即可.
8．（2025九下·萧山月考）已知抛物线与轴交于点，其中为常数，则该抛物线顶点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的解析式可写成，
当时，，
该抛物线顶点的纵坐标为，
故选：D．
【分析】根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，根据交点式得到抛物线的解析式，把代入求出的值解答即可．
9．（2025九下·萧山月考）如图，圆内接正五边形中，对角线，与相交于点，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：五边形圆内接正五边形，
，
∵正五边形的外角和为360°，
∴，
∵AB=BC，
，
同理可得，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，，
，
，
设，，
则，
∴，
∴或（舍去），
.
故答案为：B．
【分析】由正五边形的性质可得，，再分别求出，，，从而可证明，则，设，，则，建立关于x的方程，进而得出答案.
10．（2025九下·萧山月考）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点G作，
∵为矩形，
∴四边形、四边形、四边形均是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴AB=AF+FB=2+4=6，
由翻折可得AG=AB=6，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点G作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形，由翻折可得，得到；再根据相似求出，再证得，再代入求出FI，最后根据线段的和差即可得出答案.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·萧山月考）计算：　 　．
【答案】3a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+2a=3a.
故答案为：3a.
【分析】直接合并同类项即可得出答案。
12．（2025九下·萧山月考）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，　 　．
【答案】53°
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
又∵∠2=37°，
∴∠3=37°，
又∵∠1+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠1=53°，
故答案为：53°．
【分析】由平行线的性质求出∠2=∠3=37°，然后根据平角的定义解答即可．
13．（2025九下·萧山月考）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；几何概率；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设正六边形的边长为a，连接GD．
由正六边形的性质可知，，，．
∴在中，，，
∴在中，，，
∴，．
∴．
∴飞镖落在阴影区域的概率．
故答案为：．
【分析】设正六边形的边长为a，连接GD，根据正六边形的性质结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理可表示出EG、DG、EH、GH，根据正六边形性质及梯形面积计算公式表示出正六边形BCDEFG的面积，由等边三角形面积计算公式表示出△CEG的面积，最后利用几何概率的意义，利用概率公式即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
14．（2025九下·萧山月考）如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于H， 延长线于F， 连接BD，
又∵
∴四边形DECF是矩形，
∵AD平分
，
∵ DE是BC的垂直平分线，
设AF=x，则.AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，
即AF=1，
故答案为：
【分析】 如图，过点D作 于H， 延长线于F，连接BD，根据勾股定理求出.BC=4，根据矩形的判定与性质推出(CE=DF=2，根据全等三角形的判定与性质推出AF=AH，设AF=x，则AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，根据勾股定理求解即可.
15．（2025九下·萧山月考）已知是的一次函数，根据表格中的信息，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：设与的解析式为，
∴，解得：，
∴与的解析式为，
当时，，
当时，，则，
∴，
故答案为：．
【分析】利用表格数据得到与的解析式为，然后求出的值，再代入代数式解题．
16．（2025九下·萧山月考）如图，在中，，是的角平分线，， ，，则　 　，过点作的平行线，交延长线于点F，则　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=90°，
∴
∵，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴∠CAD=∠C，
∴，
∴，
过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：7；．
【分析】可设，则，根据勾股定建立关于的方程，确定，的值，再根据可得为等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差求得的长度；
过点作于点，过点作，交延长线于点，根据勾股定理解得，再求出，利用平行线分线段成比例定理可得，设，，建立方程式，求出的长度，最后利用三角函数解得，，的长度，进而得出答案.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025九下·萧山月考）计算：．
【答案】解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算0指数幂、幂的运算及代入特殊角的三角函数值，进而得出答案.
18．（2025九下·萧山月考）解方程组：
【答案】解： ，由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3(-2y)+4y=6，
解得：y=-3，
将y=-3代入③得：x=6，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
19．（2025九下·萧山月考）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据等边对等角可得，，然后根据角的和差解答即可．
20．（2025九下·萧山月考）某校为了了解学生“最喜爱的奥运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”“羽毛球”“自行车”“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：
最喜爱的奥运会项目的人数调查统计表 最喜爱的奥运会项目人数篮球20羽毛球9自行车10游泳a其他b合计　
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是______，______；
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角的大小为______；
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数．
【答案】（1）50，11
（2）
（3）解：（人），
答： 该校最喜爱的奥运会项目是篮球的学生人数为480人
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为：，
.
故答案为：50，11.
（2）360°×（）
=
=72°.
故答案为：.
【分析】（1）用“羽毛球”的人数9除以所占百分比18%，即可得出结果；
用总人数减去其他三项的人数即可得到结果；
（2）用×自行车的占比，即可得出答案；
（3）用总人数乘以“篮球”占比即可；
（1）解：，，
故答案为：50，11；
（2）解：项目为“自行车”占，
∴“自行车”对应的扇形的圆心角为：，
故答案为：；
（3）解：该校1200名学生中，估计最喜爱的省运会项目是“篮球”的学生人数为：（人）．
21．（2025九下·萧山月考）如图，四边形中，，过点C作的平行线交于点E，在上取点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵（有一个角是直角的三角形是矩形），
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵∠B=90°，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵=6，
∵四边形是矩形，
∴，=6，
∵，
∴
在中，，
∴
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；已知正切值求边长；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）已证：四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
22．（2025九下·萧山月考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）请直接写出时自变量的取值范围；
（3）点到的距离为 ．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
∵点A、B在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵ ，
∴
（3）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：设点到的距离为，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先根据已知条件求出点的坐标，再代入中，即可求出函数解析式；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）等积法进行求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）由图象可知：的自变量的取值范围：；
（3）∵，，
∴
设点到的距离为，则：，
∴，
∴．
23．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，横坐标为，其中．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点A在x轴上时，求点A的坐标；
（3）抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P，A）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求m的值．
【答案】（1）解：∵ 抛物线（b是常数）经过点 ，
，
，
抛物线解析式为．
顶点坐标为
（2）解：∵ 点A在抛物线上，横坐标为，
∴y=(1-m-1)2-3=m2-3，
∵ 点A在x轴上，
∴m2-3=0，
或，
∵，
∴，
∴=1+，
∴点的坐标为
（3）解：令，
或，
∵点P为抛物线与x轴的左交点，
，
，
，
点在对称轴右侧，
，
当时，
则时，
∴，
，
当，
∴，
∴，
或（不合题意，舍去），
综上所述：或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得出答案；
（2）由题意可得点坐标为，又，在轴上，进而求得的值，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论∶①时，即时；
②时，即时，分别计算即可．
（1）解∶(1)根据题意，将点代入抛物线中，
，
，
抛物线解析式为∶．
顶点坐标为．
（2）解：根据题意得∶
点在该抛物线上，横坐标为，
点坐标为，
点在轴上，且．
，
或 (不合题意，舍去)
点的坐标为；
（3）解：根据题意，
令，
或，
，
，
，
点在对称轴右侧，
，
如图1，当时，
即时，
根据题意，，
；
如图2，当，即，
根据题意，，
或（不合题意，舍去），
综上所述，或．
24．（2025九下·萧山月考）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）过点C作于点G，求．
【答案】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABD=90°，
∴AD2=AB2+BD2，
∵，，
∴，
∵∠ABD=90°，
∴cos∠D=，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：过点C作于点H，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵ ，
∴∠AGC=90°，
∴AC2=AG2+CG2，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴，（不合题意，舍去），
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先说明，，，可得，根据得，再根据得，由此即可得出结论；
（2）先求出AD的长度，再求出的长度，再求出，进而得出答案；
（3）过点C作于点H，根据等面积法求出，，，结合（2）知，，再说明∽，可得，则，设，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，再利用勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的直径，
∴，
∵，
∴在中，，，
由勾股定理得：，
，
∴，
由（1）知，，
∴；
（3）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，
∴由三角形面积公式得：，
∴，
由（2）知，，，
∵，
由三角形的面积公式得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由圆周角定理得：，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
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