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四川省德阳市绵竹市2025年中考第一次诊断数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2025·绵竹模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（　　）
A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走
2．（2025·绵竹模拟）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·绵竹模拟）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绵竹模拟）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒》，《唐探》，《 重启未来》．小西和小安同学分别从三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·绵竹模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·绵竹模拟）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·绵竹模拟）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025·绵竹模拟）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绵竹模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·绵竹模拟）如图，在菱形中，点分别是，，，上的点，且，若菱形的面积为120，，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．（2025·绵竹模拟）如图，等腰与等边，，，连接，以为圆心，为半径的圆交于，交于．若，平分，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·绵竹模拟）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为；④小球的高度时，．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
13．（2025·绵竹模拟）比较大小：　 　（填“＞”“＜”“＝”）
14．（2025·绵竹模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为 　 　 ．
15．（2025·绵竹模拟）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　．
16．（2025·绵竹模拟）已知m是的小数部分，则的值为　 　．
17．（2025·绵竹模拟）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为　 　．
18．（2025·绵竹模拟）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有　 　 ．
①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量；
②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到；
③本次充电持续时间是120分钟；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分）
19．（2025·绵竹模拟）计算：．
20．（2025·绵竹模拟）如图，四边形是正方形，E是上一点，于点F．
（1）过点B作的垂线交于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，若，，求的长．
21．（2025·绵竹模拟）某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加法制知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图（图1）：
（1）根据统计图，补充下列表格中的数据：
　 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲 ① ② 93
乙 90 87.5 ③
填空：①_______；②_______；③_______．
（2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？请说明理由．
22．（2025·绵竹模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线和反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解．
23．（2025·绵竹模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．（2025·绵竹模拟）如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．
（1）求证：为圆O的切线；
（2）连接交于点F，若，求的值．
25．（2025·绵竹模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：表示向西走；
故选D．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是中心对称图形也是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故C不符合题意；
D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故D不符合题意，
故答案为：B
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.，根据题意可得答案.
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：将《哪吒》，《唐探》，《 重启未来》分别记为，，，
列表如下：
　
共有种等可能的结果，其中小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果有种，
小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件列表，可得到所有等可能的结果数以及小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果数，再利用概率公式进行计算.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A .，该选项错误；
B.，该选项错误；
C.，该选项错误；
D.，该选项正确；
故答案为： D．
【分析】利用同底数幂相乘的法则计算，可对A、B作出判断；再利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用单项式除以单项式的法则，可对D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
9．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】 记与相交于一点H，如图所示： 先根据旋转性质得，进而证得∠BHC=90°，即，可得出选项D正确；再根据角度计算可得出不一定等于 ，得出不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．故而得出正确答案。
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：菱形的面积为120，
同理可证
．
故选：A．
【分析】利用菱形的面积公式可求出BD的长，再利用等腰三角形的性质可推出∠AEF=∠ADB，由此可证得EF∥BD，利用平行可证得△AF∽△ADB，，利用相似三角形的性质可推出，，即可求出EF+GH的长.
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，如图，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作于，交于点，由平行线的性质可得，进而根据三线合一可求出∠BAM和∠DAH的度数，由此可得到∠BAD的度数；再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数，利用角平分线的概念可求出∠ABD的度数及∠ADB的度数，利用解直角三角形求出BD的长；然后利用勾股定理求出AD的长，最后根据，进行计算即可.
12．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为：，
把代入得，
解得，
函数解析式为，
故②错误；
③令，，
解得：或6，
小球的运动时间为，
故③正确；
④把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，为秒或秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故答案为：A．
【分析】观察图象可得到抛物线的顶点坐标，可对①作出判断；利用顶点式设函数解析式为，将点O的坐标代入，可求出a的值，可得到h与t的函数解析式，可对②作出判断；求出当h=0时t的值，可对③作出判断；然后求出当h=20时t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
13．【答案】>
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：>．
【分析】
首先估算，再确定，再两边同时除以3得到，进行比较即可求解．
14．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集是，
故的取值范围是，
故答案为：．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得到关于a的取值范围.
16．【答案】4
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是的小数部分，
，
原式，
，
，即，
原式
．
故答案为：．
【分析】利用估算无理数的大小可得到m及的值，再将原式化简，比较m和的大小，然后代入求出结果.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用已知可证得△BOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠BOC的度数，然后利用扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
18．【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意；
②由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，符合题意；
③由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，不符合题
故答案为：①②③．
【分析】观察函数图象与y轴的交的坐标，可对①作出判断；观察图象上点（40，80％），（120，90％）可对②③作出判断；利用已知条件求出到的电量变化对应的耗电量，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后算加减法.
20．【答案】（1）解：如图，BP即为所求．
（2）解：∵四边形为正方形，∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴．
又∵，
∴
在中，，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法，作图即可；
（2）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可求出AP的长，即可得到AF的长；然后利用勾股定理求出AD的长，即可得到CD的长.
（1）解：如图，BP即为所求．
（2）∵四边形为正方形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵，
∴．
在中，，
∴．
21．【答案】（1）90，91，85
（2）解：从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：根据甲成绩条形统计图，可得甲的平均数为（分），
中位数：（分），
根据乙折线统计图，可知乙的众数：85分；
故答案为：90，91，85
【分析】（1）利用两统计图，分别求出甲的平均数，中位数及乙的众数.
（2）从甲、乙平均数、中位数、众数、方差进行分析即可.
（1）解：根据甲成绩条形统计图，可得甲的平均数为（分），
中位数：（分），
根据乙折线统计图，可知乙的众数：85分；
（2）解：从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛．
22．【答案】（1）解：把代入，得，
．
把代入，
得，
解得，
直线的表达式为．
由，
解得或，
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，
直线过第一、三象限．
方程在实数范围内无解，
直线与反比例函数的图象无交点，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
反比例函数的表达式可以是（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将x=1代入反比例函数解析式求出对应的y的值可得到点A的坐标；再将点A的坐标代入一次函数解析式求出k的值，可得到一次函数解析式；然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标.
（2）利用平移可得到直线y=x，根据方程在实数范围内无解，得到两个图象没有交点，进而得到反比例函数过二，四象限，据此可得到k的取值范围，可得到一个k的值.
（1）解：把代入，得，
．
把代入，
得，
解得，
直线的表达式为．
由，
解得或，
．
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，
直线过第一、三象限．
方程在实数范围内无解，
直线与反比例函数的图象无交点，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
反比例函数的表达式可以是．（答案不唯一）
23．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
24．【答案】（1）证明：连接．
为中点，为中点，
．
，
，且点在上，
是的切线
（2）解：连接．
，
∴△ODF∽△CEF，
．
为的直径，
．
又为的中点，
．
，
故设，则，．
在中，，
，
．
，
．
，
．
．
，
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可中的，可推出，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接，利用OD∥AC可证得△ODF∽△CEF，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式；根据圆周角定理可知，设，可表示出AB、OD的长，利用勾股定理可表示出AD的长；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△AED，利用相似三角形的性质可表示出AE、EC的长，然后求出OF与FC的比值.
（1）证明：连接．
为中点，为中点，
．
，
，且点在上，
是的切线；
（2）解：连接．
，
．
为的直径，
．
又为的中点，
．
，
故设，则，．
在中，，
，
．
，
．
，
．
．
，
．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标；
（3）P点坐标为、、、
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）延长MN交x轴于E，根据点坐标可得OB=OC=2，则，根据直线平行性质可得，则，求出直线AC解析式为，设，过M作轴，交AC于点N，则M点坐标为，N点坐标为，根据两点间距离可得，，列式化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律可得新抛物线解析式为，在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标，则直线MK解析式为，过P作轴交射线MK于点Q，设，则，根据两点间距离可得，，，分情况讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1四川省德阳市绵竹市2025年中考第一次诊断数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（2025·绵竹模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（　　）
A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走
【答案】D
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：表示向西走；
故选D．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．（2025·绵竹模拟）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是中心对称图形也是轴对称图形，故A不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；
C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故C不符合题意；
D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故D不符合题意，
故答案为：B
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
3．（2025·绵竹模拟）机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型DNA工业纳米机器人，其大小仅约100nm．已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.，根据题意可得答案.
4．（2025·绵竹模拟）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒》，《唐探》，《 重启未来》．小西和小安同学分别从三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：将《哪吒》，《唐探》，《 重启未来》分别记为，，，
列表如下：
　
共有种等可能的结果，其中小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果有种，
小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件列表，可得到所有等可能的结果数以及小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的结果数，再利用概率公式进行计算.
5．（2025·绵竹模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A .，该选项错误；
B.，该选项错误；
C.，该选项错误；
D.，该选项正确；
故答案为： D．
【分析】利用同底数幂相乘的法则计算，可对A、B作出判断；再利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用单项式除以单项式的法则，可对D作出判断.
6．（2025·绵竹模拟）榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线.2条实线在2条虚线之间，即
故答案为：D．
【分析】俯视图从几何体的上面往下看得到的平面图形，据此可得答案.
7．（2025·绵竹模拟）若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】关于x的方程有实数根，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知b2-4ac≥0，据此可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
8．（2025·绵竹模拟）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，可知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦AB的长为，
故答案为：C．
【分析】连接，可知三点共线，利用垂径定理可证得AC=CB，同时求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得到AB的长.
9．（2025·绵竹模拟）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：记与相交于一点H，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】 记与相交于一点H，如图所示： 先根据旋转性质得，进而证得∠BHC=90°，即，可得出选项D正确；再根据角度计算可得出不一定等于 ，得出不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．故而得出正确答案。
10．（2025·绵竹模拟）如图，在菱形中，点分别是，，，上的点，且，若菱形的面积为120，，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：菱形的面积为120，
同理可证
．
故选：A．
【分析】利用菱形的面积公式可求出BD的长，再利用等腰三角形的性质可推出∠AEF=∠ADB，由此可证得EF∥BD，利用平行可证得△AF∽△ADB，，利用相似三角形的性质可推出，，即可求出EF+GH的长.
11．（2025·绵竹模拟）如图，等腰与等边，，，连接，以为圆心，为半径的圆交于，交于．若，平分，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点作于，交于点，如图，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作于，交于点，由平行线的性质可得，进而根据三线合一可求出∠BAM和∠DAH的度数，由此可得到∠BAD的度数；再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数，利用角平分线的概念可求出∠ABD的度数及∠ADB的度数，利用解直角三角形求出BD的长；然后利用勾股定理求出AD的长，最后根据，进行计算即可.
12．（2025·绵竹模拟）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为；④小球的高度时，．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为：，
把代入得，
解得，
函数解析式为，
故②错误；
③令，，
解得：或6，
小球的运动时间为，
故③正确；
④把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，为秒或秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故答案为：A．
【分析】观察图象可得到抛物线的顶点坐标，可对①作出判断；利用顶点式设函数解析式为，将点O的坐标代入，可求出a的值，可得到h与t的函数解析式，可对②作出判断；求出当h=0时t的值，可对③作出判断；然后求出当h=20时t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
13．（2025·绵竹模拟）比较大小：　 　（填“＞”“＜”“＝”）
【答案】>
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：>．
【分析】
首先估算，再确定，再两边同时除以3得到，进行比较即可求解．
14．（2025·绵竹模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为 　 　 ．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数.
15．（2025·绵竹模拟）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集是，
故的取值范围是，
故答案为：．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得到关于a的取值范围.
16．（2025·绵竹模拟）已知m是的小数部分，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是的小数部分，
，
原式，
，
，即，
原式
．
故答案为：．
【分析】利用估算无理数的大小可得到m及的值，再将原式化简，比较m和的大小，然后代入求出结果.
17．（2025·绵竹模拟）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用已知可证得△BOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠BOC的度数，然后利用扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
18．（2025·绵竹模拟）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有　 　 ．
①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量；
②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到；
③本次充电持续时间是120分钟；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时．
【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意；
②由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，符合题意；
③由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，不符合题
故答案为：①②③．
【分析】观察函数图象与y轴的交的坐标，可对①作出判断；观察图象上点（40，80％），（120，90％）可对②③作出判断；利用已知条件求出到的电量变化对应的耗电量，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题共7个小题，共78分）
19．（2025·绵竹模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后算加减法.
20．（2025·绵竹模拟）如图，四边形是正方形，E是上一点，于点F．
（1）过点B作的垂线交于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，BP即为所求．
（2）解：∵四边形为正方形，∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴．
又∵，
∴
在中，，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法，作图即可；
（2）利用正方形的性质可证得，，利用余角的性质可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可求出AP的长，即可得到AF的长；然后利用勾股定理求出AD的长，即可得到CD的长.
（1）解：如图，BP即为所求．
（2）∵四边形为正方形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵，
∴．
在中，，
∴．
21．（2025·绵竹模拟）某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加法制知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图（图1）：
（1）根据统计图，补充下列表格中的数据：
　 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲 ① ② 93
乙 90 87.5 ③
填空：①_______；②_______；③_______．
（2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？请说明理由．
【答案】（1）90，91，85
（2）解：从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：根据甲成绩条形统计图，可得甲的平均数为（分），
中位数：（分），
根据乙折线统计图，可知乙的众数：85分；
故答案为：90，91，85
【分析】（1）利用两统计图，分别求出甲的平均数，中位数及乙的众数.
（2）从甲、乙平均数、中位数、众数、方差进行分析即可.
（1）解：根据甲成绩条形统计图，可得甲的平均数为（分），
中位数：（分），
根据乙折线统计图，可知乙的众数：85分；
（2）解：从平均分看，甲、乙的成绩相当；从中位数和众数看，甲的成绩比乙高；从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定．因此我会选择甲同学参加知识竞赛．
22．（2025·绵竹模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线和反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求直线的表达式和点的坐标；
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，请你写出一个反比例函数，使方程在实数范围内无解．
【答案】（1）解：把代入，得，
．
把代入，
得，
解得，
直线的表达式为．
由，
解得或，
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，
直线过第一、三象限．
方程在实数范围内无解，
直线与反比例函数的图象无交点，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
反比例函数的表达式可以是（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将x=1代入反比例函数解析式求出对应的y的值可得到点A的坐标；再将点A的坐标代入一次函数解析式求出k的值，可得到一次函数解析式；然后将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标.
（2）利用平移可得到直线y=x，根据方程在实数范围内无解，得到两个图象没有交点，进而得到反比例函数过二，四象限，据此可得到k的取值范围，可得到一个k的值.
（1）解：把代入，得，
．
把代入，
得，
解得，
直线的表达式为．
由，
解得或，
．
（2）将直线沿轴向下平移1个单位，得到直线，
直线过第一、三象限．
方程在实数范围内无解，
直线与反比例函数的图象无交点，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
反比例函数的表达式可以是．（答案不唯一）
23．（2025·绵竹模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
24．（2025·绵竹模拟）如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点，过点作．
（1）求证：为圆O的切线；
（2）连接交于点F，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接．
为中点，为中点，
．
，
，且点在上，
是的切线
（2）解：连接．
，
∴△ODF∽△CEF，
．
为的直径，
．
又为的中点，
．
，
故设，则，．
在中，，
，
．
，
．
，
．
．
，
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可中的，可推出，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接，利用OD∥AC可证得△ODF∽△CEF，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式；根据圆周角定理可知，设，可表示出AB、OD的长，利用勾股定理可表示出AD的长；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ADC∽△AED，利用相似三角形的性质可表示出AE、EC的长，然后求出OF与FC的比值.
（1）证明：连接．
为中点，为中点，
．
，
，且点在上，
是的切线；
（2）解：连接．
，
．
为的直径，
．
又为的中点，
．
，
故设，则，．
在中，，
，
．
，
．
，
．
．
，
．
25．（2025·绵竹模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标；
（3）P点坐标为、、、
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，转换为顶点式，即可得顶点坐标.
（2）延长MN交x轴于E，根据点坐标可得OB=OC=2，则，根据直线平行性质可得，则，求出直线AC解析式为，设，过M作轴，交AC于点N，则M点坐标为，N点坐标为，根据两点间距离可得，，列式化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移规律可得新抛物线解析式为，在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标，则直线MK解析式为，过P作轴交射线MK于点Q，设，则，根据两点间距离可得，，，分情况讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
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