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吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·长春模拟）下图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（　　）
A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日
【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：，，，，，
∵，
∴这几天中最高温度与最低温度的差最小的是3月15日，
故答案为：D．
【分析】用当天的最高气温减去最低气温求出对应日期的温度差，列式计算，再比较大小即可．
2．（2025·长春模拟）图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图知，该几何体的左视图是，
故答案为：D．
【分析】左视图是从几何体的左面看到的平面图形，据此可求解.
3．（2025·长春模拟）如果，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，，则，故A选项错误；
B、若，，则，故B选项错误；
C、，，故C选项错误；
D、，，，故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的性质，不等式的性质逐项判断即可．
4．（2025·长春模拟）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
【分析】
根据等式左边(x 1)2表示边长为(x 1)的正方形面积。然后分别分析每个选项中阴影部分面积的计算方法，看是否能通过图形的面积运算得到等式右边的式子。
5．（2025·长春模拟）如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴正八边形的每个内角的大小是，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式先求出正八边形的内角和，然后求出该八边形的每一个内角的度数.
6．（2025·长春模拟）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，，，
故答案为：B．
【分析】利用已知可表示出AE的长，再利用解直角三角形可得答案.
7．（2025·长春模拟）如图，菱形的边长为，，分别以点和点圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，由作图可知，垂直平分线段，利用垂直平分线的性质控制的EA=EB，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用菱形的性质可求出BC的长，然后利用勾股定理求出CE的长.
8．（2025·长春模拟）如图，点在函数的图象上，轴于点，为轴正半轴上一点，将绕点旋转得到，点的对应点恰好落在该函数图象上．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，则，
的面积为，
，
，
轴于点，
，
将绕点旋转得到，
，即为的中点，
，
点恰好落在函数图象上，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】设，可表示出OC的长，再利用三角形的面积公式可表示出OB的长，从而可表示出点A的坐标；利用旋转的性质可表示出点D的坐标，再根据点恰好落在函数图象上，可得到关于m、k的方程，解方程求出k的值.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．（2025·长春模拟）请写出的一个同类项：　 　.
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
10．（2025·长春模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂化简计算即可．
11．（2025·长春模拟）如图，，，，，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：8．
【分析】根据和平行线分线段成比例定理得，再代入数值计算，可求出BC的长.
12．（2025·长春模拟）如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为，圆心角为，则这段铁轨的长度为　 　．（铁轨宽度忽略不计，结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：这段铁轨的长度为，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式进行计算即可.
13．（2025·长春模拟）若直线和直线的交点在第三象限，则的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】（即可）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立函数解析式，得，
解得，
∴两直线的交点坐标为，
∵两直线的交点在第三象限，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组可得到两函数图象的交点坐标，再根据其交点坐标在第三象限，可得到关于b的不等式组，解不等式组，可得到b的取值范围，据此可得到符合题意的b的值.
14．（2025·长春模拟）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
同理，
而，
∴，
∴，故②正确；
过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，设
由勾股定理得，，
∵，
∴在中，
由得：，
解得：，
∴，故③错误；
过点P作，垂足为点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【分析】可得，由是等边三角形可得，则，同时可求出∠PCD、∠CPD的度数，可对①支作出判断；利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可对②作出判断；过点作于点，则为等腰直角三角形，设，可表示出BE的长，同时可证得，可表示出FC的长，由可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长，可对③作出判断；过点P作，垂足为点，可求出PG的长，利用三角形的面积公式可得到△PCD的面积，在中，利用解直角三角形求出PH的长及△PBC的面积，然后根据由，利用三角形面积公式进行计算，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．（2025·长春模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
∵，，
∴原式
【知识点】二次根式的加减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用分式的加减运算法则先进行化简，再将的值代入到化简后的结果中计算即可求解.
16．（2025·长春模拟）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
【答案】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再利用概率公式进行计算即可.
17．（2025·长春模拟）如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：．
【答案】证明：、、、四点共线，且，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查利用ASA判定三角形全等，由，利用等式的基本性质可得，结合题目条件，可利用ASA证，即可得到．
18．（2025·长春模拟）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示．
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？
【答案】（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品4包，种食品2包
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，根据题意，得．
解得．
∴最多能选用A种食品3包
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）先设选用种食品包，种食品包，再根据已知条件：“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，据此列方程求解即可.
（2）根据“每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”，设选用种食品包，可表示出B种食品的数量，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最大整数解即可.
（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品4包，种食品2包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∴最多能选用A种食品3包．
19．（2025·长春模拟）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述 分组成绩/分频数频率
调查结论 …
（1）上述表格中，______，______，______；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？
【答案】（1），，
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据样本容量=频数÷频率求出抽取的学生人数，根据频数=样本容量×频率可求出m、n的值，根据频率=频数÷样本容量求出p的值；
（）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解，再结合（）的结果可补全频数分布直方图；
（）用样本估计总体可求解．
（1）解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
20．（2025·长春模拟）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点，连接，使．
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（）如图，取格点，连接，由网格知，即得，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，交于，由网格知，所以，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，由网格得，，，，即得，因为，所以，即得，故点即为所求；
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
21．（2025·长春模拟）如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作．
（1）______；
（2）连接，当点在上且时，求的面积；
（3）当点在线段上，且是矩形时，求线段的长；
（4）作．当时，线段的长为______．（写出一个即可）
【答案】（1）
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵点是的中点，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，线段的长为或
（4）或
【知识点】矩形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵于点，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解，
∴，
∵点是的中点，
∴；
当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】（）利用锐角三角函数的定义设，，利用勾股定理表示出AC的长，即可求出a的值，然后求出AD的长.
（）过点作于，易证，利用相似三角形的性质可求出OM、QN的长，再利用三角函数可得到MH和OH的比值，设，则，利用勾股定理可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可得到MH的长，然后求出的面积.
（）过点作于，可得，利用相似三角形的性质可求出QG、AG的长，设，可表示出OQ2、AO的长，利用线段中点可得到AM的长及OM2的值，再利用矩形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到OM的长，即可等等PM的长.
（）当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，易证 ，利用相似三角形的性质可求出FD的长，利用平行四边形的性质可证得OQ=ON，利用AAS可证得△GOQ≌△HON，利用全等三角形的性质可证得，，再由可证得，利用相似三角形的性质可求出FH的长，即可求出DH的长，设，可表示出GO、HO的长，根据GO=HO，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到AO的长，利用线段中点的定义可求出AM的长；当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，利用AAS易证△AOQ≌△EON，利用全等三角形的性质可证得，；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质及勾股定理可求出CE的长，即可得到AE、AO的长，然后求出AM的长；综上所述可得到符合题意的AM的长.
（1）解：∵于点，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵点是的中点，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，线段的长为或；
（4）解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解，
∴，
∵点是的中点，
∴；
当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
22．（2025·长春模拟）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）的对称轴为直线，与轴交于点．点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为；点是该抛物线上异于点的一点（点不与点重合），点的横坐标为．连接，以为边，点为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当的一条边与轴平行时，求的值；
（3）当点在点的右侧时，设的边与抛物线交于点（点不与重合），若的面积是的面积的倍，求的值；
（4）当的顶点恰好落在同一象限内时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用对称轴方程和点M的坐标可求出b、c的值，即可得到二次函数解析式.
（2）当轴时，可表示出点A、B的坐标，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到此时点重合，不合题意；当轴时，点与点的纵坐标相等，可得到点C是点A关于点的对称点，设点，据此可表示出点C、D的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（2）可表示出点A、B、C、D的坐标，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得的比值，再证明利用相似三角形的性质可得到，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，由此可得到HN、DH的坐标，即可得到点N的坐标，最后代入抛物线求得m的值即可；
（4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列出关于m的不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或．
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，．
23．（2025·长春模拟）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
【答案】（1），
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
∵，在直线上，
∴．
解得：．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：设乙车出发时，
∵在中，当时，，
∴，
∵乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
∴两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，
解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
24．（2025·长春模拟）【问题提出】
（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．
【答案】（1）12
（2）根据题意得是定值，，
∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，
连接，交圆于点，
此时的即为的最小，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图，连接，
根据题意得：，
以为直径作圆Q，，
∴点E在以为直径作圆Q上，
连接，
当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，
∵，，．
∴，，
∴，
∴的最小值为
【知识点】定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点作，如图所示：
由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，
可知此时最大，
最大值为，
故答案为：12；
【分析】（1）过点作，直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短 可知此时最大，据此可求出线段PQ的最大值.
（2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，利用正方形的性质可证得，，利用勾股定理可求出AO的长，即可求出AP'的长，可得到AP的最小值.
（3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可．
1 / 1吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·长春模拟）下图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（　　）
A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日
2．（2025·长春模拟）图是由大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长春模拟）如果，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长春模拟）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长春模拟）如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长春模拟）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·长春模拟）如图，菱形的边长为，，分别以点和点圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长春模拟）如图，点在函数的图象上，轴于点，为轴正半轴上一点，将绕点旋转得到，点的对应点恰好落在该函数图象上．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．（2025·长春模拟）请写出的一个同类项：　 　.
10．（2025·长春模拟）计算：　 　．
11．（2025·长春模拟）如图，，，，，则的长为　 　．
12．（2025·长春模拟）如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为，圆心角为，则这段铁轨的长度为　 　．（铁轨宽度忽略不计，结果保留）
13．（2025·长春模拟）若直线和直线的交点在第三象限，则的值可以是　 　．（写出一个即可）
14．（2025·长春模拟）如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是　 　．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．（2025·长春模拟）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025·长春模拟）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
17．（2025·长春模拟）如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：．
18．（2025·长春模拟）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如表所示．
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包种食品？
19．（2025·长春模拟）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题：
课题 ××学校学生对掌握情况
调查方式 抽样调查
调查对象 ××学校学生
数据的整理与描述 分组成绩/分频数频率
调查结论 …
（1）上述表格中，______，______，______；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图；
（3）若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？
20．（2025·长春模拟）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点，连接，使；
（2）在图②中的边上确定一点，连接，使；
（3）在图③中的边上确定一点，连接，使．
21．（2025·长春模拟）如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作．
（1）______；
（2）连接，当点在上且时，求的面积；
（3）当点在线段上，且是矩形时，求线段的长；
（4）作．当时，线段的长为______．（写出一个即可）
22．（2025·长春模拟）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）的对称轴为直线，与轴交于点．点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为；点是该抛物线上异于点的一点（点不与点重合），点的横坐标为．连接，以为边，点为对称中心作．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当的一条边与轴平行时，求的值；
（3）当点在点的右侧时，设的边与抛物线交于点（点不与重合），若的面积是的面积的倍，求的值；
（4）当的顶点恰好落在同一象限内时，直接写出的取值范围．
23．（2025·长春模拟）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
24．（2025·长春模拟）【问题提出】
（1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：，，，，，
∵，
∴这几天中最高温度与最低温度的差最小的是3月15日，
故答案为：D．
【分析】用当天的最高气温减去最低气温求出对应日期的温度差，列式计算，再比较大小即可．
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图知，该几何体的左视图是，
故答案为：D．
【分析】左视图是从几何体的左面看到的平面图形，据此可求解.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，，则，故A选项错误；
B、若，，则，故B选项错误；
C、，，故C选项错误；
D、，，，故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的性质，不等式的性质逐项判断即可．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
【分析】
根据等式左边(x 1)2表示边长为(x 1)的正方形面积。然后分别分析每个选项中阴影部分面积的计算方法，看是否能通过图形的面积运算得到等式右边的式子。
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴正八边形的每个内角的大小是，
故答案为：．
【分析】利用多边形的内角和公式先求出正八边形的内角和，然后求出该八边形的每一个内角的度数.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，，，
故答案为：B．
【分析】利用已知可表示出AE的长，再利用解直角三角形可得答案.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，由作图可知，垂直平分线段，利用垂直平分线的性质控制的EA=EB，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用菱形的性质可求出BC的长，然后利用勾股定理求出CE的长.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，则，
的面积为，
，
，
轴于点，
，
将绕点旋转得到，
，即为的中点，
，
点恰好落在函数图象上，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】设，可表示出OC的长，再利用三角形的面积公式可表示出OB的长，从而可表示出点A的坐标；利用旋转的性质可表示出点D的坐标，再根据点恰好落在函数图象上，可得到关于m、k的方程，解方程求出k的值.
9．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
10．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂化简计算即可．
11．【答案】8
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：8．
【分析】根据和平行线分线段成比例定理得，再代入数值计算，可求出BC的长.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：这段铁轨的长度为，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式进行计算即可.
13．【答案】（即可）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立函数解析式，得，
解得，
∴两直线的交点坐标为，
∵两直线的交点在第三象限，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案为：．
【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组可得到两函数图象的交点坐标，再根据其交点坐标在第三象限，可得到关于b的不等式组，解不等式组，可得到b的取值范围，据此可得到符合题意的b的值.
14．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
同理，
而，
∴，
∴，故②正确；
过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，设
由勾股定理得，，
∵，
∴在中，
由得：，
解得：，
∴，故③错误；
过点P作，垂足为点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【分析】可得，由是等边三角形可得，则，同时可求出∠PCD、∠CPD的度数，可对①支作出判断；利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可对②作出判断；过点作于点，则为等腰直角三角形，设，可表示出BE的长，同时可证得，可表示出FC的长，由可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长，可对③作出判断；过点P作，垂足为点，可求出PG的长，利用三角形的面积公式可得到△PCD的面积，在中，利用解直角三角形求出PH的长及△PBC的面积，然后根据由，利用三角形面积公式进行计算，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：原式
，
∵，，
∴原式
【知识点】二次根式的加减法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用分式的加减运算法则先进行化简，再将的值代入到化简后的结果中计算即可求解.
16．【答案】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】根据题意画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再利用概率公式进行计算即可.
17．【答案】证明：、、、四点共线，且，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查利用ASA判定三角形全等，由，利用等式的基本性质可得，结合题目条件，可利用ASA证，即可得到．
18．【答案】（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品4包，种食品2包
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，根据题意，得．
解得．
∴最多能选用A种食品3包
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）先设选用种食品包，种食品包，再根据已知条件：“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，据此列方程求解即可.
（2）根据“每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”，设选用种食品包，可表示出B种食品的数量，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的最大整数解即可.
（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品4包，种食品2包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∴最多能选用A种食品3包．
19．【答案】（1），，
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据样本容量=频数÷频率求出抽取的学生人数，根据频数=样本容量×频率可求出m、n的值，根据频率=频数÷样本容量求出p的值；
（）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”即可求解，再结合（）的结果可补全频数分布直方图；
（）用样本估计总体可求解．
（1）解：由数据可知，抽取的学生人数为，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵抽取了名学生，
∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数，
∴中位数落在组，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：
（3）解：，
答：估计成绩不低于分的学生有人．
20．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-SAS；两直线平行，同位角相等；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（）如图，取格点，连接，由网格知，即得，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，交于，由网格知，所以，故点即为所求；
（）如图，取格点，连接，由网格得，，，，即得，因为，所以，即得，故点即为所求；
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：如图所示，点即为所求．
21．【答案】（1）
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵点是的中点，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，线段的长为或
（4）或
【知识点】矩形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：∵于点，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解，
∴，
∵点是的中点，
∴；
当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】（）利用锐角三角函数的定义设，，利用勾股定理表示出AC的长，即可求出a的值，然后求出AD的长.
（）过点作于，易证，利用相似三角形的性质可求出OM、QN的长，再利用三角函数可得到MH和OH的比值，设，则，利用勾股定理可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可得到MH的长，然后求出的面积.
（）过点作于，可得，利用相似三角形的性质可求出QG、AG的长，设，可表示出OQ2、AO的长，利用线段中点可得到AM的长及OM2的值，再利用矩形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到OM的长，即可等等PM的长.
（）当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，易证 ，利用相似三角形的性质可求出FD的长，利用平行四边形的性质可证得OQ=ON，利用AAS可证得△GOQ≌△HON，利用全等三角形的性质可证得，，再由可证得，利用相似三角形的性质可求出FH的长，即可求出DH的长，设，可表示出GO、HO的长，根据GO=HO，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到AO的长，利用线段中点的定义可求出AM的长；当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，利用AAS易证△AOQ≌△EON，利用全等三角形的性质可证得，；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质及勾股定理可求出CE的长，即可得到AE、AO的长，然后求出AM的长；综上所述可得到符合题意的AM的长.
（1）解：∵于点，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∵点是的中点，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，线段的长为或；
（4）解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解，
∴，
∵点是的中点，
∴；
当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
22．【答案】（1）解：由题意得，，解得：，∴抛物线对应的函数表达式为
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用对称轴方程和点M的坐标可求出b、c的值，即可得到二次函数解析式.
（2）当轴时，可表示出点A、B的坐标，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到此时点重合，不合题意；当轴时，点与点的纵坐标相等，可得到点C是点A关于点的对称点，设点，据此可表示出点C、D的坐标，即可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（2）可表示出点A、B、C、D的坐标，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得的比值，再证明利用相似三角形的性质可得到，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，由此可得到HN、DH的坐标，即可得到点N的坐标，最后代入抛物线求得m的值即可；
（4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列出关于m的不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围.
（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，
此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或．
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，
∵，
∴，即点C、D不可能同时在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，．
23．【答案】（1），
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
∵，在直线上，
∴．
解得：．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：设乙车出发时，
∵在中，当时，，
∴，
∵乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
∴两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，
解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
24．【答案】（1）12
（2）根据题意得是定值，，
∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，
连接，交圆于点，
此时的即为的最小，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图，连接，
根据题意得：，
以为直径作圆Q，，
∴点E在以为直径作圆Q上，
连接，
当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，
∵，，．
∴，，
∴，
∴的最小值为
【知识点】定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点作，如图所示：
由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，
可知此时最大，
最大值为，
故答案为：12；
【分析】（1）过点作，直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短 可知此时最大，据此可求出线段PQ的最大值.
（2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，利用正方形的性质可证得，，利用勾股定理可求出AO的长，即可求出AP'的长，可得到AP的最小值.
（3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可．
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