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浙江省绍兴市柯桥区联盟2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·柯桥期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．（2025七下·柯桥期中）下列图形中与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同位角，故A不符合题意；
B、与是同位角，故B不符合题意；
C、与是同位角，故C不符哦还特意；
D、与不是同位角，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此逐项进行判断即可.
3．（2025七下·柯桥期中）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】常用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，这个数字左边第一个非0数字前面0的个数.
4．（2025七下·柯桥期中）一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（　　）．
A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6
C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1
【答案】D
【知识点】多项式的概念
【解析】【解答】解：∵5y3－4y－6-(3y2－2y－5)= 5y3－4y－6-3y2+2y+5= 5y3－3y2－2y－1．
故答案为D．
【分析】根据已知和与一个加数，则另一个加数=和 - 一个加数，然后计算即可．
5．（2025七下·柯桥期中）如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴．故D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”逐项判断解题．
6．（2025七下·柯桥期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、结果不是整式乘积的形式，错误；
B、是多项式的乘法，不是分解因式，错误；
C、是两个整式乘积的形式，正确；
D、不是把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，错误.
故答案为：C.
【分析】因式分解是指把一个多项式表示成几个整式乘积的形式.
7．（2025七下·柯桥期中） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
8．（2025七下·柯桥期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理和角的运算即可求解.
9．（2025七下·柯桥期中）如果关于，的二元一次方程组的解为则方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：对方程组变形得
的解为
的解为
故答案为：C.
【分析】先把方程组变形为的形式，则其根为，即其解为.
10．（2025七下·柯桥期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
11．（2025七下·柯桥期中）分解因式a2﹣9a的结果是　 　
【答案】a（a-9）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－9a＝a（a－9），
故答案为a（a－9）．
【分析】提取公因式a即可得到答案。
12．（2025七下·柯桥期中）若，则　 　
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据单项式÷单项式的运算法则进行运算即可.单项式÷单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
13．（2025七下·柯桥期中）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：21.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。
14．（2025七下·柯桥期中）若，则=　 　．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴2m=6，m-2=a，
∴m=3，a=1，
故答案为：1.
【分析】利用多项式乘以多项式的运算法则展开，结合已知得出关于m，a的方程组，进而可求得a的值.
15．（2025七下·柯桥期中）如图，将一条长方形纸片沿AB折叠，已知∠DAB＝70°，则∠CBF＝　 　．
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AD||BC，
∴∠1=∠DAB=70°，
由折叠的性质知∠2=∠1=70°，
∴故∠CBF=180°-∠1-∠2=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°.
【分析】由二直线平行，内错角相等，可得∠1的度数，由折叠的性质可得∠1=∠2，进而根据平角定义即可求得∠CBF的度数.
16．（2025七下·柯桥期中）已知，，则代数式，的大小关系是 　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用作差法可得等于两个完全平方式与1的和，由于完全平方式都是非负数，因此.
17．（2025七下·柯桥期中）已知关于，的方程组的解互为相反数，则常数的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
得：
故答案为：15.
【分析】观察方程组内各方程的系数发现用恰好得到关于字母a的一元一次方程，且方程左边是的2倍，由于与是一对相反数，则等于0，可直接求解即可.
18．（2025七下·柯桥期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有　 　．（填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】平行公理的推论；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故②不符合题意；
③∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故③不符合题意；
④如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，故⑤符合题意；
综上所述，能判断直线的有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【分析】①求出，得到，根据内错角相等，两直线平行得到；②③推出不一定等于，即可根据平行线的判定得到和不一定平行；④过点作，根据两直线平行，内错角相等得到，从而得到，进而根据内错角相等，两直线平行得到，于是根据平行公理的推论得到；⑤得到，根据内错角相等，两直线平行得到.
19．（2025七下·柯桥期中）若，，则用的代数式表示　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴用的代数式表示为：，
故答案为：.
【分析】先得到，，然后利用幂的乘方及其逆运算法则得到，即可代入得出用的代数式表示即可．
20．（2025七下·柯桥期中） 若n满足，则等于　 　．
【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式变形，可得，进而可得答案．
21．（2025七下·柯桥期中）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2）
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组，
（1）首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减；
（2）先分别对方程组的两个方程进行整理，然后利用加减消元法计算求解即可．
22．（2025七下·柯桥期中）先化简再求值：．其中．．
【答案】解：
，
把，代入得：原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则分别展开括号，再合并同类项化简，进而将x、y的值代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
23．（2025七下·柯桥期中）如图，AC//EF，∠1+∠3=180°．
（1）判断AF与DC平行吗？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4=80°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）解：AF∥CD；理由如下：
证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CAD，
又∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴80°＝2∠3，
∴∠3＝40°，
∵EF⊥BE，EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角之间的关系得∠2＝∠3，即可判断两直线平行；
（2）根据角平分线概念及（1）中条件，等量代换得∠3＝∠CAD，进而得∠3度数，再根据题意得∠FEC的度数和∠ACB的度数，即可得出∠BCD的度数．
24．（2025七下·柯桥期中）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值；
【答案】解：(1)∵a b=7，ab= 12，
∴a2b﹣ab2=ab(a b)= 12×7= 84；
(2)∵a b=7，ab= 12，
∴=49，
∴a2+b2 2ab=49，
∴a2+b2=25；
(3)∵a2+b2=25，
∴=25+2ab=25 24=1，
∴a+b=±1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）提取公因式ab分解因式，然后整体代入解题；
（2）（3）根据完全平方公式的变形解答即可；
25．（2025七下·柯桥期中）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点到直线的最短路径；
（2）过点画出的平行线，交于点；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系______．
【答案】（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，如图所示，过点作延长线，交于点，
∴垂线段是点到直线的最短路径
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形
（4）
【知识点】点到直线的距离；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：解：，理由如下，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由于直线外一点到直线的最短距离就是垂线段的长度，可过点B作AC的垂线段BD即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理可在BD上取一格点E，使即可；
（3）平移的两要素是方向和距离，可先分别作三个顶A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再依次连接点A1、B1、C1即可；
（4）先利用平行线的性质把转化到中，再利用直角三角形两锐角互余即可．
（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，
如图所示，过点作延长线，交于点，
∴垂线段是点到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）解：，理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
26．（2025七下·柯桥期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水管和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定获奖人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则= ，
【答案】解：（1）设1盒水笔x元，1包笔记本y元，
根据题意可列方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
（2）设购买水笔盒，笔记本包，
由（1）得：一盒水笔120元，一包笔记本80元，
根据题意可列方程，得：120m+80n=880，
∴n=11-m，
根据题意可知，m、n都是正整数，
∴当m=2时，n=8，
当m=4时，n=5，
当m=6时，n=2，
∴ 将880元全部用完可以有3种购买方案，即①可以购买水笔2盒、笔记本8包，②可以购买水笔4盒、购买笔记本5包，③可以购买水笔6盒、笔记本2包.
任务3：18；62
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（3）根据题意可知， 一等奖人，需a支水笔和a本笔记本，二等奖30人，需30支水笔，三等奖人，需b本笔记本，
则需要水笔共（a+30）支，笔记本（a+b）本，
①方案中，水笔共有12×2=24（支），笔记本共有16×8=108（本），
根据题意可列方程组为：，
解得：(不符合题意，舍去)，
②方案中，水笔共有12×4=48(支，笔记本为：16×5=80(本，
根据题意可列方程组为：，
解得：，符合题意，
③方案中，水笔共有12×6=72(支，笔记本为：16×2=32(本，
根据题意可列方程组为：，
解得：(不符合题意，舍去)，
所以任务2中购买的奖品刚好全部发完，则=18，b=62，
故答案为：18；62.
【分析】（1）设一盒水笔元，一包笔记本元，根据“购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买水笔盒，笔记本包，根据将880元全部用完，列出关于m、n的二元一次方程，进而求得n=11-m，根据m、n是正整数，求解即可；
（3）根据题意可得共需购买水笔支，笔记本为本，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，列出二元一次方程组，解方程组，解方程组即可得出结论.
27．（2025七下·柯桥期中）如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ；
②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN的度数．
【答案】解：（1），；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）不变，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
（4）.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：；
（4）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
②根据两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据角平分线的定义得到，，即可求解；
（3）根据两直线平行，内错角相等得到，，根据角平分线的定义得到，即可推出结论；
（4）根据平行线的性质可得，，从而得到，进而得到，然后结合角平分线的定义得到，于是得到，即可推出结论.
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区联盟2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·柯桥期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·柯桥期中）下列图形中与不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·柯桥期中）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025七下·柯桥期中）一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（　　）．
A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6
C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1
5．（2025七下·柯桥期中）如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·柯桥期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
7．（2025七下·柯桥期中） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·柯桥期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·柯桥期中）如果关于，的二元一次方程组的解为则方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025七下·柯桥期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2025七下·柯桥期中）分解因式a2﹣9a的结果是　 　
12．（2025七下·柯桥期中）若，则　 　
13．（2025七下·柯桥期中）已知，，则　 　．
14．（2025七下·柯桥期中）若，则=　 　．
15．（2025七下·柯桥期中）如图，将一条长方形纸片沿AB折叠，已知∠DAB＝70°，则∠CBF＝　 　．
16．（2025七下·柯桥期中）已知，，则代数式，的大小关系是 　 　．
17．（2025七下·柯桥期中）已知关于，的方程组的解互为相反数，则常数的值为　 　．
18．（2025七下·柯桥期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有　 　．（填序号）
19．（2025七下·柯桥期中）若，，则用的代数式表示　 　．
20．（2025七下·柯桥期中） 若n满足，则等于　 　．
21．（2025七下·柯桥期中）（1）计算：
（2）解方程组：
22．（2025七下·柯桥期中）先化简再求值：．其中．．
23．（2025七下·柯桥期中）如图，AC//EF，∠1+∠3=180°．
（1）判断AF与DC平行吗？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4=80°，求∠BCD的度数．
24．（2025七下·柯桥期中）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值；
25．（2025七下·柯桥期中）如图，在的正方形网格中有，点均在格点上．
（1）画出点到直线的最短路径；
（2）过点画出的平行线，交于点；
（3）将向左平移格，再向下平移格后得到，画出．
（4）判断和的数量关系______．
26．（2025七下·柯桥期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水管和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定获奖人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则= ，
27．（2025七下·柯桥期中）如图，已知AM//BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝50°时，∠ABN的度数是 ；
②∵AM //BN，∴∠ACB＝∠ ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、与是同位角，故A不符合题意；
B、与是同位角，故B不符合题意；
C、与是同位角，故C不符哦还特意；
D、与不是同位角，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】常用科学记数法把一个绝对值较小的数字表示成的形式，其中，这个数字左边第一个非0数字前面0的个数.
4．【答案】D
【知识点】多项式的概念
【解析】【解答】解：∵5y3－4y－6-(3y2－2y－5)= 5y3－4y－6-3y2+2y+5= 5y3－3y2－2y－1．
故答案为D．
【分析】根据已知和与一个加数，则另一个加数=和 - 一个加数，然后计算即可．
5．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴．故D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”逐项判断解题．
6．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、结果不是整式乘积的形式，错误；
B、是多项式的乘法，不是分解因式，错误；
C、是两个整式乘积的形式，正确；
D、不是把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，错误.
故答案为：C.
【分析】因式分解是指把一个多项式表示成几个整式乘积的形式.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
．
故答案为：A．
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
8．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理和角的运算即可求解.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：对方程组变形得
的解为
的解为
故答案为：C.
【分析】先把方程组变形为的形式，则其根为，即其解为.
10．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
11．【答案】a（a-9）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－9a＝a（a－9），
故答案为a（a－9）．
【分析】提取公因式a即可得到答案。
12．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】根据单项式÷单项式的运算法则进行运算即可.单项式÷单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：21.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解。
14．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴2m=6，m-2=a，
∴m=3，a=1，
故答案为：1.
【分析】利用多项式乘以多项式的运算法则展开，结合已知得出关于m，a的方程组，进而可求得a的值.
15．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AD||BC，
∴∠1=∠DAB=70°，
由折叠的性质知∠2=∠1=70°，
∴故∠CBF=180°-∠1-∠2=180°-70°-70°=40°，
故答案为：40°.
【分析】由二直线平行，内错角相等，可得∠1的度数，由折叠的性质可得∠1=∠2，进而根据平角定义即可求得∠CBF的度数.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用作差法可得等于两个完全平方式与1的和，由于完全平方式都是非负数，因此.
17．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
得：
故答案为：15.
【分析】观察方程组内各方程的系数发现用恰好得到关于字母a的一元一次方程，且方程左边是的2倍，由于与是一对相反数，则等于0，可直接求解即可.
18．【答案】①④⑤
【知识点】平行公理的推论；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故②不符合题意；
③∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故③不符合题意；
④如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，故⑤符合题意；
综上所述，能判断直线的有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【分析】①求出，得到，根据内错角相等，两直线平行得到；②③推出不一定等于，即可根据平行线的判定得到和不一定平行；④过点作，根据两直线平行，内错角相等得到，从而得到，进而根据内错角相等，两直线平行得到，于是根据平行公理的推论得到；⑤得到，根据内错角相等，两直线平行得到.
19．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴用的代数式表示为：，
故答案为：.
【分析】先得到，，然后利用幂的乘方及其逆运算法则得到，即可代入得出用的代数式表示即可．
20．【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式变形，可得，进而可得答案．
21．【答案】解：（1）
；
（2）
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解二元一次方程组，
（1）首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减；
（2）先分别对方程组的两个方程进行整理，然后利用加减消元法计算求解即可．
22．【答案】解：
，
把，代入得：原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则分别展开括号，再合并同类项化简，进而将x、y的值代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
23．【答案】（1）解：AF∥CD；理由如下：
证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CAD，
又∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴80°＝2∠3，
∴∠3＝40°，
∵EF⊥BE，EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及角之间的关系得∠2＝∠3，即可判断两直线平行；
（2）根据角平分线概念及（1）中条件，等量代换得∠3＝∠CAD，进而得∠3度数，再根据题意得∠FEC的度数和∠ACB的度数，即可得出∠BCD的度数．
24．【答案】解：(1)∵a b=7，ab= 12，
∴a2b﹣ab2=ab(a b)= 12×7= 84；
(2)∵a b=7，ab= 12，
∴=49，
∴a2+b2 2ab=49，
∴a2+b2=25；
(3)∵a2+b2=25，
∴=25+2ab=25 24=1，
∴a+b=±1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）提取公因式ab分解因式，然后整体代入解题；
（2）（3）根据完全平方公式的变形解答即可；
25．【答案】（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，如图所示，过点作延长线，交于点，
∴垂线段是点到直线的最短路径
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形
（4）
【知识点】点到直线的距离；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：解：，理由如下，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由于直线外一点到直线的最短距离就是垂线段的长度，可过点B作AC的垂线段BD即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理可在BD上取一格点E，使即可；
（3）平移的两要素是方向和距离，可先分别作三个顶A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再依次连接点A1、B1、C1即可；
（4）先利用平行线的性质把转化到中，再利用直角三角形两锐角互余即可．
（1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，
如图所示，过点作延长线，交于点，
∴垂线段是点到直线的最短路径．
（2）解：如图所示，，
∴是所求直线．
（3）解：如图所示，
∴即为所求图形．
（4）解：，理由如下，
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
26．【答案】解：（1）设1盒水笔x元，1包笔记本y元，
根据题意可列方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
（2）设购买水笔盒，笔记本包，
由（1）得：一盒水笔120元，一包笔记本80元，
根据题意可列方程，得：120m+80n=880，
∴n=11-m，
根据题意可知，m、n都是正整数，
∴当m=2时，n=8，
当m=4时，n=5，
当m=6时，n=2，
∴ 将880元全部用完可以有3种购买方案，即①可以购买水笔2盒、笔记本8包，②可以购买水笔4盒、购买笔记本5包，③可以购买水笔6盒、笔记本2包.
任务3：18；62
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（3）根据题意可知， 一等奖人，需a支水笔和a本笔记本，二等奖30人，需30支水笔，三等奖人，需b本笔记本，
则需要水笔共（a+30）支，笔记本（a+b）本，
①方案中，水笔共有12×2=24（支），笔记本共有16×8=108（本），
根据题意可列方程组为：，
解得：(不符合题意，舍去)，
②方案中，水笔共有12×4=48(支，笔记本为：16×5=80(本，
根据题意可列方程组为：，
解得：，符合题意，
③方案中，水笔共有12×6=72(支，笔记本为：16×2=32(本，
根据题意可列方程组为：，
解得：(不符合题意，舍去)，
所以任务2中购买的奖品刚好全部发完，则=18，b=62，
故答案为：18；62.
【分析】（1）设一盒水笔元，一包笔记本元，根据“购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买水笔盒，笔记本包，根据将880元全部用完，列出关于m、n的二元一次方程，进而求得n=11-m，根据m、n是正整数，求解即可；
（3）根据题意可得共需购买水笔支，笔记本为本，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，列出二元一次方程组，解方程组，解方程组即可得出结论.
27．【答案】解：（1），；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）不变，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
（4）.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：；
（4）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【分析】（1）①根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
②根据两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据角平分线的定义得到，，即可求解；
（3）根据两直线平行，内错角相等得到，，根据角平分线的定义得到，即可推出结论；
（4）根据平行线的性质可得，，从而得到，进而得到，然后结合角平分线的定义得到，于是得到，即可推出结论.
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