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浙江省宁波市鄞州区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（11月）
1．（2025九上·鄞州期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
故答案为：B.
【分析】根据a<0，得出抛物线开口向上，即可求解.
2．（2025九上·鄞州期中）同一平面内，⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，而☉O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径
∴点P在圆内
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断.
3．（2025九上·鄞州期中）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛一枚骰子朝上数字是3
B．打开电视正在播放广告
C．400名学生中至少有两人生日同一天
D．早晨太阳从西边升起
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意；
B.打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意；
C.400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意；
D.早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可.
4．（2025九上·鄞州期中）将抛物线y=2x向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x-1）2-2
C．y=2（x-2）2-1 D．y=2（x+2）2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，-2)，
∴平移后抛物线解析式为y=2(x-1)2-2
故答案为：B.
【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，-2)，根据抛物线的顶点式求解析式.
5．（2025九上·鄞州期中） 已知，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴2x-2y=3x，即-2y=x
∴
故答案为：D.
【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可.
6．（2025九上·鄞州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（　　）
A．80° B．100° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，∠AOC=100°
∴∠D=50°.
∵四边形ABCD内接于☉O
∴∠B+∠D=180°.
∴∠B=180°-50°=130°
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质，即可求解.
7．（2025九上·鄞州期中） 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x+2)2+k，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-2
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵|1-(-2)|>|0-(-2)|>|-3-(-2)|，
∴y1故答案为：B.
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可.
8．（2025九上·鄞州期中） 如图，，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD//EF//BC
A.，故该选项正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，符合题意；
C.，故该选项正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解.
9．（2025九上·鄞州期中）已知抛物线Y=ax2+bc+c（a，b，c为常数，A≠0）的顶点坐标为（-1，-2），与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（　　）
A．abc<0 B．2a+b=0 C．a+b+c=-2 D．4ac-b2<0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为(-1，-2)，
∴可设抛物线为y=a(x+1)2-2
∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2
又抛物线为y=ax2+bx+c
∴b=2a，c=a-2
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方
∴c=a-2>0
∴a>2>0
∵对称轴x=-1
∴
∴b=2a>0
∴abc>0，故A不正确；
2a+b=2a+2a=4a>0，故B不正确；
又抛物线的顶点为(-1，-2)
∴当x=-1时，y=a-b+c=-2，故C不正确；
由b=2a，c=a-2，
∴b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0
∴b2-4ac>0，故D正确；
故答案为：D.
【分析】依据题意，由抛物线顶点为(-1，-2)，故可设抛物线为y=a(x+1)2-2，从而y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2，则b=2a，c=a-2，结合抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c=a-2>0，则a>2>0，因为对称轴x=-1，所以，所以b=2a>0，故可判断A、B；又抛物线的顶点为(-1，-2)，从而当x=-1时，y=a-b+c=-2，故可判断C；又b=2a，c=a-2，可得b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0，故可判断D.
10．（2025九上·鄞州期中） 如图，四边形 ABCD 内接于 ，，，，则 的半径是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ADC+∠ABC=∠ABC+∠CBE=180°
∴∠ADC=∠CBE
∵∠BAC=∠CAD=45°
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠DAB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB是等腰直角三角形
∴DC= BC
∵BE=AD
∴△ADC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD=∠ECB，AC=CE
∵AB+AD=2，
∴AB+BE=AE=2，
又∵∠DCB=90°
∴∠ACE=90°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴
∵∠ABC =60°
∴∠AFC =60°
∵∠FAC =90°，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，即可证明△ADC≌△EBC(SAS)，进而可求得，再利用圆周角定理得到∠AFC=60°，结合三角函数即可求解.
11．（2025九上·鄞州期中）正八边形每一个内角的度数为　 　
【答案】135
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的一个内角的度数为180°（8-2）÷8=135°。
【分析】根据多边形的内角和定理，求出正八边形的内角和，继而求出每个内角的度数即可。
12．（2025九上·鄞州期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 20 40 60 80 120 150 200
投中次数 15 33 47 65 95 120 160
投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80
估计小萌投一次篮，投中的概率是　 　（结果精确到0.01）
【答案】0.80
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8左右，
∴估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8
故答案为：0.80.
【分析】由小萌每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率.
13．（2025九上·鄞州期中）已知二次函数у=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … -1 -4 -5 -4 m 4 …
由表格数据可求 m 的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格数据看，x=1和x=3时的函数值相同
∴函数的对称轴为
根据函数的对称性可知m=-1
故答案为：-1.
【分析】由表格数据看，x=1和x=3时的函数值相同，由此函数的对称轴为x=2，根据函数的对称性可知m=-1.
14．（2025九上·鄞州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC∴
∵BC=1，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度.
15．（2025九上·鄞州期中）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径长为　 　.
【答案】1.3m
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1m，
∴CD⊥AB，AD=BD=0.5.
设拱门所在圆的半径为rm
∴OA=OC=r，而CD=2.5m，
∴OD=2.5-r，
∴r2=0.52+(2.5-r)2
解得：r=1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3m；
故答案为：1.3m.
【分析】连接OA，先证明CD⊥AB，AD=BD=0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可.
16．（2025九上·鄞州期中） 已知是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为　 　.
【答案】3
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于y1=x+1，
∵k=1>0.
∴y1随x的增大而增大
在内，当时，y1有最小值，最小值为；
当x=3时，y1有最大值，最大值为3+1=4；
对于y2=x2-1，
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴在当内，当x=0时，y2有最小值，最小值为-1；当x=3时，y2有最大值，最大值为8，
∴当时，y的最小值为-1，最大值为4
∴函数y的最小值与最大值的和是-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】先求出y1和y2在内的最小值和最大值，然后取两个函数值中较小的值作和即可.
17．（2025九上·鄞州期中）二次函数y=x2+bx+c（b， c为常数）的图象经过点（4，3），（3，0）.
（1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求当y≤0时，x的范围.
【答案】（1）解：将(4，3)，(3，0)代入y=x2+bx+c得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3，
∵y=x2-4+3=(x-2)2-1
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)
（2）解：∵y=x2-4x+3=(x-3)(x-1)
∴抛物线与x轴的交点为(1，0)和(3，0)
∵抛物线开口向上，
∴当y≤0时，1≤x≤3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)根据点的坐标，利用待定系数即可求得抛物线的解析式，利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出二次函数图象的顶点坐标；
(2)求得抛物线与x轴的交点，利用二次函数的性质，即可找出当y≤0时x的取值范围.
18．（2025九上·鄞州期中）某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（A）、引体向上（B）、50米跑（C），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试.
（1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是　 　.
（2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率。
【答案】（1）
（2）解：用列表法分析如下：
　 A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试的情况共有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，
∴他们抽中同一个项目的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是，
故答案为： .
【分析】(1)直接利用概率公式可得；
(2)利用表格展示所有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，根据概率的公式计算即可.
19．（2025九上·鄞州期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△ABC的顶点均在格点上，请解答下列问题：
（1）在坐标系中画出△ABC绕点A逆时针旋转90后的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标　 　.
（2）求旋转过程中线段AB扫过部分的面积。
【答案】（1）（0，-3）
（2）解：由图可知：
∴线段AB扫过部分的面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(1)△A1B1C1如图所示：
由图可知：点C1的坐标为(0，-3)；
故答案为：（0，-3）.
【分析】(1)确定△ABC绕点A逆时针旋转90°后的对称点即可；
(2)求出，再利用扇形面积公式，即可进一步求出扇形的面积.
20．（2025九上·鄞州期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆.
（1） 求∠BAF 的度数；
（2）连接OC，OD，作OG⊥CD，若劣弧CD的长为；求OG 的长，
【答案】（1）解：
∴∠BAF的度数为120°
（2）解：∵正六边形ABCDEF，☉O是它的外接圆
∴中心角
∵劣弧CD的长为，
∴
解得：OD=2，
∵OC=OD，∠COD=60°
∴△OCD是等边三角形
∴CD=OD =2，
又∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴OG的长为
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【分析】(1)根据多边形的内角和公式计算即可；
(2)先求出中心角∠COD=60°，△OCD是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得CG=DG=1，根据勾股定理即可得OG的长.
21．（2025九上·鄞州期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
（1） 求证：E为AC的中点.
（2） 若AB=13， AC=12，求DE 的长.
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵OD//BC
∴OD⊥AC
∵OD是半圆O的半径
∴E为AC的中点
（2）解：由(1)可知，∠ACB=90°，
∴，
∵AB是半圆O的直径，
∴
由(1)可知，E为AC的中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∴DE=OD-OE=6.5-2.5=4
即DE的长为4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ACB=90°，则AC⊥BC，再证明OD⊥AC，然后由垂径定理即可得出结论；
(2)由勾股定理得BC的长度，再证明OE是△ABC的中位线，得OE的长度，即可解决问题.
22．（2025九上·鄞州期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件.
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
由题意得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46.
设利润为w元
则w=(x-30)·y
=(x-30)(-10x+700)
=-10x2+1000x-21000
=-10(x-50)2+4000
∵-10<0.
∴x<50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w大=-10(46-50)2+4000=3840
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
(2)根据利润=销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润.
23．（2025九上·鄞州期中）已知二次函数y=x2+bx+c（b， c为常数）的图象经过点A（2，2）， 且对称轴为直线x=1.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（2t-1，y1），Q（3-t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1>y2恒成立，求t的取值范围.
【答案】（1）解：已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(2，2)，对称轴为直线x=1，
依题意得：
解得：
∴二次函数的表达式为y=x2-2x+2
（2）解：∵点B到y轴的距离不大于2，
∴-2≤m≤2.
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当m=1时，n有最小值1
∵横坐标为-2的点到对称轴的距离1-(-2)=3大于点A到对称轴的距离1，
∴当m=-2时，n取得最大值为(-2-1)2+1=10，
∵10-1=9.
∴n的最大值与最小值之差为9
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线x=1.
①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧
∴，解得：
∵y1>y2恒成立，
∴
解得t<0：
∴t<0；
②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，
∴，解得：t>3，
∵y1>y2恒成立，
∴，解得t>0.
∴t>3
综上所述，t的取值范围是t<0或t>3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将A(2，2)代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
(2)由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-(-2)=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
(3)①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则，由于y1>y2恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的有侧，点Q在y轴的左侧，则，由于y1>y2恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可.
24．（2025九上·鄞州期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD（1） 求证： EF // BC；
（2）如图2，若BD过圆心O，AC平分∠DAB，AD=8， AB=6.
①求证：EF=BD；
②求AC 的长，
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°
∵∠AFE=∠ADC
∴∠AFE+∠ABC=180°
∴EF//BC
（2）解：①如图，连接AO并延长交圆与点G，
∴∠G=∠ADC，
∵∠AFE=∠ADC
∴∠AFE=∠G
∵BD过圆心O，AG过圆心O，
∴∠ACG=∠BAD=∠EAF=90°
∵AE=AC
∴△AEF≌△CAG(AAS)
∴EF=AG
∴EF=BD
②作BM⊥AC于点M，作DN⊥AC于点N，
∵AD=8，AB=6，∠ACG=∠BAD=90°，
∴
∵AC平分∠DAB
∴∠BAC=∠DAC=45°
∴△ABM，△ADN 都是等腰直角三角形
∴，
∵
∴∠BAC=∠BDC=45°
∴△BCD都是等腰直角三角形
∴
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC+S△ACD
∴
∴
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补得∠ADC+∠ABC=180°，而∠AFE=∠ADC，等量代换得到∠AFE+∠ABC=180°，故EF//BC，即可作答；
(2)①连接AO并延长交圆与点G，证明△AEF≌△CAG(AAS)得出EF=AG，再根据圆的直径性质即可证明结论成立；
②作BM⊥AC于点M，作DN⊥AC于点N，先根据勾股定理求出直径BD，再利用角平分线性质得到等腰直角三角形，进而求出相关线段长度，最后根据S△ABD+S△BCD=S△ABC+S△ACD求解即可.
1 / 1浙江省宁波市鄞州区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（11月）
1．（2025九上·鄞州期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．（2025九上·鄞州期中）同一平面内，⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
3．（2025九上·鄞州期中）下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛一枚骰子朝上数字是3
B．打开电视正在播放广告
C．400名学生中至少有两人生日同一天
D．早晨太阳从西边升起
4．（2025九上·鄞州期中）将抛物线y=2x向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x-1）2-2
C．y=2（x-2）2-1 D．y=2（x+2）2+1
5．（2025九上·鄞州期中） 已知，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
6．（2025九上·鄞州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（　　）
A．80° B．100° C．130° D．150°
7．（2025九上·鄞州期中） 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·鄞州期中） 如图，，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·鄞州期中）已知抛物线Y=ax2+bc+c（a，b，c为常数，A≠0）的顶点坐标为（-1，-2），与y轴的交点在x轴上方，则下列结论正确的是（　　）
A．abc<0 B．2a+b=0 C．a+b+c=-2 D．4ac-b2<0
10．（2025九上·鄞州期中） 如图，四边形 ABCD 内接于 ，，，，则 的半径是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·鄞州期中）正八边形每一个内角的度数为　 　
12．（2025九上·鄞州期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表：
投篮次数 20 40 60 80 120 150 200
投中次数 15 33 47 65 95 120 160
投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80
估计小萌投一次篮，投中的概率是　 　（结果精确到0.01）
13．（2025九上·鄞州期中）已知二次函数у=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … -1 -4 -5 -4 m 4 …
由表格数据可求 m 的值为　 　.
14．（2025九上·鄞州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC15．（2025九上·鄞州期中）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径长为　 　.
16．（2025九上·鄞州期中） 已知是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为　 　.
17．（2025九上·鄞州期中）二次函数y=x2+bx+c（b， c为常数）的图象经过点（4，3），（3，0）.
（1）求二次函数的表达式，并写出该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求当y≤0时，x的范围.
18．（2025九上·鄞州期中）某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（A）、引体向上（B）、50米跑（C），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试.
（1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是　 　.
（2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率。
19．（2025九上·鄞州期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△ABC的顶点均在格点上，请解答下列问题：
（1）在坐标系中画出△ABC绕点A逆时针旋转90后的△A1B1C1，并直接写出点C的对应点C1的坐标　 　.
（2）求旋转过程中线段AB扫过部分的面积。
20．（2025九上·鄞州期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆.
（1） 求∠BAF 的度数；
（2）连接OC，OD，作OG⊥CD，若劣弧CD的长为；求OG 的长，
21．（2025九上·鄞州期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
（1） 求证：E为AC的中点.
（2） 若AB=13， AC=12，求DE 的长.
22．（2025九上·鄞州期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件.
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．（2025九上·鄞州期中）已知二次函数y=x2+bx+c（b， c为常数）的图象经过点A（2，2）， 且对称轴为直线x=1.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（2t-1，y1），Q（3-t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1>y2恒成立，求t的取值范围.
24．（2025九上·鄞州期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD（1） 求证： EF // BC；
（2）如图2，若BD过圆心O，AC平分∠DAB，AD=8， AB=6.
①求证：EF=BD；
②求AC 的长，
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下，
故答案为：B.
【分析】根据a<0，得出抛物线开口向上，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，而☉O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径
∴点P在圆内
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系进行判断.
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意；
B.打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意；
C.400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意；
D.早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为(1，-2)，
∴平移后抛物线解析式为y=2(x-1)2-2
故答案为：B.
【分析】原抛物线的顶点坐标为(0，0)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(1，-2)，根据抛物线的顶点式求解析式.
5．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴2x-2y=3x，即-2y=x
∴
故答案为：D.
【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理，并代入要求的式子即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，∠AOC=100°
∴∠D=50°.
∵四边形ABCD内接于☉O
∴∠B+∠D=180°.
∴∠B=180°-50°=130°
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x+2)2+k，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-2
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵|1-(-2)|>|0-(-2)|>|-3-(-2)|，
∴y1故答案为：B.
【分析】根据二次函数的增减性进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD//EF//BC
A.，故该选项正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，符合题意；
C.，故该选项正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线顶点为(-1，-2)，
∴可设抛物线为y=a(x+1)2-2
∴y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2
又抛物线为y=ax2+bx+c
∴b=2a，c=a-2
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方
∴c=a-2>0
∴a>2>0
∵对称轴x=-1
∴
∴b=2a>0
∴abc>0，故A不正确；
2a+b=2a+2a=4a>0，故B不正确；
又抛物线的顶点为(-1，-2)
∴当x=-1时，y=a-b+c=-2，故C不正确；
由b=2a，c=a-2，
∴b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0
∴b2-4ac>0，故D正确；
故答案为：D.
【分析】依据题意，由抛物线顶点为(-1，-2)，故可设抛物线为y=a(x+1)2-2，从而y=a(x2+2x+1)-2=ax2+2ax+a-2，则b=2a，c=a-2，结合抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c=a-2>0，则a>2>0，因为对称轴x=-1，所以，所以b=2a>0，故可判断A、B；又抛物线的顶点为(-1，-2)，从而当x=-1时，y=a-b+c=-2，故可判断C；又b=2a，c=a-2，可得b2-4ac=4a2-4a(a-2)=8a>0，故可判断D.
10．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ADC+∠ABC=∠ABC+∠CBE=180°
∴∠ADC=∠CBE
∵∠BAC=∠CAD=45°
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠DAB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB是等腰直角三角形
∴DC= BC
∵BE=AD
∴△ADC≌△EBC(SAS)，
∴∠ACD=∠ECB，AC=CE
∵AB+AD=2，
∴AB+BE=AE=2，
又∵∠DCB=90°
∴∠ACE=90°
∴△ACE是等腰直角三角形
∴
∵∠ABC =60°
∴∠AFC =60°
∵∠FAC =90°，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交☉O于点F，连接AF，即可证明△ADC≌△EBC(SAS)，进而可求得，再利用圆周角定理得到∠AFC=60°，结合三角函数即可求解.
11．【答案】135
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正八边形的一个内角的度数为180°（8-2）÷8=135°。
【分析】根据多边形的内角和定理，求出正八边形的内角和，继而求出每个内角的度数即可。
12．【答案】0.80
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8左右，
∴估计小亮投一次篮，投中的概率是0.8
故答案为：0.80.
【分析】由小萌每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率.
13．【答案】-1
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格数据看，x=1和x=3时的函数值相同
∴函数的对称轴为
根据函数的对称性可知m=-1
故答案为：-1.
【分析】由表格数据看，x=1和x=3时的函数值相同，由此函数的对称轴为x=2，根据函数的对称性可知m=-1.
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC∴
∵BC=1，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度.
15．【答案】1.3m
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1m，
∴CD⊥AB，AD=BD=0.5.
设拱门所在圆的半径为rm
∴OA=OC=r，而CD=2.5m，
∴OD=2.5-r，
∴r2=0.52+(2.5-r)2
解得：r=1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3m；
故答案为：1.3m.
【分析】连接OA，先证明CD⊥AB，AD=BD=0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可.
16．【答案】3
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于y1=x+1，
∵k=1>0.
∴y1随x的增大而增大
在内，当时，y1有最小值，最小值为；
当x=3时，y1有最大值，最大值为3+1=4；
对于y2=x2-1，
∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴在当内，当x=0时，y2有最小值，最小值为-1；当x=3时，y2有最大值，最大值为8，
∴当时，y的最小值为-1，最大值为4
∴函数y的最小值与最大值的和是-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】先求出y1和y2在内的最小值和最大值，然后取两个函数值中较小的值作和即可.
17．【答案】（1）解：将(4，3)，(3，0)代入y=x2+bx+c得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3，
∵y=x2-4+3=(x-2)2-1
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，-1)
（2）解：∵y=x2-4x+3=(x-3)(x-1)
∴抛物线与x轴的交点为(1，0)和(3，0)
∵抛物线开口向上，
∴当y≤0时，1≤x≤3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)根据点的坐标，利用待定系数即可求得抛物线的解析式，利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出二次函数图象的顶点坐标；
(2)求得抛物线与x轴的交点，利用二次函数的性质，即可找出当y≤0时x的取值范围.
18．【答案】（1）
（2）解：用列表法分析如下：
　 A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试的情况共有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，
∴他们抽中同一个项目的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是，
故答案为： .
【分析】(1)直接利用概率公式可得；
(2)利用表格展示所有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，根据概率的公式计算即可.
19．【答案】（1）（0，-3）
（2）解：由图可知：
∴线段AB扫过部分的面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(1)△A1B1C1如图所示：
由图可知：点C1的坐标为(0，-3)；
故答案为：（0，-3）.
【分析】(1)确定△ABC绕点A逆时针旋转90°后的对称点即可；
(2)求出，再利用扇形面积公式，即可进一步求出扇形的面积.
20．【答案】（1）解：
∴∠BAF的度数为120°
（2）解：∵正六边形ABCDEF，☉O是它的外接圆
∴中心角
∵劣弧CD的长为，
∴
解得：OD=2，
∵OC=OD，∠COD=60°
∴△OCD是等边三角形
∴CD=OD =2，
又∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴OG的长为
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【分析】(1)根据多边形的内角和公式计算即可；
(2)先求出中心角∠COD=60°，△OCD是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得CG=DG=1，根据勾股定理即可得OG的长.
21．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
∵OD//BC
∴OD⊥AC
∵OD是半圆O的半径
∴E为AC的中点
（2）解：由(1)可知，∠ACB=90°，
∴，
∵AB是半圆O的直径，
∴
由(1)可知，E为AC的中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∴DE=OD-OE=6.5-2.5=4
即DE的长为4
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由圆周角定理得∠ACB=90°，则AC⊥BC，再证明OD⊥AC，然后由垂径定理即可得出结论；
(2)由勾股定理得BC的长度，再证明OE是△ABC的中位线，得OE的长度，即可解决问题.
22．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
由题意得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46.
设利润为w元
则w=(x-30)·y
=(x-30)(-10x+700)
=-10x2+1000x-21000
=-10(x-50)2+4000
∵-10<0.
∴x<50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w大=-10(46-50)2+4000=3840
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
(2)根据利润=销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润.
23．【答案】（1）解：已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(2，2)，对称轴为直线x=1，
依题意得：
解得：
∴二次函数的表达式为y=x2-2x+2
（2）解：∵点B到y轴的距离不大于2，
∴-2≤m≤2.
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当m=1时，n有最小值1
∵横坐标为-2的点到对称轴的距离1-(-2)=3大于点A到对称轴的距离1，
∴当m=-2时，n取得最大值为(-2-1)2+1=10，
∵10-1=9.
∴n的最大值与最小值之差为9
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线x=1.
①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧
∴，解得：
∵y1>y2恒成立，
∴
解得t<0：
∴t<0；
②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，
∴，解得：t>3，
∵y1>y2恒成立，
∴，解得t>0.
∴t>3
综上所述，t的取值范围是t<0或t>3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将A(2，2)代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
(2)由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-(-2)=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
(3)①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则，由于y1>y2恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的有侧，点Q在y轴的左侧，则，由于y1>y2恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°
∵∠AFE=∠ADC
∴∠AFE+∠ABC=180°
∴EF//BC
（2）解：①如图，连接AO并延长交圆与点G，
∴∠G=∠ADC，
∵∠AFE=∠ADC
∴∠AFE=∠G
∵BD过圆心O，AG过圆心O，
∴∠ACG=∠BAD=∠EAF=90°
∵AE=AC
∴△AEF≌△CAG(AAS)
∴EF=AG
∴EF=BD
②作BM⊥AC于点M，作DN⊥AC于点N，
∵AD=8，AB=6，∠ACG=∠BAD=90°，
∴
∵AC平分∠DAB
∴∠BAC=∠DAC=45°
∴△ABM，△ADN 都是等腰直角三角形
∴，
∵
∴∠BAC=∠BDC=45°
∴△BCD都是等腰直角三角形
∴
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC+S△ACD
∴
∴
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补得∠ADC+∠ABC=180°，而∠AFE=∠ADC，等量代换得到∠AFE+∠ABC=180°，故EF//BC，即可作答；
(2)①连接AO并延长交圆与点G，证明△AEF≌△CAG(AAS)得出EF=AG，再根据圆的直径性质即可证明结论成立；
②作BM⊥AC于点M，作DN⊥AC于点N，先根据勾股定理求出直径BD，再利用角平分线性质得到等腰直角三角形，进而求出相关线段长度，最后根据S△ABD+S△BCD=S△ABC+S△ACD求解即可.
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