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浙江省嘉兴市秀洲中学初中部2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题卷
1．（2025九上·秀洲期中）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意；
B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意；
C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意；
D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，解答即可.
2．（2025九上·秀洲期中） 二次函数y=（x-2）2-3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（2， 3） B．（-2， -3）
C．（2， -3） D．（-2， 3）
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-2)2-3
∴二次函数y=(x-2)2-3的图象的顶点坐标为(2，-3)
故答案为：C.
【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标.
3．（2025九上·秀洲期中）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 ，
故答案为：D.
【分析】用绿灯亮的时间比上红、黄、绿三灯循环一次的总时间，即可算出小明到达该路口时，遇到绿灯的概率。
4．（2025九上·秀洲期中）将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y=3 （x-1）2+2 B．y=3 （x+1） 2-2
C．y=3 （x+1） 2+2 D．y=3 （x- 1） 2-2
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y=3(x+1)2-2.
故答案为：B.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
5．（2025九上·秀洲期中） 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，的度数为（　　）
A．80° B．40° C．20° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40°
∴∠AOB=2∠ACB=80°
∴的度数为80°
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解的度数.
6．（2025九上·秀洲期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于B，则下列结论中不成立的是（　　）
A．∠A=∠D B．CE=DE C．∠ACB=90° D．CE=BD
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
∴CE=DE.故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，故该选项正确；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项正确；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE故答案为：D.
【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答.
7．（2025九上·秀洲期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（0，2）.以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（　　）
A．（-4，-2） B．（-4， 2） C．（2， 4） D．（4， 2）
【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(-4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OC=2，
∵四边形 ABCO 是矩形，
∴BC=OA=4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴点B'的坐标为(2，4).
故答案为：C.
【分析】根据题意得到OA=4，OC=2，根据矩形的性质得到BC=OA=4，根据旋转的性质得到OC'=OC=2，B'C'=BC=4，进而即可求解.
8．（2025九上·秀洲期中）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　）
A．∠AEC=135° B．∠BCE=105° C． D．EC=2EA
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找的中点F，连接EF，CF，
∴
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC=180°-∠ABC=135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO=EC=OC
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC=∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°， ∠AOE=∠AOC-∠EOC=30°，
∴∠EOC=2∠AOE
∴，
∴
∴EF=CF=AE
在△EFC中，EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE
∴上述结论错误的是EC=2EA，
故答案为：D.
【分析】连接OE，找的中点F，连接EF，CF，从而可得，根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°，从而可得∠OCB=∠OBC=45°，然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC=135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC，从而可得EO=EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°，从而可得∠ECB=105°，∠AOE=30°，进而可得∠EOC=2∠AOE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF=AE，从而利用三角形的三边关系可得：EF+CF>CE，进而可得2AE>CE，即可解答.
9．（2025九上·秀洲期中） 点P（m，n）在二次函数y=-x2-3x的图象上，小明在探究n取不同值，点P的存在性问题时，得到如下三个结论：
①当n=10时，点P的个数为0：②当n=4.5时，点P的个数为1；
当n=4时，点P的个数为2.
下列判断正确的是（　　）
A．①②③对 B．①对，②③都错
C．①②对，③错 D．①错，②③对
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m，n)在二次函数的图象上，
∴，
∴m2+6m+2n=0，
∴ =62-4×1×2n=36-8n.
①当n=10时， =36-18n=36-8×10=-44<0，
∴此时方程无实数根，
∴当n=10时，点P的个数为0，结论①正确；
②当n=4.5时， =36-18n=36-8×4.5=0，
∴此时方程有两个相等的实数根，
∴当n=4.5 时，点P的个数为1，结论②正确；
③当n=4时， =36-18n=36-8×4=4>0，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∴当n=4时，点P的个数为2，结论③正确.
综上所述，结论①②③正确.
故答案为：A.
【分析】根据点p(m，n)二次函数的图象上，可得出，变形后可得出关于m的一元二次方程，结合根的判别式，可得出 =36-8n，代入各结论中n的值，可得出 的值，进而可得出点P的个数.
10．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a， p），B（b， p），C（c，q），D（d，q），其中P＜q，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若m>1，则a+b+c+d<0 B．若m>1，则dC．若m<-1，则a+b+c+d<0 D．若m<-1，则c【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数y=mx2+2(m+1)x+3可得对称轴为直线，
∵A (a，p)，B (b，p)， C (c，q)， D(d，q)，
∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称.
当m>1时，可知对称轴-2则根据对称性有，
即-8由图1，当C、D两点互换位置后，则有d当m<-1时，则对称轴-1则根据对称性有，
即-4当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a故答案为：D.
【分析】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可.
11．（2025九上·秀洲期中）一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，共12个，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是，
故答案为：．
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此袋中用红球的个数除以球的总数量即可得解．
12．（2025九上·秀洲期中） 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE=6，则AB=　 　.
【答案】16
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AB=2AE
在Rt△AOE中，OA=10，OE=6，
∴
∴AB=2AE=2×8=16.
故答案为：16.
【分析】连接OA，利用垂径定理得到AE与AB的关系，再在Rt△AOE中用勾股定理求AE，进而求得AB的长度.
13．（2025九上·秀洲期中） 已知点 ，，都在二次函数 的图像上，则 ，， 的大小关系是　 　.
【答案】y2【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=a×(-1)2-2a×(-1)-1=3a-1；
当x=-0.5时，y2=a×(-0.5)2-2a×(-0.5)-1=1.25a-1；
当x=4时，y3=a×42-2a×4-1=8a-1.
∵a>0，
∴1.25a-1<3a-1<8a-1，
∴y2故答案为：y2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论.
14．（2025九上·秀洲期中）已知如图二次函数y1=ax2+bx+c（а≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　 　.
【答案】x<-2或x>8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵由函数图象可知，当x<-2或x>8时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
∴能使y1>y2成立的x的取值范围是：x<-2或x>8，
故答案为：x<-2或x>8.
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论.
15．（2025九上·秀洲期中）如图，AB为⊙O的直径，P是⊙O上一点，以P为圆心，适当长为半径作弧交直径AB所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点E；连结PE并延长交OO于点F，交AB于点G： 以B为圆心， PF长为半径作弧交⊙O于点M，连结AM，若AM=10，BG=1，则⊙O的半径长是　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据作图可得AB⊥PF，
∴PG=GF，
如图所示，连接OP，
设⊙O的半径为r(r>0)，
∴OB=OP=r，则AB=2r，
∴OG=OB-BG=r-1，
在Rt△OPM中，
，
∴
∵以B为圆心，PF长为半径作弧交⊙O于点M
∴
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°
在Rt△ABM中，AB2=AM2+BM2，
∴，整理得
r2-2r-15=0，
解得，r1=-3(不符合题意，舍去)，r2=5，
∴⊙O的半径长是5，
故答案为：5.
【分析】根据题意可得AB⊥PF，如图所示，连接OP，设⊙O的半径为r(r>0)，OB=OP=r，则AB=2r，在Rt△OPM中运用勾股定理可得，则有，由AB为⊙O的直径，得到∠AMB=90°，在Rt△ABM中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解.
16．（2025九上·秀洲期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长BA，CD交于点P·若AD=2，BC=5，∠P=30°，则圆的半径为　 　.
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作AE//CP，交⊙O于点E，连接AC，OB，OE，BE，CE，如图所示：
∴∠EAB=∠P=30°，∠DCA=∠EAC
∴∠BOE=2∠EAB=60°，
∴OB=OE，AD=2，
∴△OBE是等边三角形，CE=AD=2，
∴OB=BE，
过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠BCE=∠BAE=30°
∴
∴
∵，
∴
∴
即圆的半径为7；
故答案为：7.
【分析】过点A作AE//CP，交⊙O于点E，连接AC，OB，OE，BE，CE，由题意易得∠BOE=2∠EAB=60°，，则有△OBE是等边三角形，CE=AD=2，过点E作EH⊥BC于点H，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解.
17．（2025九上·秀洲期中） 已知函数y=ax2-2x+1（a≠0）.
（1）若点（-1，2）在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向；
（2）在（1）的条件下，判断点（1，2）是否在此函数图象上.
【答案】（1）解：∵点(-1，2)在函数y=ax2-2x+1图象上
∴a+2+1=2
∴a=-1.
∴函数为y=-x2-2x+1
∴函数图象的开口向下
（2）解：∵抛物线为y=-x2-2x+1
∴当x=1时，y=0
∴点(1，2)不在此函数图象上
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)依据题意，由点(-1，2)在函数y=ax2-2x+1图象上，从而a+2+1=2，求出a可得解析，可以判断开口方向得解；
(2)依据题意，由抛物线为y=-x2-2x+1，从而当x=1时，y=0，进而可以判断点(1，2)不在此函数图象上，故可得解.
18．（2025九上·秀洲期中）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于　 　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【答案】（1）
（2）解：据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．
∴．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可知从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知可得到所有等可能的结果数及取出c钥匙的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（2）利用已知条件列出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及取出的钥匙恰好能打开取出的锁的情况数，然后求出其概率即可.
19．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=2x2-4x-6.
（1）将y=2x2-4x-6化成у=a（x-h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）当-1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围.
【答案】（1）解：y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8
（2）解：∵y=2(x-1)2-8
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-8)
（3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-8)，
∴x=1时函数最小值为-8
将x=-1代入y=2x2-4x-6得y=2+4-6=0.
∴当-1≤x≤2时，y的取值范围-8≤y≤0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式用配方法把一般式y=2x2-4x-6化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式即可；
(2)根据顶点式y=a(x-h)2+k，由a=2>0即可判定抛物线的开口方向向上，由对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，写出抛物线的对称轴和顶点坐标即可；
(3)由抛物线开口向上，顶点坐标可写出函数y的最小值，由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，1-(-1)=2>2-1=1，可求得函数y的最大值为0，据此可求得函数y的取值范围.
20．（2025九上·秀洲期中）如图，在网格中按要求作图.
（1）在图1中以点A为旋转中心，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'；
（2）在图2中用无刻度的直尺作出△ABC的外心O.（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图1，△AB'C'即为所求，
（2）解：如图2，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求.
【知识点】作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)结合三角形的外心的定义，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求.
21．（2025九上·秀洲期中）如图， A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB=∠COD，BD=8.
（1） 求证：；
（2）若E为AC的中点，求BE的长。
【答案】（1）解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
∴
（2）解：∵
∴AC=BD=8，
∵OA=OC=5，E为AC的中点
∴，OE⊥AC，
∴.
∴BE=OB-OE=5-3=2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)根据∠AOB=∠COD，得到∠AOC=∠BOD，在同一个圆中等角对等弧，即可得证；
(2)等弧对等弦，得到AC=BD，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.
22．（2025九上·秀洲期中）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套。
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y=　 　·（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少
【答案】（1）500-10x
（2）解：∵日销售量为y=500-10x，
∴销售该文具的日利润为
w=(x-20)(500-10x)=-10x2+700x-1000
∵-10<0，
∴当x=35时，w取最大值，最大值为2250
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为y=250-10(x-25)= 500 -10x，即y=500-10x，
故答案为：500-10x；
【分析】(1)根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可；
(2)根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案.
23．（2025九上·秀洲期中）如图1，点A，B，C都在⊙O上，且AD平分∠BAC，交⊙O于点D.
（1）求证：△BCD是等腰三角形。
（2）如图2，BC是⊙O的直径，AD与BC相交于点P.
①若CP=14， DP = 10， 求⊙O的半径：
②若DH⊥AC于点H，试探究线段CH，AB，DH之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴BD=CD
即△BCD是等腰三角形
（2）解：①如图，连接OD，
设OD=r，则OC=r，OP=CP-OC=14-r，
由(1)知BD=CD
又∵OB=OC.
∴OD⊥BC
∴在Rt△DPO中 OP2+OD2=DP2，即(14-r)2+r2=102
解得r1=8，r2=6(不合题意，舍去)，
即⊙O的半径为8；
②DH=AB+CH
理由如下：
如图，过点D作DQ⊥AB于点Q
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°
∵AD平分∠BAC，DQ⊥AB，DH⊥AC
∴DH=DQ，∠DQB=∠DHA= 90°
由(1)知BD=CD
∴Rt△DBQ≌Rt△DCH
∴BQ=CH
∵∠DQB=∠DHA=∠BAC=90°
∴四边形QDHA是矩形
∴DH=AQ=AB+BQ=AB+CH
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠CAD，则BD=CD；
(2)①连接OD，设OD=r，则OC=r，OP=CP-OC=14-r，可证明OD⊥BC，则在Rt△DPO中，由勾股定理得，(14-r)2+r2=102，解得r1=8，r2=6(不合题意，舍去)，即⊙O的半径为8；
②DH=AB+CH，理由如下：过点D作DQ⊥AB于点Q，可证明Rt△DBQ≌Rt△DCH，则BQ=CH，而∠DQB=∠DHA=∠BAC=90°，则四边形QDHA是矩形，则DH=AQ=AB+BQ= AB+CH.
24．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=x2+2tx+t-3 （t为常数）图象经过（1，1）点.
（1）求t的值。
（2）若二次函数y=x2+2x+t-3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值。
（3）若二次函数y=x2+2x+t-3在-3≤x≤m时，-3≤y≤1，求m的取值范围.
【答案】（1）解：∵y=x2+2tx+t-3的图象经过(1，1)，
∴1+2t+t-3=1，
∴t=1
（2）解：由(1)得y=x2+2x-2，
∵y=x2+2x-2的图象经过(m+1，n+1)
∴(m+1)2+2(m+1)-2=n+1
∴n=m2+4m=m2+4m+4-4=(m+2)2-4，
∴n的最小值为-4
（3）解：∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).
∵-3≤x≤m时，-3≤y≤1，
∴m≥-1
当y=1时，x2+2x-2=1
解得x1=-3，x2=1，
∴m≤1，
∴m的取值范围是-1≤m≤1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将(1，1)代入y=x2+2tx+t-3即可求出t的值；
(2)将(m+1，n+1)代入y=x2+2tx+t-3中，再利用二次函数的性质即可求出n的最小值；
(3)先求出y=x2+2tx+t-3的对称轴，再根据-3≤x≤m时，-3≤y≤1即可求出m的取值范围.
1 / 1浙江省嘉兴市秀洲中学初中部2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题卷
1．（2025九上·秀洲期中）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．农历每月出现一次满月
B．小明打开电视刚好播放动画片
C．杭州是浙江的省会
D．一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟
2．（2025九上·秀洲期中） 二次函数y=（x-2）2-3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（2， 3） B．（-2， -3）
C．（2， -3） D．（-2， 3）
3．（2025九上·秀洲期中）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·秀洲期中）将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y=3 （x-1）2+2 B．y=3 （x+1） 2-2
C．y=3 （x+1） 2+2 D．y=3 （x- 1） 2-2
5．（2025九上·秀洲期中） 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，的度数为（　　）
A．80° B．40° C．20° D．60°
6．（2025九上·秀洲期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于B，则下列结论中不成立的是（　　）
A．∠A=∠D B．CE=DE C．∠ACB=90° D．CE=BD
7．（2025九上·秀洲期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C的坐标为（0，2）.以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（　　）
A．（-4，-2） B．（-4， 2） C．（2， 4） D．（4， 2）
8．（2025九上·秀洲期中）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　）
A．∠AEC=135° B．∠BCE=105° C． D．EC=2EA
9．（2025九上·秀洲期中） 点P（m，n）在二次函数y=-x2-3x的图象上，小明在探究n取不同值，点P的存在性问题时，得到如下三个结论：
①当n=10时，点P的个数为0：②当n=4.5时，点P的个数为1；
当n=4时，点P的个数为2.
下列判断正确的是（　　）
A．①②③对 B．①对，②③都错
C．①②对，③错 D．①错，②③对
10．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a， p），B（b， p），C（c，q），D（d，q），其中P＜q，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若m>1，则a+b+c+d<0 B．若m>1，则dC．若m<-1，则a+b+c+d<0 D．若m<-1，则c11．（2025九上·秀洲期中）一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　 　．
12．（2025九上·秀洲期中） 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE=6，则AB=　 　.
13．（2025九上·秀洲期中） 已知点 ，，都在二次函数 的图像上，则 ，， 的大小关系是　 　.
14．（2025九上·秀洲期中）已知如图二次函数y1=ax2+bx+c（а≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　 　.
15．（2025九上·秀洲期中）如图，AB为⊙O的直径，P是⊙O上一点，以P为圆心，适当长为半径作弧交直径AB所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点E；连结PE并延长交OO于点F，交AB于点G： 以B为圆心， PF长为半径作弧交⊙O于点M，连结AM，若AM=10，BG=1，则⊙O的半径长是　 　.
16．（2025九上·秀洲期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长BA，CD交于点P·若AD=2，BC=5，∠P=30°，则圆的半径为　 　.
17．（2025九上·秀洲期中） 已知函数y=ax2-2x+1（a≠0）.
（1）若点（-1，2）在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向；
（2）在（1）的条件下，判断点（1，2）是否在此函数图象上.
18．（2025九上·秀洲期中）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于　 　；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
19．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=2x2-4x-6.
（1）将y=2x2-4x-6化成у=a（x-h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）当-1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围.
20．（2025九上·秀洲期中）如图，在网格中按要求作图.
（1）在图1中以点A为旋转中心，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'；
（2）在图2中用无刻度的直尺作出△ABC的外心O.（保留作图痕迹）
21．（2025九上·秀洲期中）如图， A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB=∠COD，BD=8.
（1） 求证：；
（2）若E为AC的中点，求BE的长。
22．（2025九上·秀洲期中）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套。
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y=　 　·（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少
23．（2025九上·秀洲期中）如图1，点A，B，C都在⊙O上，且AD平分∠BAC，交⊙O于点D.
（1）求证：△BCD是等腰三角形。
（2）如图2，BC是⊙O的直径，AD与BC相交于点P.
①若CP=14， DP = 10， 求⊙O的半径：
②若DH⊥AC于点H，试探究线段CH，AB，DH之间的数量关系，并说明理由.
24．（2025九上·秀洲期中） 已知二次函数y=x2+2tx+t-3 （t为常数）图象经过（1，1）点.
（1）求t的值。
（2）若二次函数y=x2+2x+t-3的图象经过点（m+1，n+1），求n的最小值。
（3）若二次函数y=x2+2x+t-3在-3≤x≤m时，-3≤y≤1，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、历每月出现一次满月是必然事件，不符合题意；
B、小明打开电视刚好播放动画片是随机事件，符合题意；
C、杭州是浙江省的省会是必然事件，不符合题意；
D、一个人跑完1000米所用的时间恰好为1分钟是不可能事件，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，解答即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-2)2-3
∴二次函数y=(x-2)2-3的图象的顶点坐标为(2，-3)
故答案为：C.
【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 ，
故答案为：D.
【分析】用绿灯亮的时间比上红、黄、绿三灯循环一次的总时间，即可算出小明到达该路口时，遇到绿灯的概率。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y=3(x+1)2-2.
故答案为：B.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40°
∴∠AOB=2∠ACB=80°
∴的度数为80°
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解的度数.
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
∴CE=DE.故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，故该选项正确；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项正确；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE故答案为：D.
【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(-4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA=4，OC=2，
∵四边形 ABCO 是矩形，
∴BC=OA=4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，
∴OC'=OC=2，B'C'=BC=4，
∴点B'的坐标为(2，4).
故答案为：C.
【分析】根据题意得到OA=4，OC=2，根据矩形的性质得到BC=OA=4，根据旋转的性质得到OC'=OC=2，B'C'=BC=4，进而即可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，找的中点F，连接EF，CF，
∴
∵半径OC⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵四边形AECB是半圆O的内接四边形，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠AEC=180°-∠ABC=135°，
∵ED是OC的中垂线，
∴EO=EC，
∵OE=OC，
∴EO=EC=OC
∴△OEC是等边三角形，
∴∠EOC=∠ECO=60°，
∴∠ECB=∠ECO+∠OCB=105°， ∠AOE=∠AOC-∠EOC=30°，
∴∠EOC=2∠AOE
∴，
∴
∴EF=CF=AE
在△EFC中，EF+CF>CE，
∴AE+AE>CE，
∴2AE>CE
∴上述结论错误的是EC=2EA，
故答案为：D.
【分析】连接OE，找的中点F，连接EF，CF，从而可得，根据垂直定义可得：∠COA=∠COB=90°，从而可得∠OCB=∠OBC=45°，然后根据圆内接四边形对角互补可得：∠AEC=135°，再根据中垂线的性质可得EO=EC，从而可得EO=EC=OC，进而可得△OEC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得∠EOC=∠ECO=60°，从而可得∠ECB=105°，∠AOE=30°，进而可得∠EOC=2∠AOE，再根据圆心角、弧、弦的关系可得：EF=CF=AE，从而利用三角形的三边关系可得：EF+CF>CE，进而可得2AE>CE，即可解答.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P(m，n)在二次函数的图象上，
∴，
∴m2+6m+2n=0，
∴ =62-4×1×2n=36-8n.
①当n=10时， =36-18n=36-8×10=-44<0，
∴此时方程无实数根，
∴当n=10时，点P的个数为0，结论①正确；
②当n=4.5时， =36-18n=36-8×4.5=0，
∴此时方程有两个相等的实数根，
∴当n=4.5 时，点P的个数为1，结论②正确；
③当n=4时， =36-18n=36-8×4=4>0，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∴当n=4时，点P的个数为2，结论③正确.
综上所述，结论①②③正确.
故答案为：A.
【分析】根据点p(m，n)二次函数的图象上，可得出，变形后可得出关于m的一元二次方程，结合根的判别式，可得出 =36-8n，代入各结论中n的值，可得出 的值，进而可得出点P的个数.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由二次函数y=mx2+2(m+1)x+3可得对称轴为直线，
∵A (a，p)，B (b，p)， C (c，q)， D(d，q)，
∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称.
当m>1时，可知对称轴-2则根据对称性有，
即-8由图1，当C、D两点互换位置后，则有d当m<-1时，则对称轴-1则根据对称性有，
即-4当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a故答案为：D.
【分析】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球、3个白球和6个黄球，共12个，
∴从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是，
故答案为：．
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此袋中用红球的个数除以球的总数量即可得解．
12．【答案】16
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AB=2AE
在Rt△AOE中，OA=10，OE=6，
∴
∴AB=2AE=2×8=16.
故答案为：16.
【分析】连接OA，利用垂径定理得到AE与AB的关系，再在Rt△AOE中用勾股定理求AE，进而求得AB的长度.
13．【答案】y2【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=a×(-1)2-2a×(-1)-1=3a-1；
当x=-0.5时，y2=a×(-0.5)2-2a×(-0.5)-1=1.25a-1；
当x=4时，y3=a×42-2a×4-1=8a-1.
∵a>0，
∴1.25a-1<3a-1<8a-1，
∴y2故答案为：y2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论.
14．【答案】x<-2或x>8
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵由函数图象可知，当x<-2或x>8时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
∴能使y1>y2成立的x的取值范围是：x<-2或x>8，
故答案为：x<-2或x>8.
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据作图可得AB⊥PF，
∴PG=GF，
如图所示，连接OP，
设⊙O的半径为r(r>0)，
∴OB=OP=r，则AB=2r，
∴OG=OB-BG=r-1，
在Rt△OPM中，
，
∴
∵以B为圆心，PF长为半径作弧交⊙O于点M
∴
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB=90°
在Rt△ABM中，AB2=AM2+BM2，
∴，整理得
r2-2r-15=0，
解得，r1=-3(不符合题意，舍去)，r2=5，
∴⊙O的半径长是5，
故答案为：5.
【分析】根据题意可得AB⊥PF，如图所示，连接OP，设⊙O的半径为r(r>0)，OB=OP=r，则AB=2r，在Rt△OPM中运用勾股定理可得，则有，由AB为⊙O的直径，得到∠AMB=90°，在Rt△ABM中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解.
16．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作AE//CP，交⊙O于点E，连接AC，OB，OE，BE，CE，如图所示：
∴∠EAB=∠P=30°，∠DCA=∠EAC
∴∠BOE=2∠EAB=60°，
∴OB=OE，AD=2，
∴△OBE是等边三角形，CE=AD=2，
∴OB=BE，
过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠BCE=∠BAE=30°
∴
∴
∵，
∴
∴
即圆的半径为7；
故答案为：7.
【分析】过点A作AE//CP，交⊙O于点E，连接AC，OB，OE，BE，CE，由题意易得∠BOE=2∠EAB=60°，，则有△OBE是等边三角形，CE=AD=2，过点E作EH⊥BC于点H，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解.
17．【答案】（1）解：∵点(-1，2)在函数y=ax2-2x+1图象上
∴a+2+1=2
∴a=-1.
∴函数为y=-x2-2x+1
∴函数图象的开口向下
（2）解：∵抛物线为y=-x2-2x+1
∴当x=1时，y=0
∴点(1，2)不在此函数图象上
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)依据题意，由点(-1，2)在函数y=ax2-2x+1图象上，从而a+2+1=2，求出a可得解析，可以判断开口方向得解；
(2)依据题意，由抛物线为y=-x2-2x+1，从而当x=1时，y=0，进而可以判断点(1，2)不在此函数图象上，故可得解.
18．【答案】（1）
（2）解：据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．
∴．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可知从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于.
故答案为：.
【分析】（1）利用已知可得到所有等可能的结果数及取出c钥匙的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（2）利用已知条件列出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及取出的钥匙恰好能打开取出的锁的情况数，然后求出其概率即可.
19．【答案】（1）解：y=2x2-4x-6=2(x-1)2-8
（2）解：∵y=2(x-1)2-8
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-8)
（3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-8)，
∴x=1时函数最小值为-8
将x=-1代入y=2x2-4x-6得y=2+4-6=0.
∴当-1≤x≤2时，y的取值范围-8≤y≤0
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式用配方法把一般式y=2x2-4x-6化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式即可；
(2)根据顶点式y=a(x-h)2+k，由a=2>0即可判定抛物线的开口方向向上，由对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，写出抛物线的对称轴和顶点坐标即可；
(3)由抛物线开口向上，顶点坐标可写出函数y的最小值，由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，1-(-1)=2>2-1=1，可求得函数y的最大值为0，据此可求得函数y的取值范围.
20．【答案】（1）解：如图1，△AB'C'即为所求，
（2）解：如图2，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求.
【知识点】作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可；
(2)结合三角形的外心的定义，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求.
21．【答案】（1）解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
∴
（2）解：∵
∴AC=BD=8，
∵OA=OC=5，E为AC的中点
∴，OE⊥AC，
∴.
∴BE=OB-OE=5-3=2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)根据∠AOB=∠COD，得到∠AOC=∠BOD，在同一个圆中等角对等弧，即可得证；
(2)等弧对等弦，得到AC=BD，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.
22．【答案】（1）500-10x
（2）解：∵日销售量为y=500-10x，
∴销售该文具的日利润为
w=(x-20)(500-10x)=-10x2+700x-1000
∵-10<0，
∴当x=35时，w取最大值，最大值为2250
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为y=250-10(x-25)= 500 -10x，即y=500-10x，
故答案为：500-10x；
【分析】(1)根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可；
(2)根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案.
23．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴BD=CD
即△BCD是等腰三角形
（2）解：①如图，连接OD，
设OD=r，则OC=r，OP=CP-OC=14-r，
由(1)知BD=CD
又∵OB=OC.
∴OD⊥BC
∴在Rt△DPO中 OP2+OD2=DP2，即(14-r)2+r2=102
解得r1=8，r2=6(不合题意，舍去)，
即⊙O的半径为8；
②DH=AB+CH
理由如下：
如图，过点D作DQ⊥AB于点Q
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°
∵AD平分∠BAC，DQ⊥AB，DH⊥AC
∴DH=DQ，∠DQB=∠DHA= 90°
由(1)知BD=CD
∴Rt△DBQ≌Rt△DCH
∴BQ=CH
∵∠DQB=∠DHA=∠BAC=90°
∴四边形QDHA是矩形
∴DH=AQ=AB+BQ=AB+CH
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠CAD，则BD=CD；
(2)①连接OD，设OD=r，则OC=r，OP=CP-OC=14-r，可证明OD⊥BC，则在Rt△DPO中，由勾股定理得，(14-r)2+r2=102，解得r1=8，r2=6(不合题意，舍去)，即⊙O的半径为8；
②DH=AB+CH，理由如下：过点D作DQ⊥AB于点Q，可证明Rt△DBQ≌Rt△DCH，则BQ=CH，而∠DQB=∠DHA=∠BAC=90°，则四边形QDHA是矩形，则DH=AQ=AB+BQ= AB+CH.
24．【答案】（1）解：∵y=x2+2tx+t-3的图象经过(1，1)，
∴1+2t+t-3=1，
∴t=1
（2）解：由(1)得y=x2+2x-2，
∵y=x2+2x-2的图象经过(m+1，n+1)
∴(m+1)2+2(m+1)-2=n+1
∴n=m2+4m=m2+4m+4-4=(m+2)2-4，
∴n的最小值为-4
（3）解：∵y=x2+2x-2=(x+1)2-3
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).
∵-3≤x≤m时，-3≤y≤1，
∴m≥-1
当y=1时，x2+2x-2=1
解得x1=-3，x2=1，
∴m≤1，
∴m的取值范围是-1≤m≤1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将(1，1)代入y=x2+2tx+t-3即可求出t的值；
(2)将(m+1，n+1)代入y=x2+2tx+t-3中，再利用二次函数的性质即可求出n的最小值；
(3)先求出y=x2+2tx+t-3的对称轴，再根据-3≤x≤m时，-3≤y≤1即可求出m的取值范围.
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