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浙江省台州市初中名校发展共同体2025-2026学年上学期九年级期中试卷
1．（2025九上·台州期中）我市某日的气温是-2℃~4℃，这天的最高气温与最低气温的差是（　　）
A．2℃ B．4℃ C．6℃ D．-6℃
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：4-(-2)= 4+2=6(℃)
即这天的最高气温与最低气温的差是6℃
故答案为：C.
【分析】先确定最高气温和最低气温，再通过减法计算两者的差值.
2．（2025九上·台州期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
选项D不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答.
3．（2025九上·台州期中）若分式 的值为0， 则（　　）
A．x=0 B．x=-2 C．x=-2或x=3 D．x=3
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知，x+2=0，则x=-2，
此时分母x=-3≠0符合题意，
故x的值是-2.
故答案为：B.
【分析】由题意知分子x+2=0.
4．（2025九上·台州期中）二次函数. 的图象经过下列点中的（　　）
A．（0， 1） B．（2， 4）
C．（-1， - 1） D．（4， 2）
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.(0，1)，x=0时，y=0≠1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
B.(2，4)，x=2时，y=4，与点的纵坐标相等，在函数图象上，符合题意；
C.(-1，-1)，x=-1时，y=1≠-1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
D.(4，2)，x=4时，y=16≠2，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
故答案为：B.
【分析】将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过.
5．（2025九上·台州期中）一元二次方程 根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵x2-x+1=0，
∴a=1，b=-1，c=1，
∴Δ=b2-4ac=1-4=-3<0，
∴原方程无实数根.
故答案为：C.
【分析】依据题意，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程无实数根，计算得出Δ=-3<0即可.
6．（2025九上·台州期中）顶点为 （-6，0），开口向下，形状与函数 的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵顶点为(-6，0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2
∵开口向下，形状与函数的图象相同
∴
∴抛物线解析式为
故答案为：D.
【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，再由条件可求得a的值，可求得答案.
7．（2025九上·台州期中） 如图， △ABC中， ∠ACB=90°， BC=4， AC=3， 将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'， 若点 C'在AB上， 则AA'的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，
∴∠A'C'B=∠C=90°，A'C'=AC=3，AB=A'B，
根据勾股定理得：
，
∴A'B=AB=5，
∴AC'=AB-BC'=1，
在△AA'C'中，由勾股定理得
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质可得∠A'C'B=∠C=90°，A'C'=AC=3，AB=A'B，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，得出A'B=AB=5，AC'=AB-BC'=1，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
8．（2025九上·台州期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是 则该飞机着陆后滑行的最长时间为（　　）秒.
A．18 B．9 C．6 D．3.6
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：，
∵，抛物线开口向下
∴当t=18时，s有最大值，此时s最大=486，
∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值，
∴t = 18，
故答案为：A.
【分析】将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案.
9．（2025九上·台州期中） 如图， AB， AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径， D为OB上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接CD. 若∠BAC=30°， 则∠BDC的度数可能为（　　）
A．60° B．96° C．120° D．125°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠BAC=30°
∴∠BOC=2∠BAC=60°
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB=OC.
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°
∵D为OB上的任意一点(点D不与点O，B重合)
∴0°<∠OCD<60°，
∵∠BDC=∠DOC+∠OCD
∴60°<∠BDC<120°，
∴∠BDC的度数可能为96°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，证明△OBC为等边三角形，得出∠OBC=∠OCB=60°，由题意可得0°<∠OCD<60°，结合三角形外角的定义及性质可得60°<∠BDC<120°，即可得解.
10．（2025九上·台州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
，小正方形的面积为4，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为10，
，
，
小正方形的边长为，即，
，
，
，
，
故选C．
【分析】根据已知方法求得大正方形的边长为10，即可得到，然后利用小正方形的边长和面积得到x的值，进而求出的值解答即可．
11．（2025九上·台州期中）多项式 分解因式的结果为　 　.
【答案】x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-2x=x(x-2)
故答案为：x(x-2).
【分析】直接利用提公因式进行分解即可.
12．（2025九上·台州期中）点M(1，-2)关于原点对称的点的坐标是　 　。
【答案】(-1，2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的性质可得： 点M(1，-2)关于原点对称的点的坐标是(-1，2) .
故答案为： (-1，2) .
【分析】根据关于原点对称的性质求点的坐标即可。
13．（2025九上·台州期中）在⊙O中，弦AB 垂直平分其中一条半径，则弦AB 所对的圆心角为　 　.
【答案】120°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵AB垂直平分OC
∴OB=OA=OC=BC，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠BOD=60°.
∴∠AOB=2∠BOD=120°
故答案为：120°.
【分析】根据题意和线段垂直平分线的性质得OB=OA=OC=2OD，∠BDO=90°，可得△BCO是等边三角形，进而得∠BOD=60°，则此题可解.
14．（2025九上·台州期中） 若点A （-2， y1）， B （2， y2） 在抛物线. 上， 则y1， y2的大小关系为： y1　 　y2.
【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=3(x-1)2+k上，
∴y1=3×(-1-1)2+k=12+k，
y2=3×(2-1)2+k=3+k，
∵12+k>3+k，
∴y1>y2，
故答案为：>.
【分析】先分别将点A和点B的横坐标代入抛物线方程求出y1和y2，再比较两者的大小.
15．（2025九上·台州期中）数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图所示.其中射线OP为∠AOB 的平分线的编号为　 　.
【答案】①②③
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；
②由作图痕迹可知，OC=OD，OA=OB.
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△ADO≌△BCO(SAS)
同理可得△ACP≌△BDP(AAS)
△APO≌△BPO(SSS)
∴∠AOP=∠BOP.
射线OP为∠AOB的平分线；
③由作图痕迹可知，∠ACP=∠AOB，CP//OB
可得∠CPO=∠POB
又由图可知CO=CP
∴∠COP=∠CPO
∴∠POB=∠COP
射线OP为∠AOB的平分线；
故答案为：①②③.
【分析】根据角平分线的定义即可得到结论.
16．（2025九上·台州期中） 在正方形ABCD中， AB=4， E， F为对角线BD上不重合的两个点 （不包括端点）， BE=DF， 连接AE 并延长交BC于点G， 连接FG， CF. 此时AG与FC的位置关系为　 　； 若FG=FC， 则BE的长为　 　.
【答案】AG∥FC；4-4
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFB
∴FC//AG；
设DF=BE=x，
在正方形ABCD中，∠BCD=90，AB=BC=CD=4，
∴，∠BDC=∠CBD=45°，
如图，过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，则四边形FICJ为矩形，
∴FI=JC
在Rt△FID中，FI=DI，
由勾股定理得：FI2+DI2=DF2=x2，
∴，
在Rt△BJF中，BJ=FJ，
由勾股定理得：BJ2+FJ2=BF2=(BD-DF)2
∴，
又∵FG=FC，FJ⊥BC，
∴GJ=JC
∴，
∴
连接CE，AC交BD于点H，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴CH=AC=22，
∴，
∵AG//FC，
∴S△CFG=S△CFE，
∴，
解得或(不合题意，舍去)
∴.
故答案为：AG∥FC；4-4.
【分析】利用正方形的性质，结合平行线的判定定理即可解答；过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点，连接CE，AC交BD于点H，设DF=BE=x，利用正方形的性质和勾股定理用x表示出S△CFG、S△CFE，结合AG//FC可知S△CFG=S△CFE，建立方程解答即可.
17．（2025九上·台州期中） 计算：
【答案】解：原式= 4 +– 4
=
【知识点】二次根式的化简求值；有理数的乘方法则；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方，并化简二次根式和绝对值，再计算加减即可.
18．（2025九上·台州期中） 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
x=±4
（2）解：x2+3x-1=0
a=1， b=3， c=-1
△=9+4=13
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用直接开平方法求解即可；
(2)用公式法求解即可.
19．（2025九上·台州期中）2022年某市政府投资了150万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车，2024年投资了216万元，求2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率.
【答案】解：设2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为x，依题意得
解得 (不合题意，舍去)
答：2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为20%.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为x，依题意得 ，然后解方程并检验即可.
20．（2025九上·台州期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表.
　 平均数 中位数 方差
甲 8.8 9 0.4
乙 8.8 a 0.96
丙 b 8 0.96
根据以上信息，完成下列问题：
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适 请说明理由；
（3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据.若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为c和d，则c与d的大小关系为：　 　.
【答案】（1）9；8.8
（2）解：选甲更合适，理由如下：
由表格结合(1)可知，甲、乙、丙三人的平均数相同，则
甲的方差为0.56，乙的方差为0.96，丙的方差为0.96，
由于0.56<0.96，
则甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定
因此选甲更合适；
（3）c>d
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：(1)由乙5次游泳成绩条形统计图可知，乙的成绩排序为：
7、9、9、9、10，
则中位数为9；
由丙5次游泳成绩扇形统计图可知，有2次成绩为10分，有3次成绩为8分，
则丙5次游泳成绩的平均数为：，
故答案为：9，8.8.
(3)解：①甲“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：，
甲的方差为
因此甲同学游泳成绩的方差分别为c=0.56、
则，即c>d；
②乙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：，
乙的方差为，
因此乙同学游泳成绩的方差分别为c=0.96、d=0，
则0.96>0，即c>d；
③丙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：
丙的方差为
因此丙同学游泳成绩的方差分别为c=0.96、
则，即c>d；
综上所述，c与d的大小关系为：c>d.
故答案为：c>d.
【分析】(1)根据乙5次游泳成绩条形统计图计算中位数a即可，根据丙5次游泳成绩扇形统计图计算平均数b即可；
(2)根据表格，结合平均数和方差的意义进行分析即可；
(3)根据方差公式进行计算数据处理前后的方差，再比较大小即可.
21．（2025九上·台州期中） 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
22．（2025九上·台州期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上.如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感.
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行.如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（-8，1）和B （-4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y=-3x+6， l1和l2相交于点 P， 即点 P 为灭点.
（1）求左侧边界线AB的函数表达式；
（2）求灭点 P 的坐标；
（3）【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持 的位置不变，将 向上平移c个单位长度（（c>0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围.
【答案】（1）解：设左侧边界线AB的函数表达式为y= kx+b，
把A(-8，1)和B(-4，3)代入得： 解得
∴左侧边界线 AB 的函数表达式为
（2）解：联立 解得 ∴灭点 P 的坐标为
∴灭点 P 不在区域“0≤x≤1， 0≤y≤5”内；
（3）解：将l2向上平移c个单位长度后得直线y=-3x+6+c，
联立 解得
∵灭点的纵坐标不小于6，
解得c≥6，
∴c的取值范围是 c≥6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求AB的解析式即可；
(2)联立两直线，求出点P的坐标，再根据灭点区域0≤x≤1，0≤y≤5判断即可；
(3)由题意知l2平移后的函数表达式为y=-3x+6+c，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案.
23．（2025九上·台州期中）已知抛物线 与x轴交于 （x1， 0）， （x2， 0） 两点
（1） 若 求该抛物线解析式；
（2）若抛物线. 与x轴交于 （p， 0）， （q， 0） 两点（p1， x2的大小关系是　 　；
（3）已知抛物线 的图象与x轴最多有一个公共点，若 的最小值为3，求k的值.
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点(x1∴8
（2）
（3）解：由 得：m≥1
①k<1时， 当m=1时， 所以k=-2.5.
②k≥1时， 当m=k时， 无解.
综上所述， k=-2.5
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c-1是抛物线y=x2+bx+c向下平移一个单位后得到的函数解析式，
∴x1，x2在p，q之间
即p故答案为：p【分析】(1)根据交点式求解即可；
(2)根据二次函数的平移规律作答即可；
(3)根据抛物线y=x2-6x+8+m的图象与x轴最多有一个公共点得到m≥1，将W=m2-2km-3化为顶点式W=(m-k)2-3-k2，根据顶点式的性质分k<1时，k≥1时，两种情况作答即可.
24．（2025九上·台州期中）如图1，在△ABC中，延长边 BC至点D，使CD=AB，已知点 P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点， 连接 PA， PB， PC， PD.
（1）求证： ∠ABP=∠CDP；
（2）如图2，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，点D 恰好与点 P重合，试判断四边形ABCP的形状，并说明理由；
（3）如图3，将线段CD绕点C逆时针旋转，使点D落在线段PC上的点E处，连接DE，AE，其中AE交PB于点F. 若∠DCE=2∠CDP， AF=EF， BF=4， DE=5， 则AF的长为　 　.
【答案】（1）证明：∵P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点，
∴PA=PC，PB=PD
在△ABP和△CDP中，
∴△ABP≌△CDP(SSS)
∴∠ABP=∠CDP
（2）解：四边形ABCP为正方形
证明如下：
由旋转的性质可知PC=CD，∠PCD=90°，
由(1)知CD=AB，AP=PC，PB=PD
∵PB=PD，PC⊥BD
∴BC=CD.
∴AB=BC=PC=AP，∠PCB=90°
∴四边形ABCP为正方形
（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：(3)连接CF，
设∠CDP=α，则∠DCE=2α，由(1)知∠ABP=∠CDP=α.
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB=α，
又∵∠ABP=∠CDP=α
∴∠ABC=∠DCE=2α
∴AB//CE
∵CD=AB，线段CD绕点C逆时针旋转得到CE
∴CD=CE
∴AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形
∴DE//FC，FC=DE=5
∴∠CED=∠FCE，∠FCB=∠EDC，
∵EC=CD
∴∠CED=∠EDC
∴，
∵，∠ABC+∠ECB=180°
∴2∠PBC+2∠FCB=180°
∴∠FBC+∠FCB=90°
∴∠BFC=90°
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)根据垂直平分线的性质及已知条件，用“SSS“证明△ABP≌△CDP，即可由三角形全等的性质得到结论；
(2)利用图形旋转的性质及(1)中结论可证明四边形ABCP的四条边相等，且∠PCB=90°，从而作出判断；(3)连接CF，证明四边形ABCE和四边形CDEF是平行四边形，从而可求FC=DE=5，证明∠FBC+∠FCB=90°得△BFC为直角三角形，根据勾股定理求出BC的长度即可。
1 / 1浙江省台州市初中名校发展共同体2025-2026学年上学期九年级期中试卷
1．（2025九上·台州期中）我市某日的气温是-2℃~4℃，这天的最高气温与最低气温的差是（　　）
A．2℃ B．4℃ C．6℃ D．-6℃
2．（2025九上·台州期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·台州期中）若分式 的值为0， 则（　　）
A．x=0 B．x=-2 C．x=-2或x=3 D．x=3
4．（2025九上·台州期中）二次函数. 的图象经过下列点中的（　　）
A．（0， 1） B．（2， 4）
C．（-1， - 1） D．（4， 2）
5．（2025九上·台州期中）一元二次方程 根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
6．（2025九上·台州期中）顶点为 （-6，0），开口向下，形状与函数 的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·台州期中） 如图， △ABC中， ∠ACB=90°， BC=4， AC=3， 将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'， 若点 C'在AB上， 则AA'的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
8．（2025九上·台州期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是 则该飞机着陆后滑行的最长时间为（　　）秒.
A．18 B．9 C．6 D．3.6
9．（2025九上·台州期中） 如图， AB， AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径， D为OB上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接CD. 若∠BAC=30°， 则∠BDC的度数可能为（　　）
A．60° B．96° C．120° D．125°
10．（2025九上·台州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（2025九上·台州期中）多项式 分解因式的结果为　 　.
12．（2025九上·台州期中）点M(1，-2)关于原点对称的点的坐标是　 　。
13．（2025九上·台州期中）在⊙O中，弦AB 垂直平分其中一条半径，则弦AB 所对的圆心角为　 　.
14．（2025九上·台州期中） 若点A （-2， y1）， B （2， y2） 在抛物线. 上， 则y1， y2的大小关系为： y1　 　y2.
15．（2025九上·台州期中）数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图所示.其中射线OP为∠AOB 的平分线的编号为　 　.
16．（2025九上·台州期中） 在正方形ABCD中， AB=4， E， F为对角线BD上不重合的两个点 （不包括端点）， BE=DF， 连接AE 并延长交BC于点G， 连接FG， CF. 此时AG与FC的位置关系为　 　； 若FG=FC， 则BE的长为　 　.
17．（2025九上·台州期中） 计算：
18．（2025九上·台州期中） 解方程：
（1）
（2）
19．（2025九上·台州期中）2022年某市政府投资了150万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车，2024年投资了216万元，求2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率.
20．（2025九上·台州期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表.
　 平均数 中位数 方差
甲 8.8 9 0.4
乙 8.8 a 0.96
丙 b 8 0.96
根据以上信息，完成下列问题：
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适 请说明理由；
（3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据.若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为c和d，则c与d的大小关系为：　 　.
21．（2025九上·台州期中） 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
22．（2025九上·台州期中）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上.如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感.
【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行.如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（-8，1）和B （-4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y=-3x+6， l1和l2相交于点 P， 即点 P 为灭点.
（1）求左侧边界线AB的函数表达式；
（2）求灭点 P 的坐标；
（3）【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持 的位置不变，将 向上平移c个单位长度（（c>0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围.
23．（2025九上·台州期中）已知抛物线 与x轴交于 （x1， 0）， （x2， 0） 两点
（1） 若 求该抛物线解析式；
（2）若抛物线. 与x轴交于 （p， 0）， （q， 0） 两点（p1， x2的大小关系是　 　；
（3）已知抛物线 的图象与x轴最多有一个公共点，若 的最小值为3，求k的值.
24．（2025九上·台州期中）如图1，在△ABC中，延长边 BC至点D，使CD=AB，已知点 P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点， 连接 PA， PB， PC， PD.
（1）求证： ∠ABP=∠CDP；
（2）如图2，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，点D 恰好与点 P重合，试判断四边形ABCP的形状，并说明理由；
（3）如图3，将线段CD绕点C逆时针旋转，使点D落在线段PC上的点E处，连接DE，AE，其中AE交PB于点F. 若∠DCE=2∠CDP， AF=EF， BF=4， DE=5， 则AF的长为　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：4-(-2)= 4+2=6(℃)
即这天的最高气温与最低气温的差是6℃
故答案为：C.
【分析】先确定最高气温和最低气温，再通过减法计算两者的差值.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
选项D不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答.
3．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知，x+2=0，则x=-2，
此时分母x=-3≠0符合题意，
故x的值是-2.
故答案为：B.
【分析】由题意知分子x+2=0.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.(0，1)，x=0时，y=0≠1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
B.(2，4)，x=2时，y=4，与点的纵坐标相等，在函数图象上，符合题意；
C.(-1，-1)，x=-1时，y=1≠-1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
D.(4，2)，x=4时，y=16≠2，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
故答案为：B.
【分析】将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意，∵x2-x+1=0，
∴a=1，b=-1，c=1，
∴Δ=b2-4ac=1-4=-3<0，
∴原方程无实数根.
故答案为：C.
【分析】依据题意，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程无实数根，计算得出Δ=-3<0即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵顶点为(-6，0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2
∵开口向下，形状与函数的图象相同
∴
∴抛物线解析式为
故答案为：D.
【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，再由条件可求得a的值，可求得答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，
∴∠A'C'B=∠C=90°，A'C'=AC=3，AB=A'B，
根据勾股定理得：
，
∴A'B=AB=5，
∴AC'=AB-BC'=1，
在△AA'C'中，由勾股定理得
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质可得∠A'C'B=∠C=90°，A'C'=AC=3，AB=A'B，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=5，得出A'B=AB=5，AC'=AB-BC'=1，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：，
∵，抛物线开口向下
∴当t=18时，s有最大值，此时s最大=486，
∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值，
∴t = 18，
故答案为：A.
【分析】将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠BAC=30°
∴∠BOC=2∠BAC=60°
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB=OC.
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°
∵D为OB上的任意一点(点D不与点O，B重合)
∴0°<∠OCD<60°，
∵∠BDC=∠DOC+∠OCD
∴60°<∠BDC<120°，
∴∠BDC的度数可能为96°，
故答案为：B.
【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，证明△OBC为等边三角形，得出∠OBC=∠OCB=60°，由题意可得0°<∠OCD<60°，结合三角形外角的定义及性质可得60°<∠BDC<120°，即可得解.
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
，小正方形的面积为4，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为10，
，
，
小正方形的边长为，即，
，
，
，
，
故选C．
【分析】根据已知方法求得大正方形的边长为10，即可得到，然后利用小正方形的边长和面积得到x的值，进而求出的值解答即可．
11．【答案】x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-2x=x(x-2)
故答案为：x(x-2).
【分析】直接利用提公因式进行分解即可.
12．【答案】(-1，2)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于原点对称的性质可得： 点M(1，-2)关于原点对称的点的坐标是(-1，2) .
故答案为： (-1，2) .
【分析】根据关于原点对称的性质求点的坐标即可。
13．【答案】120°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵AB垂直平分OC
∴OB=OA=OC=BC，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠BOD=60°.
∴∠AOB=2∠BOD=120°
故答案为：120°.
【分析】根据题意和线段垂直平分线的性质得OB=OA=OC=2OD，∠BDO=90°，可得△BCO是等边三角形，进而得∠BOD=60°，则此题可解.
14．【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(-1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=3(x-1)2+k上，
∴y1=3×(-1-1)2+k=12+k，
y2=3×(2-1)2+k=3+k，
∵12+k>3+k，
∴y1>y2，
故答案为：>.
【分析】先分别将点A和点B的横坐标代入抛物线方程求出y1和y2，再比较两者的大小.
15．【答案】①②③
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；
②由作图痕迹可知，OC=OD，OA=OB.
又∵∠AOD=∠BOC，
∴△ADO≌△BCO(SAS)
同理可得△ACP≌△BDP(AAS)
△APO≌△BPO(SSS)
∴∠AOP=∠BOP.
射线OP为∠AOB的平分线；
③由作图痕迹可知，∠ACP=∠AOB，CP//OB
可得∠CPO=∠POB
又由图可知CO=CP
∴∠COP=∠CPO
∴∠POB=∠COP
射线OP为∠AOB的平分线；
故答案为：①②③.
【分析】根据角平分线的定义即可得到结论.
16．【答案】AG∥FC；4-4
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°
在△ABE和CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠CFB
∴FC//AG；
设DF=BE=x，
在正方形ABCD中，∠BCD=90，AB=BC=CD=4，
∴，∠BDC=∠CBD=45°，
如图，过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，则四边形FICJ为矩形，
∴FI=JC
在Rt△FID中，FI=DI，
由勾股定理得：FI2+DI2=DF2=x2，
∴，
在Rt△BJF中，BJ=FJ，
由勾股定理得：BJ2+FJ2=BF2=(BD-DF)2
∴，
又∵FG=FC，FJ⊥BC，
∴GJ=JC
∴，
∴
连接CE，AC交BD于点H，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴CH=AC=22，
∴，
∵AG//FC，
∴S△CFG=S△CFE，
∴，
解得或(不合题意，舍去)
∴.
故答案为：AG∥FC；4-4.
【分析】利用正方形的性质，结合平行线的判定定理即可解答；过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点，连接CE，AC交BD于点H，设DF=BE=x，利用正方形的性质和勾股定理用x表示出S△CFG、S△CFE，结合AG//FC可知S△CFG=S△CFE，建立方程解答即可.
17．【答案】解：原式= 4 +– 4
=
【知识点】二次根式的化简求值；有理数的乘方法则；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方，并化简二次根式和绝对值，再计算加减即可.
18．【答案】（1）解：
x=±4
（2）解：x2+3x-1=0
a=1， b=3， c=-1
△=9+4=13
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)用直接开平方法求解即可；
(2)用公式法求解即可.
19．【答案】解：设2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为x，依题意得
解得 (不合题意，舍去)
答：2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为20%.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设2022年到2024年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为x，依题意得 ，然后解方程并检验即可.
20．【答案】（1）9；8.8
（2）解：选甲更合适，理由如下：
由表格结合(1)可知，甲、乙、丙三人的平均数相同，则
甲的方差为0.56，乙的方差为0.96，丙的方差为0.96，
由于0.56<0.96，
则甲的方差最小，说明甲的成绩最稳定
因此选甲更合适；
（3）c>d
【知识点】条形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：(1)由乙5次游泳成绩条形统计图可知，乙的成绩排序为：
7、9、9、9、10，
则中位数为9；
由丙5次游泳成绩扇形统计图可知，有2次成绩为10分，有3次成绩为8分，
则丙5次游泳成绩的平均数为：，
故答案为：9，8.8.
(3)解：①甲“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：，
甲的方差为
因此甲同学游泳成绩的方差分别为c=0.56、
则，即c>d；
②乙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：，
乙的方差为，
因此乙同学游泳成绩的方差分别为c=0.96、d=0，
则0.96>0，即c>d；
③丙“去掉一个最高分和一个最低分”后的平均数为：
丙的方差为
因此丙同学游泳成绩的方差分别为c=0.96、
则，即c>d；
综上所述，c与d的大小关系为：c>d.
故答案为：c>d.
【分析】(1)根据乙5次游泳成绩条形统计图计算中位数a即可，根据丙5次游泳成绩扇形统计图计算平均数b即可；
(2)根据表格，结合平均数和方差的意义进行分析即可；
(3)根据方差公式进行计算数据处理前后的方差，再比较大小即可.
21．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
22．【答案】（1）解：设左侧边界线AB的函数表达式为y= kx+b，
把A(-8，1)和B(-4，3)代入得： 解得
∴左侧边界线 AB 的函数表达式为
（2）解：联立 解得 ∴灭点 P 的坐标为
∴灭点 P 不在区域“0≤x≤1， 0≤y≤5”内；
（3）解：将l2向上平移c个单位长度后得直线y=-3x+6+c，
联立 解得
∵灭点的纵坐标不小于6，
解得c≥6，
∴c的取值范围是 c≥6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求AB的解析式即可；
(2)联立两直线，求出点P的坐标，再根据灭点区域0≤x≤1，0≤y≤5判断即可；
(3)由题意知l2平移后的函数表达式为y=-3x+6+c，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案.
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点(x1∴8
（2）
（3）解：由 得：m≥1
①k<1时， 当m=1时， 所以k=-2.5.
②k≥1时， 当m=k时， 无解.
综上所述， k=-2.5
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c-1是抛物线y=x2+bx+c向下平移一个单位后得到的函数解析式，
∴x1，x2在p，q之间
即p故答案为：p【分析】(1)根据交点式求解即可；
(2)根据二次函数的平移规律作答即可；
(3)根据抛物线y=x2-6x+8+m的图象与x轴最多有一个公共点得到m≥1，将W=m2-2km-3化为顶点式W=(m-k)2-3-k2，根据顶点式的性质分k<1时，k≥1时，两种情况作答即可.
24．【答案】（1）证明：∵P是线段AC的垂直平分线和线段BD的垂直平分线的交点，
∴PA=PC，PB=PD
在△ABP和△CDP中，
∴△ABP≌△CDP(SSS)
∴∠ABP=∠CDP
（2）解：四边形ABCP为正方形
证明如下：
由旋转的性质可知PC=CD，∠PCD=90°，
由(1)知CD=AB，AP=PC，PB=PD
∵PB=PD，PC⊥BD
∴BC=CD.
∴AB=BC=PC=AP，∠PCB=90°
∴四边形ABCP为正方形
（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：(3)连接CF，
设∠CDP=α，则∠DCE=2α，由(1)知∠ABP=∠CDP=α.
∵PB=PD
∴∠PBD=∠PDB=α，
又∵∠ABP=∠CDP=α
∴∠ABC=∠DCE=2α
∴AB//CE
∵CD=AB，线段CD绕点C逆时针旋转得到CE
∴CD=CE
∴AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形
∴DE//FC，FC=DE=5
∴∠CED=∠FCE，∠FCB=∠EDC，
∵EC=CD
∴∠CED=∠EDC
∴，
∵，∠ABC+∠ECB=180°
∴2∠PBC+2∠FCB=180°
∴∠FBC+∠FCB=90°
∴∠BFC=90°
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)根据垂直平分线的性质及已知条件，用“SSS“证明△ABP≌△CDP，即可由三角形全等的性质得到结论；
(2)利用图形旋转的性质及(1)中结论可证明四边形ABCP的四条边相等，且∠PCB=90°，从而作出判断；(3)连接CF，证明四边形ABCE和四边形CDEF是平行四边形，从而可求FC=DE=5，证明∠FBC+∠FCB=90°得△BFC为直角三角形，根据勾股定理求出BC的长度即可。
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