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浙江省海宁市硖石中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·海宁期中）在数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可.
2．（2025八上·海宁期中）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．7cm D．9cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6-3∴x的取值范围是3观察选项，只有选项C符合题意
故选：C.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三根木条的取值范围.
3．（2025八上·海宁期中）一个不等式的解集为x≥1，那么在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集为x≥1，那么在数轴上表示正确的是D，
故答案为：D.
【分析】】根据数轴上数的大小关系解答.
4．（2025八上·海宁期中） 如图， 已知∠1=∠2， 则下列条件中， 不能使△ABC≌△DCB成立的是(　　)
A．AB=CD B．AC=BD
C．∠A=∠D D．∠ABC =∠DCB
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项，已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明△ABC≌△DCB，故A项错误；
B项，由边角边定理可证△ABC≌△DCB，故B项正确；
C项，由角角边定理可证△ABC≌△DCB，故C项正确；
D项，由角边角定理可证△ABC≌△DCB，故D项正确；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解.
5．（2025八上·海宁期中）在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=7， AC=6，则BC=(　　)
A．3
B．4
C．
D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB为斜边，
∴AB2=AC2+BC2
∵AB=7， AC=6，
∴72=62+BC2
∴BC2=13
∴
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可.
6．（2025八上·海宁期中）下对于命题“如果a<1，那么 能说明它是假命题的反例是 （　　）
A．a=-2 B．a=2 C． D．a=0
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-2时，满足条件a<1，但不能得出a2<1的结论，
∴能说明命题“如果a<1，那么a2<1”是假命题的反例是a=-2，
故选：A.
【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例.
7．（2025八上·海宁期中）如图， 在△ABC中， AB =BC， 由图中的尺规作图得到射线BD，BD.与AC交于点E，点F为BC的中点， 连接EF， 若BE=4，AC=6， 则△EFC的周长为(　　)
A．10 B．9 C．8.5 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC
∴，∠BEC=90°
∵AC=6，
∴，
在Rt△BEC中，BE=4，
∴BC2=BE2+EC2=16+9=25
∴BC=5
∵点F为BC的中点，
∴，
∴△EFC的周长为2.5+2.5+3=8，
故选：D.
【分析】先根据三线合一得到线段相等和直角，根据勾股定理得到BC的长，再运用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半进而得到答案即可.
8．（2025八上·海宁期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】利用尺规作图可知，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
9．（2025八上·海宁期中）若关于x的不等式组 的解集为x<3，则m的取值范围是 （　　）
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 2x-1<5，得x<3.
∵关于x的不等式组的解集为x<3，
∴m+1≥3，
∴m≥2
故选：B.
【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定m的范围.
10．（2025八上·海宁期中）如图， A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形， AE、BD分别与CD、CE交于点M、N， 有如下结论： ①AE = BD； ②EM =CN； ③AM =DN；④△CMN是等边三角形；其中，正确结论的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴AE=BD，①正确；
∠CAM=∠CDN.
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCE=60°
∴∠ACM=∠DCN=60°，
∵AC=DC.
∴△ACM≌△DCN(ASA)
∴CM=CN，②错误；
AM=DN，③正确；
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故选：C.
【分析】先根据等边三角形的性质得到AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，则可证明△ACE≌△DCB(SAS)，从而对进行判断；再证明△ACM≌△DCN(ASA)，则可对②③进行判断；可对④进行判断.
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·海宁期中）如果a”或“<”填空)
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴-3a>-3b，
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质进行解答即可，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变.
12．（2025八上·海宁期中）在△ABC中， AB=AC，∠C=65°， 则∠B=　 　.
【答案】65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，∠C=65°
∴∠B=∠C=65°
故答案为：65°.
【分析】根据“等腰三角形的两底角相等”求解即可.
13．（2025八上·海宁期中）如图， 在△ABC中， ∠B=60°， 点D 在BC 的延长线上， 则∠A=　 　.
【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠B=60°，∠ACD=140°，
∴∠A=140°-60°=80°
故答案为：80°.
【分析】根据外角的性质可得∠ACD=∠A+∠B，代入已知解答即可.
14．（2025八上·海宁期中）直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　．
【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，
斜边上的中线长为；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
斜边上的中线长为，
综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4．
【分析】此题没有明确告知长度为6和8的边长是直角边还是斜边，故需要分类讨论：①6和8都为直角边，根据勾股定理算出斜边的长；②8为斜边，6为直角边，分别利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．
15．（2025八上·海宁期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算m n=mn-m-n+2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2 6=2×6-2-6+2=6，请根据上述定义解决问题：若a<4 x<7，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
【答案】-5≤a<-2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由题知，
4 x=4x-4-x+2=3x-2
∵a<4 x<7
∴a<3x-2<7，
解得
∵此不等式组的整数解有3个
∴，
解得-5≤a<-2
故答案为：-5≤a<-2.
【分析】根据所给定义的新运算，得出关于x的不等式组，再根据此不等式组的解集中只有3个整数解求出a的取值范围即可.
16．（2025八上·海宁期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使DE＝CD？
【答案】5或11
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
若P在C点左侧，则，
∴，
∵，，
∴点D在的角平分线上，
∴，
∴，
∵，即
解得；
若P在C点右侧，
则，
∴，
∵，，
∴点D在的角平分线上，
∴，
∴，
∵，即
解得，
由上可知：t为5或11时，能使DE＝CD．
【分析】在直角三角形ADE中，用勾股定理求得AE的值；由题意分两种情况：①若P在C点左侧，则BP=2t，CP=16-2t，AP=PE+AE=20-2t，在直角三角形APC中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程可求解；②若P在C点右侧，则BP=2t，CP=2t-16，AP=PE+AE=2t-12，在直角三角形APC中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程可求解.
三、解答题(第17题6分, 第18题6分, 第19题6分, 第20题6分, 第21题6分，第22题6分，第23题8分，第24题8分，共52分，请务必写出解答过程)
17．（2025八上·海宁期中）解下列不等式 (组)
（1）5x-3<1-3x
（2）
【答案】（1）解：移项得，5x+3x<1+3，
合并同类项得，8x<4.
化系数为1得，
（2）解：
解不等式①得x≥-1
解不等式②得x<3
故原不等式组的解集是-1≤x<3.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)根据解一元一次不等式的步骤，先移项、再合并同类项、化系数为1即可求出不等式的解集；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可.
18．（2025八上·海宁期中）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹.
（1）在图①中画出△ABC的高线AD.
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E， 连接AE， 使AE平分 的面积.
（3）在图③中的找到一点F， 使△FCB≌△ABC.
【答案】（1）解：如图①所示，线段AD即为所求；
（2）解：如图②所示，线段AE即为所求；
（3）解：如图③所示，△BCF即为所求；
【知识点】尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)找到经过点A且与BC垂直的直线与BC的交点D，连接AD即可；
(2)找到BC的中点E，连接AE即为△ABC的中线；
(3)找到点A关于BC的垂直平分线的对称点F，再连接BF、CF即可.
19．（2025八上·海宁期中）如图，在△ABC和△AED中， AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD.求证： △ABC≌△AED.
【答案】证明：∵∠BAE=∠CAD，
∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△AED，即可解决问题.
20．（2025八上·海宁期中）如图， △ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 连接AG，CE相交于点 H.
（1）求证： AG=CE；
（2）求∠AHE的大小.
【答案】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，
∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE
∴△ADG≌△CDE(SAS)
∴AG=CE
（2）解：设AG与CD交于点B，
∵△ADG≌△CDE
∴∠DAG=∠DCE
又∵∠ABD∠CBH
∴∠CHB=∠ADB=90°
∴∠AHE=90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)首先根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，进而得到∠ADG=∠CDE，即可证明出△ADG≌△CDE(SAS)；
(2)首先根据全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCE，然后根据对顶角相等得到∠ABD=∠CBH，然后利用三角形内角和定理求解即可.
21．（2025八上·海宁期中）习近平总书记强调：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需 100元，购买3 本甲种书和2本乙种书共需165元.
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本
【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元.
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，
根据题意得：35m+30(100-m)≤3200
解得：m≤40，
∴m的最大值为40.
答：该校最多可以购买甲种书40本.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.
22．（2025八上·海宁期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“理想三角形”.
（1）如图， 在△ABC中， 求证：△ABC是“理想三角形”.
（2）在Rt△ABC中， ∠C=90°， AC=6. 若△ABC是“理想三角形”， 求BC的长.
【答案】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴，
由勾股定理得，
∴AD=BC.
即△ABC是“理想三角形”
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2=AE2-CE2.
即
解得，
综上所述，或
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论；
(2)分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可.
23．（2025八上·海宁期中）已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【答案】（1）解：
(①+②)÷2得：a=m-3③，
将③代入②得：-3+m+b=-7-m
解得：b=-2m-4
∴方程组的解为
∵a为负数，b为非正数
∴
解得：-2≤m<3
∴m的取值范围为-2≤m<3
（2）解：∵2mx +x<2m+1
∴(2m+1)x<2m+1
∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
∴2m+2<0
∴
∵-2≤m<3
∴-2≤m<-2
∴m=-1或m=-2
∴当m为-2或-1时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】(1)由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；
(2)由不等式 2mx+x<2m+1的解集为x>1及-2≤m<3，确定m的取值范围.
24．（2025八上·海宁期中）如在△ABC中， AB=AC， 点D 是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在 AD的右侧作△ADE， 使AD=AE， ∠DAE=∠BAC， 连接CE.
（1）如图1， 当点D在线段 BC上， 如果∠BAC=90°， 则∠BCE=　 　度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论.
【答案】（1）90
（2）解：①α+β=180°
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
又∵AB=AC， AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴∠B=∠ACE
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB
∴∠B+∠ACB=β
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°.
②α+β=180°或α=β
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BAC=90°
∴∠DAE=∠BAC=90°
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.
故答案为：90.
(2)②当点D在射线BC上时，α+β=180°
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β
故答案为：α+β=180°或α=β.
【分析】(1)根据已知条件和全等三角形的判定定理，判定出出△ABD≌△ACE，根据全等三角形中对应角相等，及直角三角形的性质可得出结论；
(2)①α+β=180°，理由如下：首先根据等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，然后利用 SAS 判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠ACE ，进而根据三角形的内角和定理即可得出结论；
②分情况讨论：当点D在射线BC上时；当点D在射线BC的反向延长线上时；即可求解.
1 / 1浙江省海宁市硖石中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·海宁期中）在数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·海宁期中）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．2cm B．3cm C．7cm D．9cm
3．（2025八上·海宁期中）一个不等式的解集为x≥1，那么在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·海宁期中） 如图， 已知∠1=∠2， 则下列条件中， 不能使△ABC≌△DCB成立的是(　　)
A．AB=CD B．AC=BD
C．∠A=∠D D．∠ABC =∠DCB
5．（2025八上·海宁期中）在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=7， AC=6，则BC=(　　)
A．3
B．4
C．
D．
6．（2025八上·海宁期中）下对于命题“如果a<1，那么 能说明它是假命题的反例是 （　　）
A．a=-2 B．a=2 C． D．a=0
7．（2025八上·海宁期中）如图， 在△ABC中， AB =BC， 由图中的尺规作图得到射线BD，BD.与AC交于点E，点F为BC的中点， 连接EF， 若BE=4，AC=6， 则△EFC的周长为(　　)
A．10 B．9 C．8.5 D．8
8．（2025八上·海宁期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．（2025八上·海宁期中）若关于x的不等式组 的解集为x<3，则m的取值范围是 （　　）
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
10．（2025八上·海宁期中）如图， A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形， AE、BD分别与CD、CE交于点M、N， 有如下结论： ①AE = BD； ②EM =CN； ③AM =DN；④△CMN是等边三角形；其中，正确结论的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·海宁期中）如果a”或“<”填空)
12．（2025八上·海宁期中）在△ABC中， AB=AC，∠C=65°， 则∠B=　 　.
13．（2025八上·海宁期中）如图， 在△ABC中， ∠B=60°， 点D 在BC 的延长线上， 则∠A=　 　.
14．（2025八上·海宁期中）直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　．
15．（2025八上·海宁期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算m n=mn-m-n+2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2 6=2×6-2-6+2=6，请根据上述定义解决问题：若a<4 x<7，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　.
16．（2025八上·海宁期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为　 　时，能使DE＝CD？
三、解答题(第17题6分, 第18题6分, 第19题6分, 第20题6分, 第21题6分，第22题6分，第23题8分，第24题8分，共52分，请务必写出解答过程)
17．（2025八上·海宁期中）解下列不等式 (组)
（1）5x-3<1-3x
（2）
18．（2025八上·海宁期中）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹.
（1）在图①中画出△ABC的高线AD.
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E， 连接AE， 使AE平分 的面积.
（3）在图③中的找到一点F， 使△FCB≌△ABC.
19．（2025八上·海宁期中）如图，在△ABC和△AED中， AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD.求证： △ABC≌△AED.
20．（2025八上·海宁期中）如图， △ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 连接AG，CE相交于点 H.
（1）求证： AG=CE；
（2）求∠AHE的大小.
21．（2025八上·海宁期中）习近平总书记强调：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需 100元，购买3 本甲种书和2本乙种书共需165元.
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本
22．（2025八上·海宁期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“理想三角形”.
（1）如图， 在△ABC中， 求证：△ABC是“理想三角形”.
（2）在Rt△ABC中， ∠C=90°， AC=6. 若△ABC是“理想三角形”， 求BC的长.
23．（2025八上·海宁期中）已知关于 a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
24．（2025八上·海宁期中）如在△ABC中， AB=AC， 点D 是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在 AD的右侧作△ADE， 使AD=AE， ∠DAE=∠BAC， 连接CE.
（1）如图1， 当点D在线段 BC上， 如果∠BAC=90°， 则∠BCE=　 　度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系 请直接写出你的结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据定义进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6-3∴x的取值范围是3观察选项，只有选项C符合题意
故选：C.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三根木条的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解集为x≥1，那么在数轴上表示正确的是D，
故答案为：D.
【分析】】根据数轴上数的大小关系解答.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项，已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明△ABC≌△DCB，故A项错误；
B项，由边角边定理可证△ABC≌△DCB，故B项正确；
C项，由角角边定理可证△ABC≌△DCB，故C项正确；
D项，由角边角定理可证△ABC≌△DCB，故D项正确；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB为斜边，
∴AB2=AC2+BC2
∵AB=7， AC=6，
∴72=62+BC2
∴BC2=13
∴
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，直接计算即可.
6．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当a=-2时，满足条件a<1，但不能得出a2<1的结论，
∴能说明命题“如果a<1，那么a2<1”是假命题的反例是a=-2，
故选：A.
【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC
∴，∠BEC=90°
∵AC=6，
∴，
在Rt△BEC中，BE=4，
∴BC2=BE2+EC2=16+9=25
∴BC=5
∵点F为BC的中点，
∴，
∴△EFC的周长为2.5+2.5+3=8，
故选：D.
【分析】先根据三线合一得到线段相等和直角，根据勾股定理得到BC的长，再运用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半进而得到答案即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】利用尺规作图可知，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 2x-1<5，得x<3.
∵关于x的不等式组的解集为x<3，
∴m+1≥3，
∴m≥2
故选：B.
【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定m的范围.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴AE=BD，①正确；
∠CAM=∠CDN.
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCE=60°
∴∠ACM=∠DCN=60°，
∵AC=DC.
∴△ACM≌△DCN(ASA)
∴CM=CN，②错误；
AM=DN，③正确；
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故选：C.
【分析】先根据等边三角形的性质得到AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°，则可证明△ACE≌△DCB(SAS)，从而对进行判断；再证明△ACM≌△DCN(ASA)，则可对②③进行判断；可对④进行判断.
11．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴-3a>-3b，
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质进行解答即可，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变.
12．【答案】65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，∠C=65°
∴∠B=∠C=65°
故答案为：65°.
【分析】根据“等腰三角形的两底角相等”求解即可.
13．【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠B=60°，∠ACD=140°，
∴∠A=140°-60°=80°
故答案为：80°.
【分析】根据外角的性质可得∠ACD=∠A+∠B，代入已知解答即可.
14．【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，
斜边上的中线长为；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
斜边上的中线长为，
综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4．
【分析】此题没有明确告知长度为6和8的边长是直角边还是斜边，故需要分类讨论：①6和8都为直角边，根据勾股定理算出斜边的长；②8为斜边，6为直角边，分别利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．
15．【答案】-5≤a<-2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：由题知，
4 x=4x-4-x+2=3x-2
∵a<4 x<7
∴a<3x-2<7，
解得
∵此不等式组的整数解有3个
∴，
解得-5≤a<-2
故答案为：-5≤a<-2.
【分析】根据所给定义的新运算，得出关于x的不等式组，再根据此不等式组的解集中只有3个整数解求出a的取值范围即可.
16．【答案】5或11
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
若P在C点左侧，则，
∴，
∵，，
∴点D在的角平分线上，
∴，
∴，
∵，即
解得；
若P在C点右侧，
则，
∴，
∵，，
∴点D在的角平分线上，
∴，
∴，
∵，即
解得，
由上可知：t为5或11时，能使DE＝CD．
【分析】在直角三角形ADE中，用勾股定理求得AE的值；由题意分两种情况：①若P在C点左侧，则BP=2t，CP=16-2t，AP=PE+AE=20-2t，在直角三角形APC中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程可求解；②若P在C点右侧，则BP=2t，CP=2t-16，AP=PE+AE=2t-12，在直角三角形APC中，用勾股定理可得关于t的方程，解方程可求解.
17．【答案】（1）解：移项得，5x+3x<1+3，
合并同类项得，8x<4.
化系数为1得，
（2）解：
解不等式①得x≥-1
解不等式②得x<3
故原不等式组的解集是-1≤x<3.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)根据解一元一次不等式的步骤，先移项、再合并同类项、化系数为1即可求出不等式的解集；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可.
18．【答案】（1）解：如图①所示，线段AD即为所求；
（2）解：如图②所示，线段AE即为所求；
（3）解：如图③所示，△BCF即为所求；
【知识点】尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)找到经过点A且与BC垂直的直线与BC的交点D，连接AD即可；
(2)找到BC的中点E，连接AE即为△ABC的中线；
(3)找到点A关于BC的垂直平分线的对称点F，再连接BF、CF即可.
19．【答案】证明：∵∠BAE=∠CAD，
∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△AED，即可解决问题.
20．【答案】（1）证明：∵△ADC与△EDG均为等腰直角三角形，
∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE
∴△ADG≌△CDE(SAS)
∴AG=CE
（2）解：设AG与CD交于点B，
∵△ADG≌△CDE
∴∠DAG=∠DCE
又∵∠ABD∠CBH
∴∠CHB=∠ADB=90°
∴∠AHE=90°
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)首先根据等腰直角三角形的性质得到AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，进而得到∠ADG=∠CDE，即可证明出△ADG≌△CDE(SAS)；
(2)首先根据全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCE，然后根据对顶角相等得到∠ABD=∠CBH，然后利用三角形内角和定理求解即可.
21．【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元.
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，
根据题意得：35m+30(100-m)≤3200
解得：m≤40，
∴m的最大值为40.
答：该校最多可以购买甲种书40本.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC
∴，
由勾股定理得，
∴AD=BC.
即△ABC是“理想三角形”
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2=AE2-CE2.
即
解得，
综上所述，或
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论；
(2)分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可.
23．【答案】（1）解：
(①+②)÷2得：a=m-3③，
将③代入②得：-3+m+b=-7-m
解得：b=-2m-4
∴方程组的解为
∵a为负数，b为非正数
∴
解得：-2≤m<3
∴m的取值范围为-2≤m<3
（2）解：∵2mx +x<2m+1
∴(2m+1)x<2m+1
∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
∴2m+2<0
∴
∵-2≤m<3
∴-2≤m<-2
∴m=-1或m=-2
∴当m为-2或-1时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】(1)由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；
(2)由不等式 2mx+x<2m+1的解集为x>1及-2≤m<3，确定m的取值范围.
24．【答案】（1）90
（2）解：①α+β=180°
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE.
又∵AB=AC， AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴∠B=∠ACE
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB
∴∠B+∠ACB=β
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°.
②α+β=180°或α=β
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BAC=90°
∴∠DAE=∠BAC=90°
∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.
故答案为：90.
(2)②当点D在射线BC上时，α+β=180°
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β
故答案为：α+β=180°或α=β.
【分析】(1)根据已知条件和全等三角形的判定定理，判定出出△ABD≌△ACE，根据全等三角形中对应角相等，及直角三角形的性质可得出结论；
(2)①α+β=180°，理由如下：首先根据等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，然后利用 SAS 判断出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠ACE ，进而根据三角形的内角和定理即可得出结论；
②分情况讨论：当点D在射线BC上时；当点D在射线BC的反向延长线上时；即可求解.
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