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浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·杭州期中）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·杭州期中）不等式x－2＞0的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2025八上·杭州期中）如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
4．（2025八上·杭州期中）若aA．a+c5．（2025八上·杭州期中）对于命题“若|x|>|y|，则x>y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（　　）
A．x=-4， y=-1 B．x=5， y=-2
C．x=1， y=0 D．x=-3， y=-4
6．（2025八上·杭州期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （　　）
A．三边的长度分别为1，2，
B．∠A， ∠B， ∠C的度数比为5： 12： 13
C．∠A=∠B+∠C
D．∠B=∠C=45°
7．（2025八上·杭州期中）如图，一根木棍AB斜靠在与地面 (OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为 P.若木棍A端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行，在木棍滑动的过程中，PO 的长度（　　）
A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断
8．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D， 且NM=ND， 若∠A=α， 则∠C= (　　)
A． B． C．120°-α D．2α-90°
9．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　).
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
10．（2025八上·杭州期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 以AB， AC为边作正方形，点E落在FG上.记正方形ABDE 的面积为S1，△AEG 的面积为S2，设BF=x，EF=y.若， ，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x-y C．xy D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·杭州期中）a与3的和是正数，用不等式表示为　 　.
12．（2025八上·杭州期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　 　
13．（2025八上·杭州期中）如图，点D，E分别在边AB，AC上，BE=CD，∠B=∠C，若AD=3，AC=5，则BD= 　 　 .
14．（2025八上·杭州期中）已知关于x的一元一次不等式 ax+1>0的解集是x<2，则a的值是　 　.
15．（2025八上·杭州期中）如图， 在等边△ABC中， 点D、E分别在边AB、AC上， DE∥BC， 点F在BC延长线上，且EB=EF， 若BD=4， BF=8， 则线段DE的长为 　 　 .
16．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 点D在△ABC内， AD平分∠BAC， 连接CD， 把△ADC沿 CD 折叠， AC落在 CE 处， 交AB 于 F， 恰有 CE⊥AB. 若BC=10， AD=7， 则∠ADC=　 　 ，EF=　 　.
三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·杭州期中）解下列一元一次不等式
（1） 3x-1<2x+4；
（2）
18．（2025八上·杭州期中）已知， △ABC的三边长分别为4， 9， x.
（1）x的取值范围是　 　；
（2）若它是一个等腰三角形，求它的周长.
19．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AD是△ABC的高， AE是△ABC的角平分线， 已知 =40°.
（1） 求∠DAE的大小.
（2） 若BF是∠ABC的角平分线， 求∠AGB的大小.
20．（2025八上·杭州期中）在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D 均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答.
（1）画出线段AB关于直线 CD对称的线段A1B1；
（2）请仅用无刻度的直尺画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M， N. 并求出 MN的长.
21．（2025八上·杭州期中）如图，在四边形ABDC中， OA 平分. OC平分∠ACD. 求证：
（1） 点O为BD的中点，；
（2） AB+CD=AC.
22．（2025八上·杭州期中）已知关于x的方程2x-a=-1的解为负数.
（1）求a的取值范围；
（2） 已知b-a=3， 求a+b的取值范围.
23．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D， AD=BD， 点E在AD上，DE=DC， 连结BE. M， N分别是BE， AC的中点， 连结MN， ND， MD.
（1） 求证： BE=AC.
（2）求证：△MND 是等腰直角三角形.
（3）若DC=1， ∠ABE=15°， 求MN的长.
24．（2025八上·杭州期中）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得.
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由x－2＞0
得x>2
观察四个选项，A选项表示不等式x<2的解集，故A选项不符合题意；
B选项表示不等式的解集，故B选项不符合题意；
C选项表示不等式的解集，故C选项不符合题意；
D选项表示不等式x>2的解集，故D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据题意可知， 都是已知的，所以利用ASA可以得到△ABC的全等三角形，从而就可画出跟原来一样的图形.
故答案为：C.
【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A选项，∵a∴a+cB选项，∵a∴a-cC选项，∵a∴ac2D选项，∵a∴当c>0时，
当c<0时，，故该选项符合题意；
故选：D.
【分析】根据不等式的基本性质判断即可.
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：A、当x=-4，y=-1时，|x|>|y|，而x|y|，则x>y”是假命题，符合题意；
B、当x=5，y=-2时，|x|>|y|，x>y，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
C、当x=1，y=0时，|x|>|y|，x>y，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
D、当x=-3，y=-4时，|x|<|y|，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
故选：A.
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较以及假命题的概念解答即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=5：12：13，∠A+∠B+∠C=180°
∴最大角
∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠A=180°
∴∠A=90°
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠B=∠C=45°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=90°
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OP，
∵ON⊥OM.
∴∠AOB=90°
∵点P是AB的中点
∴，
∴在木棍滑动的过程中，PO的长度不变
故选：B.
【分析】连接OP，根据垂直定义可得：∠AOB=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α
∴∠ABM=∠NBM=90°-α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°-α.
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°-3α
∴∠C=2α-90°
故选：D.
【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM=∠NBM=90°-α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°-α，最后由三角形内角和求出∠C即可.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC
∵∠B=90°，
∴BD=DE，
∵DE⊥AC，∠B=90°
∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠CAB，故①正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AB，
∴AC=AE+EC=AB+EC，故②正确，
故选：A.
【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设GE=a，
∵EF=y，
∴GF=GE+EF=a+y，
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG=AC=CF=GF=a+y， ∠CAG=∠G=∠ACB=90°
∴，
∵四边形ABDE为正方形，
∴AE=AB=BD=ED，
在Rt△AEG和Rt△ABC中，
∴Rt△AEG≌Rt△ABC(HL)，
∴GE=BC=a，
∵BF=x.
∴CF=BF-BC=x-a，
∴a+y=x-a，
∴
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2=GE2+AG2=a2+(a+y)2，
∴S1=AE2=a2+(a+y)2=2a2+2ay+y2，
∵S1=6S2，
∴，
整理得：y2=a2+ay，
将代入y2=a2+ay，得：，
整理得：x2=5y2，
∵x>0，y>0，
∴，
∴，
∴代数式的值不变
故选：D.
【分析】设GE=a， 则AG=AC=CF=GF=a+y，，证明Rt△AEG和Rt△ABC全等得GE=BC=a，则CF=x-a，由此得a+y=x-a，则，根据勾股定理及正方形的面积公式得S1=AE2=2a2+2ay+y2，则，整理得y2=a2+ay， 将代入y2=a2+ay， 得：，整理得：x2=5y2，进而得，据此即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵a与3的和是正数，
∴a+3＞0，
故答案为：a+3＞0.
【分析】根据正数的定义，结合题意列不等式即可。
12．【答案】相等的角为对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
13．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD(AAS)
∴AB=AC=5，AD=AE=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2
故答案为：2.
【分析】根据条件证明△ABE≌△ACD，得出相等的边，然后根据线段的和差进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：ax+1>0
ax>-1
当a>0时，系数化为1得，舍去，
当a<0时，系数化为1得
∵不等式ax+1>0的解集是x<2，
∴，即
经检验，是原方程的根，
故答案为：.
【分析】先解不等式ax+1>0，然后根据不等式ax+1>0的解集是x<2求出a的值即可.
15．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC.
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE是等边三角形
∵BD=4.
∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°
在Rt△CHE中，
∵∠ACB=60°，EC=BD=4，
∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30°
∴
∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x，
∵EB=EF.
∴△EBF是等腰三角形
∵EH⊥BF，BF=8.
∴BH=FH=4，
∴2+x=4
∴x=2
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】过E点作EH⊥BF，设DE=x，根据△ABC是等边三角形，DE//BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD=4，得到EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°，在Rt△CHE中求得CH=2，表示出BH=2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF=8，得到BH=FH=4，即可求得线段DE的长.
16．【答案】135°；
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠E=∠OAD，
∵CE⊥AB，
∴∠EFO=90°
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠ADO=∠EFO=90°，
∴∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，
∴2∠ADC=360°-90°，
∴∠ADC=135°
延长AD交BC于H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，，
∵∠CDH=180°-∠ADC=45°
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH=HC=5，
∴AH=AD+DH=7+5=12，
∴
由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，
∵△ABC 的面积，
∴13CF=10×12，
∴
∴
故答案为：135°；.
【分析】由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，由垂直的定义得到∠EFO=90°，由三角形内角和定理得到∠ADO=∠EFO=90°，由∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，即可求出∠ADC的度数；
延长AD交BC于H，由等腰三角形的性质推出AH⊥BC，，求出∠CDH=45°，得到△CDH是等腰直角三角形，因此DH=HC=5，得到AH=AD+DH=7+5=12，由勾股定理求出，由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，由三角形面积公式得到△ABC的面积，即可求出EF的长.
17．【答案】（1）解：移项得：3x-2x<4+1，
合并同类项得：x<5
（2）解：去分母，得2(x+1)-3(2x-5)≥12，
去括号，得2x+2-6x+15≥12，
移项，得2x-6x≥12-15-2，
合并同类项，得-4x≥-5，
的系数化为1，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集；
(2)按照去分母，无括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集.
18．【答案】（1）5（2）解：若△ABC为等腰三角形，x=4或9，
当x=4时，不符合三角形的三边关系，应舍去，
∴x=9，
∴等腰△ABC的周长为L=9+9+4=22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴9-4∴5故答案为：5【分析】(1)根据三角形的三边关系定理即可求解；
(2)先确定△ABC为等腰三角形时x=9，再用三角形周长公式即可求解.
19．【答案】（1）解：∵∠BAC=80°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线
∴∠BAD=90°-∠ABC=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°
（2）解：(2)由(1)得：∠ABC=60°，∠BAE=40°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴
∴∠AGB=180°-∠ABF-∠BAE=110°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】(1)由三角形的内角和可求得∠ABC=60°，再由AD是高，AE是角平分线，可求得∠BAD=30°，∠BAE=40°，从而可求∠DAE的度数；
(2)由(1)可知∠ABC=60°，∠BAE=40°，再由BF是角平分线可得∠ABF=30°，利用三角形的内角和即可求∠AGB的度数.
20．【答案】（1）解：如图，线段A1B1为所求作的图形.
（2）解：如图，直线l为所求作的直线，
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质画图即可；利用勾股定理计算MN的长即可.
21．【答案】（1）证明：过点O作OH⊥AC于H，
又∵OB⊥AB，OA平分∠BAC
∴OB=OH，
又∵OH⊥CA， OD⊥CD，CO平分∠ACD
∴OH=OD，
∴OB=OD，即点O为BD的中点
（2）证明：如图，延长AO交CD延长线于点E，
∵点O为BD的中点，
∴BO=DO
∵∠ODC+∠ODE=180°
∴∠ODE=∠ABD=90°
在△AOB和△EOD中，
∴△AOB≌△EOD(ASA)，
∴AB=DE，
∵∠D=∠ABD =90°
∴∠D+∠ABD=180
∴AB//CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∵OA平分∠BAC，OC平分∠ACD
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°.
∴∠AOC=∠EOC=90°
在△AOC和△EOC中，
∴△AOC≌△EOC(ASA)，
∴AC=CE，
∵DE+CD=CE
∴AB+CD=CE
∴AB+CD=AC
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)过点O作OH⊥AC于H，然后根据角平分线的性质进行证明即可；
(2)延长AO交CD延长线于点E，先根据已知条件证明△AOB≌△EOD，从而证明AB=DE，然后再证明△AOC≌△EOC，从而证明AC=CE，最后根据CE=CD+DE进行证明即可.
22．【答案】（1）解：∵2x-a=-1，
∴
∵解为负数、
∴，
解这个不等式，得a<1，
∴a的取值范围是a <1
（2）解：∵b-a=3，
∴b=3+a，
∵a<1，
∴a+b= 2a+3<5
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】(1)先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可；
(2)变形，把第一问的结果代入，即可.
23．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在 A BED和 A ACD中，
∴△BED≌△ACD(SAS)
∴BE=AC
（2）证明：∵△BED≌△ACD，
∴∠DAC=∠DBE，BE=AC
∵M，N分别是BE，AC的中点，∠ADB=∠ADC=90°
∴，，
∴DM=DN，∠MED=∠MDE，∠ADN=∠DAN
∴∠MDE+∠ADN=∠MED+∠DAN=∠MED+∠DBE=90°
∴∠MDN=90°
又∵DM=DN，
∴△MND是等腰直角三角形
（3）解：∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°
∵∠ABE=15°，
∴∠EBD=30°
∴BE-2DE=2CD=2，
由(2)知：，△MND是等腰直角三角形，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)利用SAS证明△BED≌△ACD即可得出结论；
(2)根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到DM=DN，∠MDN=90°，即可得证；
(3)根据含30度角的直角三角形的性质，求出BE的长，进而求出DM的长，根据勾股定理求出MN的长即可.
24．【答案】（1）是
（2）解：AD=BC，
证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB
∴AC2-BC2=CD2，
∵AC2-AD2=CD2
∴AC2-AD2=AC2-BC2，
即AD2=BC2，
∴AD=BC
（3）解：如图，过点A作AG⊥DE于点G，
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，AB=AC>BC，
∴AC2-BC2=CD2
由(2)得：AD=BC
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠AGD=∠CDB=90°
∴△AGD≌△CDB(AAS)
∴DG=BD，
∵DE//BC.
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE，
∴AB-AD= AC-AE，
∴CE=BD，
∴DG=BD=CE
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，且CA是CB边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形
故答案为：是.
【分析】(1)根据勾股高三角形的定义，即可求解；
(2)根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得AC2-AD2=AC2-BC2，即可求解；
(3)过点A作AG⊥DE于点G，根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，再证明△AGD≌△CDB，可得DG=BD，然后根据等腰三角形的判定和性质可得AD=AE，从而得到DG=BD=CE，即可求解.
1 / 1浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·杭州期中）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得.
2．（2025八上·杭州期中）不等式x－2＞0的解集在数轴上的表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由x－2＞0
得x>2
观察四个选项，A选项表示不等式x<2的解集，故A选项不符合题意；
B选项表示不等式的解集，故B选项不符合题意；
C选项表示不等式的解集，故C选项不符合题意；
D选项表示不等式x>2的解集，故D选项符合题意．
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集，再在数轴上画出解集即可。
3．（2025八上·杭州期中）如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据题意可知， 都是已知的，所以利用ASA可以得到△ABC的全等三角形，从而就可画出跟原来一样的图形.
故答案为：C.
【分析】根据现有的边和角利用全等三角形的判定方法即可得到答案.
4．（2025八上·杭州期中）若aA．a+c【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A选项，∵a∴a+cB选项，∵a∴a-cC选项，∵a∴ac2D选项，∵a∴当c>0时，
当c<0时，，故该选项符合题意；
故选：D.
【分析】根据不等式的基本性质判断即可.
5．（2025八上·杭州期中）对于命题“若|x|>|y|，则x>y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（　　）
A．x=-4， y=-1 B．x=5， y=-2
C．x=1， y=0 D．x=-3， y=-4
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：A、当x=-4，y=-1时，|x|>|y|，而x|y|，则x>y”是假命题，符合题意；
B、当x=5，y=-2时，|x|>|y|，x>y，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
C、当x=1，y=0时，|x|>|y|，x>y，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
D、当x=-3，y=-4时，|x|<|y|，不能说明命题“若|x|>|y|，则x>y”是假命题，不符合题意；
故选：A.
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较以及假命题的概念解答即可.
6．（2025八上·杭州期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （　　）
A．三边的长度分别为1，2，
B．∠A， ∠B， ∠C的度数比为5： 12： 13
C．∠A=∠B+∠C
D．∠B=∠C=45°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵
∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=5：12：13，∠A+∠B+∠C=180°
∴最大角
∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠A=180°
∴∠A=90°
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠B=∠C=45°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=90°
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可.
7．（2025八上·杭州期中）如图，一根木棍AB斜靠在与地面 (OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为 P.若木棍A端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行，在木棍滑动的过程中，PO 的长度（　　）
A．变大 B．不变 C．变小 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OP，
∵ON⊥OM.
∴∠AOB=90°
∵点P是AB的中点
∴，
∴在木棍滑动的过程中，PO的长度不变
故选：B.
【分析】连接OP，根据垂直定义可得：∠AOB=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答.
8．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D， 且NM=ND， 若∠A=α， 则∠C= (　　)
A． B． C．120°-α D．2α-90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α
∴∠ABM=∠NBM=90°-α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°-α.
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°-3α
∴∠C=2α-90°
故选：D.
【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM=∠NBM=90°-α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°-α，最后由三角形内角和求出∠C即可.
9．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， 依据尺规作图痕迹， 给出结论：①∠CDE=∠CAB； 结论②AB+EC=AC. 下列判断正确的是(　　).
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC
∵∠B=90°，
∴BD=DE，
∵DE⊥AC，∠B=90°
∴∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°
∴∠CDE=∠CAB，故①正确；
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AB，
∴AC=AE+EC=AB+EC，故②正确，
故选：A.
【分析】由作图可得：AD平分∠BAC，DE⊥AC，由角平分线的性质定理可得BD=DE，由∠BAC+∠C=∠C+∠CDE=90°即可判断①；证明Rt△ABD≌Rt△AED(HL)即可判断②.
10．（2025八上·杭州期中） 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 以AB， AC为边作正方形，点E落在FG上.记正方形ABDE 的面积为S1，△AEG 的面积为S2，设BF=x，EF=y.若， ，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x-y C．xy D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设GE=a，
∵EF=y，
∴GF=GE+EF=a+y，
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG=AC=CF=GF=a+y， ∠CAG=∠G=∠ACB=90°
∴，
∵四边形ABDE为正方形，
∴AE=AB=BD=ED，
在Rt△AEG和Rt△ABC中，
∴Rt△AEG≌Rt△ABC(HL)，
∴GE=BC=a，
∵BF=x.
∴CF=BF-BC=x-a，
∴a+y=x-a，
∴
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2=GE2+AG2=a2+(a+y)2，
∴S1=AE2=a2+(a+y)2=2a2+2ay+y2，
∵S1=6S2，
∴，
整理得：y2=a2+ay，
将代入y2=a2+ay，得：，
整理得：x2=5y2，
∵x>0，y>0，
∴，
∴，
∴代数式的值不变
故选：D.
【分析】设GE=a， 则AG=AC=CF=GF=a+y，，证明Rt△AEG和Rt△ABC全等得GE=BC=a，则CF=x-a，由此得a+y=x-a，则，根据勾股定理及正方形的面积公式得S1=AE2=2a2+2ay+y2，则，整理得y2=a2+ay， 将代入y2=a2+ay， 得：，整理得：x2=5y2，进而得，据此即可得出答案.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·杭州期中）a与3的和是正数，用不等式表示为　 　.
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵a与3的和是正数，
∴a+3＞0，
故答案为：a+3＞0.
【分析】根据正数的定义，结合题意列不等式即可。
12．（2025八上·杭州期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　 　
【答案】相等的角为对顶角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
13．（2025八上·杭州期中）如图，点D，E分别在边AB，AC上，BE=CD，∠B=∠C，若AD=3，AC=5，则BD= 　 　 .
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD(AAS)
∴AB=AC=5，AD=AE=3，
∴BD=AB-AD=5-3=2
故答案为：2.
【分析】根据条件证明△ABE≌△ACD，得出相等的边，然后根据线段的和差进行求解即可.
14．（2025八上·杭州期中）已知关于x的一元一次不等式 ax+1>0的解集是x<2，则a的值是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：ax+1>0
ax>-1
当a>0时，系数化为1得，舍去，
当a<0时，系数化为1得
∵不等式ax+1>0的解集是x<2，
∴，即
经检验，是原方程的根，
故答案为：.
【分析】先解不等式ax+1>0，然后根据不等式ax+1>0的解集是x<2求出a的值即可.
15．（2025八上·杭州期中）如图， 在等边△ABC中， 点D、E分别在边AB、AC上， DE∥BC， 点F在BC延长线上，且EB=EF， 若BD=4， BF=8， 则线段DE的长为 　 　 .
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF，
设DE=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°
∵DE//BC.
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE是等边三角形
∵BD=4.
∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°
在Rt△CHE中，
∵∠ACB=60°，EC=BD=4，
∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30°
∴
∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x，
∵EB=EF.
∴△EBF是等腰三角形
∵EH⊥BF，BF=8.
∴BH=FH=4，
∴2+x=4
∴x=2
∴DE=2
故答案为：2.
【分析】过E点作EH⊥BF，设DE=x，根据△ABC是等边三角形，DE//BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD=4，得到EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°，在Rt△CHE中求得CH=2，表示出BH=2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF=8，得到BH=FH=4，即可求得线段DE的长.
16．（2025八上·杭州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 点D在△ABC内， AD平分∠BAC， 连接CD， 把△ADC沿 CD 折叠， AC落在 CE 处， 交AB 于 F， 恰有 CE⊥AB. 若BC=10， AD=7， 则∠ADC=　 　 ，EF=　 　.
【答案】135°；
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠E=∠OAD，
∵CE⊥AB，
∴∠EFO=90°
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠ADO=∠EFO=90°，
∴∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，
∴2∠ADC=360°-90°，
∴∠ADC=135°
延长AD交BC于H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，，
∵∠CDH=180°-∠ADC=45°
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH=HC=5，
∴AH=AD+DH=7+5=12，
∴
由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，
∵△ABC 的面积，
∴13CF=10×12，
∴
∴
故答案为：135°；.
【分析】由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，由垂直的定义得到∠EFO=90°，由三角形内角和定理得到∠ADO=∠EFO=90°，由∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，即可求出∠ADC的度数；
延长AD交BC于H，由等腰三角形的性质推出AH⊥BC，，求出∠CDH=45°，得到△CDH是等腰直角三角形，因此DH=HC=5，得到AH=AD+DH=7+5=12，由勾股定理求出，由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，由三角形面积公式得到△ABC的面积，即可求出EF的长.
三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·杭州期中）解下列一元一次不等式
（1） 3x-1<2x+4；
（2）
【答案】（1）解：移项得：3x-2x<4+1，
合并同类项得：x<5
（2）解：去分母，得2(x+1)-3(2x-5)≥12，
去括号，得2x+2-6x+15≥12，
移项，得2x-6x≥12-15-2，
合并同类项，得-4x≥-5，
的系数化为1，得
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集；
(2)按照去分母，无括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集.
18．（2025八上·杭州期中）已知， △ABC的三边长分别为4， 9， x.
（1）x的取值范围是　 　；
（2）若它是一个等腰三角形，求它的周长.
【答案】（1）5（2）解：若△ABC为等腰三角形，x=4或9，
当x=4时，不符合三角形的三边关系，应舍去，
∴x=9，
∴等腰△ABC的周长为L=9+9+4=22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴9-4∴5故答案为：5【分析】(1)根据三角形的三边关系定理即可求解；
(2)先确定△ABC为等腰三角形时x=9，再用三角形周长公式即可求解.
19．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AD是△ABC的高， AE是△ABC的角平分线， 已知 =40°.
（1） 求∠DAE的大小.
（2） 若BF是∠ABC的角平分线， 求∠AGB的大小.
【答案】（1）解：∵∠BAC=80°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线
∴∠BAD=90°-∠ABC=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°
（2）解：(2)由(1)得：∠ABC=60°，∠BAE=40°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴
∴∠AGB=180°-∠ABF-∠BAE=110°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】(1)由三角形的内角和可求得∠ABC=60°，再由AD是高，AE是角平分线，可求得∠BAD=30°，∠BAE=40°，从而可求∠DAE的度数；
(2)由(1)可知∠ABC=60°，∠BAE=40°，再由BF是角平分线可得∠ABF=30°，利用三角形的内角和即可求∠AGB的度数.
20．（2025八上·杭州期中）在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D 均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答.
（1）画出线段AB关于直线 CD对称的线段A1B1；
（2）请仅用无刻度的直尺画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M， N. 并求出 MN的长.
【答案】（1）解：如图，线段A1B1为所求作的图形.
（2）解：如图，直线l为所求作的直线，
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质画图即可；利用勾股定理计算MN的长即可.
21．（2025八上·杭州期中）如图，在四边形ABDC中， OA 平分. OC平分∠ACD. 求证：
（1） 点O为BD的中点，；
（2） AB+CD=AC.
【答案】（1）证明：过点O作OH⊥AC于H，
又∵OB⊥AB，OA平分∠BAC
∴OB=OH，
又∵OH⊥CA， OD⊥CD，CO平分∠ACD
∴OH=OD，
∴OB=OD，即点O为BD的中点
（2）证明：如图，延长AO交CD延长线于点E，
∵点O为BD的中点，
∴BO=DO
∵∠ODC+∠ODE=180°
∴∠ODE=∠ABD=90°
在△AOB和△EOD中，
∴△AOB≌△EOD(ASA)，
∴AB=DE，
∵∠D=∠ABD =90°
∴∠D+∠ABD=180
∴AB//CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∵OA平分∠BAC，OC平分∠ACD
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°.
∴∠AOC=∠EOC=90°
在△AOC和△EOC中，
∴△AOC≌△EOC(ASA)，
∴AC=CE，
∵DE+CD=CE
∴AB+CD=CE
∴AB+CD=AC
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)过点O作OH⊥AC于H，然后根据角平分线的性质进行证明即可；
(2)延长AO交CD延长线于点E，先根据已知条件证明△AOB≌△EOD，从而证明AB=DE，然后再证明△AOC≌△EOC，从而证明AC=CE，最后根据CE=CD+DE进行证明即可.
22．（2025八上·杭州期中）已知关于x的方程2x-a=-1的解为负数.
（1）求a的取值范围；
（2） 已知b-a=3， 求a+b的取值范围.
【答案】（1）解：∵2x-a=-1，
∴
∵解为负数、
∴，
解这个不等式，得a<1，
∴a的取值范围是a <1
（2）解：∵b-a=3，
∴b=3+a，
∵a<1，
∴a+b= 2a+3<5
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】(1)先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可；
(2)变形，把第一问的结果代入，即可.
23．（2025八上·杭州期中）如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D， AD=BD， 点E在AD上，DE=DC， 连结BE. M， N分别是BE， AC的中点， 连结MN， ND， MD.
（1） 求证： BE=AC.
（2）求证：△MND 是等腰直角三角形.
（3）若DC=1， ∠ABE=15°， 求MN的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在 A BED和 A ACD中，
∴△BED≌△ACD(SAS)
∴BE=AC
（2）证明：∵△BED≌△ACD，
∴∠DAC=∠DBE，BE=AC
∵M，N分别是BE，AC的中点，∠ADB=∠ADC=90°
∴，，
∴DM=DN，∠MED=∠MDE，∠ADN=∠DAN
∴∠MDE+∠ADN=∠MED+∠DAN=∠MED+∠DBE=90°
∴∠MDN=90°
又∵DM=DN，
∴△MND是等腰直角三角形
（3）解：∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°
∵∠ABE=15°，
∴∠EBD=30°
∴BE-2DE=2CD=2，
由(2)知：，△MND是等腰直角三角形，
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)利用SAS证明△BED≌△ACD即可得出结论；
(2)根据全等三角形的性质，和斜边上的中线，得到DM=DN，∠MDN=90°，即可得证；
(3)根据含30度角的直角三角形的性质，求出BE的长，进而求出DM的长，根据勾股定理求出MN的长即可.
24．（2025八上·杭州期中）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
【答案】（1）是
（2）解：AD=BC，
证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB
∴AC2-BC2=CD2，
∵AC2-AD2=CD2
∴AC2-AD2=AC2-BC2，
即AD2=BC2，
∴AD=BC
（3）解：如图，过点A作AG⊥DE于点G，
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，AB=AC>BC，
∴AC2-BC2=CD2
由(2)得：AD=BC
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠AGD=∠CDB=90°
∴△AGD≌△CDB(AAS)
∴DG=BD，
∵DE//BC.
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE，
∴AB-AD= AC-AE，
∴CE=BD，
∴DG=BD=CE
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，且CA是CB边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形
故答案为：是.
【分析】(1)根据勾股高三角形的定义，即可求解；
(2)根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得AC2-AD2=AC2-BC2，即可求解；
(3)过点A作AG⊥DE于点G，根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，再证明△AGD≌△CDB，可得DG=BD，然后根据等腰三角形的判定和性质可得AD=AE，从而得到DG=BD=CE，即可求解.
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