资源简介

浙江省湖州市德清县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试题
1．（2025九上·德清期中）已知⊙O的半径r=3， OP=2， 则点P与⊙O 的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点 P在⊙O上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径r=3，点P到圆心O的距离OP=2，2<3，
∴点P在⊙O内.
故选：A.
【分析】判断点与圆的位置是比较“点到圆心的距离”d与“半径”r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d2．（2025九上·德清期中）在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：口袋中球的总数为5+4+1=10（个），红球有4个，
∴P（摸到红球）.
故选：B.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有4个红球，所以摸到红球的结果可能是红1，红2，红3，红4，共有4种结果，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
3．（2025九上·德清期中）将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为(　　)
A．y=(x+3)2+1 B． C．y=(x-3)2+1 D．y=(x-3)2-1
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：y=x2向右平移3个单位得y=(x-3)2，再向下平移1个单位得y=(x-3)2-1.
故选：D.
【分析】抛物线平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”.y=x2向右平移3个单位，则x变成（x-3），将（x-3）整体代入原解析式得到新的解析式，再向下平移1个单位，在前面得到的解析式的基础上减1.（抛物线平移核心的点是：二次项系数不变，形状不变，只是位置的变化
4．（2025九上·德清期中） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CDB=26°， 则∠BOC的度数是(　　)
A．60° B．52° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵圆周角∠CDB与圆心角∠BOC对应的弧都是，
∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°.
故选：B.
【分析】根据圆周角和圆心角的定义，可得圆周角∠CDB与圆心角∠BOC对应的弧都是，根据圆周角定理解答即可
5．（2025九上·德清期中）下列事件中，必然事件是 (　　)
A．阴天会下雨
B．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
C．13名同学，至少有两人的出生月份相同
D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.阴天可能下雨，也可能不下雨，故A选项属于随机事件，不符合题意；
B.掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能正面向下，故B选项属于随机事件，不符合题意；
C.一年只有12个月份，根据抽屉原理，至少有两人出生月份相同，故C选项属于必然事件，符合题意；
D.车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯、绿灯、黄灯，故C选项属于随机事件，不符合题意.
故选：C.
【分析】必然事件是“一定发生的事件”，需结合常识和数学原理（如抽屉原理）判断，排除随机事件
6．（2025九上·德清期中）在函数 的图象上有三点， A1(-2， y1)， A2(-1， y2)， A3(1， y3)， 则下列各式中，正确的是 (　　)
A．y1【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A1（-2，y1）代入函数解析式，得y1=2×（-2）2+4×（-2）-3=-3；
将A2（-1，y2）代入函数解析式，得y2=2×（-1）2+4×（-1）-3=-5；
将A3（1，y3）代入函数解析式，得y3=2×12+4×1-3=3；
∴y2故选：C.
【分析】将三个点分别代入函数解析式，求出y1，y2，y3，再比较大小即可
7．（2025九上·德清期中） 如图，在⊙O中， AB是⊙O的直径， CD 是弦， 且AB⊥CD于点E，CD=4， OE=1.5， 则⊙O的半径是(　　)
A．2.5 B．2.25 C．2.4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=.
在Rt△OCE中，OE=1.5，CE=2，
由勾股定理得OC2=.
故选：A.
【分析】根据垂径定理，可得CE=，求出CD，再结合半径、弦心距构成直角三角形，用勾股定理求解.
8．（2025九上·德清期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为(　　)
A．6m B．7m C．8m D．9m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离.
即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩，
解此方程得x1=-1（舍），x2=9，
∴小童此次实心球训练的成绩为9m.
故选：D .
【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可.
9．（2025九上·德清期中）如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O，D、E分别是 的中点， ∠DAE=α，∠BAC=β， 则(　　)
A．α+β=180° B．2β=α
C．α-β=45° D．2α-β=180°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE.
∵D、E分别是、的中点，
∴，，
∴∠ACD＝∠BCD，∠ABE=∠CBE，
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠BCD=∠ACB，∠CBE=∠ABC.
∵∠BAD＝∠BCD，∠CAE=∠CBE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE+∠BAC
=∠BCD+∠CBE+∠BAC
=∠ACB+∠ABC+∠BAC
=（∠ACB+∠ABC）+∠BAC
=（180°-∠BAC）+∠BAC
=90°∠BAC+∠BAC
=90°+∠BAC.
即α=90°+β，
∴2α-β=180°.
故选：D．
【分析】本题探究α和β的数量关系，从α入手，∠DAE=α=∠BAD+∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠CAE+β，又已知∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，那么∠BAD、∠CAE分别与∠ABC、∠ACB有什么数量关系，结合已知条件“D、E分别是、的中点”以及圆周角定理的推论“同弧或等弧所对的圆周角相等”推理即可.
10．（2025九上·德清期中）关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点(x1， 0)， (x2， 0) 关于x的方程 有两个非零实数根 甲、乙两人得出以下结论：甲： 乙：.则以下判断正确的是(　　)
A．甲对，乙错 B．甲、乙都对 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-x2+2x-m与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），
∴方程-x2+2x-m=0有两个根x1，x2，x1∴∴x1+x2=2，
∵方程-x2+2x+m-1=0有两个非零实数根x3，x4，x3∴x3+x4=2，
∴x1+x2=x3+x4，
移项得x1-x3=x4-x2，
故甲的结论对；
∵方程-x2+2x-m=0有两个根x1，x2，x1b2-4ac=22-4×（-1）×（-m）=4-4m>0，
解得m<1，且方程的根是x1=1，x2=1，
∵方程-x2+2x+m-1=0有两个非零实数根x3，x4，x3b2-4ac=22-4×（-1）×（m-1）=4m>0，
解得0由上可得0∴0∵无法确认1-m与m的大小，
∴无法得出x1>x3，
∴乙的结论错.
综上，甲对，乙错.
故选：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=x3+x4=2，据此可对甲作出判断；利用抛物线与x轴有两个交点，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，据此可求出m的取值范围。即可确定出x1的值；再根据已知一元二次方程有两个非零实数根及x311．（2025九上·德清期中）二次函数 的图象与y轴的交点坐标为　 　.
【答案】(0，-1)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，代入y=-2x2+4x-1得y=-1，所以与y轴的交点坐标为(0，-1).
故填：（0，-1）.
【分析】与y轴交点的横坐标为0，直接把x=0代入函数解析式计算y的值即可.
12．（2025九上·德清期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
试验种子数n(粒) 100 400 800 1000 2000 4000
发芽频数m 85 298 652 793 1604 3204
发芽频率 m/n 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，这种油菜籽发芽的概率为　 　(精确到0.1).
【答案】0.8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵观察表格，随着试验种子数的增加，种子发芽频率逐渐稳定在0.8左右，
∴该油菜籽种子发芽的概率为0.8
故填：0.8.
【分析】大量重复试验中，频率会趋近于概率，取稳定的频率值作为概率估计值.
13．（2025九上·德清期中） 如图， 将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB'C'， 点B'在 BC上. 若∠B=65°， 则∠CAC'的度数为　 　.
【答案】50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A旋转得△AB'C'，
∴AB=AB'，
∴∠AB'B=∠B=65°.
∴∠BAB'=180°-65°×2=50°.
∵AC与AC'是旋转前后的对应边，旋转角相等，
∴∠CAC'=∠BAB'=50°.
故填：50°.
【分析】旋转的性质是“对应边相等、对应角相等、旋转角相等”，由对应边相等得AB=AB'，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得∠AB'B的度数，从而求得旋转角∠BAB'的度数，再得∠CAC'.
14．（2025九上·德清期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，点N是AB的中点，MN⊥AB，交 于点 M.“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： 当OA=5，按照这个公式计算，AB=8时， l的值约为　 　.
【答案】8.8
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接ON.
∵N是AB的中点，
∴AN==4，ON AB，
∴∠ANO=90°，
∵MN AB，
∴∠ANM=90°，
∴∠ANO+∠ANM=180°，
∴点M，点N，点O三点共线.
∴OM=OA=5.
在Rt△OAN中，ON=，
∴MN=OM-ON=5-3=2.
∴的长=AB+
故填：8.8.
【分析】由给出的弧长公式可知，要求出MN.由弦AB上的中点E，可联想到垂径定理的推论，则连接ON，可得AN==4，ON AB，根据勾股定理可求出ON；易证得点M，点N，点O三点共线，从而求出MN，再代入弧长公式计算即可.
15．（2025九上·德清期中）已知二次函数 (b， c是常数). 当x≤0 时， y的最小值为2， 当x>0时，y的最小值为-2，则b的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=+2bx+c的对称轴直线x=.
∵二次函数的二次项系数是1，大于0，
∴二次函数图象的开口向上，
又∵当x≤0时，y的最小值为2，当x>0时，y的最小值为-2，
∴对称轴直线x=在y轴的右侧，
∴b<0.
∵当x≤0时，y的最小值为2，
∴x=0时，y取得最小值2，
将（0，2）代入y=+2bx+c，
得+2bx+c=2，
解得c=2.
∵x>0时，y的最小值为-2，
∴当x=-b时，y取得最小值-2，
将c=2，（-b，-2）代入y=+2bx+c，
得+2b·（-b）+2=-2，
解得=2（舍），=-2.
故填：-2.
【分析】用b表示出二次函数图象的对称轴，根据条件“当x≤0时，y的最小值为2，当x>0时，y的最小值为-2”可知把抛物线分化两部分，右边的部分因为x不能取0，所以抛物线的对称轴只能在y轴右侧，否则当x>0时，y没有最小值，从而确认了b的取值范围，则当x≤0时，x=0，y取得最小值2，联立方程解出b，c的值，注意b的值要符合取值范围，不符合的要舍去.
16．（2025九上·德清期中） 如图， AB是⊙O的直径， C为⊙O上一点， 且AB⊥OC， P为圆上一动点， D为AP的中点，连接CD.若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，取OA的中点E.
∵点D是AP的中点，
∴OD AP，
∴∠ADO=90°，
又∵点P为圆上一动点，
∴点D的运动轨迹是以E为圆心，直径为OA的圆，
连接CE，CE的延长线交⊙E与点F，
当点D运动到点F时，CD最长，即CF的长度.
∵E是OA的中点，
∴EF=OE==2，
∵AB OC，
∴在Rt△OCE中，CE=，
∴CF=CE+EF=.
故填：.
【分析】首先分析点D的运动轨迹：点D是弦AP的中点，根据垂径定理的推论可连接OD，得OD AP，则∠ADO=90°，再根据点P的运动范围，可确定点D的运动轨迹是一个圆，因为点C在这个轨迹圆的外面，要使CD最长，则连接点C与轨迹圆的圆心，并延长交圆的另一点，这点与点C的距离，即为所求.
17．（2025九上·德清期中） 已知二次函数y=a(x-3)(x-1)的图象经过点 (-1， 4).
（1）写出这个二次函数的表达式.
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：∵图象过点(-1，4)，将(-1，4)代入，得，
，
；
（2）解：对称轴：直线，
当时，，
顶点为(2，-0.5) .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（-1，4）代入函数解析式，求出a，再将a代入写出完整的解析式；
（2）根据二次函数图象对称轴公式：直线，代入a，b的值求出x，再将x的值代入解析式求出y值，即可得顶点坐标（x，y）
18．（2025九上·德清期中） 如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人.将这3张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为　 　.
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率.
【答案】（1）
（2）解：
如上树状图，总共有9种结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3张卡片，任意取出1张卡片有3种结果，其中取出卡片“C太乙真人”的结果有1种，
∴P（第一次取出卡片“C太乙真人”）=.
故填：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案“C太乙真人”的结果只有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列树状图或表格可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果数，再利用概率公式可计算即可．
19．（2025九上·德清期中） 如图，AB为⊙O的直径，C和D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且 连接AD， AC， BC， BD.
（1） 求证： .
（2） 连接OD， 若OD⊥AC， 求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∴AC=BD.
（2）解：∵OD⊥AC， OD为⊙O的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵AB为直径，
∴，，的度数之和是180°，
∴的度数为 .
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据“在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得，要证明AC=BD，只需证明，而由已知条件可推得；
（2）由OD⊥AC，可联想到垂径定理，则，易证得，由AB为直径，可得，，的度数之和是180°，从而可得的度数.
20．（2025九上·德清期中） 如图是二次函数 的图象.
（1）若点 P (3，t)在该二次函数的图象上，则t的值为　 　.
（2）请根据图象，求不等式x2+ bx+c≥2的解.
【答案】（1）17
（2）解：由图象得，
对称轴为直线，与y轴交点为(0，2)
(0，2)关于对称轴的对称点为(-2，2)，
则的解为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，二次函数图象与y轴交于点（0，2），且对称轴为直线x=-1，
∴c=2，，
∴b=2.
∴二次函数解析式y=x2+2x+2，
将点P（3，t）代入二次函数解析式得t=32+2×3+2=17.
故填：17.
【分析】（1）观察二次函数图象可得与y轴交于点（0，2），且对称轴为直线x=-1，将点代入二次函数解析式可得c的值，由对称轴公式x=，可得b的值，即可得二次函数的解析，再将 点 P (3，t) 代入解析式可求得t的值；
（2）利用数形结合解不等式x2+ bx+c≥2，即求二次函数值y≥2时，x的取值范围；点（0，2）关于对称轴直线x=-1对称的点是（-2，2），观察图象可得x的取值范围.
21．（2025九上·德清期中） 如图，在△ABC中， AB=AC=13， BC边上的中线AD=12.
（1）请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法).
（2）求△ABC的外接圆的半径.
【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，连接OB，
，AD是BC边上的中线，
，
，，
设，则，
在中，，
，
，即的外接圆的半径为.
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形的外接圆；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由已知条件可推得直线AD是BC的中垂线，根据三角形外接圆的定义，可得外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等，则可作AC或AB的中垂线，与AD的交点即为外接圆的圆心，再以OA长为半径画圆即可；
（2）由，AD是BC边上的中线，根据垂径定理的推论可得ADBC，由勾股定理可求的BD的长，连接OB，由勾股定理构建方程解出半径OB即可.
22．（2025九上·德清期中） 已知二次函数
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值.
（2）在(1)的基础上，若点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点 P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
∴判别式=，得或-5，
∵，
∴.
（2）解：由（1）得a=-5，则二次函数.
∴抛物线的对称轴为，
∵ 点P (x，y) 到y轴的距离小于或等于2，
∴点P的横坐标的取值范围是-2≤x≤2，
∵P(x，y)在抛物线上，抛物线开口向下，
∴当时，y有最小值，此时，
当时，y有最大值，此时，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是.
【知识点】二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象与x轴有且只有1个交点，则判别式=0，依此求出a的值，并舍去不符合a的取值范围的值即可；
（2）由（1）可得二次函的解析式及对称轴，由“点P (x，y) 到y轴的距离小于或等于2”可得点P的横坐标的取值范围，结合二次函数的增减性，在横坐标的取值范围内求出y的最大值和最小值解答即可.
23．（2025九上·德清期中） 如图1， AB是⊙O的直径， D为AB 下方⊙O上一点， C为 的中点，连接CD， CA， AD， BD.
（1） 求证： OC⊥AD.
（2） 如图2， 延长AC， DB相交于点 E.
①求证： AB=BE.
②若CE=2 ，BD=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OD .
∵C为的中点，
∴，
∴AC=CD，
又∵OA=OD，
∴直线OC是AD的垂直平分线，
∴；
（2）解：①证明： ∵AB是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
②如图，连接BC，则，
∵AB=BE，
∴，
∴，
设的直径为d，
则AB=BE=d，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的判定；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由点C为的中点，可得，则AC=CD，又OA=OD，可得直线OC是AD的垂直平分线，则可证得；
（2）①由AB是的直径可得，又由（1）可知，不难证得，则，又由OA=OC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠OAC=∠OCA，从而可得，从而可证明结论；
②由AB=BE，可联想到等腰三角形的“三线合一”，则连接BC，由AB是的直径，不难得出AC=CE，则可求出AE的长；要求半径，不妨设半径或直径为未知数，表示出AB，BE，DE的长，根据勾股定理得，构建方程解出未知数解答即可.
24．（2025九上·德清期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
【答案】（1）33150
（2）解： ①-50x2+5300x
②设两个公司的月利润分别为 ，，
则，
令y=y甲-y乙==
，
当y=0时，则=0，
解得x1=-1，x2=37，
∵x的取值范围是0≤x≤50（x是整数），二次函数y的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当0≤x≤37时，y≥0，且当x=18时，
y取得最大值是-50×182+1800×18+1850=18050，此时甲乙利润差是18050元；
当37综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴.
解得：.
（如果计算结果为也可以）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，当乙公司租车的汽车为10辆时，该公司的月利润是10×3500-1850=33150（元），
故填：33150.
（2）① 甲公司租出x辆汽车时，每辆汽车月租费是3000+50(50-x)=5500-50x（元），
甲公司月租车费=（5500-50x）x，
月维护费=200x，
月利润=（5500-50x）x-200x=-50x2+5300x（元）.
故填：-50x2+5300x.
【分析】（1）由题意可得，公司的月利润=月租车费用-月维护费用，租出的汽车为10辆，那么月租车费用是“10×3500”， 月维护费用是1850元，代入计算即可；
（2）①根据“ 如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车”可得，当甲公司租出汽车x辆时，减少了（50-x）辆，那么每辆汽车月租费就增加了50（50-x）元，即每辆汽车月租费就是3000+50(50-x)元，再表示出月租车费和月维护费，代入 月利润=月租车费-月维护费，即可解答；
②由①可得甲公司月利润，由题意可得乙公司月利润，构建一个新的函数令y=y甲-y乙，令y=0，确定y≥0时的x取值范围，y<0时的x取值范围，分别求出最值得出利润差，再作比较即可；
（3）由“ 如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润 ”可用（2）题中“y甲-y乙”的函数，在此函数基础上减去ax，就是新的利润差函数，再根据“ 当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大 ”确定新的利润差函数的对称轴的取值范围，从而求出a的取值范围.
1 / 1浙江省湖州市德清县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试题
1．（2025九上·德清期中）已知⊙O的半径r=3， OP=2， 则点P与⊙O 的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外
C．点 P在⊙O上 D．无法确定
2．（2025九上·德清期中）在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为(　　)
A． B． C． D．
3．（2025九上·德清期中）将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为(　　)
A．y=(x+3)2+1 B． C．y=(x-3)2+1 D．y=(x-3)2-1
4．（2025九上·德清期中） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CDB=26°， 则∠BOC的度数是(　　)
A．60° B．52° C．50° D．40°
5．（2025九上·德清期中）下列事件中，必然事件是 (　　)
A．阴天会下雨
B．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
C．13名同学，至少有两人的出生月份相同
D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
6．（2025九上·德清期中）在函数 的图象上有三点， A1(-2， y1)， A2(-1， y2)， A3(1， y3)， 则下列各式中，正确的是 (　　)
A．y17．（2025九上·德清期中） 如图，在⊙O中， AB是⊙O的直径， CD 是弦， 且AB⊥CD于点E，CD=4， OE=1.5， 则⊙O的半径是(　　)
A．2.5 B．2.25 C．2.4 D．3
8．（2025九上·德清期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为(　　)
A．6m B．7m C．8m D．9m
9．（2025九上·德清期中）如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O，D、E分别是 的中点， ∠DAE=α，∠BAC=β， 则(　　)
A．α+β=180° B．2β=α
C．α-β=45° D．2α-β=180°
10．（2025九上·德清期中）关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点(x1， 0)， (x2， 0) 关于x的方程 有两个非零实数根 甲、乙两人得出以下结论：甲： 乙：.则以下判断正确的是(　　)
A．甲对，乙错 B．甲、乙都对 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错
11．（2025九上·德清期中）二次函数 的图象与y轴的交点坐标为　 　.
12．（2025九上·德清期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
试验种子数n(粒) 100 400 800 1000 2000 4000
发芽频数m 85 298 652 793 1604 3204
发芽频率 m/n 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，这种油菜籽发芽的概率为　 　(精确到0.1).
13．（2025九上·德清期中） 如图， 将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB'C'， 点B'在 BC上. 若∠B=65°， 则∠CAC'的度数为　 　.
14．（2025九上·德清期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图， 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，点N是AB的中点，MN⊥AB，交 于点 M.“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： 当OA=5，按照这个公式计算，AB=8时， l的值约为　 　.
15．（2025九上·德清期中）已知二次函数 (b， c是常数). 当x≤0 时， y的最小值为2， 当x>0时，y的最小值为-2，则b的值为　 　.
16．（2025九上·德清期中） 如图， AB是⊙O的直径， C为⊙O上一点， 且AB⊥OC， P为圆上一动点， D为AP的中点，连接CD.若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是　 　.
17．（2025九上·德清期中） 已知二次函数y=a(x-3)(x-1)的图象经过点 (-1， 4).
（1）写出这个二次函数的表达式.
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标.
18．（2025九上·德清期中） 如图，有3张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人.将这3张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片后记录，放回后搅匀，再随机取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为　 　.
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率.
19．（2025九上·德清期中） 如图，AB为⊙O的直径，C和D为⊙O上位于直径AB同侧的两点，且 连接AD， AC， BC， BD.
（1） 求证： .
（2） 连接OD， 若OD⊥AC， 求的度数.
20．（2025九上·德清期中） 如图是二次函数 的图象.
（1）若点 P (3，t)在该二次函数的图象上，则t的值为　 　.
（2）请根据图象，求不等式x2+ bx+c≥2的解.
21．（2025九上·德清期中） 如图，在△ABC中， AB=AC=13， BC边上的中线AD=12.
（1）请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法).
（2）求△ABC的外接圆的半径.
22．（2025九上·德清期中） 已知二次函数
（1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值.
（2）在(1)的基础上，若点P (x，y)在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点 P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
23．（2025九上·德清期中） 如图1， AB是⊙O的直径， D为AB 下方⊙O上一点， C为 的中点，连接CD， CA， AD， BD.
（1） 求证： OC⊥AD.
（2） 如图2， 延长AC， DB相交于点 E.
①求证： AB=BE.
②若CE=2 ，BD=3，求⊙O的半径.
24．（2025九上·德清期中）甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明：①汽车数量为整数.
②月利润=月租车费一月维护费.
③两个公司月利润差=月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是　 　元.
（2）设两个公司租出的汽车数量都为x辆.
①甲公司的月利润是 ▲ 元(用含x的代数式表示).
②求两公司月利润差的最大值.
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a(a>0)元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径r=3，点P到圆心O的距离OP=2，2<3，
∴点P在⊙O内.
故选：A.
【分析】判断点与圆的位置是比较“点到圆心的距离”d与“半径”r：d>r 点在圆外，d=r 点在圆上，d2．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：口袋中球的总数为5+4+1=10（个），红球有4个，
∴P（摸到红球）.
故选：B.
【分析】本题考查随机事件A发生的概率公式：P（A）=.此题摸一个球，因为有4个红球，所以摸到红球的结果可能是红1，红2，红3，红4，共有4种结果，再求出可能出现的结果总数，代入公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：y=x2向右平移3个单位得y=(x-3)2，再向下平移1个单位得y=(x-3)2-1.
故选：D.
【分析】抛物线平移遵循“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”.y=x2向右平移3个单位，则x变成（x-3），将（x-3）整体代入原解析式得到新的解析式，再向下平移1个单位，在前面得到的解析式的基础上减1.（抛物线平移核心的点是：二次项系数不变，形状不变，只是位置的变化
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵圆周角∠CDB与圆心角∠BOC对应的弧都是，
∴∠BOC=2∠CDB=2×26°=52°.
故选：B.
【分析】根据圆周角和圆心角的定义，可得圆周角∠CDB与圆心角∠BOC对应的弧都是，根据圆周角定理解答即可
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.阴天可能下雨，也可能不下雨，故A选项属于随机事件，不符合题意；
B.掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能正面向下，故B选项属于随机事件，不符合题意；
C.一年只有12个月份，根据抽屉原理，至少有两人出生月份相同，故C选项属于必然事件，符合题意；
D.车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯、绿灯、黄灯，故C选项属于随机事件，不符合题意.
故选：C.
【分析】必然事件是“一定发生的事件”，需结合常识和数学原理（如抽屉原理）判断，排除随机事件
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A1（-2，y1）代入函数解析式，得y1=2×（-2）2+4×（-2）-3=-3；
将A2（-1，y2）代入函数解析式，得y2=2×（-1）2+4×（-1）-3=-5；
将A3（1，y3）代入函数解析式，得y3=2×12+4×1-3=3；
∴y2故选：C.
【分析】将三个点分别代入函数解析式，求出y1，y2，y3，再比较大小即可
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=.
在Rt△OCE中，OE=1.5，CE=2，
由勾股定理得OC2=.
故选：A.
【分析】根据垂径定理，可得CE=，求出CD，再结合半径、弦心距构成直角三角形，用勾股定理求解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离.
即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩，
解此方程得x1=-1（舍），x2=9，
∴小童此次实心球训练的成绩为9m.
故选：D .
【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE.
∵D、E分别是、的中点，
∴，，
∴∠ACD＝∠BCD，∠ABE=∠CBE，
又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠BCD=∠ACB，∠CBE=∠ABC.
∵∠BAD＝∠BCD，∠CAE=∠CBE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE+∠BAC
=∠BCD+∠CBE+∠BAC
=∠ACB+∠ABC+∠BAC
=（∠ACB+∠ABC）+∠BAC
=（180°-∠BAC）+∠BAC
=90°∠BAC+∠BAC
=90°+∠BAC.
即α=90°+β，
∴2α-β=180°.
故选：D．
【分析】本题探究α和β的数量关系，从α入手，∠DAE=α=∠BAD+∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠CAE+β，又已知∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，那么∠BAD、∠CAE分别与∠ABC、∠ACB有什么数量关系，结合已知条件“D、E分别是、的中点”以及圆周角定理的推论“同弧或等弧所对的圆周角相等”推理即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-x2+2x-m与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），
∴方程-x2+2x-m=0有两个根x1，x2，x1∴∴x1+x2=2，
∵方程-x2+2x+m-1=0有两个非零实数根x3，x4，x3∴x3+x4=2，
∴x1+x2=x3+x4，
移项得x1-x3=x4-x2，
故甲的结论对；
∵方程-x2+2x-m=0有两个根x1，x2，x1b2-4ac=22-4×（-1）×（-m）=4-4m>0，
解得m<1，且方程的根是x1=1，x2=1，
∵方程-x2+2x+m-1=0有两个非零实数根x3，x4，x3b2-4ac=22-4×（-1）×（m-1）=4m>0，
解得0由上可得0∴0∵无法确认1-m与m的大小，
∴无法得出x1>x3，
∴乙的结论错.
综上，甲对，乙错.
故选：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=x3+x4=2，据此可对甲作出判断；利用抛物线与x轴有两个交点，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，据此可求出m的取值范围。即可确定出x1的值；再根据已知一元二次方程有两个非零实数根及x311．【答案】(0，-1)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令x=0，代入y=-2x2+4x-1得y=-1，所以与y轴的交点坐标为(0，-1).
故填：（0，-1）.
【分析】与y轴交点的横坐标为0，直接把x=0代入函数解析式计算y的值即可.
12．【答案】0.8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵观察表格，随着试验种子数的增加，种子发芽频率逐渐稳定在0.8左右，
∴该油菜籽种子发芽的概率为0.8
故填：0.8.
【分析】大量重复试验中，频率会趋近于概率，取稳定的频率值作为概率估计值.
13．【答案】50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A旋转得△AB'C'，
∴AB=AB'，
∴∠AB'B=∠B=65°.
∴∠BAB'=180°-65°×2=50°.
∵AC与AC'是旋转前后的对应边，旋转角相等，
∴∠CAC'=∠BAB'=50°.
故填：50°.
【分析】旋转的性质是“对应边相等、对应角相等、旋转角相等”，由对应边相等得AB=AB'，根据等腰三角形“等边对等角”的性质得∠AB'B的度数，从而求得旋转角∠BAB'的度数，再得∠CAC'.
14．【答案】8.8
【知识点】勾股定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接ON.
∵N是AB的中点，
∴AN==4，ON AB，
∴∠ANO=90°，
∵MN AB，
∴∠ANM=90°，
∴∠ANO+∠ANM=180°，
∴点M，点N，点O三点共线.
∴OM=OA=5.
在Rt△OAN中，ON=，
∴MN=OM-ON=5-3=2.
∴的长=AB+
故填：8.8.
【分析】由给出的弧长公式可知，要求出MN.由弦AB上的中点E，可联想到垂径定理的推论，则连接ON，可得AN==4，ON AB，根据勾股定理可求出ON；易证得点M，点N，点O三点共线，从而求出MN，再代入弧长公式计算即可.
15．【答案】-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=+2bx+c的对称轴直线x=.
∵二次函数的二次项系数是1，大于0，
∴二次函数图象的开口向上，
又∵当x≤0时，y的最小值为2，当x>0时，y的最小值为-2，
∴对称轴直线x=在y轴的右侧，
∴b<0.
∵当x≤0时，y的最小值为2，
∴x=0时，y取得最小值2，
将（0，2）代入y=+2bx+c，
得+2bx+c=2，
解得c=2.
∵x>0时，y的最小值为-2，
∴当x=-b时，y取得最小值-2，
将c=2，（-b，-2）代入y=+2bx+c，
得+2b·（-b）+2=-2，
解得=2（舍），=-2.
故填：-2.
【分析】用b表示出二次函数图象的对称轴，根据条件“当x≤0时，y的最小值为2，当x>0时，y的最小值为-2”可知把抛物线分化两部分，右边的部分因为x不能取0，所以抛物线的对称轴只能在y轴右侧，否则当x>0时，y没有最小值，从而确认了b的取值范围，则当x≤0时，x=0，y取得最小值2，联立方程解出b，c的值，注意b的值要符合取值范围，不符合的要舍去.
16．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；圆-动点问题；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，取OA的中点E.
∵点D是AP的中点，
∴OD AP，
∴∠ADO=90°，
又∵点P为圆上一动点，
∴点D的运动轨迹是以E为圆心，直径为OA的圆，
连接CE，CE的延长线交⊙E与点F，
当点D运动到点F时，CD最长，即CF的长度.
∵E是OA的中点，
∴EF=OE==2，
∵AB OC，
∴在Rt△OCE中，CE=，
∴CF=CE+EF=.
故填：.
【分析】首先分析点D的运动轨迹：点D是弦AP的中点，根据垂径定理的推论可连接OD，得OD AP，则∠ADO=90°，再根据点P的运动范围，可确定点D的运动轨迹是一个圆，因为点C在这个轨迹圆的外面，要使CD最长，则连接点C与轨迹圆的圆心，并延长交圆的另一点，这点与点C的距离，即为所求.
17．【答案】（1）解：∵图象过点(-1，4)，将(-1，4)代入，得，
，
；
（2）解：对称轴：直线，
当时，，
顶点为(2，-0.5) .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（-1，4）代入函数解析式，求出a，再将a代入写出完整的解析式；
（2）根据二次函数图象对称轴公式：直线，代入a，b的值求出x，再将x的值代入解析式求出y值，即可得顶点坐标（x，y）
18．【答案】（1）
（2）解：
如上树状图，总共有9种结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果有2种，
∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一共有3张卡片，任意取出1张卡片有3种结果，其中取出卡片“C太乙真人”的结果有1种，
∴P（第一次取出卡片“C太乙真人”）=.
故填：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案“C太乙真人”的结果只有1种，利用概率公式计算即可；
（2）列树状图或表格可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的结果数，再利用概率公式可计算即可．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∴AC=BD.
（2）解：∵OD⊥AC， OD为⊙O的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵AB为直径，
∴，，的度数之和是180°，
∴的度数为 .
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据“在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等”可得，要证明AC=BD，只需证明，而由已知条件可推得；
（2）由OD⊥AC，可联想到垂径定理，则，易证得，由AB为直径，可得，，的度数之和是180°，从而可得的度数.
20．【答案】（1）17
（2）解：由图象得，
对称轴为直线，与y轴交点为(0，2)
(0，2)关于对称轴的对称点为(-2，2)，
则的解为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，二次函数图象与y轴交于点（0，2），且对称轴为直线x=-1，
∴c=2，，
∴b=2.
∴二次函数解析式y=x2+2x+2，
将点P（3，t）代入二次函数解析式得t=32+2×3+2=17.
故填：17.
【分析】（1）观察二次函数图象可得与y轴交于点（0，2），且对称轴为直线x=-1，将点代入二次函数解析式可得c的值，由对称轴公式x=，可得b的值，即可得二次函数的解析，再将 点 P (3，t) 代入解析式可求得t的值；
（2）利用数形结合解不等式x2+ bx+c≥2，即求二次函数值y≥2时，x的取值范围；点（0，2）关于对称轴直线x=-1对称的点是（-2，2），观察图象可得x的取值范围.
21．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）解：如图，连接OB，
，AD是BC边上的中线，
，
，，
设，则，
在中，，
，
，即的外接圆的半径为.
【知识点】勾股定理；尺规作图-作三角形的外接圆；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由已知条件可推得直线AD是BC的中垂线，根据三角形外接圆的定义，可得外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等，则可作AC或AB的中垂线，与AD的交点即为外接圆的圆心，再以OA长为半径画圆即可；
（2）由，AD是BC边上的中线，根据垂径定理的推论可得ADBC，由勾股定理可求的BD的长，连接OB，由勾股定理构建方程解出半径OB即可.
22．【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点，
∴判别式=，得或-5，
∵，
∴.
（2）解：由（1）得a=-5，则二次函数.
∴抛物线的对称轴为，
∵ 点P (x，y) 到y轴的距离小于或等于2，
∴点P的横坐标的取值范围是-2≤x≤2，
∵P(x，y)在抛物线上，抛物线开口向下，
∴当时，y有最小值，此时，
当时，y有最大值，此时，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是.
【知识点】二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象与x轴有且只有1个交点，则判别式=0，依此求出a的值，并舍去不符合a的取值范围的值即可；
（2）由（1）可得二次函的解析式及对称轴，由“点P (x，y) 到y轴的距离小于或等于2”可得点P的横坐标的取值范围，结合二次函数的增减性，在横坐标的取值范围内求出y的最大值和最小值解答即可.
23．【答案】（1）证明：连接OD .
∵C为的中点，
∴，
∴AC=CD，
又∵OA=OD，
∴直线OC是AD的垂直平分线，
∴；
（2）解：①证明： ∵AB是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
②如图，连接BC，则，
∵AB=BE，
∴，
∴，
设的直径为d，
则AB=BE=d，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为2.5.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的判定；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由点C为的中点，可得，则AC=CD，又OA=OD，可得直线OC是AD的垂直平分线，则可证得；
（2）①由AB是的直径可得，又由（1）可知，不难证得，则，又由OA=OC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠OAC=∠OCA，从而可得，从而可证明结论；
②由AB=BE，可联想到等腰三角形的“三线合一”，则连接BC，由AB是的直径，不难得出AC=CE，则可求出AE的长；要求半径，不妨设半径或直径为未知数，表示出AB，BE，DE的长，根据勾股定理得，构建方程解出未知数解答即可.
24．【答案】（1）33150
（2）解： ①-50x2+5300x
②设两个公司的月利润分别为 ，，
则，
令y=y甲-y乙==
，
当y=0时，则=0，
解得x1=-1，x2=37，
∵x的取值范围是0≤x≤50（x是整数），二次函数y的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当0≤x≤37时，y≥0，且当x=18时，
y取得最大值是-50×182+1800×18+1850=18050，此时甲乙利润差是18050元；
当37综上：两个公司月利润差的最大值为33150元；
（3）解：捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，对称轴为直线，
∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴.
解得：.
（如果计算结果为也可以）
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，当乙公司租车的汽车为10辆时，该公司的月利润是10×3500-1850=33150（元），
故填：33150.
（2）① 甲公司租出x辆汽车时，每辆汽车月租费是3000+50(50-x)=5500-50x（元），
甲公司月租车费=（5500-50x）x，
月维护费=200x，
月利润=（5500-50x）x-200x=-50x2+5300x（元）.
故填：-50x2+5300x.
【分析】（1）由题意可得，公司的月利润=月租车费用-月维护费用，租出的汽车为10辆，那么月租车费用是“10×3500”， 月维护费用是1850元，代入计算即可；
（2）①根据“ 如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车”可得，当甲公司租出汽车x辆时，减少了（50-x）辆，那么每辆汽车月租费就增加了50（50-x）元，即每辆汽车月租费就是3000+50(50-x)元，再表示出月租车费和月维护费，代入 月利润=月租车费-月维护费，即可解答；
②由①可得甲公司月利润，由题意可得乙公司月利润，构建一个新的函数令y=y甲-y乙，令y=0，确定y≥0时的x取值范围，y<0时的x取值范围，分别求出最值得出利润差，再作比较即可；
（3）由“ 如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润 ”可用（2）题中“y甲-y乙”的函数，在此函数基础上减去ax，就是新的利润差函数，再根据“ 当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大 ”确定新的利润差函数的对称轴的取值范围，从而求出a的取值范围.
1 / 1

展开更多......

收起↑