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浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷
1．（2025九上·瑞安期中）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选B．
2．（2025九上·瑞安期中）已知： ⊙O的半径为2， PO=3， 则点P是在 (　　)
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵2<3，
∴点在圆外，
故选：A.
【分析】根据点和圆的位置关系得出即可.
3．（2025九上·瑞安期中）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为
故答案为：B.
【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案.
4．（2025九上·瑞安期中）将抛物线 向右平移5个单位后，得到的抛物线的表达式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=-x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是y=-(x-5)2+3.
故选：C.
【分析】根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可.
5．（2025九上·瑞安期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则 的长为(　　)
A．6π B．4.5π C．3π D．1.5π
【答案】D
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：∠AOB=90°，而OA=OB=3，
∴的长
故选：D.
【分析】弧长公式为：，再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
6．（2025九上·瑞安期中）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点M，下列结论不一定成立的是(　　)
A．CM=DM B． C．∠BOD=2∠A D．OM=MB
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：AB是直径且AB⊥CD，则由垂径定理可知CM=DM，，再由圆周角定理可知∠BOD=2∠A，只有当∠BOD=60°时，才有OM=MB.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理和圆周角定理即可判断.
7．（2025九上·瑞安期中）一个正多边形的一内角为140°，则这个正多边形的边数是 (　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°
∴它的外角是：180°-140°=40°，
360°÷40°=9
故选：B.
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数.
8．（2025九上·瑞安期中）开口向下的抛物线 经过点(2，0)，则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A．a+b=0 B．2a+b=0 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由条件可知0=a×22+b×2+1，即4a+2b+1=0，
化简得，
又∵抛物线开口向下，
∴a<0.
选项A：若a+b=0，则b=-a，代入，得，即，，符合条件；
选项B：若2a+b=0，与矛盾，不符合；
选项C：∵抛物线经过点(2，0)，
∴方程ax2+bx+1=0有实数根，
∴Δ=b2-4a≥0，与b2-4a<0矛盾，不符合；
选项D：若，代入4a+2b+1=0，得，即4a-5a+1=0，解得a=1>0，与a<0矛盾，不符合.
故答案为：A.
【分析】先根据抛物线过点(2，0)得出关于a、b的等式，再结合开口向下得到a<0，然后逐一分析选项.
9．（2025九上·瑞安期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， 点O在∠D的内部， 若 则∠OAD+∠OCD是(　　)
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D
∵，
∴
又由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D=180°
∴4∠D=180°
∴∠D=45°
∴∠AOC=2∠D=90°，
∴∠OAD+∠OCD=360°-45-(360°-90°)=45°
故选：C.
【分析】由圆周角定理得∠AOC=2∠D，即得∠ABC=3∠D，进而由圆内接四边形的性质得4∠D=180°，即得到∠D=45°，∠AOC=90°最后根据四边形内角和定理即可求解.
10．（2025九上·瑞安期中）如图1，在△ABC中，CA=CB，动点D 从点A 出发以1个单位/秒速度向点B做匀速运动，设， 点D运动时间为x(秒) (0≤x≤a)， 且y关于x的函数图象如图2所示， 点(m， t) 和(n， t) 在函数图象上， 且m=8-n (mA．a=10
B．当y=12时，则点D运动时间为2秒或8秒
C．点(5， 16) 在函数图象上
D．当2≤x≤7时， 函数有最小值7
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；等腰三角形的性质-三线合一；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，得AD=x，
如图，过C作CE⊥AB于E，
∵CA=CB
∴
∵AC2=CE2+AE2，CD2=CE2+DE2=CE2+(|AE-AD|)2=CE2+(AE-AD)2
∴y=AC2-CD2
=CE2+AE2-[CE2+(AE-AD)2]
=AE2-(AE-AD)2
=AE2-(AE-x)2
∴当x=AE时，y由最大值为AE2，
∵点(m，t)和(n，t)在函数图象上，且m=8-n(m∴该抛物线的对称轴为直线，
∴AE=4，
∴AB=2AE=8，y=-(x-4)2+16，故选项A错误；
∴顶点为(4，16)，故选项C错误；
当y=12时，12=-(x-4)2+16
解得x=2或x=6
∴当y=12时，则点D运动时间为2秒或6秒，故选项B错误；
当2≤x≤4时，y随x的增大而增大
当x=2时，y=12；
当4当x=7时，y=7；
故当2≤x≤7时，函数有最小值7.
故选项D正确；
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥AB于E，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出AC2=CE2+AE2，CD2=CE2+(AE-AD)2，则可求y=AE2-(AE-x)2，根据二次函数的性质得出当x=AE时，y由最大值为AE2，由点(m，t)和(n，t)在函数图象上，且m=8-n(m11．（2025九上·瑞安期中）抛物线 的顶点坐标是　 　.
【答案】(3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y=(x-3)2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(3
1)
故答案为：(3，1).
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标.
12．（2025九上·瑞安期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ，则袋中有黑球　 　个.
【答案】9
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有黑球x个，则总球数为(3+x)个，
由题意得，
解得x=9，
经检验，x=9是原方程的解
∴袋中有黑球9个
故答案为：9.
【分析】设袋中有黑球x个，根据概率公式列出方程求解即可.
13．（2025九上·瑞安期中）已知一个扇形的弧长为2π，半径为3，则这个扇形的面积为　 　.
【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：3π·
【分析】根据扇形的面积公式即可得出答案.
14．（2025九上·瑞安期中）如图，在⊙O中， 直径AB=8， 弦CD⊥AB，交AB于点E，若CD=6，则AE=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径AB=8.
∴OA=OC=4，
∵CD=6，
∴CE=DE=3，
∵弦CD⊥AB，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可知CE=DE=3，再利用勾股定理求出OE的长度，进而即可求解.
15．（2025九上·瑞安期中）如图，抛物线 与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P在该抛物线上且位于A、M两点之间，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，PC与抛物线的另一交点为D，连接BD，当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，点P的横坐标为　 　.
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；两直线平行，内错角相等；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，
则BH=BP
∴∠HBD=∠DBP=45°
∵PD//OA.
∴∠HBD=∠PDB=45°
∴PD=PB
设点P(m，-m2+6m)，则点D(6-m，-m2+6m).
则6-m-m=-m2+6m，解得：，
∴
故答案为：.
【分析】当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，证明PD=PB，即可求解.
16．（2025九上·瑞安期中）如图， 四边形ABCD内接于⊙O， BD 为直径， 点E在 上，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F， BE与AD 交于点 G.当CE=BG时， 　 　
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，点E在上，连接DE，
∴∠BCD=∠BAD=∠BED=90°，
又∵，
∴∠CBD=∠ABE=30°，
∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE=∠ABD，
根据圆的性质得：CE=AD，
∴CE=BG=AD，
在Rt△ABG中，∠ABG=30°，
设AG=a，则BG=2a，
由勾股定理得：AB=3a，
∴AD=BG=2a，
∴DG=AD-AG=a，
∵∠DEG=∠BAG=90°，∠DGE=∠BGA
∴△DEG~△BAG，
∴∠GDE=∠GBA=30°，
∴，
∴，
在Rt△BED中，由勾股定理得：，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴，
由勾股定理得：
∵∠ABD=∠CBF，∠BAD=∠BCF=90°
∴Rt△BAD∽Rt△BCF，
∴，即
解得：，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到∠ABD=∠CBF，∠CBD=∠ABE=30°，再通过证明三角形相似，借助勾股定理求出GE，CF，求得比值即可.
17．（2025九上·瑞安期中）已知二次函数
（1）求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1，y1)，B(2，y2)在该函数图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：y=x2-2x+4
=x2-2x+1+3
=(x-1)2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为(1，3).
（2）解：由条件可得y1=(-1)2-2×(-1)+4=1+2+4=7，
y2=22-2×2+4=4-4+4=4
∵7>4，
∴y1>y2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)对于求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式来求解；
(2)比较两点函数值大小，可分别代入函数解析式求出函数值再比较.
18．（2025九上·瑞安期中）已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同.
（1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少
（2）老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率.
【答案】（1）解：粉笔总数量为1+1+1=3(支)，黄色粉笔有1支.
∴P(取出黄色粉笔)
（2）解：列表如下(第一次在列，第二次在行)：
第二次\第一次 白 红 黄
白 白白 红白 黄白
红 白红 红红 黄红
黄 白黄 红黄 黄黄
总共有9种等可能的结果，其中两支粉笔颜色相同的结果有3种(自-白、红-红、黄-黄)
∴P(取出两支粉笔颜色相同)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)根据概率公式，用黄色粉笔的数量除以粉笔的总数量即可求解；
(2)通过调整列表形式(第一次在列、第二次在行)列出所有可能的结果，再找出两支粉笔颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率.
19．（2025九上·瑞安期中）已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC，连结AB，CD．求证：AB=CD．
【答案】证明：∵在⊙O中，AD=BC，
∴，
又∵是公共弧，
∴，
∴，
∴AB=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据只在同圆中，等弦所对的弧相等可得，结合题意推得，根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD，即可证明.
20．（2025九上·瑞安期中）如图是一个 6×6 的正方形网格，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母.
（1）在图1中画出△ABC的外接圆圆心O位置.
（2）若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分(弓形)的面积是　 　.
【答案】（1）解：点O即为所求作.
（2）5π-10
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)连接OA、OC，
，，，
∵，
即OA2+OC2=AC2
∴△AOC为直角三角形，∠AOC=90°，
∴.
故答案为：5π-10.
【分析】(1)应选取三角形的任意两条边(如AB和BC)，分别作出它们的垂直平分线，垂直平分线可以通过连接格点之间的对角线中点来实现，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O；
(2)先明确阴影部分的几何构成：如图，阴影实际是扇形AOC与△AOC的面积差.
21．（2025九上·瑞安期中）中国石拱桥历史悠久、形式优美而且结构坚固，在世界桥梁史上占据重要地位.如图为一座呈抛物线型的石拱桥的示意图，正常水位时，桥下水面宽度AB为16m，拱顶距离水面高度为4m.
（1）以AB 的中点为坐标原点，建立如图坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式.
（2）水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为3.5m，宽为6m，则该小船能从这座拱桥下通过吗
【答案】（1）解：以AB的中点为坐标原点O，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
∵桥下水面宽度AB为16m，拱顶距离水面高度为4m，
∴OA=OB=8，OC=4，
∴B(-8，0)，A(8，0)，C(0，4)，
将A(8，0)，C(0，4)代入得：
解得：
故该拱桥所在抛物线的表达式为：
（2）解：不能通过，
理由如下：
∵船宽为6m，
∴当x=3时，
∴该小船不能从这座拱桥下通过
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求函数解析式；
(2)将x=3代入求y的值，进而得到答案.
22．（2025九上·瑞安期中）如图， A， B， C是⊙O上的三点， 且 过点B作 于点E，延长BO交⊙O于点 D， 连结AD.
（1） 若∠ADB=62°， 求∠OBE 的度数.
（2） 求证： AB=2BE.
【答案】（1）解：连接OA，
∵，∠ADB=62°
∴∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，即：∠BOC=∠ADB=62°.
∵BE⊥OC，
∴∠OBE=90°-∠BOC=90°-62°=28°
（2）证明：由(1)知∠BOC=∠ADB，
∵直径BD，BE⊥OC，
∴∠DAB=∠OEB=90°.
∴△ADB~△EOB
∴
∴AB=2BE
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和弧与圆心角的关系可得∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，由BE⊥OC得∠OBE=90°-∠BOC，即可求得结果；
(2)由(1)可知∠BOC=∠ADB，由圆周角定理和BE⊥OC可得∠DAB=∠OEB=90°，可证得△ADB~△EOB，进而可知，即可证得结论.
23．（2025九上·瑞安期中）已知抛物线 (b为常数) 经过点(-1，0).
（1） 求b的值.
（2） 若点A(m，y1)、B(m+1，y2)都在该抛物线上，求证：
（3） 当n-2≤x≤n时， 二次函数 的最大值和最小值的差为5，求n的值.
【答案】（1）解：将(-1，0)代入抛物线y=x2+bx+3中，
∴0=(-1)2+b·(-1)+3
∴b=4
（2）证明：由题可知，y1=m2+4m+3，
y2=(m+1)2+4(m+1)+3=m2+6m+8
∴2y1-(y2-3)=2(m2+4m+3)-(m2+6m+5)=m2+2m+1
∵(m+1)2≥0，
∴2y1≥y2-3
（3）解：二次函数化为顶点式为y=(x+2)2-1，对称轴为x=-2，最小值为-1，
分三种情况讨论：
①当n-2≥-2(n≥0)时，函数单调递增：
ymin=(n-2)2+4(n-2)+3=n2-1
ymax=n2+4n+3
差值为4n+4=5，解得
②当n≤-2时，函数单调递减：
ymin=n2+4n+3
ymax=(n-2)2+4(n-2)+3=n2-1
差值为-4n-4=5，解得
③当-2若-2若-1综上，或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】(1)将(-1，0)代入抛物线y=x2+bx+3中，得到关于b的一元一次方程，解此方程直接求出b的值；
(2)分别用含m的代数式表示y1和y2，计算2y1-(y2-3)，化简后得到完全平方式(m+1)2，根据完全平方式的非负性(平方数大于等于0)，证明不等式成立；
(3)分情况讨论：当n-2≥-2(n≥0)时，当n≤-2时，当-224．（2025九上·瑞安期中）如图， CD为⊙O的直径， P是线段OC上一点， 过点P作AB⊥OC(点A在直径 CD 上方) ， 连结AC， DB 并延长交于点F， 过点A作AE⊥BD于点E， 交直径CD于点G.
（1） 求证： PC=PG.
（2） 当 且 时，求⊙O的半径.
（3） 当CF=CD时， 　 　.
【答案】（1）证明：∵AB⊥OC
∴∠APG=90°
∴∠PAG+∠AGP=90°
∵AE⊥BD
∴∠BEA=90°
∴∠BAE+∠ABE=90°
∴∠AGP=∠ABE
∵∠ABE=∠ACG
∴∠AGP=∠ACG
∴AC=AG
∴PC=PG
（2）解：连接AD，分点G在线段OC上和点G在线段OD上两种情况，
第一种情况，如图所示，当点G在线段OC上时，
设OG=x，
∵，
∴PG=2x，
由(1)得，PC=PG=2x，
∴OC=PC+PG+OG=5x，
∴OD=OC=5x
∴PD=PG+OG+OD=8x，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠CAP+∠PAD=90°，
∵AB⊥OC
∴∠APC=90°，
∴∠CAP+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠PAD，
又∵∠APD=∠CPA=90°，
∴△PCA~△PAD
∴
∴PA2=PC·PD=2x·8x=16x2，
∴PA=4x，
在Rt△APC中， PA2+PC2=AC2，
∴，
解得：x=1
∴OD=OC=5x=5；
第二种情况，如图所示，当点G在线段OD上时，
设OG=x，
∵，
∴PG=2x，
由(1)得，PC=PG=2x，
∴OC=PC+PG-OG=3x，
∴OD=OC=3x，
∴PD=PG-OG+OD=4x，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CAD=90°，
∴∠CAP+∠PAD=90°，
∵AB⊥OC
∴∠APC=90°，
∴∠CAP+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠PAD，
又∵∠APD=∠CPA=90°，
∴△PCA~△PAD
∴
∴PA2=PC·PD=2x.4x=8x2，
∴
在Rt△APC中， PA2+PC2=AC2，
∴，
解得：
∴；
综上所述，⊙O的半径为5或；
（3）2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)如图所示，
设∠CAP=α，
由(1)得，∠GAP=∠CAP=α
∴∠CAG=2α，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CDB=∠GAP=∠CAP=α
∵CF=CD，
∴∠CFB=∠CDB=α，
∴∠ACG=∠AGC=2α，
∴∠ACG=∠AGC=∠CAG，
∴△AGC是等边三角形，
设AC=CG=AG=a，
∴
∴
∵AE⊥BD
∴∠BEA=90°
∴∠BEA=∠GPA=90°，
∵∠PAG=∠EAB
∴△AGP~△ABE，
∴
∵CD为⊙O的直径，AB⊥OC，
∴AP=BP，
∴
∴
∴S△ABE=3·S△AGP
∴S四边形BPGE=2·S△AGP=2·S△ACP
∴.
故答案为：2.
【分析】(1)利用垂直的意义，直角三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定与性质解答即可；
(2)连接AD，分点G在线段OC上和点G在线段OD上两种情况，设OG=x，用x分别表示出CP、AP，利用勾股定理及求出x，即可解答本题；
(3)设∠CAP=α， 利用PC=PG、CF=CD求出∠ACG=∠AGC=2α，得到△AGC是等边三角形，设AC=CG= AG=a，，通过证明△AGP~△ABE，得，利用垂径定理AP=BP， 得， 继而得到S△ABE=3·S△AGP，S四边形BPGE=2·S△AGP=2·S△ACP，即可解答本题.
1 / 1浙江省瑞安市集云实验学校2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试卷
1．（2025九上·瑞安期中）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
2．（2025九上·瑞安期中）已知： ⊙O的半径为2， PO=3， 则点P是在 (　　)
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
3．（2025九上·瑞安期中）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为 (　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·瑞安期中）将抛物线 向右平移5个单位后，得到的抛物线的表达式是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025九上·瑞安期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则 的长为(　　)
A．6π B．4.5π C．3π D．1.5π
6．（2025九上·瑞安期中）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点M，下列结论不一定成立的是(　　)
A．CM=DM B． C．∠BOD=2∠A D．OM=MB
7．（2025九上·瑞安期中）一个正多边形的一内角为140°，则这个正多边形的边数是 (　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（2025九上·瑞安期中）开口向下的抛物线 经过点(2，0)，则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A．a+b=0 B．2a+b=0 C． D．
9．（2025九上·瑞安期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， 点O在∠D的内部， 若 则∠OAD+∠OCD是(　　)
A．35° B．40° C．45° D．50°
10．（2025九上·瑞安期中）如图1，在△ABC中，CA=CB，动点D 从点A 出发以1个单位/秒速度向点B做匀速运动，设， 点D运动时间为x(秒) (0≤x≤a)， 且y关于x的函数图象如图2所示， 点(m， t) 和(n， t) 在函数图象上， 且m=8-n (mA．a=10
B．当y=12时，则点D运动时间为2秒或8秒
C．点(5， 16) 在函数图象上
D．当2≤x≤7时， 函数有最小值7
11．（2025九上·瑞安期中）抛物线 的顶点坐标是　 　.
12．（2025九上·瑞安期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ，则袋中有黑球　 　个.
13．（2025九上·瑞安期中）已知一个扇形的弧长为2π，半径为3，则这个扇形的面积为　 　.
14．（2025九上·瑞安期中）如图，在⊙O中， 直径AB=8， 弦CD⊥AB，交AB于点E，若CD=6，则AE=　 　.
15．（2025九上·瑞安期中）如图，抛物线 与x轴的正半轴交于点A，其顶点为M，点P在该抛物线上且位于A、M两点之间，过点P作PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，PC与抛物线的另一交点为D，连接BD，当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，点P的横坐标为　 　.
16．（2025九上·瑞安期中）如图， 四边形ABCD内接于⊙O， BD 为直径， 点E在 上，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F， BE与AD 交于点 G.当CE=BG时， 　 　
17．（2025九上·瑞安期中）已知二次函数
（1）求该函数图象的顶点坐标.
（2） 若点A(-1，y1)，B(2，y2)在该函数图象上，试比较y1与y2的大小，并说明理由.
18．（2025九上·瑞安期中）已知教室的粉笔盒里现有1支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同.
（1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少
（2）老师先拿出一支粉笔，放回后，再拿出一支粉笔，用画树状图或列表的方法，求拿出的两支粉笔颜色相同的概率.
19．（2025九上·瑞安期中）已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC，连结AB，CD．求证：AB=CD．
20．（2025九上·瑞安期中）如图是一个 6×6 的正方形网格，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母.
（1）在图1中画出△ABC的外接圆圆心O位置.
（2）若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分(弓形)的面积是　 　.
21．（2025九上·瑞安期中）中国石拱桥历史悠久、形式优美而且结构坚固，在世界桥梁史上占据重要地位.如图为一座呈抛物线型的石拱桥的示意图，正常水位时，桥下水面宽度AB为16m，拱顶距离水面高度为4m.
（1）以AB 的中点为坐标原点，建立如图坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式.
（2）水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为3.5m，宽为6m，则该小船能从这座拱桥下通过吗
22．（2025九上·瑞安期中）如图， A， B， C是⊙O上的三点， 且 过点B作 于点E，延长BO交⊙O于点 D， 连结AD.
（1） 若∠ADB=62°， 求∠OBE 的度数.
（2） 求证： AB=2BE.
23．（2025九上·瑞安期中）已知抛物线 (b为常数) 经过点(-1，0).
（1） 求b的值.
（2） 若点A(m，y1)、B(m+1，y2)都在该抛物线上，求证：
（3） 当n-2≤x≤n时， 二次函数 的最大值和最小值的差为5，求n的值.
24．（2025九上·瑞安期中）如图， CD为⊙O的直径， P是线段OC上一点， 过点P作AB⊥OC(点A在直径 CD 上方) ， 连结AC， DB 并延长交于点F， 过点A作AE⊥BD于点E， 交直径CD于点G.
（1） 求证： PC=PG.
（2） 当 且 时，求⊙O的半径.
（3） 当CF=CD时， 　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选B．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵2<3，
∴点在圆外，
故选：A.
【分析】根据点和圆的位置关系得出即可.
3．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为
故答案为：B.
【分析】根据概率的求法，分别求出指针落在白色以及黑色区域的概率，进而即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=-x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是y=-(x-5)2+3.
故选：C.
【分析】根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可.
5．【答案】D
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：∠AOB=90°，而OA=OB=3，
∴的长
故选：D.
【分析】弧长公式为：，再分析所在扇形的圆心角与半径，再计算即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：AB是直径且AB⊥CD，则由垂径定理可知CM=DM，，再由圆周角定理可知∠BOD=2∠A，只有当∠BOD=60°时，才有OM=MB.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理和圆周角定理即可判断.
7．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°
∴它的外角是：180°-140°=40°，
360°÷40°=9
故选：B.
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由条件可知0=a×22+b×2+1，即4a+2b+1=0，
化简得，
又∵抛物线开口向下，
∴a<0.
选项A：若a+b=0，则b=-a，代入，得，即，，符合条件；
选项B：若2a+b=0，与矛盾，不符合；
选项C：∵抛物线经过点(2，0)，
∴方程ax2+bx+1=0有实数根，
∴Δ=b2-4a≥0，与b2-4a<0矛盾，不符合；
选项D：若，代入4a+2b+1=0，得，即4a-5a+1=0，解得a=1>0，与a<0矛盾，不符合.
故答案为：A.
【分析】先根据抛物线过点(2，0)得出关于a、b的等式，再结合开口向下得到a<0，然后逐一分析选项.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D
∵，
∴
又由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D=180°
∴4∠D=180°
∴∠D=45°
∴∠AOC=2∠D=90°，
∴∠OAD+∠OCD=360°-45-(360°-90°)=45°
故选：C.
【分析】由圆周角定理得∠AOC=2∠D，即得∠ABC=3∠D，进而由圆内接四边形的性质得4∠D=180°，即得到∠D=45°，∠AOC=90°最后根据四边形内角和定理即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；等腰三角形的性质-三线合一；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意，得AD=x，
如图，过C作CE⊥AB于E，
∵CA=CB
∴
∵AC2=CE2+AE2，CD2=CE2+DE2=CE2+(|AE-AD|)2=CE2+(AE-AD)2
∴y=AC2-CD2
=CE2+AE2-[CE2+(AE-AD)2]
=AE2-(AE-AD)2
=AE2-(AE-x)2
∴当x=AE时，y由最大值为AE2，
∵点(m，t)和(n，t)在函数图象上，且m=8-n(m∴该抛物线的对称轴为直线，
∴AE=4，
∴AB=2AE=8，y=-(x-4)2+16，故选项A错误；
∴顶点为(4，16)，故选项C错误；
当y=12时，12=-(x-4)2+16
解得x=2或x=6
∴当y=12时，则点D运动时间为2秒或6秒，故选项B错误；
当2≤x≤4时，y随x的增大而增大
当x=2时，y=12；
当4当x=7时，y=7；
故当2≤x≤7时，函数有最小值7.
故选项D正确；
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥AB于E，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出AC2=CE2+AE2，CD2=CE2+(AE-AD)2，则可求y=AE2-(AE-x)2，根据二次函数的性质得出当x=AE时，y由最大值为AE2，由点(m，t)和(n，t)在函数图象上，且m=8-n(m11．【答案】(3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y=(x-3)2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(3
1)
故答案为：(3，1).
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标.
12．【答案】9
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有黑球x个，则总球数为(3+x)个，
由题意得，
解得x=9，
经检验，x=9是原方程的解
∴袋中有黑球9个
故答案为：9.
【分析】设袋中有黑球x个，根据概率公式列出方程求解即可.
13．【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：3π·
【分析】根据扇形的面积公式即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径AB=8.
∴OA=OC=4，
∵CD=6，
∴CE=DE=3，
∵弦CD⊥AB，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可知CE=DE=3，再利用勾股定理求出OE的长度，进而即可求解.
15．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；两直线平行，内错角相等；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，
则BH=BP
∴∠HBD=∠DBP=45°
∵PD//OA.
∴∠HBD=∠PDB=45°
∴PD=PB
设点P(m，-m2+6m)，则点D(6-m，-m2+6m).
则6-m-m=-m2+6m，解得：，
∴
故答案为：.
【分析】当点P关于BD的对称点恰好落在x轴上时，作点P关于BD的对称点H，证明PD=PB，即可求解.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，点E在上，连接DE，
∴∠BCD=∠BAD=∠BED=90°，
又∵，
∴∠CBD=∠ABE=30°，
∴∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE=∠ABD，
根据圆的性质得：CE=AD，
∴CE=BG=AD，
在Rt△ABG中，∠ABG=30°，
设AG=a，则BG=2a，
由勾股定理得：AB=3a，
∴AD=BG=2a，
∴DG=AD-AG=a，
∵∠DEG=∠BAG=90°，∠DGE=∠BGA
∴△DEG~△BAG，
∴∠GDE=∠GBA=30°，
∴，
∴，
在Rt△BED中，由勾股定理得：，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴，
由勾股定理得：
∵∠ABD=∠CBF，∠BAD=∠BCF=90°
∴Rt△BAD∽Rt△BCF，
∴，即
解得：，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到∠ABD=∠CBF，∠CBD=∠ABE=30°，再通过证明三角形相似，借助勾股定理求出GE，CF，求得比值即可.
17．【答案】（1）解：y=x2-2x+4
=x2-2x+1+3
=(x-1)2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为(1，3).
（2）解：由条件可得y1=(-1)2-2×(-1)+4=1+2+4=7，
y2=22-2×2+4=4-4+4=4
∵7>4，
∴y1>y2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)对于求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式来求解；
(2)比较两点函数值大小，可分别代入函数解析式求出函数值再比较.
18．【答案】（1）解：粉笔总数量为1+1+1=3(支)，黄色粉笔有1支.
∴P(取出黄色粉笔)
（2）解：列表如下(第一次在列，第二次在行)：
第二次\第一次 白 红 黄
白 白白 红白 黄白
红 白红 红红 黄红
黄 白黄 红黄 黄黄
总共有9种等可能的结果，其中两支粉笔颜色相同的结果有3种(自-白、红-红、黄-黄)
∴P(取出两支粉笔颜色相同)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)根据概率公式，用黄色粉笔的数量除以粉笔的总数量即可求解；
(2)通过调整列表形式(第一次在列、第二次在行)列出所有可能的结果，再找出两支粉笔颜色相同的结果数，最后根据概率公式计算概率.
19．【答案】证明：∵在⊙O中，AD=BC，
∴，
又∵是公共弧，
∴，
∴，
∴AB=CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据只在同圆中，等弦所对的弧相等可得，结合题意推得，根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD，即可证明.
20．【答案】（1）解：点O即为所求作.
（2）5π-10
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)连接OA、OC，
，，，
∵，
即OA2+OC2=AC2
∴△AOC为直角三角形，∠AOC=90°，
∴.
故答案为：5π-10.
【分析】(1)应选取三角形的任意两条边(如AB和BC)，分别作出它们的垂直平分线，垂直平分线可以通过连接格点之间的对角线中点来实现，两条垂直平分线的交点即为所求圆心O；
(2)先明确阴影部分的几何构成：如图，阴影实际是扇形AOC与△AOC的面积差.
21．【答案】（1）解：以AB的中点为坐标原点O，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
∵桥下水面宽度AB为16m，拱顶距离水面高度为4m，
∴OA=OB=8，OC=4，
∴B(-8，0)，A(8，0)，C(0，4)，
将A(8，0)，C(0，4)代入得：
解得：
故该拱桥所在抛物线的表达式为：
（2）解：不能通过，
理由如下：
∵船宽为6m，
∴当x=3时，
∴该小船不能从这座拱桥下通过
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)待定系数法求函数解析式；
(2)将x=3代入求y的值，进而得到答案.
22．【答案】（1）解：连接OA，
∵，∠ADB=62°
∴∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，即：∠BOC=∠ADB=62°.
∵BE⊥OC，
∴∠OBE=90°-∠BOC=90°-62°=28°
（2）证明：由(1)知∠BOC=∠ADB，
∵直径BD，BE⊥OC，
∴∠DAB=∠OEB=90°.
∴△ADB~△EOB
∴
∴AB=2BE
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和弧与圆心角的关系可得∠AOB=2∠BOC=2∠ADB，由BE⊥OC得∠OBE=90°-∠BOC，即可求得结果；
(2)由(1)可知∠BOC=∠ADB，由圆周角定理和BE⊥OC可得∠DAB=∠OEB=90°，可证得△ADB~△EOB，进而可知，即可证得结论.
23．【答案】（1）解：将(-1，0)代入抛物线y=x2+bx+3中，
∴0=(-1)2+b·(-1)+3
∴b=4
（2）证明：由题可知，y1=m2+4m+3，
y2=(m+1)2+4(m+1)+3=m2+6m+8
∴2y1-(y2-3)=2(m2+4m+3)-(m2+6m+5)=m2+2m+1
∵(m+1)2≥0，
∴2y1≥y2-3
（3）解：二次函数化为顶点式为y=(x+2)2-1，对称轴为x=-2，最小值为-1，
分三种情况讨论：
①当n-2≥-2(n≥0)时，函数单调递增：
ymin=(n-2)2+4(n-2)+3=n2-1
ymax=n2+4n+3
差值为4n+4=5，解得
②当n≤-2时，函数单调递减：
ymin=n2+4n+3
ymax=(n-2)2+4(n-2)+3=n2-1
差值为-4n-4=5，解得
③当-2若-2若-1综上，或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】(1)将(-1，0)代入抛物线y=x2+bx+3中，得到关于b的一元一次方程，解此方程直接求出b的值；
(2)分别用含m的代数式表示y1和y2，计算2y1-(y2-3)，化简后得到完全平方式(m+1)2，根据完全平方式的非负性(平方数大于等于0)，证明不等式成立；
(3)分情况讨论：当n-2≥-2(n≥0)时，当n≤-2时，当-224．【答案】（1）证明：∵AB⊥OC
∴∠APG=90°
∴∠PAG+∠AGP=90°
∵AE⊥BD
∴∠BEA=90°
∴∠BAE+∠ABE=90°
∴∠AGP=∠ABE
∵∠ABE=∠ACG
∴∠AGP=∠ACG
∴AC=AG
∴PC=PG
（2）解：连接AD，分点G在线段OC上和点G在线段OD上两种情况，
第一种情况，如图所示，当点G在线段OC上时，
设OG=x，
∵，
∴PG=2x，
由(1)得，PC=PG=2x，
∴OC=PC+PG+OG=5x，
∴OD=OC=5x
∴PD=PG+OG+OD=8x，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠CAP+∠PAD=90°，
∵AB⊥OC
∴∠APC=90°，
∴∠CAP+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠PAD，
又∵∠APD=∠CPA=90°，
∴△PCA~△PAD
∴
∴PA2=PC·PD=2x·8x=16x2，
∴PA=4x，
在Rt△APC中， PA2+PC2=AC2，
∴，
解得：x=1
∴OD=OC=5x=5；
第二种情况，如图所示，当点G在线段OD上时，
设OG=x，
∵，
∴PG=2x，
由(1)得，PC=PG=2x，
∴OC=PC+PG-OG=3x，
∴OD=OC=3x，
∴PD=PG-OG+OD=4x，
∵CD为⊙O的直径
∴∠CAD=90°，
∴∠CAP+∠PAD=90°，
∵AB⊥OC
∴∠APC=90°，
∴∠CAP+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠PAD，
又∵∠APD=∠CPA=90°，
∴△PCA~△PAD
∴
∴PA2=PC·PD=2x.4x=8x2，
∴
在Rt△APC中， PA2+PC2=AC2，
∴，
解得：
∴；
综上所述，⊙O的半径为5或；
（3）2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)如图所示，
设∠CAP=α，
由(1)得，∠GAP=∠CAP=α
∴∠CAG=2α，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CDB=∠GAP=∠CAP=α
∵CF=CD，
∴∠CFB=∠CDB=α，
∴∠ACG=∠AGC=2α，
∴∠ACG=∠AGC=∠CAG，
∴△AGC是等边三角形，
设AC=CG=AG=a，
∴
∴
∵AE⊥BD
∴∠BEA=90°
∴∠BEA=∠GPA=90°，
∵∠PAG=∠EAB
∴△AGP~△ABE，
∴
∵CD为⊙O的直径，AB⊥OC，
∴AP=BP，
∴
∴
∴S△ABE=3·S△AGP
∴S四边形BPGE=2·S△AGP=2·S△ACP
∴.
故答案为：2.
【分析】(1)利用垂直的意义，直角三角形的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定与性质解答即可；
(2)连接AD，分点G在线段OC上和点G在线段OD上两种情况，设OG=x，用x分别表示出CP、AP，利用勾股定理及求出x，即可解答本题；
(3)设∠CAP=α， 利用PC=PG、CF=CD求出∠ACG=∠AGC=2α，得到△AGC是等边三角形，设AC=CG= AG=a，，通过证明△AGP~△ABE，得，利用垂径定理AP=BP， 得， 继而得到S△ABE=3·S△AGP，S四边形BPGE=2·S△AGP=2·S△ACP，即可解答本题.
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