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浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·义乌期中）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·义乌期中）已知一个等腰三角形的底角的度数为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　)
A．100° B．80° C．50°或80° D．20°
3．（2025八上·义乌期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，3， B．6，8，10 C．8，15，16 D．7，24，25
4．（2025八上·义乌期中）若a>b，则下列不等式变形正确的是 (　　)
A．a-b<0 B．- 5a<-5b
C．a+85．（2025八上·义乌期中）对于命题“若 则a>b”，能说明该命题是假命题的是 (　　)
A．a=2，b=-1 B．a=-1，b=2 C．a=1，b=-2 D．a=-2，b=1
6．（2025八上·义乌期中） 如图， 已知点A， D， C， F在同一条直线上， AB=DE， AD=CF， 要使△ABC≌△DEF，需添加一个条件是 (　　)
A．AB∥DE B．BC∥EF C．∠B=∠E D．AC=DF
7．（2025八上·义乌期中） 如图， △ABC中， AC=6， AB=8， 边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE 的周长是 (　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
8．（2025八上·义乌期中）如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交AB， AC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点F，作射线AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，则∠BAC等于（　　）
A．26° B．31° C．37° D．38°
9．（2025八上·义乌期中）已知关于x的不等式组 有5个整数解，求a的取值范围(　　)
A．- 410．（2025八上·义乌期中） 如图， 在△ABC中， D是AC的中点， 过点D 作DE⊥BC于点E， AB 的垂直平分线分别交AB， DE于点 F， G， 且 若DG=2， EG=3， 则BC的长为 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题 (本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·义乌期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
12．（2025八上·义乌期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：　 　．
13．（2025八上·义乌期中）直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为　 　.
14．（2025八上·义乌期中） 如图， AD 是Rt△ABC的角平分线， 若BD=2， AC=5， 则△ACD 的面积为　 　.
15．（2025八上·义乌期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD⊥BC于点D， CE⊥AB 于点E， 交AD于点F. 若∠BAC=45°， AF=2 则CD 的长为　 　.
16．（2025八上·义乌期中） 如图，在等边△ABC中， AB=6， D为AB的中点， E， F分别是AC， BC边上的动点，且满足 CF=2AE， 以EF为边向左作等边△EFG.
（1）当AE=BF时， 则CF=　 　；
（2）连结DG、AG， 则AG+DG最小值为　 　.
三、解答题 (本题有8小题，共72分)
17．（2025八上·义乌期中）解下列不等式：
（1） 4 (x-1) >2x；
（2）
18．（2025八上·义乌期中） 已知： 如图， 点E， F在CD上， AC=BD， 且AC∥BD， CE=DF. 求证：AE=BF.
19．（2025八上·义乌期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13， 请你连结AC. 求：
（1） AC的长；
（2） 四边形ABCD 的面积.
20．（2025八上·义乌期中）已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数.
（1）求m的取值范围；
（2） 若不等式 (2m+1)x-2m>1的解为x<1， 求整数m的值.
21．（2025八上·义乌期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”. 如图1， △ABC中， AD为BC边上高， 边BC的“边高差”等于 BC-AD， 记为h(BC) .
（1） 如图2， 若△ABC中， AB=AC， BD=CD=3， AD=5， 则h(BC) =　 　；
（2） 若△ABC中， ∠B=90°， AB=6， BC=8， 则h(AC) =　 　；
（3） 若△ABC中， AB=25， AC=17， BC边上的高为15， 求h(BC) 的值.
22．（2025八上·义乌期中）为了全面推进素质教育.增强学生体质，丰富校园文化生活，某校将举行秋季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元.
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案 求出最小总费用.
23．（2025八上·义乌期中）综合与实践
问题情境 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于该直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”.那么，如何才能剪出直角三角形的“完美线”呢 下面是某项目小组的探究过程.
项目操作
（1）如图1，有一张直角三角形纸片，∠A=50°，∠B=40°，请画出该直角三角形的“完美线”，并标出两个锐角的度数.
（2）项目探索
如图2，在直角三角形纸片中，∠C=90°，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点D.你发现CD满足什么条件时，CD是直角三角形的“完美线”，请说明理由.
（3）项目拓展
在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2， Rt△ABC的“完美线”与AB交于点D， 将△ACD沿“完美线”翻折得到△A'CD， 求A'A的长度.
24．（2025八上·义乌期中）如图1，在△ABC中， AB=AC， BD 是边AC上的高线， CD=1， AD=4.
（1） 求AB， BC的长.
（2） 若P 是射线DA上的一动点， 作 PE⊥BC于点E， 连结DE，
①如图2，当点 P在线段AD上时，若△CDE 是等腰三角形，求DP 的长度；
②设直线 PE交直线AB于点 F， 连结 DF， BP， 若 则BP长为 (直接写出结果).
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：B.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为80°，
∴等腰三角形另一底角的度数为80°
∵三角形内角和是180°
∴这个等腰三角形的顶角的度数为180°-80°-80°=20°
故选：D.
【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质确定另一个底角的度数，再利用三角形内角和为180°求出顶角的度数.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.32＋（）2＝42，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
B.62＋82＝102，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
C.82＋152≠162，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形；
D.72＋242＝252，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
故选：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当a>b时，不等式两边都减b，不等号的方向不变得a-b>0；
B、当a>b时，不等式两边都乘以-5，不等号的方向改变得-5a<-5b；
C、不等式两边的变化必须一致，故C错误；
D、当a>b时，不等式两边都除以4，不等号的方向不变得，
故选：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
5．【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例；
B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例；
C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例；
D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例；
故选：D.
【分析】要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可.
6．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AD=CF
∴AD+CD=CF+DC.
∴AC=DF
A、∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC≌△DEF(SAS)
故A符合题意；
B、∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC和△DEF不一定全等
故B不符合题意：
C、∵AC=DF，AB=DE，∠B=∠E
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故D不符合题意；
D、∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC和△DEF不一定全等
故D不符合题意；
故选：A.
【分析】根据等式的性质可得AC=DF，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE
∵AC=6，AB=8
∴△ACE的周长=CE+AE+AC=BE+AE+AC=AB+AC=8+6=14
故答案是：C.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，通过观察图形可知△ACE周长等于CE+AE+AC =BE+AE+AC=AB+AC，再根据已知条件代入数据计算即可得解.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，
∴△AEF≌△ADF，
∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，
∵ ∠BDF=50° ，
∴∠DAF+∠DFA=50°，
∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，
又∵ ∠EFD-∠BAC=24° ②，
∴①-②得∠BAC=38°.
故答案为：D.
【分析】先利用SSS判断出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，进而根据三角形外角性质得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，结合∠EFD-∠BAC=24° ②，求解即可得出∠BAC的度数.
9．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：
解得：a≤x<2
∵不等式组有5个整数解，即整数解为-3，-2，-1，0，1，
∴a的范围是-4故选：A.
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有5个整数解，确定出a的范围即可.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED至H，使得DH=ED，连接HA，GB，
∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵∠ADH=∠CDE，
∴△ADH≌△CDE(SAS)，
∴AH=CE， ∠DAH=∠C
∴AH//CB，
∵DE⊥BC
∴∠H=∠CED=90°
∵GF垂直平分AB，，
∴∠GFB=∠GFC=90°， GF=BF=AF， GB=GA，
∴△GFB，△GFA是等腰直角三角形，
∴∠BGF=∠AGF=45°，
∴∠BGA=90°
∴△GBA是等腰直角三角形，
又∵∠DHA=∠CED=90°，
∴∠EGB=90°-∠HGA=∠HAG，
∴△EBG≌△HGA(AAS)
∴BE=GH，EG=HA=3，
∵DH=ED=DG+EG=5，
∴BE=GH=DG+DH=7，
∴BC=BE+CE=10
故答案为：B.
【分析】先倍长中线法证明△ADH≌△CDE(SAS)得出AH=CE， ∠DAH=∠C，进而得出∠H=∠CED=90°，证明△GBA是等腰直角三角形，△EBG≌△HGA(AAS)得出BE=GH，EG=HA=3，进而根据线段的和差关系，即可求解.
11．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得：．
故答案为：．
【分析】“m的3倍”表示为3m，“2与3m的和”表示为2+3m，根据和是正数，及正数大于0，列出不等式即可．
13．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边.
∴此直角三角形斜边上的中线的长
故答案为：6.5.
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
14．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵AD是Rt△ABC的角平分线，DB⊥AB
∴DH=BD=2
∵AC=5.
∴△ACD的面积.
故答案为：5.
【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质得到DH=BD=2，而AC=5，由三角形面积公式，即可得到△ACD的面积.
15．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，
∴AD⊥BC，BD=CD
∴∠ADC=90°，∠B=∠BCA，
∴∠CFD+∠ECB=90°
∵CE⊥AB，∠BAC=45°
∴∠BAD+∠AFE=90°，AE=CE
∵∠B=∠BCA，
∴∠BAD=∠BCE
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)
∴AF=BC
∵BD=CD，
∴
故答案为：.
【分析】证明△AEF≌△CEB(ASA)，根据全等三角形的性质得出AE=BC，即可求出答案.
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)设AE=BF=x，则CF=2AE=2x，
∵在等边△ABC中，AB=6，
∴CF+BF=BC=6
∴2x+x=6
解得x=2，
∴CF=2x=4，
故答案为：4.
(2)过点F作FJ⊥AC于J，则∠FJC=∠FJE=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠JFC=30°
∴
∴CF=2AE=AE+CJ，
∴EJ=FB，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，EF=FG，
∵∠GFB+∠GFE+∠EFC=180°，
∠EFC+∠C+∠FEC=180°，
∴∠GFB=∠FEC
∴△BGF≌△JFE(SAS)，
∴∠GBF=∠FJE=90°，
∴GB⊥BC，
∴点G的轨迹为垂直于BC的直线，
作点D关于BG的对称点N，连接AN，AN即为AG+DG的最小值.
连接DN交BG于I，过点A作AH⊥BC于H，延长ND交AH于M，
∵GB⊥BC，
∴NM⊥AH，
∴∠NMA=90°， NM//BH
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABH的中位线，
∴，，
∵GB⊥BC，AH⊥BC，
∴MI=BH=3，
∴
∴DN=3
∴
在Rt△ANM中，
故答案为：.
【分析】(1)由AE=BF可得CF=2BF，再由CF+BF=BC=6，即可求解；
(2)连接BG，过点F作FJ⊥AC于J，可得， 从而EJ=BF，可证是△BGF≌△JFE，可得GB⊥BC，从而点G的轨迹为垂直于BC的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出AG+DG的最小值.
17．【答案】（1）解：去括号得，4x-4>2x，
移项得，4x-2x>4，
合并同类项得，2x>4.
解得x>2
（2）解：去分母得，3(1+x)<2(1+2x)
去括号得，3+3x≤2+4x，
移项得，3x-4x≤2-3，
合并同类项得，-x≤-1，
解得x≥1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)根据去括号、移项、合并同类项和系数化为即可求出不等式的解集；
(2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项即可求出不等式的解集.
18．【答案】证明： ∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD (SAS)，
∴AE=BF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠D，然后根据SAS可判断△AEC≌△BFD，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：连接AC，
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
（2）
是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ABC中，
在 Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据∠B=90°，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC，即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的面积和△ACD的面积之和，即可解答.
20．【答案】（1）解方程组 得
∵x为非正数，y为负数，
解得-2∴m的取值范围为-2（2）∵(2m+1)x-2m>1，
∴(2m+1) x>2m+1，
∵不等式的解为x<1，
∴2m+1<0， 即
∴m的取值为
∴整数m=-1.
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【分析】(1)先求出方程组的解，根据x为非正数，y为负数，组成不等式组，解不等式组，即可解答；
(2)由不等式的性质求出m的范围，结合(1)中所求范围可得答案.
21．【答案】（1）1
（2）
（3）解：如图，分两种情况讨论：
当△ABC是锐角三角形时：
∵AD⊥BC， AB=25， AC=17， AD=15，
∴BD=20， CD=8， ∴BC=BD+CD=28，
∴h(BC) =BC-AD=28-15=13；
当△ABC是钝角三角形时：
同理可得BD=20， C'D=8， ∴BC'=BD-C'D=12，
∴h(BC) =BC'-AD=12-15=-3，
综上所述： h(BC) 的值为13或-3.
【知识点】勾股定理；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解： (1) ∵AB=AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴h(BC) =BC-AD=6-5=1，
故答案为：1.
(2) 如图， 作BH⊥AC于 H，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)根据边高差定义，代入计算即可求解；
(2)画出图形，根据勾股定理和等面积法算出长度，根据边高差定义，代入计算即可求解；
(3)分为2种情况讨论，根据勾股定理计算即可求解.
22．【答案】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意，得： 解得：
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元.
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进(100-m)件B种奖品，
依题意，得： 解得： 68≤m≤75，
75-68+1=8 (种)，即运动会组委会共有8种购买方案.
∵10<15， ∴A 种奖品的单价较低，
∴当m=75时，购买奖品总费用最少，
最少费用为10×75+15× (100-75) =1125(元).
答：购买75件A种奖品，25件B种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元，若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进(100-m)件B种奖品，根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出购买方案的个数；由A，B两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价=单价×数量可求出最小总费用.
23．【答案】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB，
∵∠ADC=90°
∴∠ACD=90°-50°=40°
∠BCD=90°-40°=50°
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE，
∵△ABC为直角三角形，CE为斜边上的中线，
∴，
∴∠ACE=∠A=50°，∠ECB=∠B=40°
∴CE为Rt△ABC的“完美线”
（2）解：当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°， ∠ACD=∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
同理可得： ∠B=∠ACD，
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
当 CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴∠ACD=∠A， ∠DCB=∠B，
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
综上分析可知，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的“完美线”；
（3）解：∵在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2，
当 CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=90°，
根据折叠可知，
∴∠ADC+∠A'DC=180°， ∴A、D、A'三点共线，
∴AA'=AD+A'D=3；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∵∠CAD=30°， ∴∠ACD=30°，根据折叠可知， AC=A'C， ∠ACD=∠A'CD，
∴∠ACA'=∠ACD+∠A'CD=60°，
∴△ACA'为等边三角形，
综上所述，或3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-作高
【解析】【分析】(1)根据完美线的定义作图即可；
(2)根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
(3)分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可.
24．【答案】（1）解：∵AB=AC=AD+CD=1+4=5，
又∵
（2）解：①分三种情况：Ⅰ. 当DE=CD=1时， 则∠DEC=∠C，∵PE⊥BC，∴∠DEC+∠PED=∠PEC=90°，∴∠C+∠CPE=90°，∴∠CPE=∠PED，∴PD=DE=1，Ⅱ. 当CE=CD=1时，在△CPE和△CBD中，∴△CPE≌△CBD (ASA)，Ⅲ. 当CE=DE时， 则∠CDE=∠C，∵BD⊥AC，∴∠CDE+∠BDE=∠BDC=90°，又∵∠C+∠CBD=90°，∴∠BDE=∠CBD，∴BE=DE=CE，此时点 P 与点A 重合，∴PD=AD=4，综上所述， DP=1或或4；
②或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(2)②分两种情况：
Ⅰ. 当P 在线段AD上，
连结 BP，
∵S△DAF： S△DBA=3： 5，
∴AF： AB=3： 5，
∵AB=5，
∴AF=3，
∵PE⊥BC，
∴∠EPC+∠C=90°， ∠BFE+∠FBE=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EPC=∠BFE，
∵∠EPC=∠APF，
∴∠APF=∠AFP，
∴△APF 是等腰三角形，
∴AP=AF=3， PD=4-3=1，
Ⅱ. 当 P 在射线DA 上， 连结BP，
同理可得AP=AF=3，
∴PD=3+4=7，
综上所述，BP 的长为或
故答案为：或.
【分析】(1)由勾股定理即可计算出BD的长，从而计算出BC的长；
(2)①分两种情况：当DE=CD=1时；当CE=CD=1时，分别进行求解即可；②分两种情况：当P在线段AD上；当P在线段DA延长线上分别进行求解即可.
1 / 1浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·义乌期中）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：B.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．（2025八上·义乌期中）已知一个等腰三角形的底角的度数为80°，则这个等腰三角形的顶角的度数为(　　)
A．100° B．80° C．50°或80° D．20°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为80°，
∴等腰三角形另一底角的度数为80°
∵三角形内角和是180°
∴这个等腰三角形的顶角的度数为180°-80°-80°=20°
故选：D.
【分析】先根据等腰三角形两底角相等的性质确定另一个底角的度数，再利用三角形内角和为180°求出顶角的度数.
3．（2025八上·义乌期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，3， B．6，8，10 C．8，15，16 D．7，24，25
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.32＋（）2＝42，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
B.62＋82＝102，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
C.82＋152≠162，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形；
D.72＋242＝252，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
故选：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断解答即可．
4．（2025八上·义乌期中）若a>b，则下列不等式变形正确的是 (　　)
A．a-b<0 B．- 5a<-5b
C．a+8【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、当a>b时，不等式两边都减b，不等号的方向不变得a-b>0；
B、当a>b时，不等式两边都乘以-5，不等号的方向改变得-5a<-5b；
C、不等式两边的变化必须一致，故C错误；
D、当a>b时，不等式两边都除以4，不等号的方向不变得，
故选：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
5．（2025八上·义乌期中）对于命题“若 则a>b”，能说明该命题是假命题的是 (　　)
A．a=2，b=-1 B．a=-1，b=2 C．a=1，b=-2 D．a=-2，b=1
【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例；
B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例；
C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例；
D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例；
故选：D.
【分析】要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可.
6．（2025八上·义乌期中） 如图， 已知点A， D， C， F在同一条直线上， AB=DE， AD=CF， 要使△ABC≌△DEF，需添加一个条件是 (　　)
A．AB∥DE B．BC∥EF C．∠B=∠E D．AC=DF
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵AD=CF
∴AD+CD=CF+DC.
∴AC=DF
A、∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC≌△DEF(SAS)
故A符合题意；
B、∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC和△DEF不一定全等
故B不符合题意：
C、∵AC=DF，AB=DE，∠B=∠E
∴△ABC和△DEF不一定全等，
故D不符合题意；
D、∵AC=DF，AB=DE
∴△ABC和△DEF不一定全等
故D不符合题意；
故选：A.
【分析】根据等式的性质可得AC=DF，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答.
7．（2025八上·义乌期中） 如图， △ABC中， AC=6， AB=8， 边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE 的周长是 (　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE
∵AC=6，AB=8
∴△ACE的周长=CE+AE+AC=BE+AE+AC=AB+AC=8+6=14
故答案是：C.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，通过观察图形可知△ACE周长等于CE+AE+AC =BE+AE+AC=AB+AC，再根据已知条件代入数据计算即可得解.
8．（2025八上·义乌期中）如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交AB， AC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点F，作射线AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，则∠BAC等于（　　）
A．26° B．31° C．37° D．38°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，
∴△AEF≌△ADF，
∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，
∵ ∠BDF=50° ，
∴∠DAF+∠DFA=50°，
∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，
又∵ ∠EFD-∠BAC=24° ②，
∴①-②得∠BAC=38°.
故答案为：D.
【分析】先利用SSS判断出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，进而根据三角形外角性质得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，结合∠EFD-∠BAC=24° ②，求解即可得出∠BAC的度数.
9．（2025八上·义乌期中）已知关于x的不等式组 有5个整数解，求a的取值范围(　　)
A．- 4【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：
解得：a≤x<2
∵不等式组有5个整数解，即整数解为-3，-2，-1，0，1，
∴a的范围是-4故选：A.
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有5个整数解，确定出a的范围即可.
10．（2025八上·义乌期中） 如图， 在△ABC中， D是AC的中点， 过点D 作DE⊥BC于点E， AB 的垂直平分线分别交AB， DE于点 F， G， 且 若DG=2， EG=3， 则BC的长为 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED至H，使得DH=ED，连接HA，GB，
∵D是AC的中点，
∴AD=DC，
∵∠ADH=∠CDE，
∴△ADH≌△CDE(SAS)，
∴AH=CE， ∠DAH=∠C
∴AH//CB，
∵DE⊥BC
∴∠H=∠CED=90°
∵GF垂直平分AB，，
∴∠GFB=∠GFC=90°， GF=BF=AF， GB=GA，
∴△GFB，△GFA是等腰直角三角形，
∴∠BGF=∠AGF=45°，
∴∠BGA=90°
∴△GBA是等腰直角三角形，
又∵∠DHA=∠CED=90°，
∴∠EGB=90°-∠HGA=∠HAG，
∴△EBG≌△HGA(AAS)
∴BE=GH，EG=HA=3，
∵DH=ED=DG+EG=5，
∴BE=GH=DG+DH=7，
∴BC=BE+CE=10
故答案为：B.
【分析】先倍长中线法证明△ADH≌△CDE(SAS)得出AH=CE， ∠DAH=∠C，进而得出∠H=∠CED=90°，证明△GBA是等腰直角三角形，△EBG≌△HGA(AAS)得出BE=GH，EG=HA=3，进而根据线段的和差关系，即可求解.
二、填空题 (本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·义乌期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．（2025八上·义乌期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得：．
故答案为：．
【分析】“m的3倍”表示为3m，“2与3m的和”表示为2+3m，根据和是正数，及正数大于0，列出不等式即可．
13．（2025八上·义乌期中）直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为　 　.
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边.
∴此直角三角形斜边上的中线的长
故答案为：6.5.
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
14．（2025八上·义乌期中） 如图， AD 是Rt△ABC的角平分线， 若BD=2， AC=5， 则△ACD 的面积为　 　.
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵AD是Rt△ABC的角平分线，DB⊥AB
∴DH=BD=2
∵AC=5.
∴△ACD的面积.
故答案为：5.
【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质得到DH=BD=2，而AC=5，由三角形面积公式，即可得到△ACD的面积.
15．（2025八上·义乌期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD⊥BC于点D， CE⊥AB 于点E， 交AD于点F. 若∠BAC=45°， AF=2 则CD 的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，
∴AD⊥BC，BD=CD
∴∠ADC=90°，∠B=∠BCA，
∴∠CFD+∠ECB=90°
∵CE⊥AB，∠BAC=45°
∴∠BAD+∠AFE=90°，AE=CE
∵∠B=∠BCA，
∴∠BAD=∠BCE
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)
∴AF=BC
∵BD=CD，
∴
故答案为：.
【分析】证明△AEF≌△CEB(ASA)，根据全等三角形的性质得出AE=BC，即可求出答案.
16．（2025八上·义乌期中） 如图，在等边△ABC中， AB=6， D为AB的中点， E， F分别是AC， BC边上的动点，且满足 CF=2AE， 以EF为边向左作等边△EFG.
（1）当AE=BF时， 则CF=　 　；
（2）连结DG、AG， 则AG+DG最小值为　 　.
【答案】（1）4
（2）
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)设AE=BF=x，则CF=2AE=2x，
∵在等边△ABC中，AB=6，
∴CF+BF=BC=6
∴2x+x=6
解得x=2，
∴CF=2x=4，
故答案为：4.
(2)过点F作FJ⊥AC于J，则∠FJC=∠FJE=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠JFC=30°
∴
∴CF=2AE=AE+CJ，
∴EJ=FB，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，EF=FG，
∵∠GFB+∠GFE+∠EFC=180°，
∠EFC+∠C+∠FEC=180°，
∴∠GFB=∠FEC
∴△BGF≌△JFE(SAS)，
∴∠GBF=∠FJE=90°，
∴GB⊥BC，
∴点G的轨迹为垂直于BC的直线，
作点D关于BG的对称点N，连接AN，AN即为AG+DG的最小值.
连接DN交BG于I，过点A作AH⊥BC于H，延长ND交AH于M，
∵GB⊥BC，
∴NM⊥AH，
∴∠NMA=90°， NM//BH
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABH的中位线，
∴，，
∵GB⊥BC，AH⊥BC，
∴MI=BH=3，
∴
∴DN=3
∴
在Rt△ANM中，
故答案为：.
【分析】(1)由AE=BF可得CF=2BF，再由CF+BF=BC=6，即可求解；
(2)连接BG，过点F作FJ⊥AC于J，可得， 从而EJ=BF，可证是△BGF≌△JFE，可得GB⊥BC，从而点G的轨迹为垂直于BC的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出AG+DG的最小值.
三、解答题 (本题有8小题，共72分)
17．（2025八上·义乌期中）解下列不等式：
（1） 4 (x-1) >2x；
（2）
【答案】（1）解：去括号得，4x-4>2x，
移项得，4x-2x>4，
合并同类项得，2x>4.
解得x>2
（2）解：去分母得，3(1+x)<2(1+2x)
去括号得，3+3x≤2+4x，
移项得，3x-4x≤2-3，
合并同类项得，-x≤-1，
解得x≥1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)根据去括号、移项、合并同类项和系数化为即可求出不等式的解集；
(2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项即可求出不等式的解集.
18．（2025八上·义乌期中） 已知： 如图， 点E， F在CD上， AC=BD， 且AC∥BD， CE=DF. 求证：AE=BF.
【答案】证明： ∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD (SAS)，
∴AE=BF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质得到∠C=∠D，然后根据SAS可判断△AEC≌△BFD，进而即可求解.
19．（2025八上·义乌期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13， 请你连结AC. 求：
（1） AC的长；
（2） 四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）解：连接AC，
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
（2）
是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
在 Rt△ABC中，
在 Rt△ADC中，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据∠B=90°，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC，即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的面积和△ACD的面积之和，即可解答.
20．（2025八上·义乌期中）已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数.
（1）求m的取值范围；
（2） 若不等式 (2m+1)x-2m>1的解为x<1， 求整数m的值.
【答案】（1）解方程组 得
∵x为非正数，y为负数，
解得-2∴m的取值范围为-2（2）∵(2m+1)x-2m>1，
∴(2m+1) x>2m+1，
∵不等式的解为x<1，
∴2m+1<0， 即
∴m的取值为
∴整数m=-1.
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【分析】(1)先求出方程组的解，根据x为非正数，y为负数，组成不等式组，解不等式组，即可解答；
(2)由不等式的性质求出m的范围，结合(1)中所求范围可得答案.
21．（2025八上·义乌期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”. 如图1， △ABC中， AD为BC边上高， 边BC的“边高差”等于 BC-AD， 记为h(BC) .
（1） 如图2， 若△ABC中， AB=AC， BD=CD=3， AD=5， 则h(BC) =　 　；
（2） 若△ABC中， ∠B=90°， AB=6， BC=8， 则h(AC) =　 　；
（3） 若△ABC中， AB=25， AC=17， BC边上的高为15， 求h(BC) 的值.
【答案】（1）1
（2）
（3）解：如图，分两种情况讨论：
当△ABC是锐角三角形时：
∵AD⊥BC， AB=25， AC=17， AD=15，
∴BD=20， CD=8， ∴BC=BD+CD=28，
∴h(BC) =BC-AD=28-15=13；
当△ABC是钝角三角形时：
同理可得BD=20， C'D=8， ∴BC'=BD-C'D=12，
∴h(BC) =BC'-AD=12-15=-3，
综上所述： h(BC) 的值为13或-3.
【知识点】勾股定理；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解： (1) ∵AB=AC， BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴h(BC) =BC-AD=6-5=1，
故答案为：1.
(2) 如图， 作BH⊥AC于 H，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)根据边高差定义，代入计算即可求解；
(2)画出图形，根据勾股定理和等面积法算出长度，根据边高差定义，代入计算即可求解；
(3)分为2种情况讨论，根据勾股定理计算即可求解.
22．（2025八上·义乌期中）为了全面推进素质教育.增强学生体质，丰富校园文化生活，某校将举行秋季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元.
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案 求出最小总费用.
【答案】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意，得： 解得：
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元.
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进(100-m)件B种奖品，
依题意，得： 解得： 68≤m≤75，
75-68+1=8 (种)，即运动会组委会共有8种购买方案.
∵10<15， ∴A 种奖品的单价较低，
∴当m=75时，购买奖品总费用最少，
最少费用为10×75+15× (100-75) =1125(元).
答：购买75件A种奖品，25件B种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元，若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进(100-m)件B种奖品，根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出购买方案的个数；由A，B两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价=单价×数量可求出最小总费用.
23．（2025八上·义乌期中）综合与实践
问题情境 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于该直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”.那么，如何才能剪出直角三角形的“完美线”呢 下面是某项目小组的探究过程.
项目操作
（1）如图1，有一张直角三角形纸片，∠A=50°，∠B=40°，请画出该直角三角形的“完美线”，并标出两个锐角的度数.
（2）项目探索
如图2，在直角三角形纸片中，∠C=90°，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点D.你发现CD满足什么条件时，CD是直角三角形的“完美线”，请说明理由.
（3）项目拓展
在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2， Rt△ABC的“完美线”与AB交于点D， 将△ACD沿“完美线”翻折得到△A'CD， 求A'A的长度.
【答案】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB，
∵∠ADC=90°
∴∠ACD=90°-50°=40°
∠BCD=90°-40°=50°
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
如图，作AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE，
∵△ABC为直角三角形，CE为斜边上的中线，
∴，
∴∠ACE=∠A=50°，∠ECB=∠B=40°
∴CE为Rt△ABC的“完美线”
（2）解：当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°， ∠ACD=∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
同理可得： ∠B=∠ACD，
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
当 CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴∠ACD=∠A， ∠DCB=∠B，
∴CD为Rt△ABC的“完美线”；
综上分析可知，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的“完美线”；
（3）解：∵在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A=30°， AB=2，
当 CD为直角三角形ABC斜边上的高时，如图所示：
∵∠ADC=90°，
根据折叠可知，
∴∠ADC+∠A'DC=180°， ∴A、D、A'三点共线，
∴AA'=AD+A'D=3；
当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，如图所示：
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∵∠CAD=30°， ∴∠ACD=30°，根据折叠可知， AC=A'C， ∠ACD=∠A'CD，
∴∠ACA'=∠ACD+∠A'CD=60°，
∴△ACA'为等边三角形，
综上所述，或3.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-作高
【解析】【分析】(1)根据完美线的定义作图即可；
(2)根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
(3)分两种情况，当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，当CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可.
24．（2025八上·义乌期中）如图1，在△ABC中， AB=AC， BD 是边AC上的高线， CD=1， AD=4.
（1） 求AB， BC的长.
（2） 若P 是射线DA上的一动点， 作 PE⊥BC于点E， 连结DE，
①如图2，当点 P在线段AD上时，若△CDE 是等腰三角形，求DP 的长度；
②设直线 PE交直线AB于点 F， 连结 DF， BP， 若 则BP长为 (直接写出结果).
【答案】（1）解：∵AB=AC=AD+CD=1+4=5，
又∵
（2）解：①分三种情况：Ⅰ. 当DE=CD=1时， 则∠DEC=∠C，∵PE⊥BC，∴∠DEC+∠PED=∠PEC=90°，∴∠C+∠CPE=90°，∴∠CPE=∠PED，∴PD=DE=1，Ⅱ. 当CE=CD=1时，在△CPE和△CBD中，∴△CPE≌△CBD (ASA)，Ⅲ. 当CE=DE时， 则∠CDE=∠C，∵BD⊥AC，∴∠CDE+∠BDE=∠BDC=90°，又∵∠C+∠CBD=90°，∴∠BDE=∠CBD，∴BE=DE=CE，此时点 P 与点A 重合，∴PD=AD=4，综上所述， DP=1或或4；
②或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(2)②分两种情况：
Ⅰ. 当P 在线段AD上，
连结 BP，
∵S△DAF： S△DBA=3： 5，
∴AF： AB=3： 5，
∵AB=5，
∴AF=3，
∵PE⊥BC，
∴∠EPC+∠C=90°， ∠BFE+∠FBE=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EPC=∠BFE，
∵∠EPC=∠APF，
∴∠APF=∠AFP，
∴△APF 是等腰三角形，
∴AP=AF=3， PD=4-3=1，
Ⅱ. 当 P 在射线DA 上， 连结BP，
同理可得AP=AF=3，
∴PD=3+4=7，
综上所述，BP 的长为或
故答案为：或.
【分析】(1)由勾股定理即可计算出BD的长，从而计算出BC的长；
(2)①分两种情况：当DE=CD=1时；当CE=CD=1时，分别进行求解即可；②分两种情况：当P在线段AD上；当P在线段DA延长线上分别进行求解即可.
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