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浙江省温州新希望联盟学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题（11月）
1．（2025八上·温州期中）下列图案中，是轴对称图形的是 （　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·温州期中）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　)
A．6， 4， 2 B．6， 3， 3 C．7， 3， 2 D．5， 5， 2
3．（2025八上·温州期中）若aA．- 2a>-2b B． C．a+2>b+2 D．a-2>b-2
4．（2025八上·温州期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一”
5．（2025八上·温州期中）对于命题“若x2>y2，则x>y”，下列选项中各对x，y的值，能说明这个命题是假命题的是（　　)
A．x=3， y=4 B．x=-4， y=3 C．x=4， y=-3 D．x=-3， y=4
6．（2025八上·温州期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　)
A．a>0 B．a+b<0 C．ab<0 D．|a|>|b|
7．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△A'B'C， ∠ACB=90°， ∠B'CA=30°， 则∠ACA'的度数为（　　)
A．30° B．40° C．60° D．90°
8．（2025八上·温州期中）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　)
A．∠A：∠B∶∠C=1∶2∶3 B．a+b=c
C．a∶b∶c=1∶2∶3 D．∠A=∠B=3∠C
9．（2025八上·温州期中）如图， 在等腰△ABC中， AB=AC， 边AC的垂直平分线EF分别交AC， AB于点E， F. D为BC边的中点， 点M为线段EF上一动点， 若BC=4， △ABC的面积为12， 则 周长的最小值为（　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
10．（2025八上·温州期中）如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 以其三边为边向外作正方形. 连结GM， DN， 若△ABC的面积为2.5，则阴影部分面积为（　　)
A．2.5 B．5 C．7.5 D．8
11．（2025八上·温州期中） 用不等式表示“x的2倍与1的差大于5”：　 　.
12．（2025八上·温州期中） 命题“如果|a|═|b|， 那么a=b”的逆命题是　 　.
13．（2025八上·温州期中）将一把直尺和一块含有30°角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上， 若∠1=38°， 则∠2的度数为　 　°.
14．（2025八上·温州期中）如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了30米，到达D处， 测得∠ADB=30°， 则树高AB为　 　米.
15．（2025八上·温州期中） 如图， 已知D为△ABC内一点， CD平分∠ACB， BD⊥CD，∠A=∠ABD. 若AC=9， BC=6， 则BD的长为　 　.
16．（2025八上·温州期中） 如图， 在等腰直角△ABC中， ∠CAB=90°， AD⊥BC， E是AD上一点，连接CE，BE，点A关于直线CE的对称点F恰好落在BE上， 则∠AEB的度数为　 　； 连接CF交AD 于点G. 若AG=1， 则BF的长为　 　.
17．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ACDB中， ，连结AD， 若BD=CD.求证：
18．（2025八上·温州期中）解不等式 ，并把解集表示在数轴上.
19．（2025八上·温州期中）如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上).
（1）在图1中画△A'B'C， 使△A'B'C与△ABC关于直线DE 成轴对称.
（2）在图2中画Rt△APC， 使Rt△APC与△ABC不全等.
20．（2025八上·温州期中）如图， 在等边三角形ABC边AC， BC上分别取点P， Q， 且AP=CQ， 连结AQ， BP交于点O.
（1）求证：
（2）求∠BOQ 的度数.
21．（2025八上·温州期中）爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
如图1， 在△ABC中， ∠BAC=90°， 若AD平分∠BAC， 则有AB∶AC=BD∶DC.
对此结论，小华同学的证法如下：
过点D作DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F， 过点A作AG⊥BC于点G，因为AD是∠BAC的角平分线， 且DE⊥AB， DF⊥AC，所以 ▲ = ▲ ，
因为
所以
因为
所以
所以AB∶AC=BD∶DC
【尝试探究】
（1）请将小华同学的证明过程补充完整.
（2）【迁移应用】
如图2， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=3， AD平分∠BAC交BC于点D，AM⊥BC于点M 求DM的长.
22．（2025八上·温州期中）如图， 已知BD⊥AC， 点E为垂足， EF⊥AB于点 F， FE的延长线交CD于点G， 且∠B=∠C.
（1）若∠B=35°， 求∠AEF的度数.
（2）求证：CG=DG.
23．（2025八上·温州期中）如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点.
（1）求AO的长.
（2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点
①当AE=1 时， 求AF 的长；
②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；
B.是轴对称图形，符合题意；
C.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；
D.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义。不符合题意；
故答案为：B.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵4+2=6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意；
B.∵3+3=6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意；
C.∵3+2=5<7，∴不能构成三角形，不符合题意；
D.∵5+2>5，∴能构成三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可.
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a-2b，原变形成立，故本选项符合题意；
B、若aC、若aD、若a故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
是等腰三角形，
是的中点，
，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”
故选：D．
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”解答即可．
5．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当x=-4，y=3时，(-4)2>32，即满足x2>y2，
但-4<3，即不满足x>y，
故答案为：B.
【分析】找到一对使得若x2>y2成立，而x>y不成立的x、y的值即可.
6．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的位置可得a+b>0，ab<0，
故答案为：C.
【分析】根据a、b的位置，a<07．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'=90°，
∵∠B'CA=30°.
∴∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=90°-30°=60°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A'CB'=90°，所以∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=60°.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当∠A：∠B：∠C=1：2：3时，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
∴△ABC是直角三角形，故A正确；
B.∵a+b=c，
∴围不成三角形，故B错误，
C.∵a：b：c=1：2：3，
∴设a=x，b=2x，c=3x
∴a+b=c
∴围不成三角形，故C错误；
D.∵∠A=2∠B=3∠C，
∴，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴
则
∴△ABC是钝角三角形，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理依次判断出四个选项中三角形的形状即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△CDM的周长=CM+MD+CD
∴当CM+MD最小时，△CDM的周长最小，
∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F，
∴A，C两点关于EF对称，
∴CM+MD=AM+MD≥AD
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=4，D为BC边的中点，连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，
∴AD⊥BC，
∴
∴AD=6.
∴△CDM的周长=AD+CD=6+2=8
故答案为：A.
【分析】根据中垂线的性质，A，C两点关于EF对称，连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出AD，进而求出△CDM的周长的最小值即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP⊥BN交NB的延长线于点P，过点C作CQ⊥BN交NB的延长线于点Q，过点G作GS⊥MA交MA的延长线于点S，过点C作CT⊥MA交MA的延长线于点T，作CH⊥AB交AB于点H，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，
∴∠DPB=∠Q=90°，CH=BQ=TA，
∵∠DBC=∠GAC=90°，CB=BD，AB=BN=AM.
∴∠QBC=∠PDB，
在△QBC和△PDB中
∴△QBC≌△PDB，同理可证△TAC≌△SGA，
∴PD=BQ，GS=TA，
∴，
故答案为：B.
【分析】因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与△ABC等底等高，验证即可求解.
11．【答案】2x-1>5
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，用不等式表示“x的2倍与1的差大于5”：2x-1>5.
故答案为：2x-1>5.
【分析】根据题意，将文字描述中的“x的2倍”、“与1的差”和“大于5”转化为数学符号，形成不等式.
12．【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【知识点】逆命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：“如果|a|=|b|，那么a=b”的逆命题是：
“如果a=b，那么|a|=|b|”，
故答案为：如果a=b，那么|a|=|b|.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案.
13．【答案】82°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：∠5=90°-30°=60°
∵BC//AD，∠1=38°，
∴∠3=∠1=38°，∠2=∠4
∵∠4=180°-∠5-∠3=82°
∴∠2=82°.
故答案为：82°.
【分析】根据直角三角板的30°角计算出相邻角的度数；然后，利用平行线的性质找出同位角和对应角的关系；最后，利用三角形内角和定理计算出未知角的度数.
14．【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°
∴∠ACB=∠CAD
∴AD=CD=30米，
又∵∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴米.
故答案为：15.
【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=30米，由直角三角形的性质即可得到结论.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD
∵CD平分∠ACB
∴∠BCD=∠ECD
∴∠EBC=∠BEC
∴△BEC为等腰三角形
∴BC=CE
∵BE⊥CD
∴2BD=BE，
∵AC=9，BC=6，
∴CE=6，
∴AE=AC-EC=9-6=3，
∴BE=3，
∴
故答案为：.
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=9，BC=6，即可推出BD的长度.
16．【答案】120°；1
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由条件可知∠CAD=∠BAD=45°，AC=AB
∵点A关于直线CE的对称点F恰好落在BE上，
∴AC=FC，∠CAE=∠CFE=45°，AE=EF，∠AEC=∠FEC，
∴∠CFE=∠BAE，CF=AB
∴△ABE≌△FCE(SAS)，
∴∠AEB=∠FEC=∠AEC
∵∠AEB+∠FEC+∠AEC=360°
∴∠AEB=∠FEC=∠AEC=120°
如图所示，连接AF，
由条件可知
∴∠AGF=∠AEF-∠EFG=75°，∠AFG=∠AFE+∠CFE=75°
∴∠AGF=∠AFG
∴AG=AF=1，
∵∠FAB=∠DAB-∠EAF=45°-30°=15°
∴∠ABF=∠EFA-∠FAB=15°
∴∠FAB=∠FBA
∴FA=FB=1
故答案为：120°；1.
【分析】首先得到∠CAD=∠BAD=45°，AC=AB，由对称得到AC=FC，∠CAE=∠CFE=45°，AE=EF，∠AEC=∠FEC，证明出△ABE≌△FCE(SAS)，得到∠AEB=∠FEC=∠AEC=120°；如图所示，连接AF，证明出∠AGF=∠AFG，得到AG=AF=1，然后证明出∠FAB=∠FBA，得到FA=FB=1.
17．【答案】证明：∵∠ABD=∠ACD=90°
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理，由∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD，以及公共边AD=AD利用斜边直角边(HL)定理来证明.
18．【答案】解：因为2+3x≥2x-1， 所以3x-2x≥-1-2.
所以x≥-3

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用不等式的基本性质，移项合并同类项、系数化一即可求得，然后在数轴上表示即可.
19．【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
【知识点】尺规作图-作三角形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)要画出△A'B'C'与△ABC关于直线DE成轴对称的图形，需分别找出A、B、C三点关于直线DE的对称点，再依次连接这些对称点；
(2)要画出Rt△APC与△ABC不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置.
20．【答案】（1）证明：∵△ABP为等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=60°， BA=CA
又∵AP=CQ，
∴△ABP≌△CAQ.
（2）解：因为△ABP≌△CAQ
所以∠ABP=∠CAQ
因为∠BOQ 是△AOB 外角
所以∠BOQ=∠ABO+∠BAQ
所以∠BOQ=∠ABP+∠BAQ
因为∠BAQ+∠CAQ=60°
所以∠BOQ=60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)利用(1)中全等三角形的对应角相等得到∠BOQ=∠BAC=60°.
21．【答案】（1）解：DE，DF
（2）解：因为Rt△ABC中， AB=4， AC=3，
所以由勾股定理得：
所以BC=5
因为AD平分∠BAC
所以BD： CD=AB： AC=4： 3
设BD=4x， CD=3x 所以4x+3x=5
所以
因为AM⊥BC， 所以AB×AC=AM： BC
所以
因为Rt△AMC中，
所以 所以
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
故答案为：DE，DF.
【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可；
(2)在Rt△ABC中可得BC长度，由题意进而可得BD：CD=AB：AC=4：3，设BD=4x，CD=3x，可得，由AM⊥BC可得AB×AC=AM×BC，解得，由勾股定理解得MC，即可求得DM.
22．【答案】（1）解：因为 EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°.
因为BD⊥AC， 所以∠A+∠B=90°.
所以∠1=∠B=35°， 即∠AEF=35°.
（2）证明：如图，
因为EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°
因为 BD⊥AC， 所以∠BEF+∠1=90° 所以∠A=∠BEF
又因为∠BEF=∠3 所以∠3=∠A
同理 ∠2=∠B
因为 ∠B=∠C 所以∠2=∠C 所以EG=CG
又因为∠D+∠C=90° ∠2+∠3=90°
所以∠3=∠D
所以EG=DG
所以CG=DG.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；余角
【解析】【分析】(1)根据同角得余角相等得到∠1=∠B=35°即可；
(2)根据同角得余角相等得到∠A=∠BEF，然后等量代换得到∠3=∠A，然后证明出∠3=∠D得到EG=DG，即可证明出CG=DG.
23．【答案】（1）解：因为点O为BC中点.
所以
因为△ABC为等边三角形
所以AO⊥BC
在 Rt△ABO中， AB=4
由勾股定理知：
所以
（2）解：①取AC中点 D， 连结BD， 则
由(1)同理可得：
因为AE=1
所以AE=ED
因为EF=BE， ∠BED=∠AEF
所以△BED≌△FEA
所以
②在AC上取点D， 使EH=AE
由 (2) 同理可得： △BEH≌△FEA
所以BH=AF
因为AG=AF
所以AG=BH
因为BD=AO
所以Rt△AOG≌Rt△BOH
所以DH=GO
所以BG=CH
所以AE+BG=CE
所以AC=CE+AE≤2CE
所以CE≥2
即AE+BG的最小值为2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得，AO⊥BC，再利用勾股定理解答即可求解；
(2)①取AC中点D，连接BD，同理(1)可得，再证明ABEDAFEA(SAS)，得到AF-BD=2V3，即可求解；
②在AC上取点H，使EH=AE，同理(2)可得△BED≌△FEA，得到BH=AF，即得AG=BH，进而可得Rt△AOG≌Rt△BOH(HL)，得到GO=DH，即得到BG=CH，得到AE+BG=EH+CH=CE，再得到AO=CE+AE≤2CE，解得CE≥2，即可求解.
1 / 1浙江省温州新希望联盟学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题（11月）
1．（2025八上·温州期中）下列图案中，是轴对称图形的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；
B.是轴对称图形，符合题意；
C.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；
D.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义。不符合题意；
故答案为：B.
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．（2025八上·温州期中）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　)
A．6， 4， 2 B．6， 3， 3 C．7， 3， 2 D．5， 5， 2
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.∵4+2=6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意；
B.∵3+3=6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意；
C.∵3+2=5<7，∴不能构成三角形，不符合题意；
D.∵5+2>5，∴能构成三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可.
3．（2025八上·温州期中）若aA．- 2a>-2b B． C．a+2>b+2 D．a-2>b-2
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a-2b，原变形成立，故本选项符合题意；
B、若aC、若aD、若a故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变.
4．（2025八上·温州期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．勾股定理的逆定理 D．等腰三角形的“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
是等腰三角形，
是的中点，
，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”
故选：D．
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”解答即可．
5．（2025八上·温州期中）对于命题“若x2>y2，则x>y”，下列选项中各对x，y的值，能说明这个命题是假命题的是（　　)
A．x=3， y=4 B．x=-4， y=3 C．x=4， y=-3 D．x=-3， y=4
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当x=-4，y=3时，(-4)2>32，即满足x2>y2，
但-4<3，即不满足x>y，
故答案为：B.
【分析】找到一对使得若x2>y2成立，而x>y不成立的x、y的值即可.
6．（2025八上·温州期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（　　)
A．a>0 B．a+b<0 C．ab<0 D．|a|>|b|
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的位置可得a+b>0，ab<0，
故答案为：C.
【分析】根据a、b的位置，a<07．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△A'B'C， ∠ACB=90°， ∠B'CA=30°， 则∠ACA'的度数为（　　)
A．30° B．40° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'=90°，
∵∠B'CA=30°.
∴∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=90°-30°=60°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A'CB'=90°，所以∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=60°.
8．（2025八上·温州期中）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　)
A．∠A：∠B∶∠C=1∶2∶3 B．a+b=c
C．a∶b∶c=1∶2∶3 D．∠A=∠B=3∠C
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.当∠A：∠B：∠C=1：2：3时，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
∴△ABC是直角三角形，故A正确；
B.∵a+b=c，
∴围不成三角形，故B错误，
C.∵a：b：c=1：2：3，
∴设a=x，b=2x，c=3x
∴a+b=c
∴围不成三角形，故C错误；
D.∵∠A=2∠B=3∠C，
∴，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴
则
∴△ABC是钝角三角形，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理依次判断出四个选项中三角形的形状即可.
9．（2025八上·温州期中）如图， 在等腰△ABC中， AB=AC， 边AC的垂直平分线EF分别交AC， AB于点E， F. D为BC边的中点， 点M为线段EF上一动点， 若BC=4， △ABC的面积为12， 则 周长的最小值为（　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵△CDM的周长=CM+MD+CD
∴当CM+MD最小时，△CDM的周长最小，
∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F，
∴A，C两点关于EF对称，
∴CM+MD=AM+MD≥AD
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=4，D为BC边的中点，连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，
∴AD⊥BC，
∴
∴AD=6.
∴△CDM的周长=AD+CD=6+2=8
故答案为：A.
【分析】根据中垂线的性质，A，C两点关于EF对称，连接AD，交EF于点M，此时△CDM的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出AD，进而求出△CDM的周长的最小值即可.
10．（2025八上·温州期中）如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 以其三边为边向外作正方形. 连结GM， DN， 若△ABC的面积为2.5，则阴影部分面积为（　　)
A．2.5 B．5 C．7.5 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP⊥BN交NB的延长线于点P，过点C作CQ⊥BN交NB的延长线于点Q，过点G作GS⊥MA交MA的延长线于点S，过点C作CT⊥MA交MA的延长线于点T，作CH⊥AB交AB于点H，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，
∴∠DPB=∠Q=90°，CH=BQ=TA，
∵∠DBC=∠GAC=90°，CB=BD，AB=BN=AM.
∴∠QBC=∠PDB，
在△QBC和△PDB中
∴△QBC≌△PDB，同理可证△TAC≌△SGA，
∴PD=BQ，GS=TA，
∴，
故答案为：B.
【分析】因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与△ABC等底等高，验证即可求解.
11．（2025八上·温州期中） 用不等式表示“x的2倍与1的差大于5”：　 　.
【答案】2x-1>5
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意得，用不等式表示“x的2倍与1的差大于5”：2x-1>5.
故答案为：2x-1>5.
【分析】根据题意，将文字描述中的“x的2倍”、“与1的差”和“大于5”转化为数学符号，形成不等式.
12．（2025八上·温州期中） 命题“如果|a|═|b|， 那么a=b”的逆命题是　 　.
【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【知识点】逆命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：“如果|a|=|b|，那么a=b”的逆命题是：
“如果a=b，那么|a|=|b|”，
故答案为：如果a=b，那么|a|=|b|.
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案.
13．（2025八上·温州期中）将一把直尺和一块含有30°角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上， 若∠1=38°， 则∠2的度数为　 　°.
【答案】82°
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：∠5=90°-30°=60°
∵BC//AD，∠1=38°，
∴∠3=∠1=38°，∠2=∠4
∵∠4=180°-∠5-∠3=82°
∴∠2=82°.
故答案为：82°.
【分析】根据直角三角板的30°角计算出相邻角的度数；然后，利用平行线的性质找出同位角和对应角的关系；最后，利用三角形内角和定理计算出未知角的度数.
14．（2025八上·温州期中）如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了30米，到达D处， 测得∠ADB=30°， 则树高AB为　 　米.
【答案】15
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°
∴∠ACB=∠CAD
∴AD=CD=30米，
又∵∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴米.
故答案为：15.
【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=30米，由直角三角形的性质即可得到结论.
15．（2025八上·温州期中） 如图， 已知D为△ABC内一点， CD平分∠ACB， BD⊥CD，∠A=∠ABD. 若AC=9， BC=6， 则BD的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE
∵BD⊥CD
∴BE⊥CD
∵CD平分∠ACB
∴∠BCD=∠ECD
∴∠EBC=∠BEC
∴△BEC为等腰三角形
∴BC=CE
∵BE⊥CD
∴2BD=BE，
∵AC=9，BC=6，
∴CE=6，
∴AE=AC-EC=9-6=3，
∴BE=3，
∴
故答案为：.
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=9，BC=6，即可推出BD的长度.
16．（2025八上·温州期中） 如图， 在等腰直角△ABC中， ∠CAB=90°， AD⊥BC， E是AD上一点，连接CE，BE，点A关于直线CE的对称点F恰好落在BE上， 则∠AEB的度数为　 　； 连接CF交AD 于点G. 若AG=1， 则BF的长为　 　.
【答案】120°；1
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由条件可知∠CAD=∠BAD=45°，AC=AB
∵点A关于直线CE的对称点F恰好落在BE上，
∴AC=FC，∠CAE=∠CFE=45°，AE=EF，∠AEC=∠FEC，
∴∠CFE=∠BAE，CF=AB
∴△ABE≌△FCE(SAS)，
∴∠AEB=∠FEC=∠AEC
∵∠AEB+∠FEC+∠AEC=360°
∴∠AEB=∠FEC=∠AEC=120°
如图所示，连接AF，
由条件可知
∴∠AGF=∠AEF-∠EFG=75°，∠AFG=∠AFE+∠CFE=75°
∴∠AGF=∠AFG
∴AG=AF=1，
∵∠FAB=∠DAB-∠EAF=45°-30°=15°
∴∠ABF=∠EFA-∠FAB=15°
∴∠FAB=∠FBA
∴FA=FB=1
故答案为：120°；1.
【分析】首先得到∠CAD=∠BAD=45°，AC=AB，由对称得到AC=FC，∠CAE=∠CFE=45°，AE=EF，∠AEC=∠FEC，证明出△ABE≌△FCE(SAS)，得到∠AEB=∠FEC=∠AEC=120°；如图所示，连接AF，证明出∠AGF=∠AFG，得到AG=AF=1，然后证明出∠FAB=∠FBA，得到FA=FB=1.
17．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ACDB中， ，连结AD， 若BD=CD.求证：
【答案】证明：∵∠ABD=∠ACD=90°
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理，由∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD，以及公共边AD=AD利用斜边直角边(HL)定理来证明.
18．（2025八上·温州期中）解不等式 ，并把解集表示在数轴上.
【答案】解：因为2+3x≥2x-1， 所以3x-2x≥-1-2.
所以x≥-3

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用不等式的基本性质，移项合并同类项、系数化一即可求得，然后在数轴上表示即可.
19．（2025八上·温州期中）如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上).
（1）在图1中画△A'B'C， 使△A'B'C与△ABC关于直线DE 成轴对称.
（2）在图2中画Rt△APC， 使Rt△APC与△ABC不全等.
【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
【知识点】尺规作图-作三角形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)要画出△A'B'C'与△ABC关于直线DE成轴对称的图形，需分别找出A、B、C三点关于直线DE的对称点，再依次连接这些对称点；
(2)要画出Rt△APC与△ABC不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置.
20．（2025八上·温州期中）如图， 在等边三角形ABC边AC， BC上分别取点P， Q， 且AP=CQ， 连结AQ， BP交于点O.
（1）求证：
（2）求∠BOQ 的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABP为等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=60°， BA=CA
又∵AP=CQ，
∴△ABP≌△CAQ.
（2）解：因为△ABP≌△CAQ
所以∠ABP=∠CAQ
因为∠BOQ 是△AOB 外角
所以∠BOQ=∠ABO+∠BAQ
所以∠BOQ=∠ABP+∠BAQ
因为∠BAQ+∠CAQ=60°
所以∠BOQ=60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)利用(1)中全等三角形的对应角相等得到∠BOQ=∠BAC=60°.
21．（2025八上·温州期中）爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
如图1， 在△ABC中， ∠BAC=90°， 若AD平分∠BAC， 则有AB∶AC=BD∶DC.
对此结论，小华同学的证法如下：
过点D作DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F， 过点A作AG⊥BC于点G，因为AD是∠BAC的角平分线， 且DE⊥AB， DF⊥AC，所以 ▲ = ▲ ，
因为
所以
因为
所以
所以AB∶AC=BD∶DC
【尝试探究】
（1）请将小华同学的证明过程补充完整.
（2）【迁移应用】
如图2， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=3， AD平分∠BAC交BC于点D，AM⊥BC于点M 求DM的长.
【答案】（1）解：DE，DF
（2）解：因为Rt△ABC中， AB=4， AC=3，
所以由勾股定理得：
所以BC=5
因为AD平分∠BAC
所以BD： CD=AB： AC=4： 3
设BD=4x， CD=3x 所以4x+3x=5
所以
因为AM⊥BC， 所以AB×AC=AM： BC
所以
因为Rt△AMC中，
所以 所以
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
故答案为：DE，DF.
【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可；
(2)在Rt△ABC中可得BC长度，由题意进而可得BD：CD=AB：AC=4：3，设BD=4x，CD=3x，可得，由AM⊥BC可得AB×AC=AM×BC，解得，由勾股定理解得MC，即可求得DM.
22．（2025八上·温州期中）如图， 已知BD⊥AC， 点E为垂足， EF⊥AB于点 F， FE的延长线交CD于点G， 且∠B=∠C.
（1）若∠B=35°， 求∠AEF的度数.
（2）求证：CG=DG.
【答案】（1）解：因为 EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°.
因为BD⊥AC， 所以∠A+∠B=90°.
所以∠1=∠B=35°， 即∠AEF=35°.
（2）证明：如图，
因为EF⊥AB 所以∠A+∠1=90°
因为 BD⊥AC， 所以∠BEF+∠1=90° 所以∠A=∠BEF
又因为∠BEF=∠3 所以∠3=∠A
同理 ∠2=∠B
因为 ∠B=∠C 所以∠2=∠C 所以EG=CG
又因为∠D+∠C=90° ∠2+∠3=90°
所以∠3=∠D
所以EG=DG
所以CG=DG.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；余角
【解析】【分析】(1)根据同角得余角相等得到∠1=∠B=35°即可；
(2)根据同角得余角相等得到∠A=∠BEF，然后等量代换得到∠3=∠A，然后证明出∠3=∠D得到EG=DG，即可证明出CG=DG.
23．（2025八上·温州期中）如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点.
（1）求AO的长.
（2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点
①当AE=1 时， 求AF 的长；
②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值.
【答案】（1）解：因为点O为BC中点.
所以
因为△ABC为等边三角形
所以AO⊥BC
在 Rt△ABO中， AB=4
由勾股定理知：
所以
（2）解：①取AC中点 D， 连结BD， 则
由(1)同理可得：
因为AE=1
所以AE=ED
因为EF=BE， ∠BED=∠AEF
所以△BED≌△FEA
所以
②在AC上取点D， 使EH=AE
由 (2) 同理可得： △BEH≌△FEA
所以BH=AF
因为AG=AF
所以AG=BH
因为BD=AO
所以Rt△AOG≌Rt△BOH
所以DH=GO
所以BG=CH
所以AE+BG=CE
所以AC=CE+AE≤2CE
所以CE≥2
即AE+BG的最小值为2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得，AO⊥BC，再利用勾股定理解答即可求解；
(2)①取AC中点D，连接BD，同理(1)可得，再证明ABEDAFEA(SAS)，得到AF-BD=2V3，即可求解；
②在AC上取点H，使EH=AE，同理(2)可得△BED≌△FEA，得到BH=AF，即得AG=BH，进而可得Rt△AOG≌Rt△BOH(HL)，得到GO=DH，即得到BG=CH，得到AE+BG=EH+CH=CE，再得到AO=CE+AE≤2CE，解得CE≥2，即可求解.
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