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湖南省长沙市长郡双语实验中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.)
1．（2026九上·长沙期末）时光流转，我们共同迎来2026年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行.现在让我们从数学的视角开启这一年：2026的相反数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为．
故选：B．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可.
2．（2026九上·长沙期末）如图，该几何体的左视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据左视图的概念可知，从物体的左面看得到的视图是D．
故选：D．
【分析】根据从物体左面看所得到的图形即为左视图解答即可．
3．（2026九上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．（2026九上·长沙期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个.将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，如表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为(　　)
摸球次数n 50 100 150 200 250 300 500
摸到白球的次数m 28 61 93 124 145 183 300
摸到白球的频率 m/n 0.56 0.61 0.62 0.62 0.58 0.61 0.60
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表中数据可知，摸到白球的概率为0.6，
袋中白球的个数为（个），
故选：D．
【分析】根据摸到白球的频率得到概率，然后根据概率公式计算即可．
5．（2026九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据直角坐标系中第一象限的点，横坐标＞0，纵坐标＞0，即可得出a、b的正负，根据第四象限的点，横坐标＞0，纵坐标＜0，可得出结论，
6．（2026九上·长沙期末）为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，学校为全校同学做了视力检查.某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是(　　)
A．4.8，13 B．4.7，4.8 C．13，4.8 D．4.8，4.8
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】
解∵共有50个数据，第25个数据和第26个数据都为4.8，
∴中位数为；
∵4.8出现的次数最多，
∴众数为4.8．
故选：D．
【分析】根据众数和中位数的定义“把一组数据按从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的数是众数．如果一组数据”解答即可．
7．（2026九上·长沙期末）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为 ，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为(　　)
A．80° B．90° C． D．
【答案】D
【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
【分析】过点C作，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD和∠ECM的度数，然后根据角的和差解答即可．
8．（2026九上·长沙期末）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
9．（2026九上·长沙期末）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产且容易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出方程为(　　)
A．100(1-x)=81 B．100(1+2x)=81
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为，
依题意得，
故选：D．
【分析】设这两年培育新品种数量平均年增长率为x，根据“题意列一元二次方程解答即可．
10．（2026九上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点 B 在x轴正半轴上，点A，点C在函数 的图象上，延长CB交y 轴于点 D(0，-2).若点 B的横坐标为4，则k的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶如图，作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
点、点在函数（，）的图象上，
设，
，
，
，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
将代入得
解得，
直线的函数解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或是原方程的解，
当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去，
，
，
故选：C．
【分析】作轴于点，轴于点，根据AAS得到，即可得到，设点，即可得到，进而得到，根据待定系数法求出直线的解析式，即可得到，，求出，代入反比例函数解析式求出k的值即可．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026九上·长沙期末）使 在实数范围内有意义的x 的取值范围是　 　．
【答案】x≤5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开放式为非负数解答即可．
12．（2026九上·长沙期末）如图，二次函数 与一次函数 的图象相交于点A(-1，4)，B(8，3)，则使 y1>y2 成立的x的取值范围是　 　.
【答案】x<-1或x>8
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8，
根据图象可得，使成立的的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】根据抛物线在直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
13．（2026九上·长沙期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=　 　°.
【答案】76
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，PA⊥OA，
∴∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=90°-38°=52°，
∴∠P=180°-52°-52°=76°。
故答案为：76。
【分析】根据切线的性质及切线长定理得出PA=PB，PA⊥OA，根据角的和差即可算出∠PAB的度数，再根据等边对等角及三角形的内角和算出∠P的度数。
14．（2026九上·长沙期末）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系得到和，然后原式化为，再整体代入计算即可．
15．（2026九上·长沙期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以 A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点 D，连接 AD. 若 AD = AC，∠C = 56°， 则∠BAC 的度数为　 　．
【答案】96°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
由作图可得：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角求出∠ADC的度数， 根据作图可得，即可得到，然后根据三角形外角的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理解答即可．
16．（2026九上·长沙期末）李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者.一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者.”张斌说：“我不是记者.”王大为说：“李志明说了假话.”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么　 　是记者，
【答案】张斌
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：假设李志明说真话，则李志明是记者，因为只有一人是记者，所以张斌不是记者，那么张斌也是真话，故矛盾；
假设张斌说真话，那么李志明说的应为假话，王大为说李志明说了假话，那么王大为说了真话，也矛盾；
假设王大为的话为真，则李志明说了假话，故李志明不是记者；因只有一句真话，故张斌的话为假，故张斌是记者；此时李志明不是记者，张斌是记者，则王大为不是记者，且只有王大为的话为真，李志明和张斌的话均为假，符合条件，
故张斌是记者．
故答案为：张斌．
【分析】通过假设每个人的话为真，利用逻辑推理解答即可．
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分,第22、23题每题9分,第24、25题每题10分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（2026九上·长沙期末）计算：．
【答案】解：原式 .
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂和化简绝对值，然后合并解答即可．
18．（2026九上·长沙期末）先化简，再求值： 其中m=(-1)2025.
【答案】解：原式
∴原式=3×(-1)=-3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式加减，然后把除法化为乘法约分化简，再代入m的值计算即可.
19．（2026九上·长沙期末）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直.在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB=12 cm，中臂BC=8cm ，底座CD=4 cm.
（1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60°，计算点 A 到地面的距离；(结果保留根号)
（2）在一次操作中，上臂AB 与中臂BC夹角为120°，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求A，C两点之间的距离.(结果保留根号)
【答案】（1）解：如图②，过点C作CM⊥AB，垂足为M，则∠BMC=90°，
∵∠ABC=60°，BC=8cm，
∴∠BCM=30°，
即点A到地面的距离为
（2）解：如图③，过点C作CE 垂直于AB，垂足为 E，
∵∠ABC=120°，
∴点A到点C的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出长，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点作交的延长线于点，求出∠CBE=60°，然后根据解直角三角形求出求出CE的长，进而求出的长，再利用勾股定理解答即可．
20．（2026九上·长沙期末）2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　人，扇形统计图中 C 类对应的圆心角度数为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲乙两位同学抽中同一个类型的概率．
【答案】（1）400；90°
（2）解：D类的人数为400-50-120-100=130(人)，
∴补全条形统计图为：
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，甲、乙抽中同一类型的情况有4种，
∴甲、乙抽中同一类型的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，．
【分析】（1）用B类的人数除以占比求出总人数，再用乘以C类占比求出圆心角度数；
（2）用总人数减去其它类别的人数求出D类的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，得到甲、乙抽中同一类型的结果数，根据概率公式解答即可．
21．（2026九上·长沙期末）如图，BE是⊙O的直径，点 A在⊙O上，点C在 BE的延长线上，CA是⊙O的切线，AD 平分∠BAE交⊙O于点 D，连接BD，DE.
（1）求证：∠EAC=∠ABC.
（2）当AC=8，DE=6√2时，求CE的长.
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
．
，
．
∵是的切线
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到．根据等边对等角得到，然后根据切线得到，进而证明得到结论；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据角平分线可得，即可得到，进而得到，根据勾股定理求出BE和OC 长，根据线段的和差解答即可．
22．（2026九上·长沙期末）2025年“健康体重管理行动”被正式纳入“健康中国行动”专项，从国家层面为全民体重管理绘出新蓝图.为积极响应国家政策号召，传播科学减重理念、助力公众建立健康生活方式，在长沙，“举步可达”的智慧健身房已超过400家，将市民的“15分钟健身圈”压缩至“5分钟生活圈”.现在某健身房要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000 元购买乙型健身器材的数量相同.
（1）甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少 最少采购费用是多少元
【答案】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时．
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，
且，即，且为非负整数，
根据题意，得，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为，
∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲型健身器材价格为元，根据“ 甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000 元购买乙型健身器材的数量相同 ”列分式方程解答即可．
（2）设甲型健身器材买了台，先求出a的取值范围，然后根据采购费等于甲、乙两种健身器材的采购费的和列函数关系式，利用函数的增减性求出最小值解答即可．
23．（2026九上·长沙期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O. E，F分别是边 AB 和对角线AC 上的点，连接 DE，DF，且
（1）求证：△DEB∽△DFC；
（2）若BE=4，求CF的长；
（3）若 求 sin∠ADE.
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
∵，
，
，
又，，，
，
．
（2）解：，
∴，
设，则，则，
，
，
∵，
．
（3）解：，
设，，则，
，
，
，
，
，
又在矩形中，，
，
．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质，推理得到，，即可证明结论；
（2）根据得到，然后设，则，根据勾股定理求出AC=5x，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
（3）设，， 据勾股定理求出AC=5x， ，根据相似三角形的对应边成比例得到，然后根据勾股定理求出DE长，再根据正弦的定义解答即可.
24．（2026九上·长沙期末）若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”.
（1）下列四边形是“等邻边内分四边形”的是　 　(填序号)①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形.
（2）如图1，已知Rt△ABC中， 点 D 是 Rt△ABC外接圆上的一点.若四边形ABCD 是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度.
（3）如图 2，C 为定线段 BD 上异于B，D 的一个动点， 和 都是等边三角形，且在 BD 同侧，AD，BE交于点F，AD，CE交于点H，AC，BE交于点G，FC，GH交于点K.
(i)求证：四边形 FGCH 为“等邻边内分四边形”；
(ii)求证：直线 FC恒过定点.
【答案】（1）①③④
（2）解：若，如图所示：
∴，
∴，
∴为四边形的“内分线”，
是的直径，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转至，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，，三点共线，
∴，
∴，
若，如图所示：
∴，
∴，
∴为四边形的“内分线”，
∴．
综上：这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度为或4．
（3）解：（ⅰ）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，，
又，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，
平分，
又，
∴四边形为“等邻边内分四边形”．
（ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，如图所示：
∴，
∴，，，四点共圆，
又，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴直线必过点．
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的定义及其特殊类型；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：①菱形
如图所示：∵四边形是菱形，
∴，平分，
∴菱形是等邻边内分四边形，
故①符合题意；
②矩形
如图所示：∵四边形是矩形，
∵矩形的邻边不一定相等，
∴矩形不一定是等邻边内分四边形，
故②不符合题意；
③正方形
如图所示：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴正方形是等邻边内分四边形，
故③符合题意；
④上底与腰相等的等腰梯形
如图所示：∵四边形是等腰梯形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∴上底与腰相等的等腰梯形是等邻边内分四边形，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】（1）根据“等邻边内分四边形”的定义逐一判断解答即可；
（2）当时，是四边形的“内分线”，根据直径所对的圆周角是直角得AD⊥CD，将绕点顺时针旋转至，连接，根据SAS得到，得到是等腰直角三角形解答即可；当时，为四边形的“内分线”，根据余弦的定义求解即可；
（3）（ⅰ）根据等边三角形的性质得到，即可得到∠BEC=∠ADC，然后推理得到，即可得到CG=CH，然后证明点F，，，四点共圆，即可得到FC平分∠BFD，然后根据“等邻边内分四边形”证明即可；
（ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，即可得到点F，B，P，D四点共圆，JINERDEDAO BP=DP，根据圆周角定理得到结论即可．
25．（2026九上·长沙期末） 抛物线 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=-2x+2上，求：
（1）抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线 关于x轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线y=x向左下方平移 个单位长度，求平移之后的抛物线的函数解析式；
（3）点A(a，b)为抛物线图象上的一点，将抛物线的图象记为 将抛物线 的图象沿直线y=b翻折后的图象记为 当 两部分组成的图象上任意点()和点 1，y2)(两点同在 上或 上)都满足 时，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线：的对称轴是直线，
，
解得或，
又图象有最低点，即开口向上，
，即，
，
即，
把代入直线，得，
即抛物线的顶点坐标是，
代入函数，得，
抛物线的函数解析式为．
（2）抛物线沿轴翻转后为，即，
沿直线向左下方平移个单位长度后，（即先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度）
所以抛物线的函数解析式为．
（3）如图所示，
由条件可知，
若，如图1，上所有点均满足，
在上即当时，，
当的图象上所有的点都满足时，则，
解得，
如图1，当时，函数的图象上所有的点都满足；
若，如图2，上所有点均满足，
在上即当时，设是函数图象上一点，则在的图象上，
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为：，
的图象上所有的点都满足，
，
，
，
，
，
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式和最值求出k的值，即可得到抛物线的顶点坐标，代入求出二次函数的解析式即可；
（2）根据翻折的性质得到抛物线的解析式，再根据平移得到平移过程为先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，即可得到抛物线的解析式；
（3）分，两种情况画图，结合图像，根据函数的额增减性，利用列不等式求出a的取值范围即可．
1 / 1湖南省长沙市长郡双语实验中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.)
1．（2026九上·长沙期末）时光流转，我们共同迎来2026年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行.现在让我们从数学的视角开启这一年：2026的相反数是(　　)
A．2026 B．-2026 C． D．
2．（2026九上·长沙期末）如图，该几何体的左视图是(　　)
A． B． C． D．
3．（2026九上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·长沙期末）某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个.将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，如表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为(　　)
摸球次数n 50 100 150 200 250 300 500
摸到白球的次数m 28 61 93 124 145 183 300
摸到白球的频率 m/n 0.56 0.61 0.62 0.62 0.58 0.61 0.60
A．7 B．8 C．10 D．12
5．（2026九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2026九上·长沙期末）为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，学校为全校同学做了视力检查.某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是(　　)
A．4.8，13 B．4.7，4.8 C．13，4.8 D．4.8，4.8
7．（2026九上·长沙期末）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为 ，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为(　　)
A．80° B．90° C． D．
8．（2026九上·长沙期末）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．（2026九上·长沙期末）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产且容易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出方程为(　　)
A．100(1-x)=81 B．100(1+2x)=81
C． D．
10．（2026九上·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点 B 在x轴正半轴上，点A，点C在函数 的图象上，延长CB交y 轴于点 D(0，-2).若点 B的横坐标为4，则k的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2026九上·长沙期末）使 在实数范围内有意义的x 的取值范围是　 　．
12．（2026九上·长沙期末）如图，二次函数 与一次函数 的图象相交于点A(-1，4)，B(8，3)，则使 y1>y2 成立的x的取值范围是　 　.
13．（2026九上·长沙期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=38°，则∠P=　 　°.
14．（2026九上·长沙期末）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
15．（2026九上·长沙期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以 A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点 D，连接 AD. 若 AD = AC，∠C = 56°， 则∠BAC 的度数为　 　．
16．（2026九上·长沙期末）李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者.一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者.”张斌说：“我不是记者.”王大为说：“李志明说了假话.”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么　 　是记者，
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分,第22、23题每题9分,第24、25题每题10分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（2026九上·长沙期末）计算：．
18．（2026九上·长沙期末）先化简，再求值： 其中m=(-1)2025.
19．（2026九上·长沙期末）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直.在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB=12 cm，中臂BC=8cm ，底座CD=4 cm.
（1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60°，计算点 A 到地面的距离；(结果保留根号)
（2）在一次操作中，上臂AB 与中臂BC夹角为120°，如图③，此时点A与点C到地面的距离相等，求A，C两点之间的距离.(结果保留根号)
20．（2026九上·长沙期末）2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　人，扇形统计图中 C 类对应的圆心角度数为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲乙两位同学抽中同一个类型的概率．
21．（2026九上·长沙期末）如图，BE是⊙O的直径，点 A在⊙O上，点C在 BE的延长线上，CA是⊙O的切线，AD 平分∠BAE交⊙O于点 D，连接BD，DE.
（1）求证：∠EAC=∠ABC.
（2）当AC=8，DE=6√2时，求CE的长.
22．（2026九上·长沙期末）2025年“健康体重管理行动”被正式纳入“健康中国行动”专项，从国家层面为全民体重管理绘出新蓝图.为积极响应国家政策号召，传播科学减重理念、助力公众建立健康生活方式，在长沙，“举步可达”的智慧健身房已超过400家，将市民的“15分钟健身圈”压缩至“5分钟生活圈”.现在某健身房要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000 元购买乙型健身器材的数量相同.
（1）甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少 最少采购费用是多少元
23．（2026九上·长沙期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O. E，F分别是边 AB 和对角线AC 上的点，连接 DE，DF，且
（1）求证：△DEB∽△DFC；
（2）若BE=4，求CF的长；
（3）若 求 sin∠ADE.
24．（2026九上·长沙期末）若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”.
（1）下列四边形是“等邻边内分四边形”的是　 　(填序号)①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形.
（2）如图1，已知Rt△ABC中， 点 D 是 Rt△ABC外接圆上的一点.若四边形ABCD 是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度.
（3）如图 2，C 为定线段 BD 上异于B，D 的一个动点， 和 都是等边三角形，且在 BD 同侧，AD，BE交于点F，AD，CE交于点H，AC，BE交于点G，FC，GH交于点K.
(i)求证：四边形 FGCH 为“等邻边内分四边形”；
(ii)求证：直线 FC恒过定点.
25．（2026九上·长沙期末） 抛物线 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=-2x+2上，求：
（1）抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线 关于x轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线y=x向左下方平移 个单位长度，求平移之后的抛物线的函数解析式；
（3）点A(a，b)为抛物线图象上的一点，将抛物线的图象记为 将抛物线 的图象沿直线y=b翻折后的图象记为 当 两部分组成的图象上任意点()和点 1，y2)(两点同在 上或 上)都满足 时，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数为．
故选：B．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据左视图的概念可知，从物体的左面看得到的视图是D．
故选：D．
【分析】根据从物体左面看所得到的图形即为左视图解答即可．
3．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表中数据可知，摸到白球的概率为0.6，
袋中白球的个数为（个），
故选：D．
【分析】根据摸到白球的频率得到概率，然后根据概率公式计算即可．
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据直角坐标系中第一象限的点，横坐标＞0，纵坐标＞0，即可得出a、b的正负，根据第四象限的点，横坐标＞0，纵坐标＜0，可得出结论，
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】
解∵共有50个数据，第25个数据和第26个数据都为4.8，
∴中位数为；
∵4.8出现的次数最多，
∴众数为4.8．
故选：D．
【分析】根据众数和中位数的定义“把一组数据按从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的数是众数．如果一组数据”解答即可．
7．【答案】D
【知识点】猪蹄模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
【分析】过点C作，即可得到，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠BCD和∠ECM的度数，然后根据角的和差解答即可．
8．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为，
依题意得，
故选：D．
【分析】设这两年培育新品种数量平均年增长率为x，根据“题意列一元二次方程解答即可．
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解∶如图，作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
点、点在函数（，）的图象上，
设，
，
，
，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
将代入得
解得，
直线的函数解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或是原方程的解，
当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去，
，
，
故选：C．
【分析】作轴于点，轴于点，根据AAS得到，即可得到，设点，即可得到，进而得到，根据待定系数法求出直线的解析式，即可得到，，求出，代入反比例函数解析式求出k的值即可．
11．【答案】x≤5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开放式为非负数解答即可．
12．【答案】x<-1或x>8
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8，
根据图象可得，使成立的的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】根据抛物线在直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
13．【答案】76
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，PA⊥OA，
∴∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=90°-38°=52°，
∴∠P=180°-52°-52°=76°。
故答案为：76。
【分析】根据切线的性质及切线长定理得出PA=PB，PA⊥OA，根据角的和差即可算出∠PAB的度数，再根据等边对等角及三角形的内角和算出∠P的度数。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系得到和，然后原式化为，再整体代入计算即可．
15．【答案】96°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
由作图可得：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角求出∠ADC的度数， 根据作图可得，即可得到，然后根据三角形外角的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理解答即可．
16．【答案】张斌
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：假设李志明说真话，则李志明是记者，因为只有一人是记者，所以张斌不是记者，那么张斌也是真话，故矛盾；
假设张斌说真话，那么李志明说的应为假话，王大为说李志明说了假话，那么王大为说了真话，也矛盾；
假设王大为的话为真，则李志明说了假话，故李志明不是记者；因只有一句真话，故张斌的话为假，故张斌是记者；此时李志明不是记者，张斌是记者，则王大为不是记者，且只有王大为的话为真，李志明和张斌的话均为假，符合条件，
故张斌是记者．
故答案为：张斌．
【分析】通过假设每个人的话为真，利用逻辑推理解答即可．
17．【答案】解：原式 .
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂和化简绝对值，然后合并解答即可．
18．【答案】解：原式
∴原式=3×(-1)=-3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式加减，然后把除法化为乘法约分化简，再代入m的值计算即可.
19．【答案】（1）解：如图②，过点C作CM⊥AB，垂足为M，则∠BMC=90°，
∵∠ABC=60°，BC=8cm，
∴∠BCM=30°，
即点A到地面的距离为
（2）解：如图③，过点C作CE 垂直于AB，垂足为 E，
∵∠ABC=120°，
∴点A到点C的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出长，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点作交的延长线于点，求出∠CBE=60°，然后根据解直角三角形求出求出CE的长，进而求出的长，再利用勾股定理解答即可．
20．【答案】（1）400；90°
（2）解：D类的人数为400-50-120-100=130(人)，
∴补全条形统计图为：
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，甲、乙抽中同一类型的情况有4种，
∴甲、乙抽中同一类型的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，．
【分析】（1）用B类的人数除以占比求出总人数，再用乘以C类占比求出圆心角度数；
（2）用总人数减去其它类别的人数求出D类的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，得到甲、乙抽中同一类型的结果数，根据概率公式解答即可．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
．
，
．
∵是的切线
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到．根据等边对等角得到，然后根据切线得到，进而证明得到结论；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据角平分线可得，即可得到，进而得到，根据勾股定理求出BE和OC 长，根据线段的和差解答即可．
22．【答案】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时．
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，
且，即，且为非负整数，
根据题意，得，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为，
∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲型健身器材价格为元，根据“ 甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000 元购买乙型健身器材的数量相同 ”列分式方程解答即可．
（2）设甲型健身器材买了台，先求出a的取值范围，然后根据采购费等于甲、乙两种健身器材的采购费的和列函数关系式，利用函数的增减性求出最小值解答即可．
23．【答案】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
∵，
，
，
又，，，
，
．
（2）解：，
∴，
设，则，则，
，
，
∵，
．
（3）解：，
设，，则，
，
，
，
，
，
又在矩形中，，
，
．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质，推理得到，，即可证明结论；
（2）根据得到，然后设，则，根据勾股定理求出AC=5x，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
（3）设，， 据勾股定理求出AC=5x， ，根据相似三角形的对应边成比例得到，然后根据勾股定理求出DE长，再根据正弦的定义解答即可.
24．【答案】（1）①③④
（2）解：若，如图所示：
∴，
∴，
∴为四边形的“内分线”，
是的直径，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转至，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，，三点共线，
∴，
∴，
若，如图所示：
∴，
∴，
∴为四边形的“内分线”，
∴．
综上：这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度为或4．
（3）解：（ⅰ）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，，
又，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，
平分，
又，
∴四边形为“等邻边内分四边形”．
（ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，如图所示：
∴，
∴，，，四点共圆，
又，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴直线必过点．
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的定义及其特殊类型；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：①菱形
如图所示：∵四边形是菱形，
∴，平分，
∴菱形是等邻边内分四边形，
故①符合题意；
②矩形
如图所示：∵四边形是矩形，
∵矩形的邻边不一定相等，
∴矩形不一定是等邻边内分四边形，
故②不符合题意；
③正方形
如图所示：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴正方形是等邻边内分四边形，
故③符合题意；
④上底与腰相等的等腰梯形
如图所示：∵四边形是等腰梯形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∴上底与腰相等的等腰梯形是等邻边内分四边形，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】（1）根据“等邻边内分四边形”的定义逐一判断解答即可；
（2）当时，是四边形的“内分线”，根据直径所对的圆周角是直角得AD⊥CD，将绕点顺时针旋转至，连接，根据SAS得到，得到是等腰直角三角形解答即可；当时，为四边形的“内分线”，根据余弦的定义求解即可；
（3）（ⅰ）根据等边三角形的性质得到，即可得到∠BEC=∠ADC，然后推理得到，即可得到CG=CH，然后证明点F，，，四点共圆，即可得到FC平分∠BFD，然后根据“等邻边内分四边形”证明即可；
（ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，即可得到点F，B，P，D四点共圆，JINERDEDAO BP=DP，根据圆周角定理得到结论即可．
25．【答案】（1）解：抛物线：的对称轴是直线，
，
解得或，
又图象有最低点，即开口向上，
，即，
，
即，
把代入直线，得，
即抛物线的顶点坐标是，
代入函数，得，
抛物线的函数解析式为．
（2）抛物线沿轴翻转后为，即，
沿直线向左下方平移个单位长度后，（即先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度）
所以抛物线的函数解析式为．
（3）如图所示，
由条件可知，
若，如图1，上所有点均满足，
在上即当时，，
当的图象上所有的点都满足时，则，
解得，
如图1，当时，函数的图象上所有的点都满足；
若，如图2，上所有点均满足，
在上即当时，设是函数图象上一点，则在的图象上，
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为：，
的图象上所有的点都满足，
，
，
，
，
，
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式和最值求出k的值，即可得到抛物线的顶点坐标，代入求出二次函数的解析式即可；
（2）根据翻折的性质得到抛物线的解析式，再根据平移得到平移过程为先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，即可得到抛物线的解析式；
（3）分，两种情况画图，结合图像，根据函数的额增减性，利用列不等式求出a的取值范围即可．
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