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广西河池市环江毛南族自治县2025年秋季学期期末测试八年级数学
1．（2026八上·环江期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·环江期末）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
3．（2026八上·环江期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·环江期末）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为，数字用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026八上·环江期末）若是一个完全平方式，则的值是（　　）
A．100 B．25 C．20 D．10
6．（2026八上·环江期末）下列式子从左到右的变形．属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·环江期末）两整式相乘的结果为 的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·环江期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，使得．可添加条件是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·环江期末）计算：（　　）
A．a B． C． D．
10．（2026八上·环江期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026八上·环江期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026八上·环江期末）若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
13．（2026八上·环江期末）计算：　 　．
14．（2026八上·环江期末）分解因式： 　 　.
15．（2026八上·环江期末）如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 　 　小时．
16．（2026八上·环江期末）如图，在四边形中，，，，点在线段上由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当△与△全等时，　 　．
17．（2026八上·环江期末）计算：
（1）
（2）
18．（2026八上·环江期末）先化简，再求值：
，其中 ．
19．（2026八上·环江期末）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
20．（2026八上·环江期末）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
（1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
21．（2026八上·环江期末）（1）解分式方程：．
（2）解分式方程：．
22．（2026八上·环江期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图，图是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图______；图______；（用字母，表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
23．（2026八上·环江期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心．
（1）尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）；
（2）在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明；
（3）如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形，其余三个选项均不是轴对称图形。
故答案为：D．
【分析】轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形。本题根据轴对称图形的概念逐项进行分析即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，即x≠-2．
故选D．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的乘法，积的乘方及幂的乘方逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字用科学记数法表示为．
故选C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
则，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题根据完全平方公式，将原式变形，即，此时对应a=x、b=5，因此k=b2=52=25，从而得出答案。
6．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：四个选项中，AD选项是整式乘法，B选项是对整式的变形，C选项是因式分解。
故答案为：C．
【分析】因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积形式，四个选项中只有C选项符合因式分解的定义。AD选项左边为乘积，右边为多项式，因此是整式乘法；B选项右边为平方和形式，非乘积，因此只是对整式的变形。
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题根据多项式乘多项式计算步骤，结合公式，把各选项展开计算，最后选取正确答案即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
要使，此时可以添加，利用ASA得出证明结果；
也可以添加或，利用AAS得出证明结果；
四个选项中，只有D满足条件。
故答案为：D．
【分析】本题先利用“两直线平行、同位角相等”得到，然后利用或来分析，并结合选项即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】先根据单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算，再合并同类项即可．
10．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。选项中只有C选项满足分式的基本性质，其余四个选项均不满足。
11．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，不是最简分式，选项错误；
B、，不是最简分式，选项错误；
C、，不是最简分式，选项错误；
D、，是最简分式，选项正确；
故选：D．
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（﹣2x+a）（x﹣1）=﹣2 +（a+2）x﹣a，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出a+2＝0，再解方程即可。
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】根据同底数幂的乘法，结合积的乘方即可求出答案.
14．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
15．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的外角和
【解析】【解答】解：海里，
∵， ，
海里，即从海岛B到灯塔C的距离为海里．
过点作于点，如图，
海里，
海里，
航行的时间为小时．
故答案为：．
【分析】本题先计算出海里，然后根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”的性质，计算得出，从而，利用等腰三角形的性质得到；根据垂线段最短做辅助线，根据三角形内角和定理求出，根据含角的直角三角形的性质，计算得出海里，从而计算出海里，最后根据路程和速度即可计算出航行时间。
16．【答案】2或4
【知识点】四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
当△△时，
；
当△△时，
，
，
或．
故答案为：或．
【分析】本题结合条件，分当△△和△△两种情况进行讨论，利用三角形全等的性质分别得到和，并进一步计算得到，从而可得到答案．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）结合多项式除以单项式的法则，将括号里面每一项分别除以括号外的单项式，即可得出答案；
（2）运用完全平方公式和平方差公式，计算得出，再合并同类项进行计算化简即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】解：
=
=
=
= ；
当 时，原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分子分母中能分解因式的先分解因式，再算分式的减法，然后将除法转化为乘法运算，约分化简，最后将x的值代入计算.
19．【答案】解：由题意知，，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
答：河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由题意知，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
21．【答案】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得2x-x=3+2，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得3x+12x=8+12-3，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）（2）都是分式方程，因此按照解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值后，代入进行检验即可。
22．【答案】[问题呈现]：，；
[数学思考]：（）∵，，
∴；
（）设，，
∴，
∵，即，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】[问题呈现]：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图：；图：；
故答案为：[问题呈现]，；
【分析】[问题呈现]：观察图1，在原边长为a的正方形基础上，边长变为（a+b），因此增加后的面积分为a2、ab、ab、b2四部分，结合正方形面积计算公式列式，即；
观察图2，在原边长为a的正方形基础上，边长变为（a-b），因此变化后的面积在原面积a2的基础上，减去ab、（a-b）b，结合正方形面积计算公式列式；
[数学思考]：（）根据已知条件，利用完全平方公式将a2+b2变形得到，最后代入计算即可；
（）先根据已知条件求出=2、=2025，最后根据完全平方公式变形计算即可得出答案。
23．【答案】（1）解：如图所示；
（2）证明：如图所示，
∵点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
当与重合时，；
当与不重合时，在中，，
而，，
∴。
（3）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图
取格点，
∵，
∴，DF=FG，
∴，
∴∠DFH=90°，
∴。
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；轴对称的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先以A点为圆心、任意长为半径画弧，交直线MN于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离为半径画弧，交直线MN两点于两点，连接该两点并向两端延伸得到一条直线；此时在该直线上找到A点的对称点A1，最后连接交于点即可；
（2）根据轴对称的性质以及尺规作图，得出垂直平分，此时利用“垂直平分线的性质”得出，然后分与重合时和与不重合时两种情况，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行计算证明即可；
（3）利用轴对称性质和将军饮马原理，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小；然后取格点，此时根据点的坐标确定线段的长度，从而得出△HGE是等腰直角三角形，结合轴对称性质继而得出；此时放到△DFG中，利用三角形内角和得出∠DFH=90°；最后利用平角的定义计算即可得出答案。
（1）解：如图所示；
（2）证明：如图所示，
∵点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
当与重合时，；
当与不重合时，中，
∵，，
∴，
综上，；
（3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
取格点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
1 / 1广西河池市环江毛南族自治县2025年秋季学期期末测试八年级数学
1．（2026八上·环江期末）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形，其余三个选项均不是轴对称图形。
故答案为：D．
【分析】轴对称图形是关于某条直线折叠后，两边重合的图形。本题根据轴对称图形的概念逐项进行分析即可得出答案。
2．（2026八上·环江期末）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x+2≠0，即x≠-2．
故选D．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
3．（2026八上·环江期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法、同底数幂的乘法，积的乘方及幂的乘方逐项判定即可。
4．（2026八上·环江期末）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为，数字用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字用科学记数法表示为．
故选C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5．（2026八上·环江期末）若是一个完全平方式，则的值是（　　）
A．100 B．25 C．20 D．10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
则，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题根据完全平方公式，将原式变形，即，此时对应a=x、b=5，因此k=b2=52=25，从而得出答案。
6．（2026八上·环江期末）下列式子从左到右的变形．属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：四个选项中，AD选项是整式乘法，B选项是对整式的变形，C选项是因式分解。
故答案为：C．
【分析】因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积形式，四个选项中只有C选项符合因式分解的定义。AD选项左边为乘积，右边为多项式，因此是整式乘法；B选项右边为平方和形式，非乘积，因此只是对整式的变形。
7．（2026八上·环江期末）两整式相乘的结果为 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题根据多项式乘多项式计算步骤，结合公式，把各选项展开计算，最后选取正确答案即可．
8．（2026八上·环江期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，使得．可添加条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
要使，此时可以添加，利用ASA得出证明结果；
也可以添加或，利用AAS得出证明结果；
四个选项中，只有D满足条件。
故答案为：D．
【分析】本题先利用“两直线平行、同位角相等”得到，然后利用或来分析，并结合选项即可得出答案。
9．（2026八上·环江期末）计算：（　　）
A．a B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】先根据单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算，再合并同类项即可．
10．（2026八上·环江期末）下列分式变形从左到右一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。选项中只有C选项满足分式的基本性质，其余四个选项均不满足。
11．（2026八上·环江期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，不是最简分式，选项错误；
B、，不是最简分式，选项错误；
C、，不是最简分式，选项错误；
D、，是最简分式，选项正确；
故选：D．
【分析】根据最简分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
12．（2026八上·环江期末）若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：（﹣2x+a）（x﹣1）=﹣2 +（a+2）x﹣a，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出a+2＝0，再解方程即可。
13．（2026八上·环江期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】根据同底数幂的乘法，结合积的乘方即可求出答案.
14．（2026八上·环江期末）分解因式： 　 　.
【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
15．（2026八上·环江期末）如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 　 　小时．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形的外角和
【解析】【解答】解：海里，
∵， ，
海里，即从海岛B到灯塔C的距离为海里．
过点作于点，如图，
海里，
海里，
航行的时间为小时．
故答案为：．
【分析】本题先计算出海里，然后根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”的性质，计算得出，从而，利用等腰三角形的性质得到；根据垂线段最短做辅助线，根据三角形内角和定理求出，根据含角的直角三角形的性质，计算得出海里，从而计算出海里，最后根据路程和速度即可计算出航行时间。
16．（2026八上·环江期末）如图，在四边形中，，，，点在线段上由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当△与△全等时，　 　．
【答案】2或4
【知识点】四边形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
当△△时，
；
当△△时，
，
，
或．
故答案为：或．
【分析】本题结合条件，分当△△和△△两种情况进行讨论，利用三角形全等的性质分别得到和，并进一步计算得到，从而可得到答案．
17．（2026八上·环江期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）结合多项式除以单项式的法则，将括号里面每一项分别除以括号外的单项式，即可得出答案；
（2）运用完全平方公式和平方差公式，计算得出，再合并同类项进行计算化简即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2026八上·环江期末）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】解：
=
=
=
= ；
当 时，原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将分子分母中能分解因式的先分解因式，再算分式的减法，然后将除法转化为乘法运算，约分化简，最后将x的值代入计算.
19．（2026八上·环江期末）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得的长为．
根据测量数据求河的宽度．
【答案】解：由题意知，，
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
答：河宽为．
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】由题意知，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
20．（2026八上·环江期末）某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
（1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
【答案】（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，
依题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合题意；
∴，
∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料；
（2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台，
依题意得，，
解得，，
∵为正整数，
∴的最大值为4，
∴ 最多可购进型机器人4台．
21．（2026八上·环江期末）（1）解分式方程：．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得2x-x=3+2，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母，得
去括号，得
移项，得3x+12x=8+12-3，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）（2）都是分式方程，因此按照解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值后，代入进行检验即可。
22．（2026八上·环江期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图，图是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图______；图______；（用字母，表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[问题呈现]：，；
[数学思考]：（）∵，，
∴；
（）设，，
∴，
∵，即，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】[问题呈现]：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图：；图：；
故答案为：[问题呈现]，；
【分析】[问题呈现]：观察图1，在原边长为a的正方形基础上，边长变为（a+b），因此增加后的面积分为a2、ab、ab、b2四部分，结合正方形面积计算公式列式，即；
观察图2，在原边长为a的正方形基础上，边长变为（a-b），因此变化后的面积在原面积a2的基础上，减去ab、（a-b）b，结合正方形面积计算公式列式；
[数学思考]：（）根据已知条件，利用完全平方公式将a2+b2变形得到，最后代入计算即可；
（）先根据已知条件求出=2、=2025，最后根据完全平方公式变形计算即可得出答案。
23．（2026八上·环江期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心．
（1）尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）；
（2）在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明；
（3）如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）证明：如图所示，
∵点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
当与重合时，；
当与不重合时，在中，，
而，，
∴。
（3）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图
取格点，
∵，
∴，DF=FG，
∴，
∴∠DFH=90°，
∴。
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；轴对称的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先以A点为圆心、任意长为半径画弧，交直线MN于两点，再分别以这两点为圆心、大于这两点间距离为半径画弧，交直线MN两点于两点，连接该两点并向两端延伸得到一条直线；此时在该直线上找到A点的对称点A1，最后连接交于点即可；
（2）根据轴对称的性质以及尺规作图，得出垂直平分，此时利用“垂直平分线的性质”得出，然后分与重合时和与不重合时两种情况，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行计算证明即可；
（3）利用轴对称性质和将军饮马原理，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小；然后取格点，此时根据点的坐标确定线段的长度，从而得出△HGE是等腰直角三角形，结合轴对称性质继而得出；此时放到△DFG中，利用三角形内角和得出∠DFH=90°；最后利用平角的定义计算即可得出答案。
（1）解：如图所示；
（2）证明：如图所示，
∵点关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
当与重合时，；
当与不重合时，中，
∵，，
∴，
综上，；
（3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
取格点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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