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高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知两个单位向量 互相垂直，则
A. B. 2 C. D. 3
2. 设集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若 ,则 的虚部与实部的比值为
A. B. 3
C. D. 2
4. 在正四面体 中, 为棱 的中点, ,则
A. B. C. D.
5. 某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策. 现随机抽取 1000 户居民，统计其月用水量(单位:吨)，并绘制出如图所示的频率分布直方图. 若用这 1000 户居民的月用水量的 80% 分位数作为月用水量的临界值(精确到 0.1 )，使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的 0.0 临界值为
A. 26.8 吨 B. 27.7 吨
C. 28.3 吨 D. 29.2 吨
6. 若 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 函数 的极值点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若非负数 满足 ,则 的最大值为
A. B. 42 C. D. 40
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 若函数 在 内存在唯一的 ,使得 ,则 的取值可能为
A. B. 1
C. D. 3
10. 已知函数 的定义域为 R,且对任意实数 恒成立，则
A. B. 的最小值为
C. D. 的图象关于点 对称
11. 已知正方形 的边长为 平面 平面 在平面 的同一侧,且 ,则
A. 点 在四棱锥 外接球的球面上
B. 四棱锥 内切球的表面积为
C. 四棱锥 与四棱锥 公共部分的体积为
D. 四棱锥 的四个侧面所在平面将空间分成 14 个部分
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 设 表示不超过 的最大整数，则不等式 的解集为_____▲_____.
13. 已知 是椭圆 上一点,点 ,若 ,过点 作 的垂线，垂足为 ，则 _____▲_____，点 到 轴的距离为_____▲_____.
14. 来自某校高二年级的 4 名男生和 3 名女生组成的 7 人团队参加数学建模竞赛. 该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下:①每个环节至少安排 1 名选手，每人只参加 1 个环节；② 方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③ 编程实现环节至少安排 2 人，且至少有 1 名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数. 根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有_____▲_____种.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图，在正三棱柱 - 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明: 平面 .
(2)若 为线段 的中点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值.
16. (15分)
某工厂某设备每日出现故障的概率为 0.2 ，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为 0.9 , 若设备故障, 检测结果为“故障”的概率为 0.9 , 已知每日的检测结果相互独立.
(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.
(2)若该工厂对该设备进行连续 4 天的检测，求恰有 2 天的检测结果与实际不符的概率.
(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为 100 元，若检测结果为 “故障”，则需花费 400 元检修费(检修后无损失)，若检测结果为 “正常” 但设备实际故障，则当日损失 2000 元. 若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为 280 元，试问是否应该引进该自动化检测系统 说明你的理由.
17. (15分)
已知集合 中元素的个数为 .
(1)若 ， ，求 .
(2)若 ， 均为等差数列且 ， ，证明: 也为等差数列.
(3)若 ，且 ，求数列 的前 项和 .
18. (17 分)
已知函数 .
(1)证明:存在 . 使得曲线 在点 处切线的斜率为定值.
(2)当 时，讨论 零点的个数.
(3)当 的零点个数最多时，证明: 的零点之和大于 3 .
19. (17 分)
设抛物线 的顶点为坐标原点 ,焦点为 ,且线段 的中点为 .
(1)当 时,求 的准线方程.
(2)点 为 上一动点，过 作 的准线 的垂线，垂足为 ，设过 三点可作双曲线 ,且 的两个焦点均在 轴上.
(i) 若 过点 ，求 的方程；
(ii) 求 的离心率的取值范围.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A A D B C A B C BC ABD ACD 1122
【评分细则】
【1】第 1~8 题,凡与答案不符的均不得分.
【2】第 9 题,全部选对的得 6 分,有选错的不得分,每选对一个得 3 分; 第10,11题,全部选对的得 6 分, 有选错的不得分, 每选对一个得 2 分.
【3】第 12 题的答案还可以写为 .
【4】第 13 题答对第一空得 3 分，答对第二空得 2 分.
【5】第 14 题,其余答案均不得分.
1. A 本题考查平面向量的模,考查数学运算的核心素养.
依题意得 ,则 .
2. A 本题考查函数的值域与交集, 考查数学运算的核心素养.
因为 ,所以 .
3.D 本题考查复数的概念与运算,考查数学运算的核心素养.
设 ,则 ,则 解得 或 故 的虚部与实部的比值为 .
4.B 本题考查立体几何与余弦定理的综合, 考查直观想象与数学运算的核心素养.
连接 ,设正四面体 的棱长为 4,则 ,
则 为正三角形,所以 ,由余弦定理得 ,故 .
5.C 本题考查频率分布直方图和百分位数, 考查应用意识与数据处理能力.
由频率分布直方图可知,前五组的频率之和为 , 前六组的频率之和为 ,设该市月用水量的临界值为 吨,则 , 30),由 ,得 ,故该市月用水量的临界值为 28.3 吨.
6. A 本题考查三角恒等变换,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为 ,所以 ,
所以 ,
又 ,所以 的取值范围是 .
7. B 本题考查函数的极值点与导数的应用, 考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
由 1) ,得 或 0 或 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 当 时, 单调调递增.
所以 在 处取得极大值,在 处取得极小值,故 的极值点的个数为 2 .
8.C 本题考查圆的方程, 考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.
令 ,所以 ,则 .
因为 ,所以 ,
则 ,则点 的轨迹为圆 不在第二、四象限的部分,则 表示点 , 到坐标原点 的距离，由图可知，该距离的最大值为 ，此时 ,即 ,所以 的最大值为 .
9.BC 本题考查三角函数的图象及其性质, 考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
由 ,得 ,即 在 内存在唯一的解. 当 时, ,则 ,即 .
10.ABD 本题考查抽象函数, 考查数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养.
令 ,得 ,以 替代 ,得 ,消去 ,得 .
再令 ,得 ,即 ,所以 ,即 ,则 , , A 正确, C 错误. ,当 时, 取得最小值,且最小值为 正确. 因为 ,所以 的图象关于点 对称, D 正确.
11. ACD 本题考查立体几何初步, 考查数学运算、直观想象的核心素养及空间想象能力.
将四棱锥 补成一个正方体 (图略),则四棱锥 的外接球为该正方体的外接球,因为点 是该正方体的一个顶点,所以点 在四棱锥 外接球的球面上, 正确.
四棱锥 的体积 ,侧面积 ,表面积 ,则四棱锥 内切球的半径 ,则该内切球的表面积为 , B 错误.
连接 ,易证 ,则四边形 和四边形 均为平行四边形,设 ,则 分别为 的中点,设 的中点分别为 , ,连接 ,则四棱锥 和四棱锥 的公共部分为几何体 ，其体积为四棱锥 -CDGH 和三棱柱 -GHF 的体积之和，即 ，C 正确.
三个过同一点的平面将空间分成 8 个部分, 一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将穿过其中的 6 个部分,则四棱锥 Q-ABCD (图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四棱锥的四条侧棱所在直线) 的四个侧面所在平面将空间分成 个部分, D 正确.
12. 本题考查高斯函数、指数函数及不等式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为 ,所以 ,则 .
13. 本题考查椭圆的定义,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
因为 分别为 的左、右焦点,所以 ,又 ,所以 ,因为 ,所以 .
设点 在 轴上的射影为 为坐标原点,则 ,则点 到 轴的距离为 .
14. 1122 本题考查排列组合的实际应用,考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想.
环节一的人数大于环节二的人数，环节一的人数大于或等于环节四的人数，故环节一至少有 2 个人，环节一、环节二和环节四至少共有 4 个人，因此环节三最多有 3 个人.
当环节三有 3 个人时, 则有可能是 3 个女生, 或者 2 个女生和 1 个男生, 或者 1 个女生和
2 个男生,则安排好环节三有 种方案. 剩余 4 个人,环节一必然有 2 个人，环节二和环节四各有 1 个人，则安排好环节一、环节二和环节四有 种方案. 所以安排好四个环节共有 种方案.
当环节三只有 2 个人时，则有可能是 2 个女生，或者 1 个女生和 1 个男生，则安排好环节三有 种方案. 剩余 5 个人,当环节一有 2 个人时,环节四有 2 个人,环节二有 1 个人,此时有 种方案; 当环节一有 3 个人时,环节四有 1 个人,环节二有 1 个人, 此时有 种方案. 所以安排好四个环节共有 种方案.
综上,满足条件的安排方案共有 种.
15.本题考查立体几何与空间向量,考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
(1)证明:连接 ， . 1 分
因为 ,所以四边形 为平行四边形,则 , 2 分
又 平面 平面 ,所以 平面 . 3 分
同理可得 平面 . 4 分
因为 ,所以平面 平面 . 5 分
又 平面 ，所以 平面 . 6 分
(2)解:取 的中点 ，连接 ， ，在正三棱柱 - 中， ， 易证 两两垂直. 7 分
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , 8 分
所以 . 9 分设平面 的法向量为 ,则 10 分
令 ,得 . 11 分
由 , 12 分
得 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
【评分细则】
【1】第(1)问中，未写“ 平面 ”，扣 1 分.
【2】第(2)问中，平面 的法向量不唯一，建立空间直角坐标系的坐标原点也可以是 的中点或 的中点,阅卷请根据步骤给分.
另外第(2)问还可以这样解答:
连接 ,取 的中点 ,连接 , 7 分
易知 ,则四边形 为平行四边形,则 . 8 分
因为 为 的中点,所以 . 因为 平面 ,所以 AC.
又 ,所以 平面 . 9 分
过 作 的垂线,垂足为 ,因为 平面 ,所以 ,
10 分
又 ,所以 平面 . 11 分 ,
在矩形 中, ,则 12 分
连接 ,则 与平面 所成的角为 ,则 . . 13 分
16.本题考查全概率公式及随机变量的期望, 考查逻辑推理的核心素养与应用意识.
解:(1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件 ，
则由全概率公式可得 ，
故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为 0.1 . 3 分
(2)设恰有 2 天检测结果与实际不符为事件 ，
则 ,
故恰有 2 天检测结果与实际不符的概率为 0.0486 . 7 分
(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下: 8 分
设使用自动化检测系统时每日总支出 (即总损失)为 元.
设备故障且被判为故障的概率为 , 9 分
设备正常却被判为故障的概率为 , 10 分
设备故障却被判为正常的概率为 , 11 分
则 . 14 分
因为 ,所以应该引进该系统. 15 分
【评分细则】
【1】第(1)问中，直接写“所求概率为 ”，扣 1 分.
【2】第(3)问的理由还可以这样写:
设使用自动化检测系统时每日总支出 (即总损失)为 元,
则 , 9 分
10 分
11 分
则 . 14 分
因为 ,所以应该引进该系统. 15 分
17.本题考查数列的新定义与数列的综合, 考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
(1)解:若 ， ，则 ， ，
则满足 的整数为 , 1 分
共有 10 个,故 . 2 分
(2)证明:因为 ,所以 , 4 分
所以 . 5 分
因为 均为等差数列,所以可设 ,
则 为常数,故 也为等差数列. 6 分
(3)解:由 ，得 ，即 ， 7 分则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
则 ,即 . 8 分
当 时, .
当 时, . 9 分
当 时, . 11 分
当 时, ,则
当 时, 13 分
, 14 分
又 ,所以 . 15 分
【评分细则】
【1】第(1)问中，直接写“集合 中元素的个数为 ，则 10”,不扣分.
【2】第(2)问中，在得到 “ ”后，如果写 “因为 均为等差数列,所以 为常数, 为常数,则 也为常数,故 也为等差数列”,不扣分.
【3】第(3)问中，未写“ ”，也可以按照如下步骤解答:
当 时， 13 分 , 14 分
又 ,所以 15 分
18.本题考查函数的零点与导数的应用, 考查数学运算、逻辑推理及直观想象的核心素养.
(1)证明: , 1 分由 ,得 , 2 分
则存在 ，使得曲线 在点 处切线的斜率为定值. 3 分
( 2 )解:当 时，由 ，得 或 . 4 分
设函数 ,则 ,
令 ,得 ,则 在 上单调递减,令 0,得 或 ,则 在 上单调递增,在 上单调递增. 5 分
当 时, ,若 ,则 ,若 ,则 . 6 分
当 时, ,若 ,则 ,若 ,则 . 7 分
当 时,方程 只有一个非零实数解,则 有两个零点; 8 分
当 时,方程 有两个非零实数解,则 有三个零点; 9 分
当 时,方程 有三个非零实数解,则 有四个零点. 10 分
(3)证明:由(2)知，当 时， 的零点个数最多，且 0 为其中一个零点，不妨设 , 11 分
且 ,等式两边同时取对数并整理得
设函数 ,则 ,则 在 上单调递增. 12 分
因为 在 上单调递增,且 ,所以 . 13 分
要证 ,只需证 ,即证 ,因为 ,且 在 上单调递增,所以只需证 ,即 , 14 分令函数 ,
则 , 15 分
所以 在 上单调递减,则 ,即 ,故 . 16 分
故当 的零点个数最多时, 的零点之和大于 3 . 17 分
【评分细则】
【1】第(1)问还可以这样解答:
因为 , 1 分
所以 , 2 分
则存在 ，使得曲线 在点 处切线的斜率为定值. 3 分
【2】第(2)问还可以这样解答:
当 时,由 ,得 或 . 4 分
设函数 ,则 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增. 5 分
当 时, ,当 时, ,
且 . 7 分
当 ,即 时,方程 只有一个非零实数解,则 有两个零点; 分当 ,即 时,方程 有两个非零实数解,则 有三个零点; 9 分当 ,即 时,方程 有三个非零实数解,则 有四个零点. 10 分
19.本题考查抛物线与双曲线的综合, 考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
解:(1)当 时，依题意得 的坐标为 ， 1 分所以 的准线方程为 . 2 分
(2)(1)因为 的两个焦点均在 轴上，且 经过 ， ， ， ，所以由对称性可知， 的中心为线段 的中点，即 ，实半轴长为 4 分
设 的方程为 . 5 分
的横坐标为 均在 上,则 的横坐标为 , 6 分设 ,又 在 上,所以 ,代入 的方程,得 ,解得 8 分
的方程为 . 9 分
(ii) 由题知, ,设 ,则 .
当 时,过 三点不能作双曲线. 10 分
当 时,线段 中点的横坐标与 的横坐标相等,过 三点不能作双曲线, 则 且 . 11 分
因为 的两个焦点均在 轴上,所以可设 的方程为 ,
将 的坐标代入 的方程,得 ①, ②, ③， 12 分
② 一③得 ，因为 ，所以 ， 13 分
由①得， ，
由 ③ 得， ，而 ，则 ，代
入 ,得 , 15 分
16 分
由 且 ,得 且 .
故 的离心率的取值范围为 . 17 分
【评分细则】
【1】第(1)问中， 的准线方程也可以写为 .
【2】第(2)(i)问中， 的方程写为 ，不扣分.
【3】第(2)问还可以这样解答:
设点 的坐标为 ,则 , 3 分
因为 的两个焦点均在 轴上,所以 关于 轴对称,又点 与 均在 上,所以由对称性可知 的中心在线段 的中垂线上,则 的中心 的坐标为 . 4 分
(i) 若 过原点,则 与 为 的两个顶点,此时 的中心为线段 的中点,即 , 则 ,解得 ,此时 的实半轴长为 . 6 分
依题意知 的方程为 ,则 , 7 分
设 的方程为 ,将点 的坐标代入,得 ,解得 8 分
所以 的方程为 ,即 . 9 分
(ii) 设 的方程为 ,其中 ,
将点 的坐标代入得 , 10 分
其中 , 11 分
,则 , 12 分
因为 ,所以 .
13 分
消去非零项,得 ,所以 . 14 分当 时,过 三点不能作双曲线, 15 分
当 时,线段 的中点的横坐标与 的横坐标相等,则过 三点也不能作双曲线,则 且 , 16 分
所以 且 ,则 且 ,则 的离心率的取值范围是 , . 17 分

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