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高三数学
注意事项:
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时. 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知 是两个不共线的向量,向量 共线,则实数 的值为
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,其中 ,则 取得最大值时 的值为
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 已知直线 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
已知函数 在区间 上单调递增,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
i. 已知 ,则
A. B. C. D.
在平面直角坐标系 中, ,直线 的斜率与直线 的斜率的差则 的最小值为
A. B.
C. D. 3
1 知函数 函数 有 4 个零点,则实数 的取值! B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 至少有两项符合题 目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分)
9. 已知 ,则
A. B.
C. D.
10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施. 上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱. 某地一摩天轮与地面的垂直高度(最高处与地面的距离为 )208米，直径为 193 米、人口在最底部. 座天轮逆时针方向匀速转动。30 分钟转一圈，假设该摩天轮共有 36 个座舱，且每两个座舱间隔相等, 则下列说法正确的是
A. 若摩天轮的转速减半、则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从人口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度 (米)与时间 (分钟) 的函数解析式为
C: 乘客从人口进入座舱，摩天轮转动 10 分钟后，乘客距离地面的高度为 163.25 米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为 96.5 米
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为侧面 内一点(含边界),则
A. 若 为线段 上一点,则三棱锥 的体积为定值
B. 若该正方体表面上的动点 满足 ，则动点 的轨迹长度是
C. 若 为侧面 的中心，则过点 且与 垂直的平面截正方体所得截面面积为
D. 若该正方体的内切球表面上的动点 满足 平面 ,则线段 长度的最小值为
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 设随机变量 ,且 ,则 _____.
13. 过点 与圆 相切的两条直线的切点分别为 ,则 _____.
4. 设 ,则称 为 这 个数的几何平均数. 若从等比数列 中删除一个数 ,剩下的 个数的几何平均数为 , 则 _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
如图，在平面四边形 中， ， .
(1)证明:
(2)已知 ， 的外接圆半径为1，求 面积的最大值.
16.(本小题满分 15 分)
如图 1,在正方形 中, 为 的中点,过点 作 的垂线,与 分别交于点 ,把四边形 沿 折起,使得 平面 ,点 分别到达点 的位置,连接 . 如图 2.
图1
图2
(1)设 ， 是线段 (不含端点)上一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由:
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
如图，已知椭圆 的离心率为 ，线段 分别为椭圆 的长轴与短轴,四边形 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 分别交于 ， 两点，且总有 平分 . 求证:直线 恒过定点、并求出定点坐标.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时,若曲线 恰有两条过点 的切线,求实数 的取值集合;
(3)设 为非负实数， 为正实数，若 ，证明: .
19.(本小题满分 17 分)
DM训练机器人玩传球游戏. 现有编号为 的 位球员围成一个圆,机器人DM居于圆心位置，传球规则如下:球由 DM 传给球员，任何球员接球都直接传回 DM 为一次传球. DM 传球给目标球员顺序依次为 . 每次传球时，DM 只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员(如当前应传至 号，则 为目标球员)，则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为 号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回DM, DM 记下该球员编号,并在其成为目标球员时直接传球给该球员, 且在其成为目标球员前不会再给该球员传球; 传球无论成功与否均计为 1 次传球,直到第 号球员接球后传回机器人DM游戏终止.
(1)当 时,
(i)求 DM 第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球的概率；
(ii)设 为完成全部传球所需总次数，求 的分布列及数学期望 ；
(2)设 为完成全部传球所需总次数，若 ，证明: .
高三数学参考答案
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C B A A D
1. C 因为 ,故 .
2. D 由题得 ,解得 .
3. ,故当 时, 取得最大值.
4. C 当 时,直线 ,此时 ,故 “ ” 是 “ ” 的充分条件; 由 ,得 解得 ,故 “ ” 是 ” 的必要条件,综上, ” 是 " "的充要条件. 故选 C.
5. B 由题可知, 且 ,故 . 故选 B.
6. A 由全概率公式知 , 所以 . 故选 A.
7. A 设 ,则 ,由题意得 ,整理得 ,所以 且 ,所以 ,所以当 时, 取得最小值 .
8. 当 时, ,当 时, , 当 时, ,所以 , 当 时, ,所以 , 当 时, ,所以 , 当 时, ,所以 , 作出函数 的大致图象如图所示,
若函数 有 4 个零点,即 与 有 4 个交点,
当直线 过点 时, ; 当直线 过点 时, ,
由图可知, 与 有 4 个交点时,有 ,故选 D.
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 至少有两项符合题目要求, 若全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分.)
题 号 9 10 11
答 案 ABC BD ACD
9. 因为 ,所以 , 所以 ,故 正确;
,故 B 正确;
因为 ,
所以 ,故 正确;
因为 ,所以 ,
,所以 ,故 D 错误.
故选 ABC.
10. BD 对于 A，若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的 2 倍，故 A 错误； 对于 ,设函数解析式为 , 则 且 ,解得 , 摩天轮转动的周期为 30 分钟,由于 ,则 ,所以 , 令 ,则有 ,解得 ,所以 ,故 B 正确; 对于 ,当 时, ,故 错误; 对于 ,两人间隔 5 个座舱,乙与甲进入座舱的时间间隔为 5 分钟,所以两人距离地面的高度差为 , 当 时, ,当 或 ,即 或 25 时, 取得最大值 96.5,故 D 正确. 故选 BD.
11. 若 为 上一点,因为 ,易证 平面 ,所以点 到平面 的距离不变，又 的面积固定不变，所以三棱锥 ，即三棱锥 的体积为定值，故 正确； 因为该正方体的棱长为 2,点 为其表面上一动点, ,所以点 的轨迹为 3 条圆心角为 ,半径为 2 的圆弧,其长度为 ,故 错误;
若 为 的中心,即为 的中点,取 的中点 ,连接 ,如图 1,则 . 易证 ,所以 ,又 平面 ,所以 平面 ,所以 ,同理可证 ,进而可证 平面 ,所以过点 且与 垂直的平面截正方体所得截面为 ,易求 ,所以 的面积为 ,故 C 正确;
在正方体中,平面 平面 ,因为点 满足 平面 ,所以点 在平面 上. 又因为点 在正方体的内切球表面上,所以点 的轨迹为正三角形 的内切圆,记圆心为 ,则 的最小值为 ,故 D 正确.
故选 ACD.
图1
图2
三、填空题(本大题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12.0.83 由题意知, ,
则 .
13. 因为圆 ,即 ,可得圆心 ,半径 ,过点 作圆 的切线,切点为 ,如图所示,因为 ,则 ,则
14.4050 若删除的是 1，则剩下的 个数的几何平均数最大，
最大值为 ;
若删除的是 ,则剩下的 个数的几何平均数最小,
最小值为 ,
则 ,解得 ,又 ,可得 .
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 设 ,
因为 ,所以 .
在 中,由正弦定理得, ,
在 中,由正弦定理得, ,
所以 . 5 分
(2)因为 的外接圆半径为 1，由正弦定理得，
在 中， ， ， 或 . 6 分
当 时，设 ，
则在 中, ,在 中, ,
,
当 ,即 时, ; 10 分
当 时，将 的图形关于直线 翻折即可，最大值不变. 12 分
故 面积的最大值为 . 19 分
16.( 1 )存在点 ，且当 时， .
由题意，知 两两垂直，所以以点 为原点，分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 2 分
因为 ,
所以可求得 ,
所以 ,所以 .
因为点 在线段 上,所以可设 .
因为 ,所以点 , 4 分
所以 ,
假设存在点 ,使得 ,则 ,
所以 ,解得 ,即 ,
所以 ,
所以存在点 ，且当 时， . 7 分
(2)由(1)得 ， ， ， ， ，
所以 . 8 分
设平面 的法向量为 ,则
取 ,得 ,则 是平面 的一个法向量. 10 分
设平面 的法向量为 ,则
取 ,得 ,则 是平面 的一个法向量. 12 分设平面 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
17.(1) 由题意得 ,
,解得 ,
椭圆 的标准方程为 . 5 分
(2)令 ，
由 平分 ,可知直线 倾斜角的大小关系,
得到 ,故有 , 8 分
故有 ,化简得 ,① 9 分
设 ,
联立 有 ,
于是有 , 11 分
又 ,
代入①式化简得， ， 13 分
则直线 ,
即可证直线 恒过定点 . 15 分
18.(1)当 时，函数 的定义域为 ， ，
当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时,令 ,解得 ,所以 在 上单调递增,
令 ,解得 ,所以 在 上单调递减. 4 分
(2)设切点为 ，因为 ，
所以切线方程为 ,
因为切线过点 ,所以 ,
整理得 ,
因为曲线 有两条过点 的切线,
所以关于 的方程 有 2 个解,
令 ,则 有 2 个零点,
因为 ,
令 ,解得 ,所以 在 上单调递增,
令 ,解得 ,所以 在 上单调递减,
又 ,
可知 . 9 分
(3)不妨设 ，
当 时,左边 ,右边 ,所以左边 右边;
当 时,左边 ,右边 ,所以左边 右边;
当 时,因为 为正实数, ,所以 ,
要证 ,即证 ,即证 ,
即证 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 在 上单调递减,
所以当 时, ,所以 ,所以 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,即 ,
综上可知, .
19.(1)(i)设事件 :“DM 第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球”，事件 :“DM 第 次完成给 1 号球员传球 ”,
由题知,前 2 次机器人DM一定会成功传球给 1 号球员,否则第 3 次传球给 2 号球员也算传球失败,
如果第 1 次机器人DM成功传球给 1 号球员， ；
如果第 2 次机器人DM成功传球给 1 号球员， ，
所以 . 4 分
(ii)机器人DM传球次数 可能取值为5,6,7,8,9，
① 当 时,恰好按照从小到大的顺序传球, ;
② 当 时,2到5号球员恰好全部在 1 之前传到,则 ;
③ 当 时,只有一位球员在所有比它小的球员传球时误传了,则 ;
④ 当 时,有 3 次误传,则 ;
⑤ 当 时,易知 ,
列出分布列为
5 6 7 8 9
2 1 5
因此 (次). 10 分
(2)记 是机器人DM给 号球员传球的次数，
则 ,
即 ,
于是 , 13 分
而 ,于是 .
先证: ,设 ,
则 ,故 在区间 上单调递增, ,
故 ,
则 ,
于是 ,
故命题得证. 17 分

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