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姓名________________________ 准考证号________________________
2025-2026山西省太原市中考模拟试卷（一）
数 学
注意事项：
1. 本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查全市中学生每天体育锻炼时间
B．调查某款新能源汽车的抗撞击能力
C．调查神舟十九号飞船各零件是否合格
D．调查全市中学生视力情况
6．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（　　）
A．2 B．3
C．4 D．5
8．如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
9．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（　　）
A．9 B．6 C．3 D．12
10．如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中，的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（　　）
B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：　 　．
12．体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：BMI=，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5-23.9kg/m2。有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围。若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重　 　kg。
13．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则　 　．
14．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位，则校长和学生乙坐在正对面的概率为　 　．
15．如图，在矩形中，，E为延长线上一点，连接交于点F．连接．若，则的长为　 　．
解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）计算：
（1）；
化简：．
17．（本题7分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出时，x的取值范围．
18．（本题8分）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°；
（2）_______，_______．
【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
19．（本题8分）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
20．（本题8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
（1）填空：　 　；
（2）求点到地面的距离；
（3）求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
21．（本题8分）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时，
小明的证明过程（部分）如下：
证明：分以下三种情况讨论．
a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上
则，
b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则，
∵．
．
∴
∴
c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则
任务
（1）请将图3的证明过程补充完整．
（2）如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______．
22．（本题13分）综合与实践
设计“脚手架”支杆的长度
材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为7米．
材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示．
材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，如图所示．
问题解决
任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离．
任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值．
（本题13分）综合与探究
小星在学习了旋转的相关知识后，对三角形作进一步研究．
（1）【提出问题】
已知，如图①，在中，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转，点的对应点是点，连接，．求的长；
（2）【类比探究】
如图②，在中，，，点是边的中点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应的是点，连接，．求的长；
（3）【变式延伸】
在中，，，，点是边上任意一点，连接，以为直角边，在的右侧作，使得，，连接．当时，求的长．（请在备用图中画出图形并完善解答过程）
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】12
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】（1）解：
（2）解：
17．【答案】（1）
（2）
（3）或．
18．【答案】解：（1）36；（2）85；90；
（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步．
19．【答案】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）解：设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
20．【答案】（1）63
（2）解：延长交于点，
则，
在中，，
∴DM=CD，
∵，
∴，
∴点到地面的距离为米.
（3）解：过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴∠APE=45°，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
21.【答案】（1）见解析
（2）
22．【答案】解：任务1：四边形是矩形，
（米，
点，点，
根据题意和图象可得，顶点的坐标为，
可设抛物线的解析式为：，
把点代入解析式可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
任务2：当时，，
解得，
（米，
两根支撑柱之间的水平距离为6米；
任务3：设点坐标为，、、的长度之和为米，
则，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米
23．【答案】（1）解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：如图，过点作的延长线于点，则，
∵，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴。
（3）解：过点作于点，则，
当点在点的左侧时，如图，设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
点在点的左侧时，如图，
同理可得，，
∴；
综上，的长为或。
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