资源简介

第1章 实数
1. 计算： ．
2. 计算： ．
3. 计算： ．
4. 计算： ．
5. 计算： ．
6. 计算： ．
7. 设 ，求与 最接近的正整数．
8. 加上它的 得到一个数，再加上所得的数的 又得到一个数，再加上这次得数的 又得到一个
数， ，依此类推，一直加到上一次得数的 ．最后得到数为．
9. 计算： ．
10. 计算： ．
11. 计算： ．
12. 计算： ．
13. 计算： ．
14. 计算： ．
15. 计算：
．
16. 计算下列繁分数：
( 个减号)．
17. 比较 与 的大小．
1
18. 已知
，问： 的整数部分是多少？
19. 在数 ， ， ， ， ， ， ， 的前面分别添加“ ”或“ ”，使它们的和为
，你能想出多少种方法？
20. 计算： ．
21. 求和： ．
22. 已知 ，其中 为正整数，证明：
．
23. 求下列分式的值： ．
24. 设 ，求 的整数部分．
25. 数 、 在数轴上对应的点如图所示，试化简 ．
26. 已知 ，化简： ．
27. 若 ，化简 ．
28. 化简： ．
29. 设 ，且 ，试化简 ．
30. 化简 ．
31. 若 的值恒为常数，求 满足的条件及此常数的值．
32. 如果 ，且 ，求 的最大和最小值．
33. 求代数式 的最小值．
2
34. 如果 为有理数，求代数式 的最小值．
35. 已知 ，求 的最大值．
36. 设 ，求 的最小值．
37. ， 为有理数且 ，试求 的值．
38. 若 、 、 为整数，且 ，试计算 的值．
39. 将 ， ， ， 这 个正整数任意分成 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为
，另一个数记为 ，代入代数式 中进行计算，求出其结果， 组都代入后可求得
个值，求这 个值的和的最大值．
40. 设 个有理数 ， ， ， 满足
，且 ，求 的最小值．
41. 证明循环小数 是有理数．
42. 已知 是无理数，且 是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：
是有理数；
是无理数；
是有理数；
是无理数．
哪些是正确的？哪些是错误的？
43. 求证： 是有理数．
个 个
44. 证明： 是无理数．
45. 设 是正整数， 是有理数，则 必是完全平方数；反过来，如果 是完全平方数，则 是有理数
(而且是正整数)．
46. 设 、 及 都是整数，证明： 及 都是整数．
47. 求满足等式
的有理数 、 ．
48. 求满足条件
3
的正整数 、 、 ．
49. 若 (其中 、 、 、 为有理数， 为无理数)，则 ， ，反
之，亦成立．
50. 设 与 是两个不相等的有理数，试判断实数 是有理数还是无理数，并说明理由．
51. 已知 、 是两个任意有理数，且 ，求证： 与 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠
密性)．
52. 已知在等式 中， 、 、 、 都是有理数， 是无理数，问：
53. 已知 、 是两个任意有理数，且 ，问是否存在无理数 ，使得 成立？
54. 已知数 的小数部分是 ，求 的值．
55. 已知： 、 是有理数， ，且满足 ，试求 的值．
56. 若 为正整数，求证：
必为无理数．
57. 若 、 是正整数， 、 是实数，问是否存在三个不的素数 、 、 ，满足 ，
， ？
58. 设 是 的个位数字， ， ， ， ，求证： ． 是有
理数．
59. 已知 、 、 、 均为有理数，如果它们中有三个数相等，求 、 的值．
60. 表示不超过实数 的最大整数，令 ．
（ 1 ）找出一个实数 满足 ．
（ 2 ）证明：满足上述等式的 ，都不是有理数．
61. 设 、 是实数，对所有正整数 ， 都是有理数，证明： 是有理数．
62. 设 是给定的正有理数．
若 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在 个正有理数 、 、 ，使得
；
若存在 个正有理数 、 、 ，满足 ．
4
第2章 代数式
1. 化简 ，其中 为大于 的事数．
2. 计算： ．
3. 计算： ．
4. 设 ， ，求用 去除 所得的商 及余式 ．
5. 已知当 时，代数式 的值为 ，求当 时，代数式 的值．
6. 若 ，且 ，试求 的值．
7. 试确定 和 ，使 能被 整除．
8. 若 ，求 的值．
9. 将 表示成 的形式．
10. 已知 ，求 的值．
11. 已知 ， ， ，求 的值．
12. 若 ， ，求 的值．
13. 已知 ， ．求 的值．
14. 已知 ， ， ，求多项式
的值．
15. 已知实数 、 、 、 满足 ， ，求 的
值．
16. 已知 ，试求 的
值．
17. 求一个关于 的二次三项式 ，它被 除余 ；被 除余 ；并且它被 整除．
18. 未知数 、 满足 ，其中 、 表示非零已知数，求 、
的值．
19. 已知 、 、 满足 ，求证：
．
1
20. 已知 ，证明 ．
21. 证明：
．
22. 已知 ，且 、 、 、 都是正数，求证： ．
23. 已知 ，求证：
24. 分解因式： ．
25. 分解因式： ．
26. 分解因式： ．
27. 分解因式： ．
28. 分解因式： ．
29. 分解因式：
30. 分解因式： ．
31. 分解因式： ．
32. 分解因式： ．
33. 分解因式： ．
34. 分解因式： ．
35. 分解因式： ．
36. 分解因式： ．
37. 分解因式： ．
38. 分解因式： ．
39. 分解因式：
．
40. 分解因式： ．
41. 分解因式： ．
42. 分解因式： ．
2
43. ．
44. 分解因式： ．
45. 分解因式：
46. 分解因式： ．
47. 分解因式： ．
48. 分解因式：
49. 分解因式： ．
50. 分解因式： ．
51. 分解因式： ．
52. 分解因式： ．
53. 分解因式： ．
54. 分解因式： ．
55. 分解因式： ．
56. 为何值时， 可以分解成两个一次因式的乘积？
57. 分解因式： ．
58. 分解因式： ．
59. 分解因式： ．
60. 分解因式：
．
61. 计算： ．
62. 计算： ．
63. 计算： ．
64. 计算： ．
65. 化简分式： ．
3
66. 求分式 当 时的值．
67. 计算： ．
68. 已知 ．求 的值．
69. 已知 ．求 的值．
70. 计算： ．
71. 已知 ， ， ．求 的值．
72. 若 ，求 的值．
73. 化简分式： ．
74. 若实数 ， ， 满足 ， ， ，求 的值．
75. 已知： ( ，且 、 、 不全相等)，求
的值．
76. 已知 ，求 的值．
77. 已知 ， ，求 的值．
78. 已知实数 、 、 满足 ， ，
，求 的值．
79. 已知 ，求下面代数式的值：
．
80. 若 ，求分式 的值．
81. 若 ，求 的值．
82. 一列数 ， ， ， 满足对于任意正整数 ，都有 ，求
的值．
83. 化简： ．
84. 化简： ．
4
85. 化简： ．
个 个
86. 化简： ．
87. 化简： ( 是自然数)．
88. 化简： ．
89. 化简： ， ．
90. 化简： ；
91. 化简： ．
92.
化简： ．
93. 化简： ．
94. 化简：
．
95.
化简： ．
96. 设有正数 ， 时， ，求
的值．
97. 计算：
．
98. 求 的值．
99.
计算 ．
100. 计算：
．
101. 求证： ；
5
计算： ．
102. 已知 ，求 的值．
103. 记 表示不超过 的最大整数(如 ， 等)，求
的值．
104. 若 ， ，且 ，求 的值．
105. 已知函数 ，
求 的值．
106. 设 ， ，且
，求 的值．
107. 已知 ， ，当 时，求 的值．
108.
化简 ．
109.
化简 ．
110. 化简： ．
111. 已知 ， ．计算 ．
112. 已知 ，求 的值．
113. 化简： ．
114. 化简： ．
115. 化简：
．
116. 若 ，计算 (共有 层)的值．
6
117.
求根式 的值．
118. 设 的整数部分为 ，小数部分为 ，试求 的值．
7
第3章 一元方程
1. 已知下面两个方程
，①
②
有相同的解，试求 的值．
2. 解方程： ．
3. 若 ，解方程 ．
4. 已知关于 的方程 ．且 为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正整数 的
最小值．
5. 已知关于 的方程 有两个不同的解，求 的值．
6. 已知关于 的方程 无解，求 的值．
7. 已知关于 的方程 有无限多个解，求 、 的值．
8. 为何正数时，方程 的解是正数？
9. 若 、 、 是正数，解方程： ．
10. 设 为正整数， 表示不超过 的最大整数，解方程 ．
11. 若方程 与方程 至少有一个相同的实数根，求实数 的值．
12. 已知实数 ，且满足 ， ，求 的
值．
13. 已知 是方程 的一个根，求 的值．
14. 三个不同实数 、 、 使得方程 和 有一个相同的实数根 ，且使得
方程 和 也有一个相同的实数根 ，求 的值．
15. 对于一切不小于 的整数 ，关于 的一元二次方程 的两个根记作 、
，求 的值．
16. 已知互不相等的实数 、 、 满足 ，求 的值．
1
17. 如果 ， 都是质数，且 ， ，求 的值．
18. 已知三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰有一
个公共实数根，求 的值．
19. 设实数 和 满足方程 ， ，并且 和 的积不等于 ，求
的值．
20. 已知方程 的两个根 、 也是方程 的根，求 、 的值．
21. 已知方程 的大根为 ，方程 的小根为 ，
求 的值．
22. 设 是给定的非零实数，解关于 的方程 ．
23. 已知 、 是方程 的两实根，求 的值．
24. 设一元二次方程 的两个实根的和为 ，平方和为 ，立方和为 ，求
的值．
25. 设抛物线 的图象与 同只有一个交点，求 的值．
26. 若方程 的两个不相等的实数根 ， 满足 ，求实
数 的所有可能的值之和．
27. 设 、 是方程 的两个根， 、 是方程 的两个根．记
，用 表示
．
28. 已知方程 没有实数根，其中 是实数．试判定方程
有无实数根．
29. 已知常数 为实数，讨论关于 的方程 的实数根的个数情况．
30. 若对任何实数 ，关于 的方程 都有实数根，求实数 的取值范围．
31. 已知关于 的二次方程 无实根，其中 为实数，试判断二次方程
的实根情况．
32. 、 、 是不全相等且都不为零的实数，求证： ， ，
这三个一元二次方程中，至少有一个方程有两个不相等的实数根．
33.
2
对于实数 、 ，定义一种运算“ ”为： ．若关于 的方程 有两个
不同的实数根，求满足条件的实数 的取值范围．
34. 若方程 有实根，求 、 的值．
35. 的一边长为 ，另两边长恰是方程 的两个根，求 的取值范围．
36. 求方程 的实数解．
37. 解方程组： ．
38. 设 为实常数，方程 有两个不同的实数根 、 ．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）求 的最小可能值，并求 取最小值时 的值．
39. 设 不小于 的实数，使得关于 的方程 有两个不相等的实
数根 、 ．
（ 1 ）若 ，求 的值．
（ 2 ）求 的最在大值．
40. 设 、 、 为互不相等的实数，且满足关系式
，　　　　①
及 ，　　　　　　　②
求 的取值范围．
41. 求使得关于 的方程 恰有一个实数根的所有实数 ．
42. 已知实数 、 、 满足 ， 及 ，求 的最小值．
43. 已知实数 、 、 满足： ．
求证： ．
44. 设实数 、 、 满足 ， ．求证： 、 、 中必有一个大于 ．
45. 满足 的所有实数对 中， 的最大值是多少？
46. 、 为实数，且满足 ，求 的最大值和最小值．
47. 实数 、 、 满足 ，且对任何实数 ，都有不等式
，
3
求证： ， ， ．
48. 实数 、 、 满足 ， ，求 的最大值．
49. 若二次方程 的两个根都大于 ，求实数 的取值范围．
50. 设关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，且 ，求 的
取值范围．
51. 已知关于 的实系数二次方程 有两个实数根 、 ．证明：如果 ， ，
那么 且 ．
52. 已知 、 、 、 是实数，为了使二次方程 与 都有实根，并且其
中任一方程的两根被另一方程的根分隔开业，系数 、 、 、 应满足什么条件？
53. 方程 ( 是常数)有两实根 、 ，且 ， ，那
么 的取值范围是(　　)
A. B.
C. 或 D. 无解
54. 已知方程 有一个根小于 ，另一个根大于 ，求 的取值范围．
55. 设二次方程 的系数 、 、 都是奇数．它的两个实根 、 满足 ，
．若 ，求 、 ．
56. 设二次函数 ，方程 的根为 、 ，且 ，当
时，试比较 与 的大小关系．
57. 若关于 的方程 至少有一个实根大于 且小于 ，求实数 的取值范围．
58. 若关于 的方程 的所有根都是比 小的正实数根，求实数 的取值范
围．
59. 使关于 的不等式 成立的 的最小值为 ，试求 的值．
60. 设 、 是整数，且方程 的两个不同的正数根都小于 ，求 的最小值．
61. 设实数 、 、 、 满足条件 ，且 ， ，求证：方程
有一根 ，满足 ．
62. 已知 、 、 为实数， ，并且 ．证明：一元二次方程
有一个根介于 与 之间．
4
63. 设 、 为质数，且方程 有整数解，求 、 的值．
64. 已知 是质数，使得关于 的二次方程 的两根都是整数，求出所有可能
的 的值．
65. 已知 、 、 都是整数，且对一切实数 ， 都成立，求所
有这样的有序数组 ．
66. 求所有的有理数 ，使得关于 的方程 的所有根是整数．
67. 已知 是正整数，且使得关于 的一元二次方程 至少有一个整数
根，求 的值．
68. 关于 的二次方程 的两根都是整数，求实数点的值．
69. 设 是质数，并使得方程 有两个整数根，求 的值．
70. 已知 、 是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请
把它们求出来；如果没有，请给予证明．
71. 已知 、 都是质数，且使得关于 的二次方程 至少有一个正整数根，
求所有的质数对 ．
72. 已知关于 的一元二次方程 的两个根均为整数，求所有
满足条件的实数 的值．
73. 设关于 的二次方程 的两根都是整数．求满足条
件的所有实数是的值．
74. 已知关于 的一元二次方程 无相异两实根，则满
足条件的有序正整数组 有多少组？
75. 若正整数 、 是关于 的方程 的两个根，求
、 的值．
76. 、 为整数，并且是关于 的方程 的两个根，求 、 的
值．
77. 、 为正整数， ，若关于 的方程 有正整数解，求 的最小值．
78. 是否存在整数 ，使得关于 的方程
　　　　①
有整数解？
5
79. 求所有的正整数 ，使得 以表示为两个连续正整数的乘积．
80. 是否存在整数 、 、 ，使得方程 和 都有两
个整数根？
81. 已知 是正整数，如果关于 的方程 的根都是整数，求 的
值及方程的整数根．
82. 求所有的正整数组 ，使得如下三个关于 的二次方程 ，
， 的根都是正整数．
83. 证明：存在无穷多对正整数 ，满足方程 ．
84. 甲、乙二人用相同的速度，沿着同一条道路从 地到 地，甲先出发，当甲所行的路程是乙 的 倍
时，甲又行了 千米到达 地，然后立即返回，行了全程的 时，与乙还相距 千米．那么 、 两地
相距多少千米？
85. 轮船从 城到 城需行5昼夜，而从 城到 城需行7昼夜，现由 城放一木筏于水中漂流至 城(木
筏无任何动力)，途中需多少昼夜？
86. 一艘轮船从 港到 港顺水航行需6小时，从 港到 港逆水航行需 小时，若在静水条件下，从 港
到 港需多少小时？
87. 辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时 千米，在下坡路上行驶的速度是每小时 千米，在平路上
行驶的速度是每小时 千米，某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了 的时间走上坡路，然后用
了 的时间走下坡路，最后用了 的时间走平路．已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开
往乙地所用时间多 务钟，那么甲、乙两地的距离是多少？
88. 汽车将甲镇的日用品运到乙村，要经过上坡路 公里，下坡路 公里，平路 公里，然后再将乙村
的粮食运往甲镇，汽车往返所用的时间相差 分钟，已知汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均
速度之比为 ，求：
（ 1 ）汽车在上坡时、下坡时、走平路时的各个平均速度．
（ 2 ）自甲镇到乙村及乙村到甲镇汽车各需要的时间．
89. 甲乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每 秒钟和甲相遇一 次，求
乙跑完一圈所需时间．
90. 旅行者从下午 时步行到晚上 时，他先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返
回出发地．若他走平路每小时行 千米，上山每小时行 千米，下山每小时行 千米，问旅行者一共行
多少千米？
6
91. 在四点到五点之间，时针和分针在什么时刻重合？
92. 某城市按以下规定收取煤气费： 每月所用煤气按整立方米数计算； 若每月用煤气不超过 立
方米，按每立方米 元收费，若超过 立方米，超过部分按每立方米 元收费，已知某户人家某
月昀煤气费平均每立方米 元，则这户人家需要交煤气费(　　)
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
93. 某寺院有甲、乙、丙三口铜钟，甲钟每 秒敲响一声，乙钟每 秒敲响一声，丙钟每 秒敲响一声，
新年到来时，三口钟同时开始敲响且同时停敲，某人共听到 声钟响，若在此期间，甲、乙、丙三
口钟敲响的次数分别为 次、 次、 次，求 的值．
94. 准备将若干个零件放入盒子里，盒子至少 个，每个盒子中的零件个数必须相等，如果每个盒子放
个，最后剩下一个；如果增加 个盒子，便可将零件全部放完．问原有多少个盒子？
95. 我们在运动场上踢的足球大多是由许多小黑白块的皮缝合而成的．如图，若已知黑块共 块，求白
块有多少块？
96. 从两个重量分别为 千克和 千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下
的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等，求所切下的合金的重量
是多少千克？
97. 设有甲、乙两个杯子，甲杯中装有 升 溶液，乙杯中装有 升 溶液，现在从甲杯中取出一定量
的 溶液，倒入乙杯并搅拌均匀，再从乙杯中取出等量的混合液倒入甲杯，测得甲杯 溶液和 溶液
的比为 ，求第一次从甲杯中取出的 溶液是多少升？
98. 游泳者在河中逆流而上，于桥 下将水壶遗失被水冲走，继续向前游了 分钟后他发现水壶遗失，
于是立即返回，在桥 下游距桥 千米的桥 下追到水壶．求该河水流的速度．
99. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个小孩嫌自动扶梯太慢，于是在行驶的自动扶梯上，男孩
每秒钟向上走 个梯级，女孩每 秒钟向上走 个梯级，结果男孩用了 秒钟，女孩用了 秒钟到达楼
上，当该自动扶梯静止时，可看到的自动扶梯的梯级共有多少级？
100. 在一次象棋循环比赛中，每个棋手有一半的得分是在与最后三名次的棋手交锋中获得的．试问，
这次比赛有多少人参加？(规定每一局对弈的得分全部属于胜者或由互成和局的对手平分，负者不失
7
分．)
101. 四位女孩——小陈、小周、小张和小严在演唱会上组成三重唱，即每次一人退出．小严唱了 首
歌，比其他任何一个人都多．小陈唱了 首歌，比其他任何一个人都少．问：这三人组共唱了多少首
歌？
102. 解方程 ．
103. 解方程 ．
104. 解方程： ．
105. 解方程 ．
106. 解方程 ．
107. 已知方程 有一负根，且无正根，求 的取僮范围．
108. 若方程 只有负根，求实数 的取值范围．
109. 、 为有理数，且 ，方程 有三个不相等的解，求 的值．
110. 已知关于 的方程为： ．
（ 1 ）解这个方程．
（ 2 ）若 是一个奇质数的平方，证明这个方程的解是合数．
111. 解方程： ．
112. 解方程 ．
113. 解方程
．
114. 解方程： ．
115. 解方程
．
116. 解方程 ．
117. 解方程
．
8
118. 解方程
．
119. 解方程： ．
120. 解方程 ．
121. 解方程
．
122. 解方程： ．
123. 解关于 的方程
．
124. 如果方程 只有一个实数根，求 的值及对应的原方程的根．
125. 解方程： ．
126. 解方程： ．
127. 解方程： ．
128. 解方程
．
129. 解方程：
130. 解方程：
131. 解方程
．　　　　　　　　　　　　①
132. 解方程
．①
133. 解方程
．
134. 解方程： ．
135. 解方程
9
．
136. 解方程
．
137. 已知实数 满足 ，求 的取值范围．
138. 设实数 ，并且满足方程 ，求 的值．
139. 关于 的方程 有几个实根？
140. 当 时，解方程 ．
141. 解方程： ．
142. 解方程 ．
10
第4章 方程组
1. 已知关于 、 的方程组 ①②，分别求出当 为何值时，方程组有唯一一组解；无
解；有无穷多组解，
2. 对 、 的哪些值，方程组 至少有一组解？
3. 已知关于 、 的二元一次方程 ．当 每取一个值时，就有一个方
程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
4. 已知 ，且 ， ，求 的值．
5. ①若 、 的值满足方程组 ② ．求 的值．
6. 当 取何值时，关于 、 的方程组 有正整数解．
7. 为何值时，方程组 ．
8. 若方程组 的解满足 ，求 的值．
9. 甲、乙二人同时求 的整数解．甲求出一组解为 而乙把 中的 错看成
，求得一组解为 求 、 的值．
10. 甲、乙两人解方程组 ．由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为
，乙看错了方程②中的 而得到的解为 ，假如按正确的 、 计算，求出原方程组的解．
11. 已知方程组 无解， 、 是绝对值小于 的整数，求 、 的值．
12.
已知关于 和 的方程组 有解，求 的值．
13. 已知 ， ， ，求 的值．
14. 如果方程组 的解是正整数，求整数 的值．
15. 解方程组 ．
1
16. ①已知 ， 求 的值．
②
17. ①
解方程组 ② ．
③
18. ①
②
解方程组 ③．
④
⑤
19. 解方程组
①
② ．
③
20. 解方程组
①
② ．
③
21. 解方程组
①
②．
③
22. 解方程组
．
23. 解方程组
．
24. 解方程组
．
25. 解方程组
①
②．
③
2
26. 解方程组 ①．
②
27. 解方程组
①．
②
28. 解方程组
① ．
②
29. 解方程组
① ．
②
30. 解方程组
．
31. 解方程组
①．
②
32. 解方程组： ①．
②
33. 解方程组
①
．
②
34. 解方程组：
．
35. 解方程组：
．
36. 已知方程组：
3
它的系数满足下列条件：
、 、 都是正数；
所有其他系数都是负数；
每一方程中系数之和是正数．
求证： 是已知方程组的唯一解．
37. 解方程组
．
38. 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我 元，我的钱数将是
你的 倍，”小玲对小倩说：“你若给我 元，我的钱数将是你的 倍．”其中 为正整数．求 的可
能值的个数．
39. 甲、乙两人从相距 千米的两地同时相对而行， 小时后相遇．如果甲、乙每人各多行 千米，那
么相遇地点距前一次相遇的地点 千米，求原来甲、乙的速度．
40. 长 米的列车速度是每小时 千米，它追上并超过长 米的列车用了 秒，如果这两列火车相向
而行，从相遇到完全离开要用多少时间？
41. 火车通过长 米的铁桥用了 秒，如果它的速度加快 倍，通过 米长的铁桥就只用了 秒，求
这列火车原来的速度和它的长度．
42. 某人骑自行车从 地到 地，途中都是上坡或下坡路，他以每小时 千米的速度下坡，以每小时 千
米的速度上坡．从 地到 地用了 分钟，从 地返回 地用了 小时．求 、 两地相距多少千
米？
43. 甲、乙二人骑车在 米环形跑道上进行万米比赛．同时出发后，乙速大于甲速，在第 分钟时甲
加快速度，在第 分钟时甲追上乙并开始超过乙，在第 分钟时，甲再次追上乙，而在第 分 秒
时，甲到达终点，那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟？
44. 甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点 出发，按相反方向跑步．甲速每秒 米，乙速每秒 米，直到
它们第一次又在 处相遇之前，在途中共相遇多少次？
45. 某船往返于甲、乙两港之间，顺水而下需用 小时，逆水而上需要 小时，由于暴雨后水速增加，
该船顺水而行是逆水而行所花时间的 ，那么逆水而行需几小时？
4
46. 甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过了一段时间，
甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转身子，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇
时，乙恰好跪了 圈，试问甲的速度是乙的几倍？
47. 小王沿街匀速行走，发现每隔 分钟从背后驶过一辆 路公交车，每隔 分钟迎面驶来一辆1 路公交
车．假设每辆 路公交车行驶速度相同，而且 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，问：发车间
隔的时间是多少分钟？
48. 两地相距 千米，已知人的步行速度是每小时 千米，摩托车的行驶速度是每小时 千米，摩
托车后座可带一人．问有三人并配备一辆摩托车从 地到 地最少需要多少小时？(保留 位小数)
49. 一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做 个，则提前 天完成，若他每天
少做 个，则要误期 天．问他要做多少个零件？定期是多少天？
50. 某项工程，如果由甲、乙两队承包， 天完成，需付 元；由乙、丙两队承包， 天完
成，需付 元；由甲、丙两队承包， 天完成，需付 元．现在工程由一个队单独承
包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
51. 已知甲、乙、丙三人，甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的 倍，
乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的 倍，求丙单独工作所用时间是
甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍．
52. 某商店经销一种商品，由于进货价降低了 ，使得利润率提高了 ，那么原来经销这种商品的
利润率是多少？
53. 现有一块黄铜和一块青铜的混合物，其中含有 的铜， 的锌和 的锡．已知青铜含 的
铜， 的锌和 的锡，而黄铜是铜和锌的合金．求黄铜含有铜和锌之比．
54. 李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李明买了 本练习本、一支圆珠笔和
块橡皮，共付了 元，张斌买了 本练习本、一支圆珠笔和 块橡皮，共付了 元，王钢买了一本练
习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱？
55. 学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和 本日记本为一份奖品，则可买 份奖品；若以 支钢笔和3
本日记本为一份奖品，则可买 份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？
56. 甲、乙、丙三人共解出 道数学题，每人都解出了其中的 道题，将其中只有 人解出的题叫做难
题， 人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？(多的比少的)多几道题？
57. 现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲 件，乙 件，丙 件共需 元；若购买甲 件，乙 件，丙
件共需 元，问要购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
5
58. 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 、 、 和 ，这四人
中最大年龄与最小年龄的差是多少？
59. 现在父母年龄的和是子女年龄和的 倍； 年前，父母年龄和是子女年龄和的 倍； 年后，父母年
龄的和是子女年龄和的 倍，问共有多少子女？
60. 一次数学竞赛出了 、 、 三道题目， 个学生每人至少能解出一道题目．在这些不能解 的学
生中，能解 的人数等于能解 的二倍；在能解 的学生中，至少还能解别的一题的人数比不能解别
的题目的人数少一个．如果正好能解一道题目的学生中，有一半不能解 ．问有多少学生正好能解出
这道题目？
61. 方程组 的解的个数为(　　)
A. B. C. D.
62. 如果 和 是非零实数，使得 和 ，那么 等于(　　)
A. B. C. D.
63. 解方程组
①
② ．
64. 解方程组
①
②．
65. 求方程组 在实数范围内解的组数．
66. 解方程组：
．
这里 、 、 、 是已知的两两不同的实数．
6
第5章 不等式
1. 已知 ，且 ，试比较 与 的大小．
2. 解关于 的不等式： ．
3. 已知不等式 的解为 ，求不等式 的解．
4. 如果关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集．
5. 求不等式 的正整数解．
6. 如果不等式组 的整数解仅为 、 、 ，那么适合这个不等式组的整数 、 的有序数对
共有多少对？
7. 设 ， 是正整数，求满足 ，且 最小的分数 ．
8. 已知 ， ，求 的最大值和最小值．
9. 求同时满足 ， 和 的 的最大值及最小值．
10. 求适合 ，且 满足方程 的 取值范围．
11. 当 、 、 为非负数时， ， ，求 的最大值和最
小值．
12. 解不等式 ；
解不等式 ．
13. 解不等式 ．
14. 解不等式 ．
15. 解不等式 ．
16. 解不等式： ．
17. 解不等式组： ．
18. 取何值时，不等式 无实数解？
19. 若不等式 有解，求 的取值范围．
1
20. 已知 且 ，求 的取值范围．
21. 解不等式 ．
22. 解不等式 ．
23. 已知 ， ，且 ，求 的最大值和最小值．
24. 实数 、 、 满足不等式 ， ， ．求证：
．
25. 实数 ， ， 满足 ，且 ， ．求最大的实数 ，使得不等式
恒成立．
26. 已知
；
当 时，满足 ；
当 时， 有最大值 ．
求常数 、 、 ．
27. 证明 ，其中 表
示 、 、 这三个数中的最大者．
28. 设 为参数，解关于 的一元二次不等式 ．
29. 设 为参数，解关于 的一元二次不等式 ．
30. 若一元二次不等式 的解是 ，求不等式 的解．
31. 欲使不等式 与不等式 无公共解，求 的取值范
围．
32. 对一切实数 ，不等式 恒成立，求 的值．
33. 设有不等式 ，试求对于满足 的一切 成立的 的取值
范围．
34. 解不等式 ．
35. 解不等式 ．
36. 求不等式 的整数解的个数．
37. 实数 、 、 满足 ．证明： ．
2
38. 满足下列两个条件：
对所有正整数 ， ；
存在正整数 ，使
的正整数 的个数有几个？
39. 设 为实数，解不等式 ．
40. 设 ，解不等式 ．①
41. 设 ， ， 的平均数为 ， ， 的平均数为 ， ， 的平均数为 ，若 ，则 与 的大
小关系是(　　)
A. B. C. D. 不确定
42. 若 、 是正数，且满足 ，则 与 之间的大小关系是(　　)
A. B. C. D. 不能确定
43. 若 ( 、 是实数)，则 的值一定是(　　)
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数
44. 设 ， 是正整数，且满足 ， ，则 等于(　　)
A. B. C. D.
45. 已知 ， 、 为互质的正整数，且 ， ．
（ 1 ）试写出一个满足条件的 ．
（ 2 ）求所有满足条件的 ．
46. 已知： ， ， ， ， ，
， 和 ．求 ， ， ， ，
， 的值．
47. 证明： ；
；
如果 是正实数，那么 ；
设 、 是非负实数，则 ；
．
48. 设 ， ， ，求证：
．
3
49. 设 ， ， ，求证：
．
50. 若正数 、 、 满足 ，求证：
．
51. 已知正数 、 、 满足 ，求证： ．
52. 已知正数 、 满足 ，求证：
．
53. 已知正数 、 满足 ，求证：
．
54. 若 ，求 的最小值．
55. 若 ，求 的最小值．
56. 若 ，求 的最小值．
57. 若 ，求 的最大值．
58. 若 ，求 的最大值．
59. 求代数式 的最大值．
60. 设正实数 、 、 满足 ，求 的最小值．
61. 设 ，求 的最小值．
62. 设 ， ， ．
求证： ．
63. 已知 、 、 是实数，且 ， ．
求证： ， ， ．
64. 已知实数 、 、 满足： ，且 ， ．
求证： ．
65. 若实数 、 满足 ，求 的取值范围．
66. 已知实数 ， 满足 ，且 ，求 的取值范围．
4
67. 设正数 、 满足 ．
求证： ．
68. 设 ( 、 、 都是实数)，已知 ， ， ，求证：
当 时， ．
69. 证明：对任意三角形，一定存在它的两条边，它们的长 、 满足 ．
70. 若正实数 、 、 可以是一个三角形的三边长，则称 是三角形数．若 和
均为三角形数，且 ．求 的取值范围．
71. 某宾馆底楼客房比二楼客房少 间．某旅游团有 人，若全安排住在底楼，每间住 人，房间不够；
每间住 人，有房间没有住满 人．又若全安排住二楼，每间住 人，房间不够；每间住 人，有房间
没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？
72. 一列客车始终作匀速运动，它通过长为 米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用 秒；它
穿过长 米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为 秒．从客车的对面开来一列长度为 米，速
度为每秒 米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用 秒．
（ 1 ）写出用 、 表示 的函数解析式．
（ 2 ）若货车的速度不低于每秒 米，且不到每秒 米，其长度为 米，求两车交错所用时间的取
值范围．
73. 个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘 人(不包括司机)．其中一辆小
汽车在距离火车站 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有 分钟．这时唯一可利用的
交
通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘 人，且这辆车的平均速度是 ，人步
行的平均速度是 ．试设计两种方案，通过计算说明这 个人能够在停止检票前赶到火车站．
74. 某出租车的收费标准是： 千米之内起步费是 元，以后每增加 千米增收 元(不足 千米也算
一个 千米)．现从 地到 地共支出 元(不计等候时间所需费用)．如果从 地到 地是先步行
米，然后再乘车也是 元(同样不计等候时间所需费用)，求从 的中点 到 地需多少车费．
75. 从 站到 站 千米，每 千米设一路标(如图)，从早 开始，货车每隔 分钟从 站发出一辆开
往 站，车速为每小时 千米；早上 由 站发出一辆小轿车驶向 站，车速为每小时 千米．
已知小轿车在某两相邻路标之间(不包括路标处)追过三辆货车，问：此时小轿车已经追过多少辆货车
(与小轿车同时出发的那辆货车不计算在内)？
5
76. 正五边形广场 的周长为 米，甲、乙两人分别从 、 两点同时出发绕广场沿
的方向行走，甲的速度为 米／分，乙的速度为 米／分，那
么，出发后经过多少分钟，甲、乙第一次开始行走在同一条边上？
77. 如图，甲、乙两人在周长为 的正方形水池相邻的两顶点上同时同向出发绕池边行走，乙在甲
后，甲每分钟走 ，乙每分钟走 ，求
（ 1 ）甲、乙两人自出发后经几分钟才能初次在同一边上行走(不含甲、乙两人在正方形相邻顶点时
的情形)．
（ 2 ）第一次相遇之前，两人在正方形同一边上行走了多少分钟？
78. 某人将一本书的页码按 ， ， ， 的顺序相加，其中有一个页码被多加了一次，结果得到
一个错误的总和为 ，则被多加的页码是多少？
79. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调 袋到乙库，则乙库存粮是甲库的 倍；如
果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的 倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
80. 一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排列成一列，分别编号为 ， ，
， 老板接到将一张文件撕碎的任务，他把这份文件撕成 块后交给第 号雇员．每当第 号雇员接
到前手传来的一叠纸时，都从中取 块，把每块再分成 块，然后再传给第 号雇员．若第 号雇
员接到前手传来的总块数少于 块，但传给下一位的总块数超过 块，请问 是多少？
81. 把若干个苹果分给若干个孩子，如果每人分 个，则余 个；每人分 个，则最后一人分得的苹果数
不足 个，问共有多少个孩子？多少个苹果？
82.
6
在黑板上从 开始，写出一组连续的正整数，然后擦去其中一个数，剩下来的数的平均数是 ，
问擦去的数是什么数？
83. 某工厂每天用于生产玩具小狗和小猫的全部劳动力为 个工时，原料为 个单位．生产一个小狗要
用 个工时和 个单位的原料；生产一个小猫要用 个工时和 个单位的原料．问每天生产玩具小狗和
小猫的总数最多是多少？
84. 某种商品的原价为 元，现有四种调价方案：
先涨价 ，再降价 ；
先涨价 ，再降价 ；
先涨价 ，再降价 ；
先涨价 ，再降价 ．
其中 ．求调价后售价最高的方案，
85. 某人乘船由甲地顺流到乙地，再从乙地逆流回到甲地，如果水流速度和船速保持不变，请你思考，
在静水时用的时间多，还是在有流速时用的时间多？
86. 一队公共汽车正在行驶，甲、乙两个检查员招呼这列车队停下来．甲专门统计超载汽车在这车队中
的百分数，乙专门统计超载乘客在总乘客中的百分数，他们谁的百分数大些(规定超过 名乘客就算
超载)？
7
第6章 函数
1. 已知 ，求 ．
2. 若函数 ， ，求 ．
3. 已知函数 ，其中 、 为常数．若 ，求 ．
4. 函数 的定义域是全体实数，并且对任意实数 、 ，有 ．若 ，求
．
5. 若对任意实数 ， 总有意义，求实数 的取值范围．
6. 若 的定义域为一切实数，求 的取值范围．
7. 反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的图像只能是（
）．
A. y B. y
O x O x
C. y D. y
O x x
8. 函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．
9. 直线 过点 、 ，直线 过点 ，且把 分成两部分，其中靠
近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并画出图像．
1
10. 已知矩形的长大于宽的 倍，周长为 ．从它的顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯
形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于 ．设梯形的面积为 ，梯形中较短的底的长为 ，
试写出梯形面积 关于 的函数关系式．
11. 已知二次函数 ，且方程 与 有相同的非零实根．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若 ，解方程 ．
12. 如果函数 对任意实数 ，都有 ，求 ， ， 之间的
大小关系．
13. 如图所示， 、 分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用 (费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明
时间 的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是 ，照明效果一样．
（ 1 ）根据图像分别求出 、 的函数关系式．
（ 2 ）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（ 3 ）小亮房间计划照明 ，他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？
14. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化
的，讲课开始时，学生的兴趣渐增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分
赛．学生注意力指标数 随时间 (分钟)变化的函数图像如图所示( 越大表示学生注意力越集中)．当
时，图像是抛物线的一部分，当 和 时，图像是线段．
2
15. 是一次函数，
（ 1 ）若 ，求函数 的表达式．
（ 2 ）若 ，且 ，求函数 的表达式．
16. 求证：一次函数 的图像对一切有意义的 恒过一定点，并求这个定点．
17. 已知 、 、 为常数． ，并且 ，求 ．
18. 某人骑车沿直线旅行，先前进了 千米，休息了一段时间，又原路返回 千米 ，再前进 千
米．则此人．离起点的距离 与时间 的人关系示意图是(　　)
A. A B. B C. C D. D
19. 已知一次函数 的 随 的值增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的
面积不超过 ．反比例函数 的图像在二、四、象限．求满足上述条件的 的整数值．
3
20. 已知函数 ，当自变量 的取值范围为 时， 既能取到大于 的值，
又能取到小于 的值，求实数 的取值范围．
21. 如图，设 ，其中 ，记 在 的最小值为 ，求
及其最大值，并作 的图像．
22. 设有两直线 ， 相交于点 ，它们与 轴的交点为 、 ．求 中
边上的中线的方程．
23. 已知函数 ．
24. 一个一次函数的图像与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为 、 ，并且过点
，则在线段 上(包括端点 、 )，横、纵坐标都是整数的点有(　　)
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
25. 如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 的坐标为 ，直线 恰好将矩形
分成面积相等的两部分，求 的值．
26. 设有直线 过点 ，且在第一象限与两坐标轴围城的三角形的面积为最小(如图)．求此直线 的
方程．
4
27. 在直角坐标系 中， 轴上的动点 到定点 ， 的距离分别为 何 ，那
么当 取最小值时，求点 的横坐标．
28. 设抛物线 ，把它向右平移 个单位，或向下平移 个单位，都能使得抛物线与直线
恰好有一个交点，求 、 的值．
29. 把抛物线 向左平移 个单位，向上平移 个单位，则得到的抛物线经过点 与 ，求
， 的值．
30. 把抛物线 向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图像是经过点
的抛物线 ，求原二次函数的解析式．
31. 已知抛物线 的一段图像如图所示．
5
（ 1 ）确定 、 、 的符号．
（ 2 ）求 的取值范围．
32. 一条抛物线 的顶点为 ，且与 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则 、
、 中为整数的（ ）．
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有 和
33. 已知二次函数 (其中 是正整数)的图像经过点 与点 ，并且与 轴有
两个不同的交点，求 的最大值．
34. 的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边 平行于 轴．若斜边上的高为
，则(　　)
A. B. C. D.
35. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，若 、 两点
到原点的距离分别为 、 ，且满足 ，求 的值．
36. 不论 取任何实数，抛物线
的顶点都在一条直线上．求这条直线的函数解析式．
37. 设 、 为常数，并且 ，抛物线 的图像为图中的四个图像之一．求
．
38. 已知抛物线 (其中 )不经过第二象限．
39.
6
设二次函数 满足条件： ， ，且其图像在 轴上所截得的线
段长为 ，求这个二次函数的表达式．
40. 设二次函数 ，当 时，取得最大值 ，并且它的图像在 轴上截得的线段
长为 ，求 、 、 的值．
41. 如图，点 、 在函数 的图像上，点 、 都在 轴上，使得 、 都是
等边三角形，求点 的坐标．
42. 已知点 、 的坐标分别为 、 ，若二次函数 的图像与线段
恰有一个交点，求 的取值范围．
43. 已知关于正整数 的二次式 ( 为实常数)．若当且仅当 时， 有最小值，求实数
的取值范围．
44. 已知 ， 的图像与 轴有两个不同的交点 、 ，且
，求 的值．
45. 已知二次函数 ，求所有的 值，使得此二次函数图像与 轴的两个交点不
可能都落在 轴的正半轴上．
46. 设有二次函数 与 轴交于两点 、 ，现有直线 过其中一交点且与抛
物线交于另一点 ，又若 ，求抛物线的方程．
47. 已知二次函数 ，求证：对任意 ， 的实数，这
些二次函数的图像恒过定点 、 ，并求出 ， 的坐标．
48. 设 、 是抛物线 上的点，原点位于线段 的中点处．试求 、 两点的坐标．
49. 已知二次函数 ．
（ 1 ）随着 的变化，该二次函数图象的顶点 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的
函数表达式；如果不是，请说明理由．
7
（ 2 ）如果直线 经过二次函数 图象的顶点 ，求此时 的
值．
50. 设有整系数二次函数 ，其图象开口方向朝上，且与 轴有两个交点，分别在
、 内，且 的判别式等于 ，试求 、 、 的值．
51. 求所有的整系数二次函数 ，使得 ， ．
52. 已知二次函数 的图象恒不在 轴下方，且 恒成立，求实数
的取值范围．
53. 已知方程 有两个实数根 、 ，并且 ， ．证明：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
54. 设函数， ，这里以是正整数，则在 的值域中有多少个整
数？
55. 设 、 为正整数，且 ，如果对一切实数 ，二次函数 的图象与
轴的两个交点间的距离不小于 ，求 、 的值．
56. 设 、 为正整数，且 ，二次函数 的图象与 轴的两个交点间的
距离为 ，二次函数 的图象与 轴的两个交点间的距离为 ．如果
对一切实数 恒成立，求 、 的值．
57. 已知函数 有最大值 ，求实数 的值．
58. 设 、 是实常数，当 取任意实数时，函数 的图
象与 轴都交于点 ．
（ 1 ）求 、 的值．
（ 2 ）若函数图象与 轴的另一交点为 ，当 变化时，求 的最大值．
59. 若抛物线 与连结两点 、 的线段(包括 、 两点)有两个相异的交
点，求 的取值范围．
60. 当 取遍 到 的所有实教时，求满足 的整数 的个数．
61. 设 ， ，且 、 都是整数．已知当 时， ．当 时，
．
（ 1 ）求证： (这表示 不能被 整除)，且 是负整数．
（ 2 ）在 取整数 所得的所有函数值 中，使 取最小值的 是多少？
8
62. 在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点．试在二次函数 的图象
上找出满足 的所有整点 ，并说明理由．
63. 坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点 称为整点，如果将二次函数
与 轴所围成的封闭图形涂成红色，求在此红色区域内部及其边界上的整点的个数．
64. 已知点 、 的坐标分别为 、 ，点 是抛物线 上一个动点．
65. 已知抛物线 和抛物线 相交于 、 两点， 是在抛物
线 上且位于 和 之间的一点， 是在抛物线 上且位于 和 之间的一点．
（ 1 ）求线段 的长．
（ 2 ）当 轴时，求 长度的最大值．
66. 求使得不等式 ，当 时恒成立的实数对 ．
67. 设 是正整数．如果二次函数 和反比例函数 的图象
有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求 的值和对应的公共整点．
68. 证明：若二次函数 的值当 ， ， 时均是整数，则对任何整数
， 的值也是整数；
69. 若对任何整数 ， 的值是整数， 、 、 是否必是整数？
70. 给定二次三项式 ．已知方程 有四个不同实根，且其中两个根的和
等于 ．证明： ．
71. 作函数 的图象．
9
72. 把一抛物线在 轴上方的部分，改成它关于 轴对称的图形，得到图中实线表示的曲线，则该曲线是
下列函数(　　)的图象．
A. B.
C. D.
73. 作函数 的图象．
74. 求下列函数的最小值 ：
；
；
．
75. 点 满足方程 ，求它的图象所围成区域的面积．
76. 是什么实数时，方程 有四个互不相等的实数根？
77. 如果满足 的实数 恰有6个，求实数 的值．
78. 已知 ，试确定关于 的方程 的解的个数．
79. 若函数 与 的图象围成一个平面区域，求实数 的取值范围及这个区域的面
积．
80. 求使方程 恰好有两个解的所有实数 ．
81. 设 ， 、 为实数．若 在 时的最大值为 ，求 的最小值．
82. 设函数 ， 的最大值是 ，求 的解析式，并求出 的最小值．
83. 规定 表示取 、 中的较大者，例如 ， ．
求函数 的最小值，并求当 取最小值时自变量 的值．
84. 设函数 ，对任意正实数 ， ，且 ， ．求最小的实
数 ，使得 ．
10
85. 设 是大于零的常数，且 ， ， ．求 的最大值与最小值．
86. 已知 、 、 是非负实数，且满足条件 ， ．求 的
最大值和最小值．
87. 实数 、 、 、 满足 ，且 ，求 的最大
值和最小值．
88. 设 ，求二次函数 在 时的最大值和最小值．
89. 如果抛物线 与 轴的交点为 、 ，顶点为 ，求三角形 的面积的
最小值．
90. 已知 、 是方程 ( 是实数)的两个实数根，求 最大值
和最小值．
91. 已知二次函数 及实数 ，求：
（ 1 ）函数在 时的最小值．
（ 2 ）函数在 时的最小值，
92. 已知 ， ， 的最小值为 ，求 表示 的代数式．
93. 设 为非零实数，求函数 的最大值与最小值．
94. 已知 ， ， 是正整数，且二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ， ．若点
， 到原点的距离都小于 ，求 的最小值．
95. 已知函数 ， 其中自变量 为正整数， 也是正整数，求 为何值
时，函数值最小．
96. 设 ，当 时，二次函数 有最大值 ；二次函数 的最小值为 ，且 ；
．求 的解析式和 的值．
97. 已知二次函数 同时满足：
；
当 时， ；
当 时， 有最大值 ．
求常数 、 、 的值．
98. 设函数 在 的范围内的最小值为 ，最大值为 ，求实数对 ．
99. 已知 ， ， ，且 ，求 的最小值．
11
100. 求函数 的最值．
101. 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，求 、 的值．
102. 已知函数 的最小值是 ，最大值是 ，求实数 、 的值．
103. 求函数 的最大值和最小值．
104. 实数 、 、 满足 ，求 的最小值．
105. 求函数 在 上的最小值、最大值．
106. 求函数 的最小值和最大值．
107. 求函数 的最大值．
108. 求函数 的最小值．
109. 求函数 的最小值和最大值．
110. 已知实数 、 满足 ，求 的最小值和最大值．
111. 设 是正实数，求函数 的最小值．
112. 设 、 是实数，求 的最小值．
113. 对实数 、 ，求代数式 的最小值．
114. 若 是实数，求 的最大值．
115. 已知实数 、 满足等式 ．求 的最大值和最小值．
116. 求函数 的最大值和最小值．
117. 若 ，求 的最小值．
118. 已知 ，求 的最大值和最小值．
119. 已知边长为 的正方形截去一个角后成为五边形 (如图)，其中 ， ．试在
上求一点 ，使矩形 有最大面积．
12
120. 实数 、 、 使得对于所有满足 的实数 ，都有 ，求 的
最大值．
121. 某环形道路上顺时针排列有 所中学 、 、 、 ，它们顺次有彩电 台、 台、 台、
台，为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，问怎样调配才能使调出的彩电总
台数最小？并求出调出彩电的最小总台数．
122. 某人租用一辆汽车由 城前往 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间
(单位： )如图所示．若汽车行驶的平均速度为 ，而汽车每行驶 需要的平均费用为
元，试指出此人从 城出发到 城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元？
123. 市、 市和 市分别有某种机器 台、 台和 台．现在决定把这些机器支援给 市 台， 市
台．已知：从 市调运一台机器到 市、 市的运费分别为 元和 元；从 市调运一台机器到
市、 市的运费分别为 元和 元；从 市调运一台机器到 市、 市的运费分别为 元和
元．
124. 设 ， ， ， 是整数，并且满足：
， ， ， ， ；
；
；
求 的最大值和最小值．
125. 求函数 的最大值，并求此时的 值，其中 表示不超过 的最大整数．
126. 求 的最小值．
127. 已知实数 ， ， 满足 ， ．
（ 1 ）求 ， ， 中最大者的最小值．
（ 2 ）求 的最小值．
128.
13
整数 ， ， ， ， ， 满足条件： ， ， ， ，
，求 的最小值．
129. 设 、 、 、 、 是正整数，且满足 ，求 的最大
值．
130. 实数 、 使得关于 、 的方程组 ①有实数解 ．
②
131. 当 是无理数时设函数 定义为 当 ，求 在区间
上的最大值．
132. 关于 、 、 的方程组 有实数解 ，求正实数 的最小值．
133. 设 、 、 是正整数，关于 的一元二次方程 的两实数根的绝对值均小于 ，求
的最小值．
134. 求满足下述条件的最小正实数 ：对任意不小于 的 个互不相同的实数 、 、 、 ，都存在 、
、 、 的一个排列 、 、 、 ，使得方程 有 个互不相同的实数
根．
135. 设 、 、 、 、 是非负实数，使得 ， 是 ，
， 和 中的最大值，求 的最小值．
136. 已知 、 、 、 是正数，满足 ．用 表示 ， ， ，
中的最大者，求 的最小值．
137. 一幢 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳 人，而且只能在第 层至第 层中
的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 分不满意，往上走一层楼梯感到 分不
满意．现在有 个人在第一层，并且他们分别住在第 至第 层的每一层．问：电梯停在哪一层，可
以使得这 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)
14
第7章 三角函数
1. 比较各组三角函数值的大小：
与 ．
2. 比较各组三角函数值的大小：
与 ．
3. 比较各组三角函数值的大小：
， ， 和 ．
4. 化简求值：
．
5. 化简求值：
．
6. 化简求值：
．
7. 化简求值：
．
8. 化简求值：
若 求 的值．
9. 试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．
10. 下列四个数中哪个最大(　　)
A. B. C. D.
11. 设 为锐角，且满足 ，求 ．
12. 在 中， ， ， ．证明： 是锐角，并计算 的值．
13. 已知 ，求 的值．
14. 已知 为实数，且 、 是关于 的方程 的两根．求 的值．
15. 设 、 是一个直角三角形的两个锐角，满足 ．求 及 的值．
1
16. 若存在实数 和 ，使得 ，求实数 的所有可能值．
17. 已知关于 的一元二次方程 的两个根是一个直角三角形的两个
锐角的正弦，求实数 的值．
18. 已知方程 的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求 ．
19. 若直角三角形中的两个锐角 、 的正弦是方程 的两个根．
（ 1 ）那么，实数 、 应满足哪些条件？
（ 2 ）如果 、 满足这些条件，方程 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角 、
的正弦？
20. 已知方程 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求 的
值．
21. 不查表，求 的四种三角函数值．
22. 求 角的正切值(不查表，不借助计算器)．
23. 求 的值．
24. 已知直角三角形 中， ， ，求证： ．
25. 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 ，求
．
26. 若 为三角形的最小内角，试求关于 的方程
的所有实根．
27. 已知函数 对于任意实数 都有 ，且 是三角形的一个内角，求
的取值范围．
28. 已知 、 是钝角，求证：
（ 1 ）关于 的方程 　　　　①有两个不相等的实根．
（ 2 ）若 是方程①的根，则 也是方程①的根．
29. 已知 ，对于任意实数 ，都有 ，且是三角形的一个内角，求
的取值范围．
30. 若 、 为实数， ， 为锐角，求证： 的绝对值不大于 ．
31. 已知 ，求证： ； ； ．
2
32. 已知 ，求证： ．
33. 证明：对于任何实数 、 ，有 ．
34. 若 ， ，试证明 不能介于 及 之间．
35. 设 ，且 ， ，求证： ．
36. 如图，在直角三角形 中， ， 是 的平分线，且 ， ，求
的三边长．
37. 在 中(如图)， 、 是斜边 的三等分点，已知 ，
．试求 的长．
38. 如图， 中， ， ， ， 是 的平分线，求点 到直线
的距离 ．
3
39. 已知 是非等腰直角三角形， ，在 所在直线上取两点 、 使
，连结 、 ．已知 ．求 的值．
40. 设有一张矩形纸片 (如图)， ， ．现将纸片折叠，使 点与 点重合，试求折
痕 的长．
41. 已知三角形两边之和是 ，这两边夹角为 ，面积为 ，求证：此三角形为等腰三角形．
42. 在 中， ，其周长为 ，且已知斜边上的中线长为 ．如果 ，求
的值．
43. 已知 、 、 分别是 中 、 ， 的对边，且 、 是关于 的一元二次方程
的两个根．
（ 1 ）判断 的形状．
（ 2 ）若 求 、 、 ．
44. 在 中， ， ，且两直角边长满足条件 ．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）当 取最小值时，求 中最小内角的正切值．
45.
4
如图所示． ， ， ，
且 ．求 的值．
46. 如图所示．在锐角 中， ， ，且 ．求 ．
47. 如图所示．在 中， ， ， ， ．求 及 ．
48. 如图，已知 中， ， 是 的中点， ， ．求 的长．
49. 如图， 中， ， 于 ， 于 ， 于 ．
求证： ．
5
50. 如图，在 中， ， ， 是 边的中点， 垂直于 且交 于 ．
求证： ．
51. 在等腰直角三角形 中， ， ，点 为腰 上任意一点， ，点 在底
边 上，且 ，求证： ．
52. 如图，在直角三角形 中， ， ， ， 是 上一动点， 在 上，
从点 开始向 运动且保持 ，试写出 与点 运动时到点 距离 的关系式．
53. 如图 ，正方形 的边长 ， 、 分别是 、 的中点， 分别交 、 于点
、 ，求 的面积．
6
54. 已知 、 、 是 三边的长，其中 ，且方程 两根的差的绝对值
等于 ．求 中最大角的度数．
55. 在 中， ，则 ；反过来，如果在 中， ，则
是直角三角形．
56. 如图， 是圆的直径，弦 ， 与 相交于 ，已知 ，试求
．
57. 如图，延长锐角 的高 、 、 分别交外接圆于 、 、 ．设垂心为外接圆半径为
．求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
7
58. 如图所示，已知电线杆 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 和地面 上．如果
与地面成 ， ， ， ，求电线杆 的长(精确到
)．
59. 如图，某岛 周围 海里内存在着大量的暗礁．现在一轮船自西向东以每小时 海里的速度航行，
在、 处测得 在北偏东 ， 小时后在 处测得 在正东北方向，试问轮船是否需要改变航行方向
行驶，才能避免触礁危险，说明理由．
60. 如图，某污水处理站计划砌一段截面为等腰梯形的排污渠，如果渠深为 ，截面积为 ，试求当倾角
为多少时造价最小？
8
第8章 线段与角
1. 在线段 上有 、 两点， ， ， ，求 的长．
2. 如图，已知 ， ， 的长是 厘米，求 之长．
3. 如图， 、 、 依次是线段 上的三点，已知 厘米， 厘米，则图中以 、 、
、 、 这 个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？
4. 将长为 厘米的一条线段用任意方式分成 小段，以这 小段为边可以围成一个五边形．问其中最长
的一段的取值范围．
5. 若一个角的余角与这个角的补角之比是 ，求这个角的邻补角．
6. 如图， 是钝角， 、 、 是三条射线，若 ， 平分 ， 平分
．求 的度数．
7. 中， 是最小角， 是最大角，且 ，若 的最大值是 ，最小值是 ，求
的值．
8. 在平面上，一个凸 边形的内角和小于 ，求 的最大值，
9. 如图所示，求 ．
1
10. 如图所示， ，则 ．
11. 如图所示．平面上六个点 、 、 、 、 、 构成一个封闭折线图形．求
的度数．
12. 如图，在 中， 为 的中点， 为 上任一点． 、 分别为 、 的中点， 为
的中点，直线 与 相交于 ，则 ．
2
13. 如图，求图中 的大小．
14. 如图， 平分 ， 平分 ， 与 相交于 ，若 ，
，求 的度数．
15. 在 中， ， 、 、 分别在 、 、 上，且 ．求证：
．
3
16. 如图， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数(用
、 表示)．
17. 如图，求 的大小，
此处 即 ，余类推，
18. 若时钟由 点 分走到 点 分，问：时针和分针各转过多大的角度？
19. 时钟里，时针从 点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分针与时针第一次重合？
4
20. 在 点与 点之间，时针与分针在何时
（ 1 ）成 ．
（ 2 ）成 ．
21. 如图所示，在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，且
，求 的大小．
22. 如图 ，在四边形 中， ， ， ，求
的度数．
23. 以 的边 为直径作圆，与边 交于 ，与 交于 ( 、 不与 、 重合)，
， 中有一内角是另一个的 倍，求 的 个内角．
5
24. 中， ， ，点 为 内一点， ，求
．
25. 将一个等腰三角形 划分成两个较小的等腰三角形，问这样的 有几种形状？并将所有形
状都列出来．
26. 设 内有一点 ， ， ，又 ， ，求
．
6
27. 已知 中， ， ， 在 内，且 ，求 的大小．
28. 已知 中， ， ，求证： 为 外接圆半径．
29. 已知 中， ， ，延长 至点 ，使 ，求 ．
30. 已知等腰 ，底角 ，点 、 分别在 、 上， 、 交于点
， ， ，连结 ，求 ．
31. 中， ， ，点 为 内一点， ，求
．
32. 设点 为 内一点， ， ， ， ，求
证： 是等腰三角形．
33. 已知 中， ， 在 上， ， 在 上， ，求
的大小．
34. 中． 是角平分线， 为边 上的高，若 ，求 ．
35. 中， ， ，点 为 内一点， ， ，求
．
7
36. 如图，凸四边形 中， 、 交于点 ， ， ，
， ，求 ．
37. 设 中， ， ， 是三角形内一点， ， ，求
．
38. 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的点，
， ，点 是直线 和 的交点，证明：直线 和 垂直．
39. 已知 中， ， ，延长 至点 ，设点 是 的中点，求证：当
时有 ．
40. 如图 ，在凸四边形 中， ， ， ．设线段 、
的垂直平分线的交点为 ，求 的度数．
8
41. 中， ， ，点 为 内一点， ， ，求
．
42. 已知点 是 内一点， 延长后交 于点 ， ， ，
， ，求 ．
43. 中， ， ，点 为 内一点， ，求
．
9
第9章 三角形
1. 已知等腰直角三角形 ， 是斜边． 的角平分线交 于 ，过 作 与 垂直且交 延长
线于 ，求证： ．
2. 在 中，已知 ， 、 、 分别为 、 、 的中点， 、 为 形外两点，使
， ， ， ，若 ，求 的长．
3. 在梯形 的底边 上有一点 ，若 、 、 的周长相等，求 ．
4. 内， ， ， ， 分别在边 ， 上，并且 ， 分别是 、
的角平分线．求证： ．
5. 设等腰直角三角形 中， 是腰 的中点， 在斜边 上，并且 ．求证：
．
6. 设 、 都是等腰直角三角形， 、 是各自的斜边， 是 的中点，求证： 也是
等腰直角三角形．
7. 已知 ， ， 、 在 上( 靠近 )，求证： 的充要条件是
．
8. 两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成 块，每一块通过平移、旋转后拼成
另一个三角形．
9.
1
已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝
色、黄色和绿色，使得同色三角形全等．
10. 已知 与 中， ， ， ， 与 是否一定全
等？
11. 如图所示，已知 、 均为正三角形， 、 、 分别为 、 和 的中点，求证：
为正三角形．
12. 中， ， ． ， ， 是 中点， 、 分别在 、 上(可落在端
点)，满足 ，求 的最小值(用 、 、 表示)．
13. 已知 为 内一点， ，由 作 、 的垂线，垂足分别是 、 ．设 为 中
点，求证： ．
14. 在 中，已知 ， 、 分别是边 、 上的点，且 ， ，
，求 的度数．
15.
2
在 中， 、 为锐角， 、 、 分别为边 、 、 上的点，满足 ，
，且 ．求证： ．
16. 如图， 为边长是 的等边三角形， 为顶角 是 的等腰三角形，以 为顶点作一
个 角，角的两边分别交 、 于 、 ，连结 ，形成一个 ．求 的周长．
17. 为等腰直角三角形， ，点 、 分别为边 和 的中点，点 在射线 上，且
，点 在射线 上，且 ，求证： ．
18. 已知平行四边形 ，延长 至 ，使 ，连结 与 交于 ， 为 的外心，则
、 、 、 共圆．
19. 已知 和 ， ，且 ， 和 分别是 、 的中点， ，问
两个三角形是否必定全等？
3
20. 如果两个三角形满足“ ”，它们不一定全等，此时称它们是相近的，现在有一三角形 ，作 与
之“相近”，……一般有 与 相近，问是否存在一个 ，使 与 相做且不全等？
21. 是否存在两个全等的三角形 与 ， 可划分为两个三角形 与 ， 可划分成两个三角形 与
，使 和 全等， 与 却不全等？
22. 已知 中， ， 是 内心， 的垂直平分线分别交 、 于 、 ， 、 在
上， ，求证： ．
23. 已知锐角三角形 ， ， ， 的垂心和外心分别为 和 ， 分别与
、 交于 、 ，证明： 的周长为 ， ．
24. 在直角三角形 中， 是斜边， ， 是 中点， 是 上一点， ，求 ．
25. 已知 中， ， ， ， 为 在 平分线上的射影， 为 中点，求 ．
26. 等腰三角形 中， ， 为直线 上一点，则 ( 在 上)，
( 在 外)．
27. 已知锐角三角形 中， 、 是高， 为垂心， ， 是 的中点，求证：
．
4
28. 已知斜边为 的直角三角形 中， 在 上的投影为 ．若以 、 、 为三边可以构成一
个直角三角形，求 的所有可能值．
29. 已知 中， 为高， 在 上，以下哪些条件能判定 ：
：
；
．
30. 已知 是等腰直角三角形 的斜边 上任意一点，求 ．
31. 在 中， ， ， ， 是 内一点，过点 向 的三边 、 、
分别垂线 、 、 ，垂足分别为 、 、 ，且 ，则 ．
32. 已知 中， ， 是 的中垂线， ， ，求 ．
5
33. 正三角形 内有一点 ， 关于 、 的对称点分别为 、 ，作平行四边形 ，求证：
．
34. 与 相切于点 ， 与 相交于 、 ，若 ， ， ，求 ．
35. 已知大小相等的等边 与等边 有三组边分别平行，一个指向上方，一个指向下方，相交
部分是一个六边形，则这个六边形的主对角线共点．
6
36. 求证：过正三角形 的中心 任作一条直线，则 、 、 三点至的距离平方和为常数．
37. 已知： 是 内一点， 、 、 延长后分别交对边于 、 、 ，若
，则 是 的垂心，
38. 求证：到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．
39. 已知， 是锐角 的垂心， 是 中点，过 作 的垂线，交 、 于 、 ，求证： 是
中点．
40. 的边 、 、 上分别有点 、 、 ，且 ，求证： 的重心与
的重心是同一点．
7
41. 已知 ， ， 是 重心， ，求证： 是正三角形．
42. 已知 是 上一点， 、 、 都是正三角形， 、 在 同侧， 在另一侧，求证：
以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形，且它的中心在 上．又问此题如何推广？
43. 内有一点 ，连结 、 、 并延长，分别与对边相交，把 分成六个小三角形，若
这六个小三角形中有三个面积相等，则点 是否必为 之重心？
44. 设有一个三角形三角之比为 ，作两较大角的平分线，分别交对边于 、 ．求证：这个三角
形的重心在 上．
45. 不等边锐角 中， 、 分别是其垂心和重心，求证：若 ，
．
46. 已知凸四边形 中， ， ， 是否一定为 之外心？
8
47. 已知锐角 的外接圆与内切圆的半径分别为 、 ， 是外心， 至三边距离之和为 ，试用 、
表示 ．
48. 已知 ， 、 分别在 、 上， 、 交于 ， ，求证： 、 、
、 的外心四点共圆．
49. 已知： 中， ， 是 中点， 为 重心， 为 外心，求证： ．
50. 设 和 分别是 的内心和外心，求证： 的充分必要条件是 ．
51. 设 是 的外接圆， 是三角形重心，延长 、 、 ，分别交 于 、 、 ，则
．
52. 在 内， 平分 ， ，求证： 是 内心．
53. 已知： 中， ， 是内心， 与 垂直于 ，求 的值．
9
54. 设 中， 最长，在其上分别找两点 、 ，使 ， ，又设 为 内心，
求 (用 、 、 及其组合表示)．
55. 的边 上有一点 ， 与 的内心与 、 四点共圆，求证： ．
56. 已知 中， ， 、 分别为其外心与内心， 在 上， ，求证： ．
57. 设 为 的重心，已知 ， 且 ，求 的面积．
58. 已知 ， 为异于 的任一点，求证：
．
10
第10章 四边形
1. 如图 ，在四边形 中， 、 是对角线，已知 是等边三角形， ，
， ，求边 的长．
2. 在平行四边形 中， ， 为 中点， 交 (或延长线)于 ．求证：
．
3. 、 、 是 的三条中线， ， ，四边形 是平行四边形．
4. 延长矩形 的边 到 ，使 ， 是 的中点，求证： ．
5. 菱形 中， ， ，求菱形的面积．
6. 在梯形 中， ，中位线 分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，若延长
、 的交点正好位于 上，求 ．
7. 四边形 中， ， ， ， ， ，求
．
8. 已知 中， ， 是 上一点， 关于 ， 的对称点分别为 ， ，若
，求证： ．
9. 将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成
四边形，则必为一个梯形．
1
10. 已知：直角梯形 ， ， ， ， 是 上一点， ，
，求 ．
11. 在四边形 中， ， ， ， ，求 、 和 的
长．
12. 在正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，且 ．求证：
．
13. 正方形边长等于 ，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取
值范围．
2
14. 正方形 的对角线交于 ， 的平分线交 于 ，交 于 ，求证： ．
15. 设 、 分别为正方形 的边 、 的中点，且 与 交于 ，求证： ．
16. 已知两个正方形 、 (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和
、 的中点组成一个正方形．
17. 是正方形 内一点，若 ， ，求 ．
18. 是正方形 的两对角线的交点， 是 上异于 的任一点， 于 ， 于
， 是 的延长线和 的交点，求 ．
19. 已知 ，向外作正方形 和 ．直线 垂直 于 ，反向延长交 于 ，求
证： 是 的中点．
3
20. 已知：正方形 中， 、 分别在 、 上， 于 ．若 ，求证：
．反之，若 ，则 ．
21. 在梯形 中， ， ， ， 在边 上，
，若 ，求 的长．
22. 在正方形 的边 上任取一点 ，过 作 于 ，且延长交 于 ，设正方形对角
线的交点为 ，连结 、 ，求证： ．
23. 四边形 是正方形，四边形 是菱形， 、 、 在一直线上．求证： 、 三等分
．
4
第11章 比例与相似
1. 在 中，角平分线 与 交于 ， ， ， ，求 、 之长度(用
、 、 表示)．
2. 已知：等腰梯形 中， 、 分别是腰 、 的中点， ， 且交于 ，
求证： ．
3. 在 中， ， 的平分线交 于 ，过 分别作 、 的平行线交 、 于
、 ， 和 的延长线交于 ，求证： ．
4. 设 为 的边 的中点，过 作一直线，交 、 或其延长线于 、 ，又过 作
，交 的延长线于 ，则 ．
5. 已知 是平行四边形 内的任意一点，过点 作 ，分别交 、 于 、 ，又过
作 ，分别交 、 于 、 ；连结 ，交 于 ；连结 ，交 于 ．如果
，求证：平行四边形 是菱形．
6. 中， ． 是 的角平分线． 是 的中点，过 作直线平行于 交
、 或延长线于 和 ．求证： ．
7. 凸四边形 中， ， ， 平行于 交 延长线于点 ， 平行于
交 延长线于点 ，连结 、 ，证明： ．
1
8. 如图，在 中． ， 、 为 的三等分角线，交 的平分线 于 、 ，连
结 并延长交 于 ，求证： ．
9. 梯形 中， ， 和 交于 ，过 作 ，交 、 于
、 ， 和 交于 ，过 作 ，交 、 于 、 ．求证：
．
2
10. 设 、 、 分别是 的三边的长，且 ，求它的内角 、 的关系．
11. 设凸四边形 ，对角线交于 ，过 作直线与 平行，交 、 及 延长线于 、 、
．若 ， ，求 ．
12. 为等腰三角形 底边 上的高， 为 的平分线，作 于 ，又作
与直线 交于 ，求证： ．
13.
3
足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之
间的关系．跳起来呢？
14. 求日高公式．
15. 设梯形 ， 、 分别在 、 上，且 ，若 ， ，
， ，梯形 和梯形 的周长相等，求 ．
16. 如图，已知 中， 、 交于 ， 、 交于 ，过 作 ，交 于 ，交
于 ，求证： ．
17. 四边形 为正方形， 、 在 延长线上， ， ， 、 分别是 、
与 的交点．求证： 为等腰三角形．
4
18. 在 中， ， ， ， 是 内一点， 、 、 分别在 、 、
上，且 ， ， ．若 ，求 ．
19. 内有一点 ， 的延长线交边 于点 ， 的延长线交边 于点 ， 的延长线交
边 于点 ．若 ，求 的值(用 表示)．
20. 已知 的三边长分别为 、 、 ，三角形中有一点 ，过 作三边的平行线，长度均为 ，试用
、 、 来表示 ．
21. 已知 、 、 分别是锐角三角形 的三边 、 、 上的点，且 、 、 相交于点
， ．设 ， ， ， ，求 的大
小．
22. 如图，正方形 边长为 ， 为 延长线上一点， 与 、 分别交于点 、 ，
(点 是 与 交点)与 交于点 ，若 ，求 的长．
5
23. 如图，已知 ， 、 分别在 、 上，则下面任两条可推出第三条：
、 、 共点； ； ．
24. 中， 为 的平分线，在 、 上取 ， 、 分别为 、 的中点，则
．
25. 已知： 中， ， 为 上一点，且非 中点， ， 为 中
点，求证： ， 平分 ．
6
26. 已知 、 分别为矩形 的边 、 的中点， 延长线上有一点 ， 延长后与 交
于 ．求证． 平分 ．
27. 在 中， ，求证： ， 、 、 为 的对应边长．
28. 已知 ， 、 分别是 、 上任两点， 、 延长后交于 ， 、 延长后交
于 ，求证：若 ，则 、 、 共点；若 ，则 ．
7
29. 正三角形 ， 、 、 是 、 、 的中点， 、 、 分别在 、 、 上， 、
、 共线， 、 、 共线， 、 、 共线，求 ．
30. 任给锐角 ，问在 、 、 上是否各存在一点 、 、 ，使 ， ，
？
31. 已知凸四边形内有一点 ， 、 、 、 的平分线分别交 、 、 、
于 、 、 、 ，求证：四边形 为平行四边形的充要条件是 为 、 的中垂线的
交点．
32. 已知梯形 中， ， 、 分别在 、 上，求证：若 ，则 ．
又此时若 、 交于 ， 、 交于 ，问三直线 、 、 共点的条件．
33. 如图，已知 中， 、 、 交于 ， ， 延长后与 的延长线交于 ，
求证： ．
8
34. 已知 ， 、 、 是角平分线， 、 在 上，且 ，求证： 平
分 ．
35. 为 内一点， 、 在 上， 、 在 上，线段 、 交于 ．若
，则 平分 ，反之亦然．
36. 已知 ，三边分别为 、 、 ， 是角平分线．求 之长(用 、 ， 表示)
37. 在 中， 、 三等分 ，且 ， ， ，求 的长．
38. 已知平行四边形 ，点 是点 在 上的垂足，点 在 上， ， ，
点 在 上，点 是 与 的交点，又 延长后与 的延长线交于点 ，求证： ．
9
39. 已知， 是 中点， 、 在 的同侧，且 ， ，证明：
．
40. 已知 ， ，则 ， ．
41. 线段 分 为两个相似的三角形，相似系数等于 ，求 的各内角．
42. 设 中， 在 在上，且 ，求证： ．
43. 在锐角三角形 中， 是 是一点，满足 ，过 作 ， 为垂
足，证明： ．
10
44. 已知正方形 ，点 和 分别在上，且 ， 与 垂直于 ，求 的取值范
围．
45. 在 中， ，点 是 内的一点，使得 ，且
， ，求 ．
46. 如图，在直角三角形 中，斜边 的长为 ，有一个边长为 的正方形 内接于
，求 的周长．
11
47. 是正方形 的边 的中点，点 分对角线 的比为 ，证明：
．
48. 如图， ， ， ， 与 分别是 与 的高，点 与 分
别为 与 的垂心，求证： 被 平分．
49. 已知 ，向外作正方形 和正方形 ．若 ，求证： ．
12
50. 中， ， ，求 的取值范围．
51. 已知正三角形 ， 在 上， ， 在 上，求证： ．
52. 已知锐角 ， 是高， ， ， 是 中点，作 与 延长线垂直且交于
，若 在 的中垂线上，求 ．
53. 如图，直角三角形 中， ， 是角平分线， 于 ，则 ；
．
54. 能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似？
55.
13
设凸四边形 的对角线 、 的交点为 ．过点 作 的平行线分别交 、 于点
、 ，交 的延长线于点 ． 是以 为圆心， 为半径的圆上一点．求证：
．
56. 证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形相似．
57. 点 、 分别在 、 上， 与 交于 ，若 ，且 ，
，求 ．
58. 已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与
一个相应的红色部分相似(或全等)．
59. 如图 ， ， ， ， ， ，现有点 在直线 上，并且
满足条件： 与 相似，求 的长度．
14
60. 设四边形 的对角线交于点 ，点 、 分别是 、 的中点，点 、 (不重合)分别是
与 的垂心，求证： ．
61. 菱形 中， ， 在 上， 与 延长后交于 ， 延长后与 交于 ，求
．
62. 如图 ，在梯形 中， ，对角线的交点为 ， 、 分别是边 、 上的点，使
得 ， ，求证： ．
15
63. 证明拿破仑定理：以 每边为边分别向外作正三角形，则这 个正三角形的中心是另一个正三
角形的顶点．
64. 四边形 是梯形，点 是上底边 上一点， 的延长线与 延长线交于点 ．过点 作
的平行线交 的延长线于点 ， 与 交于点 ．证明： ．
65. 在 中，设 是边 的中点，点 、 分别在边 、 上， ， 交 于点
， 于点 ， 交 的延长线于 ，求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
66.
16
不等边锐角三角形 中， 是底边 上一点， 上有一点 ，延长 、 ，分别交 、
于 、 ，若 平分 ，求证： ．
67. 等边 的三条边 、 、 上分别有三条相等的线段 、 、 ．求证：直线
、 、 ，所构成的三角形上，三条线段 、 、 与包含它们的边成比
例．
68. 已知 ， ， 是 中点，直线 ． 是 上任一点， 延长后交直线
于 ， 、 分别是 、 中点，求证： 平分 ．
69. 设直角三角形 中， ， 是斜边 上的高， 、 的内心分别是 、
，延长 ，交两直角边于 、 ，证明： ，并用 、 来表示 ．
17
70. 分别以锐角三角形 的边 、 、 为斜边向外作等腰直角三角形 、 、 ．
求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
71. 已知 ，向外作正三角形 与 ， 、 分别是 、 的中点， 是 上一
点， ，求 的三个内角值．
72. 已知： ，向外作正三角形 和正三角形 ， 与 依次是它们的中心， 是 中
点，求证： ．
18
73. 已知锐角三角形 ， 、 为高， 是垂心， 、 延长后交于 ， 为 中点，求
证： ．
74. 已知 中， ， 、 在 上， 在 上， ， ， 在
上， ( 为 中点)， 交 于 ，求证： ．
75. 为 的边 上一点， 和 分别为线段 和 上的点．满足 ．再设
、 为线段 和 上的点，使得 ．求证： ．
19
76. 已知 中， 、 上各有一点 、 ，直线 与 延长线交于点 ，求证：
．
77. 如图， 和 是两个全等的正三角形，六边形 的边长分别是 ，
， ， ， ， ．求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
78. 已知平行四边形 ， 在边 、 上的射影分别是 、 ， 延长后与 延长线交于
，求证： ．
20
79. 已知 内有一点 ， 上有一点 ， 、 在 外， ，
(即 ， ， ，
)，求证： ．
21
第12章 圆
1. 有一个矩形 ，边 经过圆心 ， 、 分别是边 、 与 的交点，若 ，
， ，求 的半径．
2. 如图，已知 是半径为 的 上一点，以 为对角线作矩形 ，且 ，直线 与
交于点 、 ，求 的值．
3. 锐角三角形 中， 是垂心， 是 中点，延长 ，交 的外接圆于 ，则 是 中
点．
4. 是一个边长为 的正方形， 、 是平面上的点，且 为 的外心， 是 的外
心．求 的长所能取到的值．
1
5. 已知 为锐角三角形，过点 、 的 与边 、 分别相交于点 、 ，若 的半径与
的外接圆的半径相等，则 一定过 的外心．
6. 设 为锐角 内一点，且 、 、 和 的外接圆中有 个半径相同．
证明：这 个三角形的外接圆半径都相同．
7.
2
如图，点 在等腰梯形 的外接圆上， 是对角线 和 的交点，且 ，求证：
．
8. 设锐角 的外心为点 ，垂心为点 ，证明： 、 与 中，有一个的面积
等于其余两者面积之和．
9. 正方形 内接于 ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，求
．
10. 、 为定点， 为动点，满足 为定值 ，则所有这样的 的轨迹是一个以 为直径的圆
(阿波罗尼斯圆)， 在 上， 在 延长线上， ．
11. 已知四边形 外接圆 的半径为 ，对角线 与 的交点为 ， ，
，且 ．求四边形 的面积．
12. 运用相交弦定理证明：对于等腰三角形 ， 是底边 上任一点，则
．
3
13. 已知 ， ， ( 、 都是定值)，求该三角形面积的最大值(用 、 表示)．
14. 顺次将线段 三等分于 、 ， 为以 为直径的圆上任一点，求 ．
15. 已知 中， ， 中点为 ， 过 、 、 ， 是 的高， 延长后交
于 ，求 ．
16. 已知正三角形 ，以 为直径向外作半圆， 、 在 上， ，延长
、 ，交半圆于 、 ，求证： 、 将半圆弧三等分．
4
17. 如图所示， ，点 为 上一点，使得 ， 的外接
圆交 于点 ．证明： 为 的内心．
18. 是 的边 上的一点，使得 ， 是 外接圆上一点，使得
，求 的值．
19. 已知 是半径为 的圆 的一条弦，且 ．以 为一边在圆 内作正 ，点 为
圆 上不同于点 的一点，且 ， 的延长线交圆 于点 ，求 的长．
20. 已知不等边三角形 ， 的平分线交 外接圆于 ， 、 分别为 、 中点， 、
在 上， ， ，求证： ．
5
21. 已知一圆的两条相交弦 与 ， 在 的劣弧上，圆半径为 ， ， 是从 出发的唯
一被 平分的弦，求 ( 为圆心)．
22. 设锐角三角形 的三边长满足 ，以 为直径的圆与边 上的高所在直线交于 、
，同理定义 、 ， 、 ，容易知道 、 ， 、 ， 、 这三组点中，任两组的四点
共圆，则这 个圆中，最大的是经过哪四点的圆？最小的是经过哪四点的圆？
23. 设 、 、 是 上三个不同的点，过点 、 分别作与 垂直的直线 和 ， 的中垂线与 交
于点 ， 的中垂线与 交于点 ，证明：当 、 固定时， 不依赖于 的选取．
6
24. 两圆交于 、 ，已知动长弦 ， 的中点为 ，求 达到最大时 与 之间的关系．
25. 正 中与 平行的中位线和 的外接圆弦 交于 ， 和 交于 ，求 ．
26. 半径为 的 中， 、 是两条垂直的直径， 为 上任一点，弦 与 交于 ，弦 与
交于 ，求四边形 的面积．
7
27. 中， ，过 作 外接圆的切线，交 延长线于 ，又过 作 的垂线，
为垂足，求 ．
28. 如图，已知 的直径为 ， 过点 ，且与 内切于点 ． 为 上的点， 与 交于
点 ，且满足 ，点 在线段 上，使得 为线段 的中点，连结 并延长，与 交
于点 ，求证： ．
29. 是 的内心，线段 延长交 的外接圆于 ，若 ， ，且
，求 ．
8
30. 在平面上给定等腰三角形 ，其中 ，试在平面上找到所有符合要求的点 ，使
、 都是等腰三角形．
31. 已知： 中， ， 是高， 为 上任一点， 的中垂线 交 于 ，求
证： ．
32. 、 、 分别在 的边 、 、 上，则 、 、 的外接圆共点．
9
33. 平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条
光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆．
34. 已知 为 外接圆的 上一点，则 在直线 、 、 的射影 、 、 共线．
35. 四边形 对角线交于 ， ， 在 、 、 、 上的垂足分别是
、 、 、 ，求证： ．
10
36. 已知凸四边形 ， ， ，求证： ．
37. 设圆内接 的垂心为 ， 为圆周上任一点，求证： 被 关于该三角形的西摩松线平分．
38. 已知 为 直径， 在 上，弦 ， 在 上， 延长后交圆于 ， 交
于 ，求证： ．
11
39. 已知锐角三角形 中， ， 于 ， 、 分别在 、 上， 、 、
交于 ，若 、 、 、 共圆，则 为 之垂心．
40. 已知 与 均为正三角形，过 任作一直线，分别交 、 延长线于 、 ， 与
交于 ，求证： 平分 ．
41. 设圆内接四边形 ， 、 延长交于 ， 、 延长交于 ， 中点为 ， 与圆交
于 ，求证： 、 、 、 四点共圆．
12
42. 、 是锐角三角形 的高， 、 是垂足， 在 、 上的射影分别是 、 ， 在
、 上的射影分别是 、 ，求证： ．
43. 过两定点 、 的圆与定圆交于 、 ，求证： 为定值．
44. 直角三角形 中， 、 分别是直角边 、 上的任意点，自 向 、 、 、 引垂
线，垂足分别是 、 、 、 ．证明： 、 、 、 四点共圆．
45.
13
如图， 是圆内接四边形， 是圆的直径， ， 与 的交点为 、 在 的延
长线上，连结 ， 在 的延长线上，使得 ， 在 的延长线上， ．证明：
， ， ， 四点共圆．
46. 四边形 内接于圆， 是 的中点， ， ， ， ， ， 为垂足，
是线段 和 的交点，求证： ．
47. 中， 、 分别是高和中线，且都在三角形内部，求证：若 ，则
或者是等腰三角形，或者是直角三角形．
48. 设 、 、 、 、 是单位半圆上依次五点， 是直径，且 ， ， ，
，证明： ．
14
49. 已知四边形 内接于圆，点 、 分别为 、 上的动点，且满足 ，又点 在
上且满足 ，证明： 与 的面积之比与点 、 无关．
50. 如图， 是圆 的直径， 为 延长线上的一点，过点 作圆 的割线，与圆 交于 ， 两点，
是 的外接圆 的直径，连接 并延长交圆 于点 ．求证： ， ， ， 四点共圆．
51. 已知 中， 于 ， 于 ， 于 ， 与 延长线交于 ，求
证： ．
52. 凸四边形 中， ， ，若 ，则
、 、 、 共圆．
15
53. 求证：若半径为 的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切
圆，且此圆半径不大于 ．
54. 在 的边 上， ， ， 是 外接圆的切线，求 ．
55. 设 是 的高， 在 上． 与 的内切圆分别与 切于 、 ，若
， ， ，求 ．
16
56. 是锐角三角形，以 为直径作 ， 是 的切线， 为切点，从 上一点 作 的
垂线交 的延长线于点 ，若 ，求证： ．
57. 在平行四边形 中， ，过点 作一圆与 和 相切，与边 和 分别交于点
和 ．已知 ， ，求平行四边形 的周长．
58. 已知 、 是 两条切线， 、 为切点， 于 ，过 任作一弦 ，则 平分
．
59. 如图， 为 的切线， 为 的割线， 于点 ．证明： ．
60. 正方形 的边长为 ，以 为直径向形内作半圆， 与 是半圆的切线， 、 为切
点，若 与 交于正方形内一点 ，求 的面积．
61. 已知正方形 的内切圆分别切 、 、 、 于 、 、 、 ， 是圆的切线，
、 分别在线段 、 上，求证： ．
17
62. 如图 ，已知四边形 是 的内接四边，对角线 的中点 是 的内心．
求证：
（ 1 ） 是 外接圆的切线．
（ 2 ） ．
63. 正三角形 的边 、 、 上各有两点 、 ； 、 ； 、 ，此六点共圆， ，
， ， ，求 ．
64.
18
的内切圆分别切 、 、 于点 、 、 ．过 上一点 作圆的切线，延长交 于
点 ，求证：若点 、 、 、 是调和点列，则点 、 、 、 也是调和点列．(所谓“调和点
列”，指一直线上依次有 、 、 、 四点，满足 ．)
65. 中， ， ， ，过 的内切圆圆心 作 ，分别与 、
相交于点 、 ，求 的长．
66. 过 作 的切线，切点为 、 ．过 任作一条 的割线 交 于 ， 、 在 上，如
图所示．求证： ．
67. 已知 为半圆 的直径， 为直径 内任意一定，以点 为圆心， 为半径作 ，与半圆 相
交于点 ；以点 为圆心， 为半径作 ，与半圆 交于点 ，线段 的中点为 ，证明：
为 与 的内公切线．
19
68. 点 为 外一点，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 ．过点 作 的平行线，交 于
点 ．连结 ，交 于另一点 ；连结 ，并延长 交 于点 ．
求证： ．
69. 是 的切线， 为切点， 于点 ，点 是 中点，点 是圆弧上一点，直线 交直
线 于点 ，直线 与 交于另一点 ，求证： ．
70. 中， 为一条高，其中 在边 上， 和 分别是 和 的角平线( 、
在 上)，并且 的外心与 的内心重合．证明： ．
20
71. 已知锐角 ， 的中点为 ，作 外接圆的切线 、 ，交点为 ，求证：
．
72. 已知等腰三角形 中， ， 的平分线与 边交于点 ， 为 的内切圆
与 边的切点，作 ，交 于点 ．证明： 是 的切线．
73. 已知： 与 为一对平行线，距离为 ，一圆 在两直线之间，半径 ， 是 上一动点，过
作 两切线，分别交 于 、 ，求 的最小值(用 、 表示)．
74. 设 和 分别是 的边 、 上的点．直线 和 交于点 ．证明：若四边形
有内切圆，则 和 的内切圆外切．
21
75. 在直角三角形 中， ，它的内切圆分别与边 、 、 相切于点 、 、 ，连
结 ，与内切圆相交于另一点 ，连结 、 、 ．已知 ，求证： ．
76. 已知点 是 外一点， 、 是 的两条切线， 、 为切点，过点 作 的割线 ，交
于 、 两点，与 交于点 ．
求证： ．
77. 在 中， ， 的内切圆 分别切边 、 于点 、 ，直线 分别与直线
、 相交于点 、 ，求证： ．
22
78. 已知一个边为 的正方形内部可以防止五个半径为1的圆(圆可以与正方形的边相切)，使得任意两个
圆至多有一个公共点．求 的最小值．
79. 如图，已知 、 是 的两条割线， 、 交于 ，求证：过 与 的切线与 共
点．
80. 一个正方形 ，以其边为半径，以 、 为圆心分别作扇形，将正方形分成 块区域，求最大
区域的内切圆与最小区域的内切圆半径之比．
81. 圆心角为 ，半径为1的扇形内有一内切圆，求挖去此圆后剩下的3块图形中由两段圆弧及一条线
段围城的一块中的内切圆半径．
82. 设 的内、外心分别为 、 ， ，求 、 、 之须满足的等式关系．
83. 设 和 分别是 的内心和外心，求证： 的充要条件是 ．
23
84. 设 的内心为 ，连结 与 的外接圆 交于另一点 ， 与 相交于点 ．设 、
分别是 的外接圆与内切圆半径，求证：
85. 如图， 为 的垂心，以 位直径的 和 的外接圆 相交于不同于点 的另一
点 ，延长 交 于点 ，求证： 为 的中点．
86. 在 的外接圆的圆弧 (不含点 )和圆弧 (不含点 )上分别取点 和 ，使得直线 与直
线 平行，证明： 和 的内心到 的中点的距离相等．
24
87. 点 、 分别在四边形 的边 及 的延长线上，满足 ，若 与 延长后
相交于点 ， 与 的外接圆的另一个不同于 的交点为 ，连 、 、 、 ．
求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
88. 圆内接六边形 满足 ，且对角线 、 、 相交于一点 ，设
与 的交点为 ．求证：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
89.
25
如图所示，已知 在 的内部，且 ， 的延长线上的点 在 的外部，且
．过点 作直线 与 交于 、

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