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2026年上海市高三数学竞赛
一、填空题（第1到4题每小题7分，第5到8题每小题8分，共60分）
1.曲线(x-1)2+(-1)2=2围成的面积为
之复数a满是al=以=a侧=1，且言+忘+岩
1
=2+i,则a1+a2+ag=
3.在圆内接六边形ABCDEF中，|AB|=ICD=|EF列=4，|BC=|DE=IFA=7,则圆的
半径为
4.设{a,b,c}≤{1,2,3，·，9}，且b=3a,由a,a,b,c能构成
个不同的四位数
5.四面体的四个面全等，每个面上的的三条边长为a,b,c,则其外接球半径为
,椭圆6+号=1的一条切线分别交工轴正半轴、y轴正半轴于点AB,则AB的最小值为
7.在数列{an}中，a1=0,a15=8,且对任意k=1,2,…,14,有lak+1-ax=2,共有
个满足要求的不同数列.
8.函数f(x)=x3+ax2+bc+c与x轴交点从大到小依次为A,B,C.设T为f(x)图像上一点
(不与A重合)，过T的切线经过点A;T2为f(x)图像上一点（不与C重合），过T2的切线经过
点C.线段TT2在AC上的投影长度与AC的比值为
二、解答题（每小题15分，共60分）
9.求函数f(x)=3x+(2x+3)V1-x2的最小值与最大值，
10.椭圆安+头=1的上顶点为A,右焦点为F.PQ为椭圆上两点，且FA平分∠PFQ.求
证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标.
11.设集合A满足|4=12，若A的k元子集族满足：任意5个子集的交集非空，任意6个子
集的交集为空集.求k的最大值，
12.在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠D=∠E=∠F=90°，∠C=270°.设AB=a,BC=
b,CD=C,DE=d.记六边形ABCDEF的周长为l,面积为S.
(1)求证：1>4v⑤
(2)若a=b,求l-4vS的最小值：
(3)求证：对任意正整数n≥5，存在六边形ABCDEF,使得l=n√S

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