资源简介

(共98张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 圆柱、圆锥、圆台的有关概念
圆柱 圆锥 圆台
定义 圆柱可看成以矩形 的一边所在直线为 旋转轴，将矩形旋 转一周而形成的几 何体. 圆锥可看成以直角三角 形一直角边所在直线为 旋转轴，将直角三角形 旋转一周而形成的几何 体. 圆台可看成以直角梯形
垂直于底边的腰所在直
线为旋转轴，将直角梯
形旋转一周而形成的几
何体.
圆柱 圆锥 圆台
旋转体 用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体. 轴 旋转轴称为旋转体的轴. 高 在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高. 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面. 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面. 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线. 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面. 续表
圆柱 圆锥 圆台
图形表示
关系 圆柱
圆锥
圆台
续表
知识剖析
探究圆柱、圆锥、圆台的特征性质#1.1.1
圆柱 圆锥 圆台
底面 两个相同的圆面，两圆 所在的平面互相平行. 圆面. 两个半径不等的圆面，
两圆所在的平面互相平
行.
平行于底 面的截面 与底面相同的圆面，且 与轴垂直. 圆面，且与轴垂直. 圆面，且与轴垂直.
圆柱 圆锥 圆台
过轴的截 面 （简称轴 截面） 有无数个，且都是全等 的矩形，一边长是底面 圆的直径，另一边长等 于母线长. 有无数个，且都是全 等的等腰三角形，腰 是母线，底边是底面 圆的直径. 有无数个，且都是全等
的等腰梯形，腰是母
线，上、下底边分别是
两底面圆的直径.
母线 有无数条，它们相互平 行且均等于高. 有无数条，相交于顶 点且等长. 有无数条，延长后相交
于一点，等长.
续表
典例详解
例1-1 ［多选题］下列说法正确的是( )
AC
A.圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
B.圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线
C.矩形的任意一条边所在的直线都可以作为轴，将矩形绕其旋转一周形成圆柱
D.矩形绕任何一条直线旋转，都可以形成圆柱
【解析】根据圆柱的定义可知A,C正确，B,D错误.
点评 圆柱中，只有当上底面圆周上一点和下底面圆周上一点的连线平行于轴时，
这条连线才是母线.
例1-2 下列命题中正确的是( )
C
A.任意三角形绕其任意边上的高所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【解析】A错误，钝角三角形绕其两条较短边对应的高所在直线旋转一周所形成的
几何体都不是圆锥；B错误，只有当这两个平行截面与底面平行时，两个平行截面间
的几何体才是旋转体；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线.
例1-3 图11.1.5-4所示的几何体中，_______是圆台（填序号）.
（1）
图11.1.5-4
【解析】（1）符合圆台的结构特征,是圆台;（2）不是圆台，因为它的上、下两个底
面不平行;（3）是由两个圆台组合而成的，不符合圆台的结构特征，不是圆台.
知识点2 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开 图
侧面 积
表面 积
说明 典例详解
例2-4 已知一个圆柱的底面半径和高分别为和, ,侧面展开图是一个长方形,
这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比值是_ ___.
【解析】由题意可得， ，
所以 .
所以圆柱的侧面积，表面积 .
所以 .
例2-5 把底面半径为的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 滚
动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2周，则圆锥的母线长为
___ .
8
【解析】设圆锥母线长为 ,
圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2周，
,解得 .
例2-6 ［教材改编P82 练习B T5］(2025·山东省青岛市期中)圆台 的母线长为6，
两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面积是_____.
【解析】因为圆台的上底面半径,下底面半径,母线长 ,
所以圆台的侧面积 .
知识点3 球
1 球的有关概念
球面 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的
曲面.（球的表面）
球 球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体.（由球面及其围成的
空间组成的几何体）
球心 形成球面的半圆的圆心称为球的球心.
球的半径 连接球面上一点和球心的线段称为球的半径.
球的直径 连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.
球的大圆 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆.
球的小圆 球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
球面距离 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点
间的一段劣弧的长度，把这个弧长称为两点的球面距离.
续表
2 球的表示
用表示球心的字母来表示球，如图11.1.5-1所示的球，可表示为球 .
3 球的截面的性质
（1）球的截面是圆面,不是圆.
（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面.
（3）球心到截面 的距离与球的半径及截面圆的半径 之间满足关系式
,如图11.1.5-2所示.
4 球的表面积
如果球的半径为，那么球的表面积为 ,即球的表面积等于它的大圆
面积的4倍.
. .
. .
典例详解
【想一想丨辨析比较】
球与球面是完全不同的两个概念，球是实心的，包括表面和内部，而球面是空心的，
仅仅是球的表面.
例3-7 ［教材改编P82 练习B T4］［多选题］下列命题中正确的是( )
BCD
A.过球面上任意两点只能作球的一个大圆
B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径
C.用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面
D.半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面称为球面
【解析】过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A不正确；
由球及球面的概念可知 均是正确的.
例3-8 三个球的半径之比为 ，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和
的( )
C
A.1倍 B.2倍 C.倍 D. 倍
【解析】设最小球的半径为，由三个球的半径之比为 ，得另外两个球的半径
分别为， ，
所以各球的表面积分别为,, ，
所以 .
点评 球的表面积只与半径有关，且面积比等于半径比的平方.
释疑惑 重难拓展
知识点4 地球仪中的经、纬度
1 纬线和纬度
图11.1.5-3
赤道是一个大圆，其他的纬线都是小圆，它们是由与赤道面
平行的平面截球所得到的.某地的纬度取值范围为 就是
经过这点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数.
如图11.1.5-3所示，点的纬度等于 的度数.
2 经线和经度
经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度
取值范围为都相等.如图11.1.5-3所示，点的经度与 点的经度相等.如果
经过点的经线是本初子午线（即 经线），则点的经度等于 的度数.
典例详解
例4-9 如果把地球看成一个球体，则地球上北纬 纬线长和赤道线长的比值为
( )
C
A.0.8 B.0.75 C.0.5 D.0.25
【解析】设赤道所在圆的半径为，北纬 所在圆的半径为 ,由纬度定义可知，
.故所求比值即为两个圆半径的比值,为0.5.
点评纬线圈对应的半径与赤道所在大圆的半径 之间的关系如图11.1.5-5所示，纬
度 满足 .
图11.1.5-5
题型解析
03
题型1 圆柱、圆锥、圆台基本量的计算
例10 ［教材改编P82 练习A T4］轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱.已知某等边
圆柱的轴截面面积为16，求该等边圆柱的底面周长和高.
【解析】如图11.1.5-6所示，作出等边圆柱的轴截面，由题意知，四边形
为正方形，设圆柱的底面半径为，则 .
图11.1.5-6
轴截面的面积，解得 .
所以该等边圆柱的底面周长 ,高 .
例11 轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为 ，
求该圆锥的底面半径、高和母线长.
【解析】如图11.1.5-7所示，作出等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为 ，高
为，母线长为，则在轴截面中，有，,,且 .在
中，，,所以 ，根据题意得
，解得，所以， .
图11.1.5-7
故该圆锥的底面半径为1，高为 ，母线长为2.
例12 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积为 ，母线
与轴的夹角为 ，求这个圆台的高、母线长和底面半径.
图11.1.5-8
【解析】 圆台的轴截面示意图如图11.1.5-8所示，根
据题意可设圆台的上、下底面半径分别为和 ,即
,， 分别为上、下底面圆心，连接
，过点作的垂线，垂足为 .
在中， ,,所以 ,
又，所以 .
综上可知，圆台的高，母线长 ,上、下底面的
半径分别为和 .
图11.1.5-9
圆台的轴截面示意图如图11.1.5-9，根据题意可设圆
台的上、下底面半径分别为和,延长，交
的延长线于点,分别为上、下底面圆心，连接 .
在中， ，所以 ,又
,所以 .
又,所以 .
综上可知，圆台的高，母线长 ，上、下底面
的半径分别为 和 .
圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略
（1）解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高（母线）与轴截面矩形
之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径.
（2）解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直
角三角形建立底面半径、高、母线长三者之间的关系 .
（3）解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面（等腰梯形）入手，利用轴
截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解.另外，也可
以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相
似等知识来解决.
【变式题】
1.圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆柱侧面上从点到点 的最短距
离为( )
B
A. B. C.5 D.
图D 11.1.5-1
【解析】如图D 11.1.5-1（1）所示，正方形
是圆柱的轴截面，且其边长为 ，设圆
柱的底面半径为,则 ,底面周长为
.
将圆柱沿母线剪开，展开图如图D 11.1.5-1（2）所示，则从到 的最短距离即
的长.
, ,
.
题型2 圆柱、圆锥、圆台的表（侧）面积
图11.1.5-10
例13 如图11.1.5-10所示，已知圆锥的母线长为，底面半径为 ,
的长为 ，圆锥的全面积是底面积的3倍，求这个圆锥的侧面展
开图扇形的圆心角的大小（图中 的大小）.
【解析】由题意可知 （展开以后的扇形的弧长即圆
锥的底面周长） .
因为，即，所以 .
由弧长公式可知 .
. .
例14 (2025·湖北省广水市第二高级中学月考)某圆台的上、下底面半径和高的比为
，母线长为10，则该圆台的表面积为( )
C
A. B. C. D.
图11.1.5-11
【解析】该圆台的轴截面如图11.1.5-11所示.设圆台的上底
面半径为，则下底面半径，高 ，
则它的母线长
， ，
名师点评 圆台的轴截面是解有关圆台的计算问题常用的平面图形.
，
.
圆柱、圆锥、圆台的表（侧）面积的求解策略
1.圆柱的侧面展开图是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的
侧面积计算公式即可得解.
2.圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底
面周长”求母线长和底面半径.此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形.
3.求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键
在于求侧面积.“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面化也是
解决问题的重要方法.
【变式题】
2.一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为
( )
C
A. B. C. D.
【解析】已知圆锥的底面半径为2，高为4.如图D 11.1.5-2.
图D 11.1.5-2
设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥所得小圆锥的高为 ，内接圆柱的
高 .
圆柱的侧面积为 .
令，则当时,取最大值, ，
当时，侧面积取最大值， ．
故当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为 ．
题型3 球的截面问题
例15 (2025·黑龙江省哈尔滨市第六中学期中)球面上有三个点，， ，其中
,,，且球心到平面 的距离为球半径的一半，那么这个球
的半径为( )
C
A.20 B.30 C. D.
思路点拨 先证明三角形是直角三角形，是斜边，设的中点为 ，球心
为，则即为球心到平面的距离，利用球半径是球心到平面 距离的2倍，
求出球半径.
【解析】平面截球所得的截面是一个圆面，，， 三点在这个圆面的圆上,
，，，， , 为这
个圆的直径.设的中点为，球心为，球的半径为，连接 ，则球心到平面
的距离为，由题意知.连接，在中， ，
，，,由勾股定理得， ，即
,解得 .
故球的半径为 .
球的截面问题的解题思路
一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之
间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截
面）是将球的问题（空间问题）转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此在解决
球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题．
【变式题】
3.在半径为的球内有一个截面，它的面积是 ,求球心到这个截面的距离.
图D 11.1.5-3
【答案】设球的半径为，截面圆的半径为 ,球心到截面的距离
为 ,如图D 11.1.5-3所示.
球内截面的面积 , ，
.
故球心到这个截面的距离为 .
题型4 旋转面上两点间的最短距离问题
例16 (2025·山东省青岛市期中)如图11.1.5-12所示，圆台母线长为 ，上、下
底面半径分别为,，从母线的中点 拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点
.
图11.1.5-12
（1）求这条绳长的最小值;
【解析】沿母线将圆台侧面展开并补成扇形，连接 ,如图11.1.5-13所示.
图11.1.5-13
易知，与 相似，
得 .
由,解得 .
设扇形的圆心角为 ,易知扇形的半径 ，
因为的长与底面圆的周长相等，而底面圆的周长为 ,
则，即 ,解得 ,
即,所以 .
在中，，所以 ，
即所求绳长的最小值为 .
（2）求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
图11.1.5-13
【解析】如图11.1.5-13所示，过点作，垂足为 ，交
于点，则所求最短距离即 的长.
因为 ,
所以 .
即绳长最短时,圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为 .
最短路线的求解思路
求旋转体侧面上两点间距离的最小值是常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面
上两点间线段最短问题.求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理
等知识，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现.
【变式题】
4.(2025·山西省太原市第五中学月考)已知圆锥的母线长为2,一只蚂蚁从圆锥的底面圆
上一点出发,绕着圆锥侧面爬行一周,再回到出发点的最短距离为2,则此圆锥的底面半
径为_ _.
图D 11.1.5-4
【解析】把圆锥的侧面展开成一个扇形,如图D 11.1.5-4所示，则
对应的弧长是底面的周长,对应的弦 的长是蚂蚁爬行的最短距
离.因为圆锥的母线长,一只蚂蚁从点 出发，绕着圆锥侧面
爬行一周，再回到点的最短距离为2,所以 ,又
,所以是一个等边三角形, ,
.设底面半径为,由,解得 ，则此圆锥的底面
半径为 .
题型5 组合体的表面积问题
知识延伸 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体.
组合体可以由简单几何体拼接而成，也可以由简单几何体截去或挖去一部分而成.
图11.1.5-14
例17 新情境 陀螺(2025·河北省石家庄市模拟)陀螺是中国民间最
早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类
很多，其中有一种金属陀螺（如图11.1.5-14（1）），它的形状可
以看作上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥的组合体,如图
D
A. B. C. D.
11.1.5-14（2）.现知尖底长为3，柱体与锥体部分高之比为，底面周长为 ，
则陀螺的表面积为( )
【解析】由题意可知，，，令 ，
因为底面圆的周长为 ，所以 ，得 ，
所以圆锥的母线 ，
所以圆锥的侧面积为 ，圆柱的表面积为 ，
故陀螺的表面积为 ．
例18 如图11.1.5-15所示，从底面半径为,高为 的圆柱中，挖去一个底面半径为
且与圆柱等高的圆锥，求原圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积 之比.
图11.1.5-15
【解析】由题意，知 ,
.
故 .
易错警示 挖去圆锥后的几何体的表面积去掉了一个半径为 的圆的面积，但同时
增加了一个圆锥的侧面积，在求解此题时，学生往往容易忘记考虑增加的部分
（或减少的部分），从而导致错误.
组合体一般有两种基本形式：一是由基本几何体拼接而成；二是由基本几何体截去
或挖去一部分而成.求组合体的表面积时应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体
的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解.
题型6 与球有关的切、接问题
1 几何体的外接球问题
例19 正四面体的棱长为4，点,,,都在球的表面上，为棱 的中点，
过点 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为____；截面面积的最大值为____.
图11.1.5-16
【解析】将正四面体 放置于如图11.1.5-16所示的正方体
中，可得该正方体的外接球就是正四面体 的外接球，设
该外接球的半径为 .
正四面体的棱长为4，且正四面体 的棱长是正
方体的面对角线长， 正方体的棱长为 ，
正方体外接球的半径满足,解得 .
E为棱的中点，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心 的距离最大时，
截面面积最小，此时为截面圆心，球心到截面的距离 .
由截面的性质可得截面半径 .
故截面面积的最小值为 ．
截面面积的最大值为大圆的面积，即 .
例20 (2025·广东省河源市期中)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ,顶点在
一个球面上，则该球的表面积为( )
B
A. B. C. D.
图11.1.5-17
【解析】如图11.1.5-17所示，设， 分别为上、下底面的中心，
连接，则球心为的中点，连接并延长交于 点，
连接 .
,, ,
,
故该球的表面积 .
处理有关几何体外接球问题时的注意点
处理有关几何体外接球的问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几
何体的特殊点、球的直径与几何体的体对角线间的关系.求解时，需注意以下内容.
（1）求解四面体（或三棱锥）的外接球问题时，常把四面体（或三棱锥）补成长方
体或正方体，转化为长方体或正方体的外接球问题来解决，如例19.
两个常用结论：①长方体内接于球，则球的直径等于长方体的体对角线长；②正方
体内接于球，则球的直径等于正方体的棱长的 倍.
（2）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点.确定直棱柱的
外接球，就是找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.
2 几何体的内切球问题
例21 求棱长为 的正四面体的内切球的表面积.
图11.1.5-18
【解析】如图11.1.5-18所示，设正四面体的高为, 为正
四面体内切球的球心，连接并延长交于点，连接 ，则
内切球半径.由题意可得,则 ,所以
,所以 .
由正四面体的对称性可知,实际上是该正四面体的外接球半径 .
在中，,即,解得 ,
所以内切球的半径 .
故正四面体内切球的表面积 .
. .
解决几何体的内切球问题时的注意点
解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角面），再根据
题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等．
求解时，需注意以下几点.
（1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长.
正四面体的外接球与内切球的球心重合,且半径之比为3.②棱长为 的正四面
体的高为,其外接球的半径为,内切球的半径为 .
（3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面
圆的直径．
（4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
高考考向分析
04
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，高考突出对几何体基本量的考查，其中对球的考查主
要是球的切、接问题，有一定难度,需要考生能够画出图形,结合图形判断并求解.
核心素养：直观想象（空间几何体的结构特征）、数学运算（根据公式计算表面积）.
考向1 旋转体的基本量的计算
例22 ［多选题］(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1单位：
的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
ABD
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
【解析】因为球的直径小于正方体的棱长，所以选项A正确；
因为棱长为的正方体中可放入棱长为的正四面体，且 ，所以选项B
正确；
因为正方体的棱长为，体对角线长为，，所以高为 的圆柱体
不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；
因为正方体的体对角线长为，而底面直径为的圆柱体，其高 可忽略
不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体
容器中，所以选项D正确.
例23 (新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为 ,其侧面展开图为一个半圆，则该圆
锥的母线长为( )
B
A.2 B. C.4 D.
【解析】设圆锥的母线长为，因为该圆锥的底面半径为，所以 ，
（利用圆锥的底面周长等于其侧面展开图的弧长建立等量关系）解得 .
考向2 几何体的外接球问题
例24 (2023·全国甲卷)在正方体中，，为 的中点，若
该正方体的棱与球的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是___________.
【解析】由该正方体的棱与球的球面有公共点，可知球 的半径应介于该正方体的
棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.
设该正方体的棱切球半径为，因为，所以，所以 ；
设该正方体的外接球半径为，因为，所以 ，所以
.
所以球的半径的取值范围是 .
例25 (2023·全国甲卷)在正方体中，,分别为, 的中点.以
为直径的球的球面与该正方体的棱共有____个公共点.
12
图11.1.5-19
【解析】如图11.1.5-19，线段过正方体的中心，所以以
为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为 ,而正方体
的中心到每一条棱的距离均为,所以以 为直径的球与每
一条棱均相切，所以共有12个公共点.
考向3 几何体的表面积
例26 (全国Ⅰ卷)已知,,为球的球面上的三个点，为的外接圆.若
的面积为 ,,则球 的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为的面积为 ，所以的半径.因为 ，所以
为正三角形.又是的外接圆，所以 的中线长为3，
.因为,所以，由题易知 平
面，则球心到平面的距离为.设球的半径为 ，则
，所以球的表面积 .
例27 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 ，
.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,，连接 ,则
,其外接球的球心在直线上.设球的半径为,当球心在线段 上
时，，解得（舍去）；当球心 不在线段
上时，，解得，所以 ，所以
该球的表面积为 .（【规律总结】求解几何体外接球问题的关键在于确
定球心的位置，而确定球心位置的依据有两个，一是根据球心到球面上各点的距离
都等于半径，二是根据球心与截面圆圆心的连线垂直于截面）
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·河北省石家庄市部分学校联考)已知一个等腰直角三角形的直角
边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】若绕直角边所在直线旋转，则得到的几何体为底面半径为1，高为1，母线
长为的圆锥，故圆锥的表面积为 ；若绕斜边所
在直线旋转，则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体，每个圆锥的底面半径和
高都是，母线长为1，故组合体的表面积为 ，故选 ．
2.［多选题］(2025·浙江省金华市曙光学校期中)下列说法中正确的是( )
BD
A.圆柱的母线和它的轴可以不平行
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋
转体为圆锥
D.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个
圆柱、两个圆锥
【解析】对于A，根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
对于B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B正确；
对于C，当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故C错误；
图D 11.1.5-5
对于D，图D 11.1.5-5（1）是一个等腰梯
形，为较长的底边，以 边所在直线
为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合
体，如图D 11.1.5-5（2），包括一个圆柱、
两个圆锥，D正确．故选 ．
知识测评
05
建议时间：25分钟
1.一个圆锥的侧面积是其底面面积的三倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则侧面积为，底面积为， 圆
锥的侧面积是其底面面积的三倍，，解得 ，则该圆锥的侧面展开
图的圆心角 ．故选C．
2.新情境 几何原本 (2025·湖南省常德市多校联考)古希腊数学家欧几里得在其著作
《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这
两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥的底面圆的半径为3，其母线长为5．若圆锥
与圆锥是相似圆锥，且其高为8，则圆锥 的侧面积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】圆锥的底面圆的半径，母线长，所以高 .所以当相似圆
锥的高时，底面圆半径，母线长，所以圆锥 的侧面积
．
3.已知甲地在地球北半球，乙地在赤道上，由于地球自转，经一昼夜，甲地转过的
路程是乙地转过路程的 倍，则甲地在( )
A
A.北纬 圈上 B.北纬 圈上
C.北纬 圈上 D.不能确定甲地纬度
【解析】将地球视为球体，设其半径为，则乙地转过的路程为 .
设甲地所在纬度圈半径为,则甲地转过的路程为 .
由,得 .
由知，甲地在北纬 圈上.
图11.1.5-1
4.在边长为1的正方形中裁去一个如图 11.1.5-1所示的扇形，再将
剩余的阴影部分绕 旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】题图中阴影部分绕 旋转一周所形成的旋转体是圆柱去
掉一个半径为1的半球，半球的表面积为 ，圆柱
的底面半径为1，高为1，所以圆柱的底面面积为 ，圆柱的侧面积为
，则所得几何体的表面积为 ．
图11.1.5-2
5.新情境 斐波那契螺旋线 (2025·辽宁省沈阳市第二中
学月考)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺
旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，
8， 为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方
形中画一个圆心角为 的圆弧，这些圆弧所连起来
的弧线就是斐波那契螺旋线．如图11.1.5-2为该螺旋线
C
A.13, B.11, C.13, D.11,
的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的母
线长及底面圆的半径分别为( )
【解析】由题意知，接下来的一段圆弧所对应的扇形半径 ，所以圆锥
的母线长.该扇形所对的圆弧长为 ，设底面圆的半径
为，则，解得 ．
6.［多选题］下列说法中正确的是( )
BC
A.直角三角形绕其一边所在的直线旋转形成的几何体是圆锥
B.直角三角形绕斜边上的高所在的直线旋转形成的几何体是圆锥
C.等腰梯形绕其两底边中点的连线所在的直线旋转形成的几何体是圆台
D.圆绕其任一条直径所在的直线旋转 形成的几何体是半球
图D 11.1.5-1
【解析】对于A，当旋转轴为直角三角形的一条直角边所在直线
时，得到的几何体是圆锥；当旋转轴为直角三角形的斜边所在直
线时，得到的几何体不是圆锥，是由两个同底的圆锥组合而成的
几何体，如图D 11.1.5-1所示,故A不正确.
对于B，直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个直角三
角形，这两个直角三角形绕旋转轴旋转形成的两个圆锥中，有一个圆锥位于另一个
圆锥内部或两个圆锥等大，所以形成的几何体是一个圆锥，故B正确.
对于C，由于等腰梯形被其两底边中点的连线所在的直线分割成两个全等的直角梯形，
因此旋转形成的几何体是圆台，故C正确.
对于D，圆绕其任一条直径所在的直线旋转 形成的几何体是球，故D不正确.
7.(2025·上海市徐汇中学期中)湖水结冰时，一个球被冻在冰面上，取出后
（未弄破冰）在冰面上留下一个直径为,深 的空穴，则该球的半径为____
.
13
【解析】设球的半径为，根据题意知截面圆的半径 ,球心与截面圆的距离
为.由,即，得 .
8.为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再
用米 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面，圆柱底面圆的圆心为矩形
一边的中点）.当圆柱底面半径取何值时， 取最大值？并求出该最大值（结果精确
到 0.01米 ）.
【答案】由题意可知，圆柱的母线长为 米,
塑料片的面积 .
故当时，取最大值，约为1.51米 .
高考模拟
06
建议时间：35分钟
图11.1.5-3
9.(2025·江苏省如皋中学段考)已知圆台的侧面积（单位： ）
为 ，且它的侧面展开图是一个半圆环（如图11.1.5-3所示），
则圆台的下底面积与上底面积之差为( )
B
A. B. C. D.
图D 11.1.5-2
【解析】如图D 11.1.5-2,设圆台的上、下底面半径分别为, ，母
线长为.由,， ,得
,所以圆台的侧面积为
，
解得 ．
所以圆台的下底面积与上底面积之差为 ．
10.(2025·广东省韶关市期中)长方体 的8个顶点在同一个球面上，
且,,,则顶点, 间的球面距离是( )
B
A. B. C. D.
图D 11.1.5-3
【解析】设球的半径为，如图D 11.1.5-3所示， ,
则,, .又
,，,间的球面距离 .
图11.1.5-4
11.(2025·河北省唐山市模拟)如图11.1.5-4，正方体
的棱长为，以顶点 为球心，2为半径作一
个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等
于( )
A
A. B. C. D.
【解析】在平面上，交线为且在过球心 的大圆上，
因为,,所以 .同理可得, 所以 ,
故的长为 .
在平面上，交线为且在距球心为 的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为，半径为1， ,
所以的长为.故两段弧长之和为 .
12.[多选题](2025·黑龙江省大庆铁人中学开学考试)已知圆锥（为圆锥顶点， 为
底面圆心）轴截面 是边长为4的等边三角形，则下面选项正确的是( )
BC
A.圆锥的高为
B.圆锥的侧面积为
C.圆锥的内切球表面积为
D.若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是
【解析】对于A，因为圆锥轴截面 是边长为4的等边三角形，所以可得圆锥
的底面圆的半径为，高 ，故A错误；
对于B，母线长为，底面圆的半径为 ，所以圆锥的侧面积为
，故B正确；
对于C，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图D 11.1.5-4所示，由 与
相似，可得，即，解得 ，
即圆锥的内切球的表面积为 ，故C正确；
图D 11.1.5-4
图D 11.1.5-5
对于D，如图D 11.1.5-5所示，设圆锥侧面展开图的圆心角为 ，由弧长 等
于底面圆的周长，可得，可得，在直角中， ，
，所以，即若为 的中点，则沿圆锥
的侧面由点到点的最短路程是，D不正确．故选 ．
图11.1.5-5
13.(2025·广东省惠州市光正实验学校期中)如图11.1.5-5，已知
圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 ．
（1）求圆锥的底面积；
【答案】依题意，沿圆锥母线 剪开，其侧面展开图如图D 11.1.5-6所示.
图D 11.1.5-6
设，在半圆中，，弧长 ，这是圆锥的底面周长，
所以 ，所以 ，
故圆锥的底面积为 .
（2）在该圆锥内放置一个圆柱，如图11.1.5-5所示，当圆柱的侧面积最大时，求圆
柱的高．
【答案】设圆柱的高， ，
在中， ，
因为 ，
所以，即， ，
故圆柱侧面积为
，
所以当，即 时，圆柱的侧面积最大．
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册

展开更多......

收起↑