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11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线 11.3.2 直线与平面平行
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
课标要点
03
01
02
04
必备知识解读
题型解析
高考考向分析
06
高考模拟
05
知识测评
学习目标
01
必备知识解读
02
知识点1 平行直线与异面直线
1 平行直线
（1）定义
在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线.
（2）结论
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
图11.3.1-1
②平行于同一条直线的两条直线互相平行.
结论②通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：
如果,,则 .如图11.3.1-1所示.
说明 POINT
初中所学行线的判定与性质等，在空间中仍然成立
（3）空间中的等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两
个角相等.
知识剖析
空间等角定理的深度剖析
（1）空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一
个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个
角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向
相反，则这两个角互补.
（2）空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变.
（3）由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那
么这两组直线所成的角对应相等.
2 异面直线
（1）定义
异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线.
图11.3.1-2
特别提醒 不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直
线，两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一
个平面内.如图11.3.1-2中，虽然有 , ,即, 分别在两
个不同的平面内，但是因为,所以, 可确定一个平面，
所以与 不是异面直线.
（2）图形表示
为了表示异面直线, 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如
图11.3.1-3所示.
图11.3.1-3
（3）判定方法
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
3 空间四边形
图11.3.1-4
顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，
其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线
段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为
空间四边形的对角线.
空间四边形用表示顶点的4个字母表示.如图11.3.1-4
所示为空间四边形,这个空间四边形的顶点为,,, ,边为，,, ，对
角线为, （空间四边形的对有线并面）.
. .
. .
. .
典例详解
例1-1 已知，， 是空间中的三条直线，给出下面几种说法：
①若，，则 ；
②若与相交，与相交，则与 也相交；
③若， 分别在两个相交的平面内，则这两条直线不可能平行．
上述说法中正确的是____．（填序号）
①
【解析】由空间平行线的传递性知①正确；若与相交，与相交，则与 可能平
行，也可能相交或异面，②错误；若平面， ， ，， ，
则 ，③错误.
例1-2 ［教材改编P100 练习A T2］已知空间两个角 ， ，且 与 的两边分别
平行， ，则 ____________.
或
【解析】因为角 与 的两边分别平行，所以 与 相等或互补，
又 ,所以 或 在求解本题时，容易忽略对两组边的方向的
考虑而得出错误答案 .
. .
例1-3 下列说法中正确的是( )
B
A.若两直线无公共点，则两直线平行
B.若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C.过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
【解析】对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；
易知B正确;
对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故
C不正确；
图11.3.1-6
对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，
如图11.3.1-6所示的三棱锥中，与为异面直线， 与
均与,相交，但与 也相交，故D不正确.
例1-4 ［教材改编P100 例题］［多选题］在空间四边形 中，下列说法正确的
是( )
AD
A.直线与异面 B.对角线与 相交
C.四条边不能都相等 D.四条边的中点组成一个平行四边形
【解析】由定义知A正确；
B错误，否则，，， 四点共面；
C错误，将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为一个四边相等的空间四边形；
D正确，由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可证.（在例9中有详细证明）
知识点2 直线与平面平行的判定定理
1 直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线与平面内的一 条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行. 如果 , ,
，则 .
简记为“若线线平行，则线面平行”. 知识剖析 1.直线与平面平行的判定定理包含三个条件：①直线在平面 外，即
;②直线在平面 内，即 ;③两直线,平行，即 .三个条件缺一不可.
2.该定理告诉我们，要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面
内找到一条直线与已知直线平行.这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线
与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.
2 直线与平面平行的画法
画一条直线和已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四
边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行，如图11.3.1-5所示.
图11.3.1-5
典例详解
例2-5 能保证直线与平面 平行的条件是( )
D
A. ,
B. , ,,
C. ,,,,,且
D. , ,
【解析】若 ,,则 或 ,故A错误;若 , ,, ,则
或 ,故B错误;若 ,,,,，且，则
或 或与 相交，故C错误;D项是线面平行判定定理不可缺少的三个条件.
例2-6 已知是两条异面直线，外一点，则过点且与直线， 都平行的平面
( )
C
A.有且只有一个 B.有两个 C.没有或只有一个 D.有无数个
【解析】过点作直线,过点作直线,则，确定平面 .当， 都不在
由,确定的平面 内时，过点且与，都平行的平面只有一个；当 或
解题时易忽略 或 的特殊情况，从而错选时，过点且与，
都平行的平面不存在.
. .
. .
. .
知识点3 直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面平行，且经过这 条直线的平面与这个平面相交，那么这条 直线就与两平面的交线平行. 如果 ， ,
，则 .
简记为“线面平行，则线线平行”. 知识剖析 1.性质定理中有三个条件,即 , , ,这三个条件缺一不可.
2.当 时，过的任意一个平面与 的交线都与平行，即可以与 内的无
数条直线平行，但不是任意一条.平面 内凡是不与平行的直线，都与 异面.
典例详解
例3-7 直线平面 ， 内有条直线相交于一点，则这条直线中与直线 平行的
有( )
C
A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条
【解析】过直线和条直线的交点作平面 ，设平面 与 交于直线，则 .
若所给条直线中有1条是与重合的，则此直线与直线 平行；
若没有与重合的，则这条直线中与直线 平行的直线有0条．
题型解析
03
题型1 空间平行线的传递性
图11.3.1-7
例8 如图11.3.1-7所示，长方体中,, 分别为棱
,的中点.求证： .
【解析】取的中点,连接， .
在矩形中，易得 .
,,
四边形为平行四边形， .
在矩形中，易得，
四边形为平行四边形， , .
又,且与 的对应边方向相同（在证明两个角相等时只说明两
个角的两边分别对应平行是不够的）， .
. .
母题 致经典·母题探究
图11.3.1-8
例9 如图11.3.1-8所示，空间四边形中，,,, 分别是
,,,的中点，求证：四边形 是平行四边形.
【解析】连接 .
因为是 的中位线,
所以,且 .
同理，，且 .
所以,且 ,
所以四边形 为平行四边形.
子题
母题是利用空间平行线的传递性证明问题的一个经典题，对本题的条件进行适当改
变，四边形 的形状也将发生改变.
1.矩形的判断
若加上条件“ ”（此条件为11.4节将要学到的异面直线垂直），则四边形
是什么形状？
【解析】因为，，，所以，又四边形 为平
行四边形，所以四边形 为矩形．
2.菱形的判断
若加上条件“”,则四边形 是什么形状？
【解析】因为,,又 ,所以
,所以四边形 是菱形.
3.正方形的判断
若加上条件“，且”，则四边形 是什么形状？
【解析】当时，四边形为矩形.当时，四边形 为菱形.所
以当,且时，四边形 为正方形．
4.梯形的判断
若条件“,,,分别是,,,的中点”改为“，分别是，的中点， ，
分别是，上的点，且”，则四边形 是什么形状？
【解析】由题意可知，是的中位线，则且 .
又 ,
所以,,所以 ，
所以且 ，
所以四边形 是梯形．
利用空间平行线的传递性证明时，先寻找一条直线，使,,进而可得 .
题型2 异面直线的判定问题
例10 如图11.3.1-9，若是所在平面外一点，,,为垂足，
为的中点，求证：与 为异面直线.
图11.3.1-9
【解析】 ,,为垂足，是的中点， 点与点 不重合.
平面, 平面， 平面,, 由异面直线的判定方法
可知，直线与 为异面直线.
（反证法） 第一步：提出与结论相反的假设.
假设与 不是异面直线，
则存在一个平面 ，使得 , ,
于是 , , , .
第二步：由假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相
矛盾的结果.
,,为垂足，是 的中点，
点与点 不重合.
, , 直线 .
,, , ，即,,,四点均在平面 内，这与点 在平面
外相矛盾.
第三步：推翻假设，从而证明原结论是正确的.
假设不成立.
故与 为异面直线.
判定或证明两条直线异面的思路
1.既不平行也不相交的两条直线为异面直线.
2.与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
3.反证法——证明立体几何问题的一种重要方法.
题型3 判定直线与平面平行的两种常见模型
证明线面平行时，常借助中位线和平行四边形来得到线线平行，进而由线面平行的
判定定理证得线面平行.我们把这两种试题模型称为中位线模型和平行四边形模型.
1 中位线模型
母题 致经典·母题探究
例11 (2025·陕西省西安中学期中)如图11.3.1-10，直三棱柱中，是
的中点.证明:平面 .
图11.3.1-10
【解析】如图11.3.1-11，连接交于点，则为 的中点.
图11.3.1-11
又是的中点，连接 ，
则（利用三角形的中位线定理在平面内找到与 平行的直线）.
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
. .
子题
(2025·山西省忻州市第十中学期末)如图11.3.1-12所示，四棱锥 的底面是边
长为1的正方形，为的中点，，求证：平面 ．
图11.3.1-12
图11.3.1-13
【解析】如图11.3.1-13，连接，交于点，取的中点，连接,， 交
于点，连接．在中，,分别为,的中点，则 ．
（三角形的中位线定理）
在中，，且为的中点，则为 的中点.
在中，,分别为,的中点，则 ．
又 平面， 平面,所以平面 ．
名师点评 从母题和子题可以看到图中中点的特征，尝试将它们放在一个三角形中进
行探讨，寻找中位线，进而证明线线平行、线面平行.
2 平行四边形模型
母题 致经典·母题探究
例12 ［教材改编P104 练习A T3］如图11.3.1-14，在正方体 中，
，分别是棱，的中点，求证：平面 .
图11.3.1-14
思路点拨 要证平面,从平面中寻找一条直线与 平行是证明
的关键.
【解析】如图11.3.1-15，取的中点，连接， .
图11.3.1-15
，，, ，
， 四边形是平行四边形， .
平面， 平面 ，
平面 .
子题
图11.3.1-16
已知公共边为的两个全等的矩形和 不在同一平面
内，，分别是对角线，上的点，且 ，如图
11.3.1-16所示．求证：平面 .
【解析】作交于点，作交于点 ，连接
，如图11.3.1-17，在平面中作出与平行的直线
图11.3.1-17
又 平面， 平面 ，
平面 .（得结论）
本题还可利用三角形相似进行证明.连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
易证,可得,则，故平面
名师点评 由母题和子题我们可以看到，相对于中位线模型，这两道题中更容易得到
平行四边形的结构特征，因此尝试构造平行四边形寻找线线平行的条件.
使用直线与平面平行的判定定理的关键点
使用直线与平面平行的判定定理，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，
一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，
我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线
定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
【变式题】
1.如图11.3.1-18所示，为平行四边形所在平面外一点,，分别为， 的
中点.求证：平面 .
图11.3.1-18
图D 11.3.1-1
【答案】 取的中点 ，如图D 11.3.1-1（1）
所示，连接, .
,分别为, 的中点，
在中，,且 .
四边形为平行四边形，为 的中点，
，, ,
四边形为平行四边形, .
又 平面, 平面, 平面
.
如图D 11.3.1-1（2）,连接并延长交的延长线于点，连接 .
由四边形为平行四边形，为的中点，易得 ，
，又为的中点, ，
又 平面， 平面,平面 .
题型4 线面平行性质定理的应用
例13 如图11.3.1-19所示，在多面体中，四边形,,
均为正方形，为的中点，过,,的平面交于.证明: .
图11.3.1-19
【解析】由正方形的性质可知,且 ,所以四边形
为平行四边形，从而
又 平面， 平面，于是平面 .
又 平面,平面 平面,所以
例14 如图11.3.1-20所示，已知异面直线，都平行于平面 ,且，在 的
两侧，若，分别与 相交于，两点，求证： .
图11.3.1-20
【解析】如图11.3.1-21所示，连接，交平面 于点，连接， .
图11.3.1-21
因为 ,平面 ,
所以 ，
所以在中，有 .
同理，在中，有，所以 .
易错警示本题易由题图直接误认为四边形是平面四边形，从而连接 后，
直接利用线面平行的性质定理，得到，从而得到 .立体几何问
题只有在化归为平面几何问题后才能使用平面几何知识解题.
应用线面平行的性质定理的关键点
应用线面平行的性质定理，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交
线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位
置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线
相交的直线都与已知直线异面．
【变式题】
图11.3.1-22
2.如图11.3.1-22所示，四边形所在平面为三棱锥 的
一个截面，四边形 为平行四边形.
（1）求证：平面 ；
【答案】 四边形为平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
平面，平面 平面, .
平面， 平面,平面 .
（2）若,，求四边形 周长的取值范围.
【答案】同（1）可证,设, ,
,,, ，
，
又,, ,
,且 ,
四边形的周长 ,易得
.
故四边形周长的取值范围是 .
高考考向分析
04
考情揭秘
平行关系是空间位置关系的一类重要关系,线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和
纽带.高考对线面平行的判定考查频率较高,在新高考中作为多选题进行考查的可能性
也比较大.
核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的平行关系），逻辑推理
（判定定理、性质定理的应用）.
考向1 直线与平面平行的判定
图11.3.1-23
例15 (2025·北京节选)如图11.3.1-23，在四棱锥
中，与均为等腰直角三角形， ,
,为的中点.若，分别为， 的中点,
证明:平面 .
【解析】如图11.3.1-24，连接，因为,分别为,的中点,所以 .
图11.3.1-24
因为与均为等腰直角三角形, ， ，为 的
中点，所以 ， ， ,所以
，
则,所以四边形 为平行四边形，
所以,所以 .
又 平面, 平面 ，
所以平面 .
例16 (2024·天津节选)如图11.3.1-25，已知四棱柱中， ,
，，是的中点,是的中点.求证平面 .
图11.3.1-25
【解析】取的中点,连接, ,如图11.3.1-26.
图11.3.1-26
由是的中点，得，且 .
由是的中点，得，且 ,
则， .
故四边形是平行四边形，故 .
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
考向2 直线与平面平行的性质
例17 (北京高考题节选)如图11.3.1-27所示，已知正方体，点 为
的中点，直线交平面于点.求证：点为 的中点.
图11.3.1-27
【解析】第一步：证明线面平行.
因为 是正方体，
所以 ，
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
第二步:证明线线平行.
连接,因为 平面，平面 平面，所以 ，所
以 .
第三步：结合题干证明中点.
又点为的中点，所以点为 的中点.
高考新题型专练
图11.3.1-28
1.［多选题］(2025·河南省新乡市期中)如图11.3.1-28，在正方体
中，，，分别是棱，， 的中
点，则( )
AB
A.点在平面内 B.平面
C.点在平面内 D.点在平面 内
图D 11.3.1-2
【解析】如图D 11.3.1-2，连接，，分别是棱 ，
的中点，，若平面，则 平面
或平面 ，
这与 平面 矛盾，故D错误；
连接，由题意可知，，则 ，
平面，又 平面，平面 ，
故B正确；
由 平面，平面 ，
可得点不在平面内，点在平面 内，故C错误，A正
确．
故选 ．
图11.3.1-29
2.［多选题］(2025·山东省泰安市新泰一中期中)如图11.3.1-29
所示，在正方体中，，分别为棱 ，
的中点，则以下四个结论中正确的是( )
CD
A.直线与是相交直线 B.直线与 是平行直线
C.直线与是异面直线 D.直线与 是异面直线
图D 11.3.1-3
【解析】 平面， 平面， ，
平面 ，
由异面直线定义可得直线与 是异面直线，故A错误；
同理判断直线与 是异面直线，故C正确；
直线与 是异面直线，故D正确；
如图D 11.3.1-3，取的中点，连接，可得 ，
与相交，直线与 是异面直线，故B错误．
知识测评
05
建议时间：30分钟
图11.3.1-1
1.如图11.3.1-1所示，在长方体中，， 分别
是棱和的中点，过的平面分别交和 于点
，，则与 的位置关系是( )
A
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
【解析】,分别是，的中点， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面 ,
.
2.过平面 外的直线，作一组平面与 相交，若所得的交线为,,, ，则这些交
线的位置关系为( )
D
A.都平行 B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点
【解析】若已知直线与 平行，则所得交线都平行;若,则交线都过点 .
图11.3.1-2
3.如图11.3.1-2,是正方体的棱 上的一点
（不与端点重合）,若平面 ,则( )
D
A. B.
C. D.
图D 11.3.1-1
【解析】连接，与交于点，连接 ,如图D 11.3.1-1所示,
因为平面,平面 平面 ,所以
,因为为的中点,所以为 的中点,所以D正确,C
错误;
由异面直线的判定方法知, 是异面直线,故A错;
连接，在矩形中,与 不垂直,故B错.
图11.3.1-3
4.(2025·上海市长宁区期末)图11.3.1-3是一个正方体的平面展开图，
图中的四条线，，和 在原正方体中相互异面的有
( )
B
A.0对 B.3对 C.1对 D.4对
图D 11.3.1-2
【解析】还原正方体，其示意图如图D 11.3.1-2，显然与 ，
与，与 是3对异面直线，故选B.
图11.3.1-4
5.(2025·河北省秦皇岛市期末)如图11.3.1-4，在正方体
中，已知，，分别是线段 上的点，
且．则下列直线与平面 平行的是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 11.3.1-3，连接,使交于点，连接 ,在正方体
中，由于,,,所以 ，即四边
形 为平行四边形，
图D 11.3.1-3
所以 .
又 平面, 平面,所以平面 .
图11.3.1-5
6.［多选题］(2025·安徽省涡阳县第四中学月考)如图11.3.1-5，
在三棱锥中，，分别为，的中点，过 的平
面截三棱锥得到的截面为 ．则下列结论中成立的是
( )
ABC
A. B.
C.平面 D.平面
【解析】，分别为，的中点， ，
又 平面, 平面,平面 .
平面，平面 平面， ,
，故A,B正确.
， 平面， 平面 ，
平面 ，故C正确.
的位置不确定，与平面 有可能相交，故D错误．
图11.3.1-6
7.(2025·广东省广州市期中)如图11.3.1-6 所示，正方体
中，，点为的中点，点在 上.
若平面，则线段 的长度等于____.
【解析】因为直线平面， 平面 ，且平面
平面，所以 .
又点是的中点，所以点是 的中点，
由中位线定理可得 .
又在正方体中， ，
所以，所以 .
图11.3.1-7
8.如图11.3.1-7，在正方体中， .
（1）判断和 是不是异面直线，并说明理由；
【答案】和 不是异面直线.理由如下：
,和确定一个平面，和 在同一个平面
内，即和 不是异面直线.
（2）判断和 是不是异面直线，并说明理由.
【答案】和 是异面直线，理由如下：
假设与在同一个平面内，则 平面, 平面,
平面 ,
这与几何体 是正方体相矛盾，
假设不成立.故和 是异面直线.
高考模拟
06
建议时间：40分钟
图11.3.1-8
9.(2025·广东省广州市新华中学月考)一几何体的平面展开图如图
11.3.1-8所示，其中四边形为正方形，,分别为, 的
中点，在此几何体中，下面结论错误的是( )
B
A.直线与直线异面 B.直线与直线 异面
C.直线平面 D.直线平面
图D 11.3.1-4
【解析】如图D 11.3.1-4，将平面展开图还原，因为，
为，的中点，故，又四边形 为正方形，
所以，故，，，， 四点共面，又点
平面，所以与 异面，即A正确，B错误；又
，且 平面，故直线平面 ，C正
确；又，且 平面，故直线 平面
，D正确.故选B．
10.(2025·山东省威海市期末)在空间四边形中，若，分别为， 的中
点，，，且， ，则( )
B
A.直线与平行 B.直线，， 相交于一点
C.直线与异面 D.直线，， 相交于一点
图D 11.3.1-5
【解析】由题意得图D 11.3.1-5，， ，且
，
，且 ，
，分别为，的中点，且 ，
又, ,
且, ，
四边形为梯形，且，是梯形 的两腰，
，交于一点，设交点为，则， ，
平面，且 平面 ，
平面，且 平面 ，
平面 平面， ，
是直线，，的公共点，，， 交于一点．
故选B．
图11.3.1-9
11.［多选题］(2025·江苏省无锡市梅村高级中学期中)如图
11.3.1-9，在正方体中，，， 分别是
，， 的中点，下列四个结论中，正确的是
( )
BD
A.与 是异面直线
B.，， 相交于一点
C.
D.平面
【解析】因为，分别是，的中点，所以， ，所以
，因为，所以与 是同一平面内的相交直线，所以A错误；
因为平面 平面， 平面， 平面 ，
且与是相交直线，所以，， 相交于一点，所以B正确；
连接与交于点，连接，，是中点，因为是 中点，所以
，，因为，，所以， ，
故四边形是平行四边形，所以，又 ,所以C错误；
因为， 平面， 平面，所以 平面
，所以D正确.故选 ．
12.(2025·山东省聊城市期中)在如图11.3.1-10所示的多面体中，四边形 为矩形.
设，分别是线段，的中点，为线段上一点，则当点 满足__________
___时，直线平面 .
是中点
图11.3.1-10
图D 11.3.1-6
【解析】当是的中点时，直线平面 .证明如下.
如图D 11.3.1-6所示，连接，设为， 的交点.
由已知得为 的中点.
连接，，则，分别为, 的中位线，
所以,,,,因此 .
连接，从而四边形为平行四边形，则 .
因为直线 平面， 平面 ，
所以直线平面 .
即线段上存在一点（线段的中点），使直线 平面
.
13.（全国Ⅰ卷节选）如图11.3.1-11，直四棱柱的底面是菱形， ，
，分别是,， 的中点.
图11.3.1-11
证明：平面 .
图D 11.3.1-7
【答案】如图D 11.3.1-7，连接,.因为,分别为,
的中点,所以，且 .
又为的中点，所以 .
由题设知,
可得,
故 ，因此四边形
为平行四边形，所以 .
又 平面， 平面,所以平面 .
图11.3.1-12
14.(2025·江西省景德镇一中期末)如图11.3.1-12，已知 是
所在平面外一点，,分别是, 的中点，平面
平面 .
（1）求证： .
【答案】, 平面, 平面 ,
平面 .
又 平面,平面 平面, .
（2）与平面 是否平行？试证明你的结论.
【答案】平行.如图D 11.3.1-8，取的中点,连接, .
图D 11.3.1-8
是 的中点，
, .
为边 的中点,
， .
, 四边形为平行四边形, .
又 平面, 平面,平面 .
谢谢观看
高二下学期数学人教B版必修第四册

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