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章末总结
第十一章 立体几何初步
高二下学期数学人教B版必修第四册
目录
单元知识梳理
03
01
02
单元专题归纳
高考命题点分析
单元知识梳理
01
单元专题归纳
02
专题1 与球有关的切、接问题
1 正方体的内切球、外接球、棱切球
与正方体的各个面都相切的球、经过正方体各个顶点的球、与正方体的各条棱
都相切的球分别称为正方体的内切球、外接球、棱切球.
图11-1
求解切、接问题的常用工具是截面图，球与正方体
（边长为 ）的切、接问题中的常用截面图有三种，如图
11-1所示.通过截面图确定正方体的棱长与球的半径之间的
关系，将空间问题转化为平面问题是求解的关键.
①如图11-1（1），取的是正方体的中截面（与底面平行，且与两底面等距的截
面叫中截面），圆 为其内切球的一个大圆，从图中可以看出内切球的直径等于正
方体的棱长，则内切球的半径 .
②如图11-1（2），取的是正方体的一个对角面（分别经过棱柱或棱台的两条不
相邻的侧棱的截面叫对角面），圆 为其外接球的一个大圆，从图中可以看出外接
球的直径等于正方体的体对角线长，则外接球的半径 .此时一定要注意圆的
内接四边形不是正方形，而是矩形.
③如图11-1（3），取的是正方体的一个对角面，圆 为其棱切球的一个大圆，
从图中可以看出棱切球的直径等于正方体的面对角线长，则棱切球的半径 .
例1（1）若一球内切于正方体，则正方体的棱长与球的半径之比为_____.
【解析】若一球内切于正方体，则球的直径和正方体的棱长相等，故正方体的棱长
与球的半径之比为 .
（2）若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为______.
【解析】若一球与正方体的所有棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相
等，故正方体的棱长与球的半径之比为 .
（3）正方体的内切球和外接球的体积之比为_______.
【解析】设正方体的棱长为,则正方体内切球的直径等于 ，外接球的直径等于正方
体体对角线的长 ．根据球的体积公式可得，正方体的内切球和外接球的体积之
比为 .
2 长方体的外接球问题
长方体的体对角线为其外接球的直径.设长方体的长、宽、高分别为,, ,则长方
体外接球的半径 .
例2 (全国Ⅱ卷)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 的球面上，则球
的表面积为_____.
【解析】依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接
球的半径为，则有，因此球的表面积为 .
3 圆柱、直棱柱、直棱锥的外接球问题
图11-2
（1）圆柱的外接球：如图11-2所示，在圆柱中， 为圆柱底
面的一条直径，是一条母线，则该圆柱外接球的球心就是线段 的
中点，设圆柱的底面半径为,圆柱的高为,球的半径为 ,则
.
图11-3
（2）直棱柱的外接球：如图11-3所示，可以将直棱柱的外接圆柱
作出来，则直棱柱的外接球即其外接圆柱的外接球，设外接圆柱
的底面半径为，直棱柱的高为，外接球的半径为 ，则
.
图11-4
（3）直棱锥的外接球：如图11-4所示，可先将直棱锥 补成
直棱柱，再将其外接圆柱作出来，设外接圆柱的底面半径为 ，
直棱柱的高为,外接球的半径为,则 .
例3 已知圆柱的侧面积为 ，其外接球的体积为，则 的最小值为_ __.
【解析】如图11-5，设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，高为 ,
图11-5
由圆柱的侧面积满足 ，得 ，
则，当且仅当，即， 时取等号，
（必须验证等号成立的条件）
所以的最小值为1，即 ，
所以外接球的体积的最小值为 ．
例4 (2025·福建省福州市期末)已知三棱锥的顶点都在球 的球面上，底面
是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球 的
表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】如图11-6，设球的半径为，的外心为 ，
图11-6
连接,,,当三棱锥体积最大时，在上，由题意得 的外接圆半径
为，的面积为， ，
可得三棱锥 体积的最大值为
，
（要使三棱锥的体积最大，则底面三角形的面积确定的情况下，只需高最大即可）
，解得 ．
球的表面积为 ．
图11-7
例5 如图11-7所示，在直三棱柱中，
且， ，则此三棱柱外接球的表面积为_____．
【解析】由题意知,在中，， ，
则等腰三角形的外接圆半径满足，即 .
易知此三棱柱高的一半为 ,则由勾股定理可知所求外接球
的半径 .
所以此三棱柱的外接球的表面积为 .
4 正四面体的内切球、外接球、棱切球
与正四面体的各个面都相切的球、经过正四面体各个顶点的球、与正四面体的
各条棱都相切的球分别称为正四面体的内切球、外接球、棱切球.
正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心 重合，则内切
球的半径为点到各面的距离，外接球的半径为点 到各顶点的距离，棱切球的半径
为点 到各棱的距离.
设正四面体的棱长为 ，则内切球
的半径，外接球的半径，棱切球的半径 .
图11-8
如果把正四面体 补成一个正方体（如图11-8所
示），那么正四面体的棱切球是正方体的内切球，正四面体的
外接球是正方体的外接球.
例6 正四面体的内切球、棱切球（与各条棱均相切的球）及外接球的半径之比为
________.
【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为, .如图11-9所示，
图11-9
为的中点，,则线段为正四面体 的高，且
, .
由正四面体的性质知三个球的球心重合，且球心在线段 上，则
,,所以 ,
,而棱切球的半径为 ，则正四面体的内切球、棱切球及
外接球的半径之比为 .
5 等体积法求多面体内切球的半径
对于多面体的内切球，设其球心为 ，连接多面体各顶点与球心，则将多面体
分割为若干个棱锥.
设多面体的体积为，多面体的表面积为,多面体各个面的面积分别为， ，
， ，,内切球的半径为（球心到各个面的距离为 ）,则
,于是可得
.
例7 已知三棱锥,若,,两两垂直,且, ,则三棱锥
的内切球的表面积为__.
【解析】由题意,设三棱锥的内切球的半径为,球心为 ,则
，即
,解得 .
故三棱锥内切球的表面积为 .
6 球与球的相切问题
球与球的相切问题中通常是将几个球两两相切叠放在一起，求解此类问题的关
键是模型化处理，抓住球心构成的基本空间图形来分析，挖掘其中的数量关系，为
解题找到突破口.
例8 水平桌面上放有4个半径均为 的球，且相邻的球都相切，在这4个球的上面放
有一个半径为 的小球，它与下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距
离是____.
图11-10
【解析】设小球球心为,其他4个球的球心分别是，，， ，
则它们构成一个正四棱锥，如图11-10所示，连接 ，
，交于点,连接.由题意知,所以 ,又
，所以,故点 到水平桌面的距离是
.
7 球与其他旋转体的切、接问题
求解球与其他旋转体的切、接问题时，可先画出球和其他旋转体的公共轴截面，
然后寻找空间图形与几何元素之间的关系.
例9 将半径为3，圆心角为 的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的
内切球的体积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设该圆锥的底面半径为,高为,则,解得 ,所以
.
设该圆锥的内切球的半径为,则,解得 .所以该圆锥的内切球的体积
.
8 一些特殊棱锥的外接球问题
图11-11
（1）有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如图11-11所示，
三棱锥中，侧面 底面，可在平面内作 垂直
于，且交的外接圆于点,则三棱锥 的外接球与三棱
锥的外接球为同一个球，设的外接圆的半径为 ,则
,设的外接圆的半径为 ,三棱锥外接球的半
径为,则 .
图11-12
（2）如图11-12所示，在三棱锥 中，
,为的中点，则 ,棱
即为三棱锥的外接球的直径，棱的中点 为外接球的
球心.
图11-13
（3）对棱相等的三棱锥的外接球,如图11-13所示，在三棱锥
中，,,,可作三棱锥 的
外接长方体，设长方体的长、宽、高分别为，， ，外接球的
半径为,则,, ,则
，也就是说，对棱相等的三
棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个顶点出发的三条棱的平方和的一
半，特别地，棱长为 的正四面体的外接球半
径为 .
例10 (2025·河南省许昌市期末)已知四面体中, ,
, ,则该四面体外接球的半径为____.
【解析】由,, ,可知该四面体的对棱相
等，故可将四面体放到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为,, ，则
，所以该四面体外接球的半径为 .
专题2 高考中的重要模型——鳖臑
中国古代数学强调实用性，很多古代数学问题都结合实际生活存在于典籍中.其
中在对立体几何的研究中最重要的模型便是由立方体截得的三棱锥和四棱锥，它们
在古代有专门的名词：鳖臑和阳马.2015年湖北高考便以此为背景命题，一时间引起
了广泛的关注.
1 考题再现
例11 (湖北高考题)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
图11-14
在如图11-14所示的阳马中，侧棱 底面 ，且
,点是的中点，连接,, .
（1）证明： 平面.试判断四面体 是否为鳖臑,若是，写出其每个面的
直角（只需写出结论）;若不是,请说明理由.
思路点拨 要证明线面垂直，只需要证明直线与该平面内两条相交直线垂直；
【解析】因为 底面,所以 .
由底面为长方形，得,而 ,
所以 平面 .
又 平面,所以 .
因为,点是的中点，所以 .
而,所以 平面 .
由 平面, 平面,可知四面体 的四个面都是直角三角形，
即四面体是鳖臑，其四个面的直角分别是,,, .
（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求 的值.
思路点拨 将四面体看作三棱锥 ，再利用三棱锥的体积公式求解.
【解析】由已知，是阳马 的高，
所以 .
由（1）知，是鳖臑的高， ,
所以 .
在中，因为,点是 的中点，
所以 ,
于是 .
该题之所以引起广泛关注，很大程度上与“鳖臑”这两个字有关，原因是大部分
学生没见过这两个字，因此影响了答题心情.其实本题中只不过套了个古代数学文言
文的背景，也即现在比较热门的数学文化试题背景，具体研究的却是学生再熟悉不
过的立体几何问题，教材中对此都有专门的阐述和探究.
2 教材探源
图11-15
（教材第124页【习题 】第2题）如图11-15，已
知是圆的直径，垂直于圆所在的平面， 为圆上任意
一点.求证： 面 .
教材习题借助鳖臑这一几何体中丰富的（线线、线面、
面面）垂直关系，让学生来熟悉垂直关系下的判定定理及性
质定理的应用.上述湖北高考试题本质上还是研究常见的垂
直问题.事实上，鳖臑是我国古代数学中非常重要的模型，在多本著作里都有阐述.
3 鳖臑的来源探索
《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”
刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳
马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”
具体来说，取一长方体，按图11-16斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，
称之为堑堵.
图11-16
如图11-17，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥.
以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角
三角形组成的四面体，称为鳖臑.
图11-17
4 鳖臑的几个性质
（1）聚焦于立体几何中的核心关系——垂直关系
图11-18
例12 如图11-18，几何体中， 平面 ，
，于点，于点 ．
（1）证明： 平面 ；
【解析】因为 平面， 平面 ，
所以 .
又，,所以 平面 .
（2）证明： 平面 ；
【解析】因为 平面， 平面 ，
所以 .
因为，，所以 平面 ，
又 平面,所以 ，
又，,所以 平面 .
（3）证明：平面 平面 ；
【解析】因为 平面, 平面 ，
所以平面 平面 ．
（4）证明： ．
【解析】因为 平面， 平面 ,
所以 .
（2）鳖臑的空间角
图11-19
例13 如图11-19，在三棱锥中，, 平面
.设 为直线与所成的角， 为直线与直线 在
底面上的射影的夹角， 为直线与底面 所成的
角， 为二面角的平面角， 为直线 与平面
所成的角， 为直线与底面所成的角, 为直线
与平面 所成的角.证明：
（1） ；
【解析】易知,,直线在底面上的射影为直线 ,故
.
由 平面,得 ,
又,, 平面 ,
.
.
（2） ；
【解析】如图11-20，作于，于，连接 .
图11-20
由（1）知， 平面 ,
.
, 平面, ,
, 平面, ，
则二面角的平面角 .
易知直线与底面所成的角 ,
则 .
（3） ；
图11-20
【解析】如图11-20，连接,则直线与平面 所成的角
,
.
（4） ；
【解析】 .
（5） .
图11-20
【解析】如图11-20,过作于，连接,则 平面
,则直线与平面所成的角 ，从而
.
说明 图11-20中二面角的平面角为，二面角 的平面角
为 ；
直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为 ，直线
与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，直线 与
平面所成的角为 .
5 鳖臑模型在高考中的应用
鳖臑模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空间角的计算，是研
究立体几何问题的基本图形，在高考中有着广泛的应用.
图11-21
例14 (北京高考题) 如图11-21，在三棱锥 中，
,，,,为线段
的中点，为线段 上一点.
（1）求证： ;
【解析】因为,, ,
所以 平面 .
又 平面，所以 .
（2）求证：平面 平面 ；
【解析】因为,为的中点，所以 .
由（1）知， ,
又，所以 平面 .
因为 平面,所以平面 平面 .
（3）当平面时，求三棱锥 的体积.
【解析】因为平面，平面 平面 ，
所以 .
因为为 的中点，
所以, .
由（1）知， 平面，所以 平面 .
所以三棱锥的体积 .
例15 (新课标全国Ⅰ卷)如图11-22，四边形为菱形，为与的交点，
平面 .
图11-22
（1）证明：平面 平面 ;
【解析】因为四边形为菱形，所以 .
因为 平面,所以 .
又,所以 平面 .
又 平面,所以平面 平面 .
（2）若 ，，三棱锥的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.
【解析】设，在菱形 中，
由 ,可得, .
因为,所以在中，可得 .
由 平面,知为直角三角形，可得 .
由已知得，三棱锥的体积，故 .
从而可得 ，
所以的面积为3，的面积与的面积均为.故三棱锥 的侧
面积为 .
以上通过两道高考题来探讨鳖臑模型，事实上，这个模型的应用十分广泛，需
要同学们不断地总结其特征，并在具体的问题中逐渐养成建立模型的意识，注重运
用模型来解决问题.
专题3 立体几何中的截面问题
1 截面作图
例16 正方体中，，， 为棱上的三个点，请依据如下条件，过
，，三点作正方体的截面 .
（1）已知三点，， 中任意两点的连线都在几何体的表面上；
【解析】如图11-23，直接连线即可得到截面．
图11-23
（2）已知三点，， 中任意两点的连线恰有两条在几何体的表面上；
图11-24
【解析】 （平行法） 如图11-24，连接， ，在
平面内过点作，并交于点，连接 ，
则四边形 为所求的截面．
图11-25
（相交法） 如图11-25，连接并延长交 的
延长线于点，连接交于点，连接， ,则四
边形 为所求的截面．
（3）已知三点，， 中任意两点的连线恰有一条在几何体的表面上；
图11-26
【解析】（平行四边形法） 如图11-26，连接 并延长，
交的延长线于点，连接交于点，则点 为截
面上一点，以，为邻边作平行四边形，则 与
的交点也为截面上的点，连接,,则五边形 即
为所求的截面．
（4）已知三点，， 中任意两点的连线都不在几何体的表面上.
图11-27
【解析】（辅助平面法） 如图11-27，在平面 内过
点作，交于点，连接并延长交 的延
长线于点，连接交于点，连接并双向延长交 的
延长线于点，交的延长线于点，连接交于点 ，
连接并延长交于点，连接， ，则六边形
为所求的截面．
名师点评 （1）作截面的三种常用方法：①直接法，截面的顶点在几何体的棱上；
②平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体
的某个面平行；③相交法，延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体
的同一平面上.
（2）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直
线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
2 截面图形的形状及个数问题
例17 (2025·上海市格致中学期中)过正四面体的顶点 作一个形状为等腰三角
形的截面，使得截面与底面所成角为 ，这样的截面共可作出( )
D
A.6个 B.12个 C.15个 D.18个
【解析】不妨设正四面体的棱长为1，等边三角形的中心为 ，则正四面体的高
为，在中，以为圆心，以 为半径画圆，则所求截
面与平面 的交线为该圆的切线.
下面分三种情况进行讨论：
. .
. .
. .
（1）如图11-28，切线与 的任意一边平行，此时能作出6个截面；
图11-28
图11-29
（2）如图11-29，（点在边上，点在边 上，
均不与顶点重合）为切线且 ，此时易证
，所以，则截面 为等
腰三角形，这样的截面有6个；
图11-30
（3）如图11-30，过点作的切线，与交于点 ，由
有，对应 为等腰三角形，这
样的截面有6个.
综上，满足条件的截面共有18个.
3 截面中的计算问题
例18 (2025·福建省南平市高级中学期中)已知正方体 的棱长为1，
现有一个动平面 ，且平面，当平面 截此正方体所得截面边数最多时，
记此时的截面的面积为，周长为 ，则( )
A
A.不为定值，为定值 B.为定值， 不为定值
C.与均为定值 D.与 均不为定值
图11-31
【解析】正方体所有的棱实际上是3组平行的棱，所得截面
是六边形时满足条件，如图11-31所示，平面 即平面
.
作平面 .
正方体棱长为1，易知 .
设 ，则 ，
,
，
同理可得六边形其他两组相邻两边的和均为 ，
六边形的周长为定值 .
正三角形的面积为 .
当,,,,, 均为中点时，六边形的边长相等，此时截面面积最大，为
，
截面从平移到 的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到
小，故可得周长为定值，面积 不为定值.
例19 (2025·山西省太原市期中)在正四棱锥中，为的中点，过 作截
面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为,，则 的最大
值是___.
2
【解析】记正四棱锥的体积为，若求的最大值，由 为定值
知，只需求 的最小值.
图11-32
设过的截面分别交和于,，连接，交于点 ，连
接，则平面与平面的交线即为,设与相交于 ，
如图11-32，
由,均为中线得为的重心，则，令 ,
，则，则 ，
连接, ，
，
当且仅当时取等号，此时 .
所以 的最大值是2.
例20 (2025·黑龙江省齐齐哈尔市期中)已知正四面体内接于球，点 是底面三
角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为 的截面圆，则正四
面体 棱长的取值范围是( )
C
A.， B.， C. D.
图11-33
【解析】如图11-33，在正四面体中，设顶点 在底面上的射影
为，连接, ,
则球心在上，在上，连接，，设正四面体的棱长为 ，
则 ，
，则正四面体的高
，设外接球半径为 ，
在中， ，
即，解得 ，
在中， ，
过点作外接球的截面，只有当 垂直于截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为 ，最
大截面圆为过球心的大圆，半径为，由题设存在半径为 的
截面圆，，解得 .
一章一练·学思维知创新
例21 新定义 离散曲率 [多选题](2025·河南省安阳市期末)阅读数学材料：“设 为多
面体的一个顶点，定义多面体在点 处的离散曲率为
，其中
为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面 ，平面
， ，平面和平面为多面体的所有以 为公共点的面．”
已知在直四棱柱中，底面为菱形， ，则下列说法
正确的是( )
BC
A.直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B.若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为
C.若四面体在点处的离散曲率为，则 平面
D.若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面 所成
的角为
图11-34
【解析】如图11-34，对于A，当直四棱柱 的
底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散
曲率不相等，故A错误.
对于B，若，则菱形 为正方形，
平面，， 平面 ，
， ，
直四棱柱在顶点处的离散曲率为 ,故B正确.
对于C，在四面体中，,， ，
, 四面体在点 处的离散曲率为
,解得.由题意知 ，
，， 直四棱柱为正方体.连接 .
平面， 平面 ，
.
，，, 平面， 平面 .
平面， ，
同理可得 .
，， 平面 ，
平面 ，故C正确.
对于D，直四棱柱在顶点 处的离散曲率为
,则， 是等边三角形.
设，连接，,又易得, ,,
平面, 平面,即 平面 .
则是与平面 所成的角，
在中, ，故D错误．故选
．
高考命题点分析
03
命题点1 空间角
例22 (2025·全国高中数学联赛贵州赛区预赛)在正三棱锥中， ,
,过的平面 将其体积平分，则棱与平面 所成角的余弦值为_ ___.
图11-35
【解析】如图11-35，设的外接圆半径为 ,则由正弦定理知，
.
设到底面的距离为，则 ,
.
令的中点为，连接,，则 ，故
.
设到平面 的距离为,则,解得 .
令与平面 所成的角为 ，则 ,则
.
所以棱与平面 所成角的余弦值为 .
例23 (2025·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)设为正方体的棱
上的动点，则平面与平面 夹角的正切值的最小值为_ __.
图11-36
【解析】当与或重合时，所求夹角的正切值为 .
当异于,时，如图11-36，延长和交于点,则 为平
面与平面的公共点，连接，从而 为平面
与平面 的交线.
在平面内作于点，连接 ，
由正方体的性质易知 平面， 平面 ，
则， ,
又,, 平面，故 平面 ，又
平面，故 ，
故为二面角 的平面角.
设正方体棱长为1，,，易知 ,
故 ，
即，则,
.
在中，由等积法得 ,
故 ，当
且仅当点为 中点时等号成立，
故二面角的平面角的正切值的最小值为 ，则平
面与平面夹角的正切值的最小值为 .
命题点2 空间几何体的体积
例24 (2025· 清华大学强基计划)正三棱锥中，底面边长为4，,, 的中
点分别为，，，的中点为，三棱锥的外接球球心为 ，
,则三棱锥 的体积为_ ____.
图11-37
【解析】如图11-37，连接,,,,令 ,
, ,
易知在平面上的射影为直线，, ,
则
①.
，
整理得 ②，
将①②代入已知等式,得, ,所以三棱
锥的高,体积 .
例25 (2025·全国高中数学联赛上海赛区预赛)已知底面半径为3,高为4的圆锥内有一
个内接圆柱，圆柱的上底面与圆锥的侧面所围成的小圆锥内有一个内切球，求内接
圆柱与内切球的体积和的最大值.
图11-38
【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，内切小球的半径为 .
如图11-38所示，由,可得,即 ,
所以，于是圆柱的体积为 .
由,可得 .
因为,，所以 ,
所以.故小球的体积为 .
内接圆柱与内切球的体积和为 ，
.
因为 ,
当，即 时等号成立.
故的最大值为 ，从而所求体积和的最大值为
.
命题点3 距离（长度）问题
例26 (2025·全国高中数学联赛重庆赛区预赛)四面体满足, ,
,,设，，的中点分别为，，,则点 到直线
的距离为_ __.
【解析】如图11-39，,， .
图11-39
连接， .
，分别为， 中点，
.
同理,又,,, 平面, .
故 .
在中，,，到直线 的距离为
.
例27 (2024·全国高中数学联赛江西赛区预赛)是棱长为的正四面体 中的三
角形的中心，,分别是平面,上的动点，则 的最小值
为_ ___.
图11-40
【解析】如图11-40,点,分别是点关于平面,平面 的对
称点,线段，分别和平面交于点,,线段, 分别和平
面交于点,,点,分别是棱, 的中点.
则线段的长度与 相等，且是所求的最小值.
点和直线在平面内,点和直线在平面内,从而 在
平面内,且, .
为便于计算边长比例和角度,我们先设正四面体的棱长为,则 ，
.
在中，由余弦定理的推论得， ,
则在中，,则 ,
所以 ,
又,故的最小值为 .
命题点4 面积问题
例28 (2025·全国高中数学联赛福建赛区预赛)在正三棱锥 中，
,为侧棱的中点,若二面角的大小为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为____.
图11-41
【解析】如图11-41，设为的中点，连接，,过作
平面于，过作 平面于 .
因为为正三棱锥，且，为 的中点,
所以为的中心，，在线段 上，且
, .
连接，，则，所以 .
又,因此为二面角 的平面角.
所以 ，于是 ,
.
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在 上.
连接，在中，由勾股定理得，解得 .
所以三棱锥的外接球的表面积为
.
例29 (2025·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知三棱锥中，平面
平面，若， ，则该三棱锥的外接球的表
面积为____.
图11-42
【解析】如图11-42所示，因为，所以 为等
边三角形，取中点，连接，则外接圆圆心在 上，设
为 ，
由正三角形性质可得，的外接圆半径 ，则
.
在中， ， ，
所以，即 ，
由正弦定理得的外接圆半径 ，
设外接圆圆心为，连接,,,,则 ，
所以易得 平面, 平面,四边形 为菱形.
过作的平行线，过作的平行线，两线交于点 ，
则 为三棱锥的外接球的球心，
因为四边形为矩形，则 ，
连接，则三棱锥的外接球半径 ，
所以三棱锥的外接球的表面积 ．
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高二下学期数学人教B版必修第四册

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