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四川省泸州市龙马潭区五校联考2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．（2025·龙马潭模拟）在有理数，0，，中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．0
2．（2025·龙马潭模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·龙马潭模拟）如图，，若，，则与的相似比是(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·龙马潭模拟）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（　　）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
5．（2025·龙马潭模拟）解方程去分母，两边同乘后的式子为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·龙马潭模拟）下列图形中，是圆柱展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·龙马潭模拟）对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　）
A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是6
8．（2025·龙马潭模拟）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，若，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·龙马潭模拟）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
10．（2025·龙马潭模拟）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（　　）米？
A．120 B． C．140 D．
11．（2025·龙马潭模拟）如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2， 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．2
12．（2025·龙马潭模拟）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·龙马潭模拟）因式分解：=　 　．
14．（2025·龙马潭模拟）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则　 　．
15．（2025·龙马潭模拟）若关于x的不等式组仅有5个整数解，则的取值范围为　 　．
16．（2025·龙马潭模拟）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．（2025·龙马潭模拟）计算：
18．（2025·龙马潭模拟）已知：如图，点E、F在上，，，．求证：．
19．（2025·龙马潭模拟）化简：
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．（2025·龙马潭模拟）2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数；
（3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
21．（2025·龙马潭模拟）为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买、两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元．
（1）每件、奖品的价格各是多少元？
（2）根据需要，该学校准备购买、两种奖品共件，其中购买的种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，所需总费用为元，求所需总费用的最小值．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．（2025·龙马潭模拟）如图，某办公楼的后面有一栋建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离（，，在一条直线上）．求办公楼的高度．（参考数据：）
23．（2025·龙马潭模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连接 ，求的面积；
（3）当时，根据图象直接写出时，的取值范围．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．（2025·龙马潭模拟）如图，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．
25．（2025·龙马潭模拟）如图，抛物线y = ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴最小的是，
故答案为：C ．
【分析】利用0大于负数，正数大于0，两个负数比较大小，绝对值的反而小，由此即可求解．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、该选项符合题意；
B、和不能合并，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形对应边的比等于相似比，可求出结果.
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
∴一次函数的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【分析】根据正比例函数的增减性得到，从而，再根据一次函数的图象与系数份关系即可解答．
5．【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘后的式子为：，
故答案为：D
【分析】先去分母，方程两边同时乘以，将方程转化为整式方程即可.
6．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：圆柱展开图为两个圆和一个长方形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】利用圆柱展开图的特点进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；
B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误；
故答案为：D．
【分析】利用众数和中位数的定义分别求出这组数据的众数和中位数，可对A、D作出判断；再利用平均数公式求出其平均数，可对B作出判断；然后求出方差，可对C作出判断.
8．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接、，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】连接、，由切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得，由圆内接四边形的对角互补可得，由等腰三角形的两个底角相等可得，根据三角形的捏脚和定理可求出，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作于点E，于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点D作于点E，于点F，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，，再根据边边之间的关系可得，再根据正切定义即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=8，
∴OP=，
∴PQ=．
故答案为：A．
【分析】连接OQ，利用切线的性质可知的OQ⊥PQ，利用勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，利用解直角三角形可求出AB的长，利用直角三角形的两个面积公式可求出OP的长，然后利用勾股定理求出PQ的长即可.
12．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
故答案为：C．
【分析】先将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；再分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
13．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意x1+x2=2，x1 x2=-1，
∴，
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=2，x1 x2=-1，再计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有5个整数解，即：，0，1，2，3，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围求解即可．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接，以为一条边在右侧作正方形，
∵是直径，
∴，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为．
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，，
∵
∴，
∴
连接，，，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【分析】连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，连接，，，交于点N，利用三角形的三边关系有，利用勾股定理求出EO的长，可得到EN的长，而，据此可得到AP+PQ的最小值.
17．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=1-××1-4，然后计算乘法，再计算减法即可.
18．【答案】证明：∵在和中
，
．
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据题意证明出，然后得到，进而得到．
19．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
20．【答案】（1）1000，
解：一般的人数为：，补全条形图如图：
（2）解：，
（3）解：列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
答： 恰好抽到一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：（人）；
故答案为：1000.
【分析】（1）用了解的人数除以其所占的比例可求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，然后补全条形图即可.
（2）利用360°乘以“非常了解”所占的比例，列式计算求出圆心角的度数.
（3）利用列表法，可得到所有等可能的结果数及抽到一男一女的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：（人）；
一般的人数为：，补全条形图如图：
故答案为：1000；
（2），；
（3）列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
．
21．【答案】（1）解：设奖品的价格为元，奖品的价格为元，由题意可得，
，
解得：
答：奖品的价格为每件元，奖品的价格为每件元
（2）解：由题意可得，∵购买、两种奖品共件，购买件种奖品，
∴种奖品件，
∴（，且是整数）；
∵种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，
∴，
解得：，
∴，且是整数，
∵，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，
∴（元）
答：所需总费用的最小值为1440元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设奖品的价格为，奖品的价格为，根据买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元，据此列方程组，求解即可.
（）利用金额单价数量列出与种奖品数量间的关系，再根据种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，列不等式，求出的取值范围，然后利用一次函数的性质可求解.
22．【答案】解：过点作于点，设，
由题意得四边形是矩形，
∴米，，
在中，
，
．
在中，
∴，即，
解得：．
∴办公楼的高度为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】过点作于点，设，易证四边形是矩形，可得到BM的长；利用已知可表示出AM、ME的长，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
23．【答案】（1）解：点、在函数图象上，
，
点坐标为，点坐标为，
把，代入一次函数中，得
，
解得：，
一次函数的解析式为：
（2）解：如图所示，连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
的面积为
（3）当或时，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知：
当或时，
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求出m、n的值，可得到点A、B的坐标；再将的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，利用一次函数解析式分别求出点C、D的坐标；再根据，利用三角形的面积公式进行计算即可.
（3）利用点A、B的横坐标，根据函数图象，可求出符合题意的x的取值范围.
（1）解：点、在函数图象上，
，
点坐标为，点坐标为，
把，代入一次函数中，得
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图所示，连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
的面积为；
（3）解：根据图象可知：
当或时，．
24．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=
【知识点】切线的判定；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角可证得∠ADB=∠ADC=90°，由此可证得△ADC∽△BAC，利用相似三角形的性质可知∠BAC=90°，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用相似三角形的性质求出CA的长度，利用勾股定理求出AD的长，同时可证得∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出CF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.
25．【答案】解：（1）由题意，得
解得，b=－1．
所以抛物线的解析式为，
顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为
DH+CH=DH+HB=BD=．而．
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．
设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1= 3．
所以直线BD的解析式为y=x+ 3．
由于BC= 2，CE=BC =，Rt△CEG∽△COB，
得CE：CO=CG：CB，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y=x+．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则KN=yK－yN=－（t+）=．
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+ 3）+KN（1－t）= 2KN= －t2－3t+ 5 =－（t+）2+．
即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）
【知识点】二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，可得到关于、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到二次函数解析式，然后求出其顶点坐标.（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点，利用平面直角坐标系中两点的距离公式可求出DH+CH和CD的值，即可求出△CDH的最小周长值；利用待定系数法求出直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，将两函数解析式联立方程组，可求出点H的坐标.
（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区五校联考2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．（2025·龙马潭模拟）在有理数，0，，中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴最小的是，
故答案为：C ．
【分析】利用0大于负数，正数大于0，两个负数比较大小，绝对值的反而小，由此即可求解．
2．（2025·龙马潭模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、该选项符合题意；
B、和不能合并，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同类项，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则计算求解即可。
3．（2025·龙马潭模拟）如图，，若，，则与的相似比是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形对应边的比等于相似比，可求出结果.
4．（2025·龙马潭模拟）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（　　）
A．一、二、四 B．一、二、三 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
∴一次函数的图象所经过第一，三，四象限，
故选：C．
【分析】根据正比例函数的增减性得到，从而，再根据一次函数的图象与系数份关系即可解答．
5．（2025·龙马潭模拟）解方程去分母，两边同乘后的式子为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：两边同乘后的式子为：，
故答案为：D
【分析】先去分母，方程两边同时乘以，将方程转化为整式方程即可.
6．（2025·龙马潭模拟）下列图形中，是圆柱展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：圆柱展开图为两个圆和一个长方形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】利用圆柱展开图的特点进行判断即可．
7．（2025·龙马潭模拟）对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　）
A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；
B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误；
故答案为：D．
【分析】利用众数和中位数的定义分别求出这组数据的众数和中位数，可对A、D作出判断；再利用平均数公式求出其平均数，可对B作出判断；然后求出方差，可对C作出判断.
8．（2025·龙马潭模拟）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，若，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接、，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】连接、，由切线的性质“圆的切线垂直于过切点的半径”可得，由圆内接四边形的对角互补可得，由等腰三角形的两个底角相等可得，根据三角形的捏脚和定理可求出，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
9．（2025·龙马潭模拟）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
10．（2025·龙马潭模拟）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（　　）米？
A．120 B． C．140 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作于点E，于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点D作于点E，于点F，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，，再根据边边之间的关系可得，再根据正切定义即可求出答案.
11．（2025·龙马潭模拟）如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2， 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=8，
∴OP=，
∴PQ=．
故答案为：A．
【分析】连接OQ，利用切线的性质可知的OQ⊥PQ，利用勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，利用解直角三角形可求出AB的长，利用直角三角形的两个面积公式可求出OP的长，然后利用勾股定理求出PQ的长即可.
12．（2025·龙马潭模拟）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜
C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
故答案为：C．
【分析】先将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的方程，再根据b2-4ac＞0，可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；再分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·龙马潭模拟）因式分解：=　 　．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
14．（2025·龙马潭模拟）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则　 　．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意x1+x2=2，x1 x2=-1，
∴，
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=2，x1 x2=-1，再计算求解即可。
15．（2025·龙马潭模拟）若关于x的不等式组仅有5个整数解，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有5个整数解，即：，0，1，2，3，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围求解即可．
16．（2025·龙马潭模拟）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接，以为一条边在右侧作正方形，
∵是直径，
∴，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为．
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，，
∵
∴，
∴
连接，，，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【分析】连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，连接，，，交于点N，利用三角形的三边关系有，利用勾股定理求出EO的长，可得到EN的长，而，据此可得到AP+PQ的最小值.
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．（2025·龙马潭模拟）计算：
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=1-××1-4，然后计算乘法，再计算减法即可.
18．（2025·龙马潭模拟）已知：如图，点E、F在上，，，．求证：．
【答案】证明：∵在和中
，
．
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据题意证明出，然后得到，进而得到．
19．（2025·龙马潭模拟）化简：
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．（2025·龙马潭模拟）2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数；
（3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）1000，
解：一般的人数为：，补全条形图如图：
（2）解：，
（3）解：列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
答： 恰好抽到一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：（人）；
故答案为：1000.
【分析】（1）用了解的人数除以其所占的比例可求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，然后补全条形图即可.
（2）利用360°乘以“非常了解”所占的比例，列式计算求出圆心角的度数.
（3）利用列表法，可得到所有等可能的结果数及抽到一男一女的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：（人）；
一般的人数为：，补全条形图如图：
故答案为：1000；
（2），；
（3）列表分析如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果，
．
21．（2025·龙马潭模拟）为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买、两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元．
（1）每件、奖品的价格各是多少元？
（2）根据需要，该学校准备购买、两种奖品共件，其中购买的种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，所需总费用为元，求所需总费用的最小值．
【答案】（1）解：设奖品的价格为元，奖品的价格为元，由题意可得，
，
解得：
答：奖品的价格为每件元，奖品的价格为每件元
（2）解：由题意可得，∵购买、两种奖品共件，购买件种奖品，
∴种奖品件，
∴（，且是整数）；
∵种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，
∴，
解得：，
∴，且是整数，
∵，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，
∴（元）
答：所需总费用的最小值为1440元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设奖品的价格为，奖品的价格为，根据买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元，据此列方程组，求解即可.
（）利用金额单价数量列出与种奖品数量间的关系，再根据种奖品的数量不超过种奖品数量的倍，列不等式，求出的取值范围，然后利用一次函数的性质可求解.
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．（2025·龙马潭模拟）如图，某办公楼的后面有一栋建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离（，，在一条直线上）．求办公楼的高度．（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，设，
由题意得四边形是矩形，
∴米，，
在中，
，
．
在中，
∴，即，
解得：．
∴办公楼的高度为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】过点作于点，设，易证四边形是矩形，可得到BM的长；利用已知可表示出AM、ME的长，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
23．（2025·龙马潭模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）连接 ，求的面积；
（3）当时，根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：点、在函数图象上，
，
点坐标为，点坐标为，
把，代入一次函数中，得
，
解得：，
一次函数的解析式为：
（2）解：如图所示，连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
的面积为
（3）当或时，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：根据图象可知：
当或时，
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求出m、n的值，可得到点A、B的坐标；再将的坐标代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，利用一次函数解析式分别求出点C、D的坐标；再根据，利用三角形的面积公式进行计算即可.
（3）利用点A、B的横坐标，根据函数图象，可求出符合题意的x的取值范围.
（1）解：点、在函数图象上，
，
点坐标为，点坐标为，
把，代入一次函数中，得
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图所示，连接，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
的面积为；
（3）解：根据图象可知：
当或时，．
六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分）
24．（2025·龙马潭模拟）如图，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵△ADC∽△BAC（已证），
∴，即AC2=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=
【知识点】切线的判定；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角可证得∠ADB=∠ADC=90°，由此可证得△ADC∽△BAC，利用相似三角形的性质可知∠BAC=90°，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用相似三角形的性质求出CA的长度，利用勾股定理求出AD的长，同时可证得∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出CF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长.
25．（2025·龙马潭模拟）如图，抛物线y = ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
【答案】解：（1）由题意，得
解得，b=－1．
所以抛物线的解析式为，
顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为
DH+CH=DH+HB=BD=．而．
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．
设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1= 3．
所以直线BD的解析式为y=x+ 3．
由于BC= 2，CE=BC =，Rt△CEG∽△COB，
得CE：CO=CG：CB，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y=x+．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则KN=yK－yN=－（t+）=．
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+ 3）+KN（1－t）= 2KN= －t2－3t+ 5 =－（t+）2+．
即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）
【知识点】二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，可得到关于、b的方程组，解方程组求出a、b的值，可得到二次函数解析式，然后求出其顶点坐标.（2）根据抛物线的解析式可求出C点的坐标，由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点，利用平面直角坐标系中两点的距离公式可求出DH+CH和CD的值，即可求出△CDH的最小周长值；利用待定系数法求出直线BC的解析式，关键是求出直线EF的解析式；由于E是BC的中点，根据B、C的坐标即可求出E点的坐标；可证△CEG∽△COB，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG、OG的长，由此可求出G点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式，将两函数解析式联立方程组，可求出点H的坐标.
（3）过K作x轴的垂线，交直线EF于N；设出K点的横坐标，根据抛物线和直线EF的解析式，即可表示出K、N的纵坐标，也就能得到KN的长，以KN为底，F、E横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF的面积，由此可得到关于△KEF的面积与K点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K点坐标．
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