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甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年七年级上册期末数学试卷
1．（2026七上·兰州期末）李老师用一个透明水杯（如图所示）泡了一杯茶，在喝了一部分后，他发现无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】截一个几何体；圆柱的特征
【解析】【解答】解：∵无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形，
∴该选项A符合题意；
∵当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形，
∴该选项B不符合题意；
∵当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆，
∴该选项C不符合题意；
∵当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆，
∴该选项D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据水杯的视图我们可以得出当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形，圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆，当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆，无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形，即可得出答案。
2．（2026七上·兰州期末）在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：非负数有：1，0，，2025，0.6，共5个。
故答案为：D.
【分析】根据非负数包括正数和0，逐个进行识别，即可得出答案。
3．（2026七上·兰州期末）塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场．半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由增加到． 数据10368000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10368000 =1.0368×107.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确书写即可。
4．（2026七上·兰州期末）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，据此可得答案.
5．（2026七上·兰州期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 若，当时，与不一定相等，原说法错误，故选项不符合题意；
B. 若，则，原说法错误，故选项不符合题意；
C. 若，两边同时除以，得，该说法正确，故选项符合题意；
D. 若，则，原说法错误，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
6．（2026七上·兰州期末）下列调查适合做全面调查的是（　　）
A．调查游客对兰州市三台阁景点的满意程度
B．调查甘肃省中小学生的身高情况
C．调查某校九年级（3）班全体学生每周锻炼的次数
D．调查兰州市中小学生保护淡水资源的意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查游客对兰州市三台阁景点的满意程度，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
B、调查甘肃省中小学生的身高情况，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
C、 调查某校九年级（3）班全体学生每周锻炼的次数，适合采用全面调查，故选项符合题意；
D、调查兰州市中小学生保护淡水资源的意识，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
7．（2026七上·兰州期末）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
8．（2026七上·兰州期末）下列说法正确的有（　　）
①有绝对值最小的有理数，也有绝对值最大的有理数；②数轴上表示的点一定在原点的右边；③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；④角的大小与角两条边的长短无关；⑤射线和射线表示的是同一条射线；⑥角度为的角与角度数为的角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离；常用角的度量单位及换算；用字母表示数；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值最小的数是0，没有绝对值最大的有理数，所以①不正确；当a=0时， 数轴上表示的点在原点，当a＜0时，数轴上表示的点在原点的左边，所以②不正确；距离是线段的长度，所以③不正确； 角的大小与角两条边的长短无关； 所以④正确； 射线和射线端点不同，方向也不同，即可得出⑤不正确；转化为度分秒的形式为：38°15'，所以⑥正确。综上即可得出答案。
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的意义可得出①不正确；根据字母表示数的意义以及有理数在数轴上的表示，可得出②不正确；根据两点间的距离的定义可得出③不正确；根据角的定义，可得出④正确；根据射线的定义可得出⑤不正确；根据角度单位的互化可得出⑥正确。
9．（2026七上·兰州期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是（　　）
A．1 B．4 C． D．﹣1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，得
把 代入 得，
-2+5a=3 ，
解得
故答案为：A.
【分析】根据方程的解相同，可得关于a的方程，解方程即可得答案．
10．（2026七上·兰州期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 若设竿长为尺， 根据题意，可得： 。
故答案为：B.
【分析】 若设竿长为尺， 根据若 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺， 即可得出方程 ： 。
11．（2026七上·兰州期末）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点 F，再画射线．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；邻补角
【解析】【解答】解：由作图知：∠COF=∠BOC=41°，
∴∠BOF=41°+41°=82°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-82°=98°。
故答案为：C.
【分析】首先由尺规作图可知∠COF=∠BOC=41°，进而可得出∠BOF=41°+41°=82°，再根据邻补角的性质，即可得出∠AOF=180°-∠BOF=180°-82°=98°。
12．（2026七上·兰州期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　 　．
【答案】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间线段最短结合题意即可求解。
13．（2026七上·兰州期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则　 　．
【答案】0
【知识点】一元一次方程的概念；解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程是一元一次方程，
∴k+1=1，且k-2≠0，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】根据一元一次方程的定义，可得出k+1=1，且k-2≠0，进而即可得出k=0.
14．（2026七上·兰州期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则　 　．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；方位角
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】利用角的运算和角的单位换算（1°=60'，1'=60''）分析求解即可.
15．（2026七上·兰州期末）如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为　 　．
【答案】5050
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴．
故答案为：．
【分析】根据所给数据总结出规律，最后将代入即可求值．
16．（2026七上·兰州期末）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则进行运算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则，先算乘方。再算乘除，最后算加减即可。
17．（2026七上·兰州期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
去括号∶
移项：
合并同类项：
化系数为1：
（2）解：
去分母：，
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
18．（2026七上·兰州期末）如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
（2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加　 　个小正方体．
【答案】（1）解：几何体从正面、左面和上面看到的形状图如下：
（2）4
【知识点】简单组合体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）如图，因为从上面看到的形状图不变，所以第1层不能添加小正方形；又因为从左面看到的形状图不变，由于第2排只有1层1列，不能再往上添加；而第1排有3层3列，第1列有3层，第2和第3列有1层，所以后面两列添加后的正方形层数不超过3即可，所以最多可以添加2+2=4（个）.
故答案为：4.
【分析】（1）几何体从正面可以看到层和列，从左面可以看到排和层，从上面可以看到排和列. 根据从不同方向看到的几何体分别作图即可；
( 2 )保持这个几何体从左面和上面看不变，根据层和列及排来分析哪些可以改变，哪些不能改变即可.
19．（2026七上·兰州期末）数学老师在黑板上书写了一个正确演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求手捂的多项式；
（2）若x满足方程， 求手捂的多项式的值；
（3）若手捂的多项式的值与多项式的值互为相反数，请求x的值．
【答案】（1）解：
，
∴手捂的多项式为
（2）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
∴，
∴手捂的多项式的值为4
（3）解：∵手捂的多项式的值与多项式的值互为相反数，
∴，
解得
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先正确列出求手捂多项式的代数式，进而根据整式加减法则进行计算即可；
（2）首先解方程，求出x=2，进而再根据（1）的结果，求代数式的值即可；
（3）根据相反数的性质，可得出，再解方程求解即可。
20．（2026七上·兰州期末）如图，已知点A和线段．
（1）请用尺规作图：
①作出直线，射线；
②延长，在的延长线上截取，连接．
（2）　 　（请在横线上填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】（1）解：①如图所示，
②如图所示，
（2）＞
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）因为，所以，因为，所以
故答案为：．
【分析】（1）①根据直线和射线的画法画出图形即可；②根据作一条线段等于已知线段的作法， 在的延长线上截取，再连接即可；
（2）首先得出，进而根据两点之间，线段最短，即可得出答案。
21．（2026七上·兰州期末）如图，学校要利用围墙建一个长方形的自行车存车场，其它三面用护栏围起来，其中与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米．
（1）求护栏的长度；（用含m，n的代数式表示）
（2）若，，每米护栏造价50元，求建此存车场护栏所需的费用．
【答案】（1）解：由题意得：与围墙平行的一边长为：米，
∴护栏的长度为：
米
（2）解：由（1）得护栏的长度为米，
当，，每米护栏造价50元时，
建此存车场护栏所需的费用为：
（元）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）首先根据 与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米． 得出与围墙平行的一边长为：米，进而即可得出护栏的长度为：，进一步进行化简即可；
（2）由（1）的结果，可得出建此存车场护栏所需的费用为：，进一步求出当，时此代数式的值即可。
22．（2026七上·兰州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵是的中点，
∴．
答：的长度为
（2）解：∵是的中点，
∴．
由（1）知，
∴．
答：的长度为
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和求得，进而根据点E是AB的中点，可得出；
（2）根据点D是的中点，可得出，进而即可得出．
23．（2026七上·兰州期末）某中学在七、八年级准备开展社团活动，分别设置体育类、艺术类、文学类及其他类社团，要求人人参与，且每人只能选择一项，为解学生的喜好，学校做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为　 　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）求其他社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（4）这所中学七、八年级一共有名学生，估计这所中学选择文学社团的学生有多少人？
【答案】（1）200
（2）解：选择艺术类的学生人数为人，
选择其他类社团的学生人数为人，
∴将条形统计图补充完整如下：
（3）解：其他社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为
（4）解：估计这所中学选择文学社团的学生有人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生总人数为人，
故答案为：；
【分析】（1）由条形统计图知：参与体育的人数为80人，由扇形统计图可知：参与体育的人数占总人数的40%，即可得出本次调查的学生总人数为人；
（2）根据艺术社团所占的比例，即可得出选择艺术类的学生人数为人，进而可得出选择其他类社团的学生人数为人，并补全条形统计图即可；
（3）根据（2）中其他社团的人数，除以总人数200，再乘以360°即可；
（4）首先求出样本中选择文学社团的学生所占的比例，再乘以2200，即可得出这所中学选择文学社团的学生人数。
24．（2026七上·兰州期末）如图，是直角，，是的平分线，是的平分线．
（1）求的大小；
（2）当锐角的大小发生改变时，的大小会发生改变吗，为什么？
【答案】（1）解：∵是直角，
∴，
又∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴
（2）解：当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为，理由如下：
根据题意知，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴，
∴当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据垂直定义得出，进而得出，再根据角平分线的定义，可得出，进而根据两角的差，即可得出；
（2）当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为，，进而根据角平分线的定义，可得出，进而得出。
25．（2026七上·兰州期末）如果两个方程的解相差，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的后移方程．
（1）请判断方程是否为方程的后移方程　 　填“是”或“否”；
（2）若关于的方程是关于的方程的后移方程，求的值．
【答案】（1）是
（2）解：解方程得：，
解方程得：，
关于的方程是关于的方程的后移方程，
，
，
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；有理数的减法法则
【解析】【解答】（1）解：解方程得：，解方程得：，
，
方程是方程的后移方程．
故答案为：是；
【分析】（1）首先分别解两个方程，进而求出两解的差，根据“后移方程”的定义，即可得出答案；
（2）首先解方程求得两方程的解分别为，，再根据后移方程的定义，可得出 ，进而解方程，即可得出。
26．（2026七上·兰州期末）如图，的边上有一动点，从到点的距离的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；射线绕着点从开始以的速度顺时针旋转．已知动点P，Q以及射线同时运动，设运动时间是．
（1）当点在上运动时，　 　．（用含的代数式表示）
（2）当点在线段上运动，为何值时，？此时射线是的平分线吗？并说明理由．
（3）是否存在，使得P，Q两点在射线上相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由知，，
当时，则有，
即时，能使=，
射线绕着点从上以每秒的速度顺时针旋转，
，
，
，
射线是的角平分线
（3）解：分为两种情形.当、相遇前相距时，，
，解这个方程，得，
，
，
当、相遇后相距时，，
，解这个方程，得，
，
综合上述或，P，Q两点在射线上相距
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：当点在上运动时，
由运动知，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）首先得出点P移动的距离为：2tcm，进而即可得出PO=（18-2t）cm；
（2）由题意可得出：，解方程即可求得t的值；进而可得出∠AOC=5t=5×6=30°，结合∠AOB=60°，即可得出射线是的角平分线；
（3）分为两种情形.当、相遇前相距时，，可得出，解这个方程，得，进一步求得此时，；当、相遇后相距时，，可得出，解这个方程，得，进一步求得此时，，综上即可得出或，P，Q两点在射线上相距。
1 / 1甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年七年级上册期末数学试卷
1．（2026七上·兰州期末）李老师用一个透明水杯（如图所示）泡了一杯茶，在喝了一部分后，他发现无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026七上·兰州期末）在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2026七上·兰州期末）塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场．半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由增加到． 数据10368000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026七上·兰州期末）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026七上·兰州期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2026七上·兰州期末）下列调查适合做全面调查的是（　　）
A．调查游客对兰州市三台阁景点的满意程度
B．调查甘肃省中小学生的身高情况
C．调查某校九年级（3）班全体学生每周锻炼的次数
D．调查兰州市中小学生保护淡水资源的意识
7．（2026七上·兰州期末）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
8．（2026七上·兰州期末）下列说法正确的有（　　）
①有绝对值最小的有理数，也有绝对值最大的有理数；②数轴上表示的点一定在原点的右边；③连接两点之间的线段，叫做两点间的距离；④角的大小与角两条边的长短无关；⑤射线和射线表示的是同一条射线；⑥角度为的角与角度数为的角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2026七上·兰州期末）关于x的方程2x+5a＝3的解与方程2x+2＝0的解相同，则a的值是（　　）
A．1 B．4 C． D．﹣1
10．（2026七上·兰州期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为尺，则可列方程为（　　）
A． B． C．2 D．
11．（2026七上·兰州期末）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点 F，再画射线．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2026七上·兰州期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是　 　．
13．（2026七上·兰州期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则　 　．
14．（2026七上·兰州期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则　 　．
15．（2026七上·兰州期末）如图所示为“杨辉三角”或“贾宪三角”系数表．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，则第100个数记为　 　．
16．（2026七上·兰州期末）计算：
（1）；
（2）
17．（2026七上·兰州期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2026七上·兰州期末）如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
（2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加　 　个小正方体．
19．（2026七上·兰州期末）数学老师在黑板上书写了一个正确演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求手捂的多项式；
（2）若x满足方程， 求手捂的多项式的值；
（3）若手捂的多项式的值与多项式的值互为相反数，请求x的值．
20．（2026七上·兰州期末）如图，已知点A和线段．
（1）请用尺规作图：
①作出直线，射线；
②延长，在的延长线上截取，连接．
（2）　 　（请在横线上填“＞”“＜”或“＝”）．
21．（2026七上·兰州期末）如图，学校要利用围墙建一个长方形的自行车存车场，其它三面用护栏围起来，其中与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米．
（1）求护栏的长度；（用含m，n的代数式表示）
（2）若，，每米护栏造价50元，求建此存车场护栏所需的费用．
22．（2026七上·兰州期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．
（1）求的长度；
（2）求的长度．
23．（2026七上·兰州期末）某中学在七、八年级准备开展社团活动，分别设置体育类、艺术类、文学类及其他类社团，要求人人参与，且每人只能选择一项，为解学生的喜好，学校做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为　 　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）求其他社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（4）这所中学七、八年级一共有名学生，估计这所中学选择文学社团的学生有多少人？
24．（2026七上·兰州期末）如图，是直角，，是的平分线，是的平分线．
（1）求的大小；
（2）当锐角的大小发生改变时，的大小会发生改变吗，为什么？
25．（2026七上·兰州期末）如果两个方程的解相差，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的后移方程．
（1）请判断方程是否为方程的后移方程　 　填“是”或“否”；
（2）若关于的方程是关于的方程的后移方程，求的值．
26．（2026七上·兰州期末）如图，的边上有一动点，从到点的距离的点处出发，沿线段、射线运动，速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为；射线绕着点从开始以的速度顺时针旋转．已知动点P，Q以及射线同时运动，设运动时间是．
（1）当点在上运动时，　 　．（用含的代数式表示）
（2）当点在线段上运动，为何值时，？此时射线是的平分线吗？并说明理由．
（3）是否存在，使得P，Q两点在射线上相距？若存在，请求出的值，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】截一个几何体；圆柱的特征
【解析】【解答】解：∵无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形，
∴该选项A符合题意；
∵当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形，
∴该选项B不符合题意；
∵当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆，
∴该选项C不符合题意；
∵当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆，
∴该选项D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据水杯的视图我们可以得出当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形，圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆，当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆，无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】有理数的分类；有理数中的“非”数问题
【解析】【解答】解：非负数有：1，0，，2025，0.6，共5个。
故答案为：D.
【分析】根据非负数包括正数和0，逐个进行识别，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 10368000 =1.0368×107.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确书写即可。
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，据此可得答案.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A. 若，当时，与不一定相等，原说法错误，故选项不符合题意；
B. 若，则，原说法错误，故选项不符合题意；
C. 若，两边同时除以，得，该说法正确，故选项符合题意；
D. 若，则，原说法错误，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用等式的性质（ 等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立 ）逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查游客对兰州市三台阁景点的满意程度，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
B、调查甘肃省中小学生的身高情况，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
C、 调查某校九年级（3）班全体学生每周锻炼的次数，适合采用全面调查，故选项符合题意；
D、调查兰州市中小学生保护淡水资源的意识，适合采用抽样调查，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；线段上的两点间的距离；常用角的度量单位及换算；用字母表示数；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：绝对值最小的数是0，没有绝对值最大的有理数，所以①不正确；当a=0时， 数轴上表示的点在原点，当a＜0时，数轴上表示的点在原点的左边，所以②不正确；距离是线段的长度，所以③不正确； 角的大小与角两条边的长短无关； 所以④正确； 射线和射线端点不同，方向也不同，即可得出⑤不正确；转化为度分秒的形式为：38°15'，所以⑥正确。综上即可得出答案。
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的意义可得出①不正确；根据字母表示数的意义以及有理数在数轴上的表示，可得出②不正确；根据两点间的距离的定义可得出③不正确；根据角的定义，可得出④正确；根据射线的定义可得出⑤不正确；根据角度单位的互化可得出⑥正确。
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，得
把 代入 得，
-2+5a=3 ，
解得
故答案为：A.
【分析】根据方程的解相同，可得关于a的方程，解方程即可得答案．
10．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 若设竿长为尺， 根据题意，可得： 。
故答案为：B.
【分析】 若设竿长为尺， 根据若 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺， 即可得出方程 ： 。
11．【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；邻补角
【解析】【解答】解：由作图知：∠COF=∠BOC=41°，
∴∠BOF=41°+41°=82°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-82°=98°。
故答案为：C.
【分析】首先由尺规作图可知∠COF=∠BOC=41°，进而可得出∠BOF=41°+41°=82°，再根据邻补角的性质，即可得出∠AOF=180°-∠BOF=180°-82°=98°。
12．【答案】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间线段最短结合题意即可求解。
13．【答案】0
【知识点】一元一次方程的概念；解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程是一元一次方程，
∴k+1=1，且k-2≠0，
∴k=0.
故答案为：0.
【分析】根据一元一次方程的定义，可得出k+1=1，且k-2≠0，进而即可得出k=0.
14．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；方位角
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：.
【分析】利用角的运算和角的单位换算（1°=60'，1'=60''）分析求解即可.
15．【答案】5050
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴．
故答案为：．
【分析】根据所给数据总结出规律，最后将代入即可求值．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则进行运算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则，先算乘方。再算乘除，最后算加减即可。
17．【答案】（1）解：
去括号∶
移项：
合并同类项：
化系数为1：
（2）解：
去分母：，
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
18．【答案】（1）解：几何体从正面、左面和上面看到的形状图如下：
（2）4
【知识点】简单组合体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）如图，因为从上面看到的形状图不变，所以第1层不能添加小正方形；又因为从左面看到的形状图不变，由于第2排只有1层1列，不能再往上添加；而第1排有3层3列，第1列有3层，第2和第3列有1层，所以后面两列添加后的正方形层数不超过3即可，所以最多可以添加2+2=4（个）.
故答案为：4.
【分析】（1）几何体从正面可以看到层和列，从左面可以看到排和层，从上面可以看到排和列. 根据从不同方向看到的几何体分别作图即可；
( 2 )保持这个几何体从左面和上面看不变，根据层和列及排来分析哪些可以改变，哪些不能改变即可.
19．【答案】（1）解：
，
∴手捂的多项式为
（2）解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
∴，
∴手捂的多项式的值为4
（3）解：∵手捂的多项式的值与多项式的值互为相反数，
∴，
解得
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先正确列出求手捂多项式的代数式，进而根据整式加减法则进行计算即可；
（2）首先解方程，求出x=2，进而再根据（1）的结果，求代数式的值即可；
（3）根据相反数的性质，可得出，再解方程求解即可。
20．【答案】（1）解：①如图所示，
②如图所示，
（2）＞
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）因为，所以，因为，所以
故答案为：．
【分析】（1）①根据直线和射线的画法画出图形即可；②根据作一条线段等于已知线段的作法， 在的延长线上截取，再连接即可；
（2）首先得出，进而根据两点之间，线段最短，即可得出答案。
21．【答案】（1）解：由题意得：与围墙平行的一边长为：米，
∴护栏的长度为：
米
（2）解：由（1）得护栏的长度为米，
当，，每米护栏造价50元时，
建此存车场护栏所需的费用为：
（元）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）首先根据 与围墙平行的一边长比与围墙垂直的一边长多米． 得出与围墙平行的一边长为：米，进而即可得出护栏的长度为：，进一步进行化简即可；
（2）由（1）的结果，可得出建此存车场护栏所需的费用为：，进一步求出当，时此代数式的值即可。
22．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵是的中点，
∴．
答：的长度为
（2）解：∵是的中点，
∴．
由（1）知，
∴．
答：的长度为
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和求得，进而根据点E是AB的中点，可得出；
（2）根据点D是的中点，可得出，进而即可得出．
23．【答案】（1）200
（2）解：选择艺术类的学生人数为人，
选择其他类社团的学生人数为人，
∴将条形统计图补充完整如下：
（3）解：其他社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为
（4）解：估计这所中学选择文学社团的学生有人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生总人数为人，
故答案为：；
【分析】（1）由条形统计图知：参与体育的人数为80人，由扇形统计图可知：参与体育的人数占总人数的40%，即可得出本次调查的学生总人数为人；
（2）根据艺术社团所占的比例，即可得出选择艺术类的学生人数为人，进而可得出选择其他类社团的学生人数为人，并补全条形统计图即可；
（3）根据（2）中其他社团的人数，除以总人数200，再乘以360°即可；
（4）首先求出样本中选择文学社团的学生所占的比例，再乘以2200，即可得出这所中学选择文学社团的学生人数。
24．【答案】（1）解：∵是直角，
∴，
又∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴
（2）解：当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为，理由如下：
根据题意知，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴，
∴当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）首先根据垂直定义得出，进而得出，再根据角平分线的定义，可得出，进而根据两角的差，即可得出；
（2）当锐角的大小发生改变时，的度数不会发生变化，始终为，，进而根据角平分线的定义，可得出，进而得出。
25．【答案】（1）是
（2）解：解方程得：，
解方程得：，
关于的方程是关于的方程的后移方程，
，
，
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；有理数的减法法则
【解析】【解答】（1）解：解方程得：，解方程得：，
，
方程是方程的后移方程．
故答案为：是；
【分析】（1）首先分别解两个方程，进而求出两解的差，根据“后移方程”的定义，即可得出答案；
（2）首先解方程求得两方程的解分别为，，再根据后移方程的定义，可得出 ，进而解方程，即可得出。
26．【答案】（1）
（2）解：由知，，
当时，则有，
即时，能使=，
射线绕着点从上以每秒的速度顺时针旋转，
，
，
，
射线是的角平分线
（3）解：分为两种情形.当、相遇前相距时，，
，解这个方程，得，
，
，
当、相遇后相距时，，
，解这个方程，得，
，
综合上述或，P，Q两点在射线上相距
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：当点在上运动时，
由运动知，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）首先得出点P移动的距离为：2tcm，进而即可得出PO=（18-2t）cm；
（2）由题意可得出：，解方程即可求得t的值；进而可得出∠AOC=5t=5×6=30°，结合∠AOB=60°，即可得出射线是的角平分线；
（3）分为两种情形.当、相遇前相距时，，可得出，解这个方程，得，进一步求得此时，；当、相遇后相距时，，可得出，解这个方程，得，进一步求得此时，，综上即可得出或，P，Q两点在射线上相距。
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