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四川省德阳市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025八上·德阳期末）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·德阳期末）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·德阳期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·德阳期末）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．（2025八上·德阳期末）如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·德阳期末）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·德阳期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·德阳期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2025八上·德阳期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2025八上·德阳期末）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为（　　）
A．（4，1） B．（4， 2）
C．（2，2） D．（4， 2）或（2，4）
11．（2025八上·德阳期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．15 B．11 C．10 D．18
12．（2025八上·德阳期末）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PCQB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（2025八上·德阳期末）因式分解： 　 　.
14．（2025八上·德阳期末）若m、n满足，则　 　．
15．（2025八上·德阳期末）已知a+=5，则a2+的值是　 　 ．
16．（2025八上·德阳期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为　 　度．
17．（2025八上·德阳期末）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是　 　．
18．（2025八上·德阳期末）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　 　．
19．（2025八上·德阳期末）如图，在四边形中，点为边上一点．，，点为中点．连，，分别交，于．两点下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④．其中正确的结论是 　 　．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2025八上·德阳期末）解决下列问题：
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）分解因式：；
（4）已知关于的分式方程有增根，求的值．
21．（2025八上·德阳期末）先化简，再求值：已知，其中x满足．
22．（2025八上·德阳期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴．
（1）求出点的坐标；
（2）作出关于轴对称的；
（3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____．
23．（2025八上·德阳期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．（2025八上·德阳期末）“灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个．
（1）求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？
（2）该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？
25．（2025八上·德阳期末）已知，在平面直角坐标系中，，，且，满足．是线段上一动点，是轴负半轴上一点，且．
（1）求的度数；
（2）如图1，设，若，求点的坐标；
（3）如图2，过点作于点，设，当点运动时，的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则，逐项进行计算判断即可.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，，
∴△POM≌△PON(HL).
故答案为：D.
【分析】由垂直的定义得∠PMO=∠PNO=90°，由于直角边OM=ON，斜边OP是公共边，从而根据在两个直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，可得结论.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、加上，无法构成完全平方式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程得AB=AD=BC=CD，由四边相等的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，由菱形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=136°，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角得出∠CBD的度数.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，
∴∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠DAE=60°，∠B=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得到BF=4；连接AF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到FA=FB=4，由等边对等角得出∠FAB=∠B=30°，进而根据角的和差可证出∠DAF=∠D，再由等角对等边得到DF=AF=4．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①利用整体法计算该图形的面积为(a+b)2，利用分割求和法表示该图形的面积为a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，①符合题意；
②利用整体法计算大正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-2ab+b2，
∴(a-b)2=a2-2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，②符合题意；
③利用整体法计算大正方形的面积为(a+b)(a-b)，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-b2，
∴(a+b)(a-b)=a2-b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，③符合题意；
④利用整体法计算小正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示小正方形的面积为 (a+b)2 -4ab，
∴(a-b)2= (a+b)2 -4ab ，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共4个.
故答案为：．
【分析】根据正方形及长方形面积公式，用整体法及分割求和法分别表示出同一个图形的面积，即可验证各个恒等式，从而得出结论.
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴∠COA=∠OAB=∠BCO=90°
∵B(4，4)，
∴OC=AB=BC=OA=4，
∴四边形OABC是正方形，
①当P运动至AB上时，当OP=CD时，
在Rt△COD与Rt△OAP中，
∴Rt△COD≌Rt△OAP（HL），
∴OD=AP，
∵D为OA的中点，
∴OD=2，则AP=2，
∴P的坐标为（4，2），
②当P运动至BC上时，当OP=CD时，同理有Rt△COD≌Rt△OCP，
此时OD=CP=2，则P的坐标为（2，4），
综上，运动过程中P的坐标可为（4，2）或（2，4），
故答案为：D．
【分析】易得四边形OABC是正方形，然后分类讨论：①当P运动至AB上时，当OP=CD时，利用“HL”证Rt△COD≌Rt△OAP，由全等三角形的对应边相等得OD=AP=2，然后根据点的坐标与图形性质得出点P的坐标；②当P运动至BC上时，当OP=CD时，利用“HL”判断出 Rt△COD≌Rt△OCP， 由全等三角形的对应边相等得OD=CP=2，然后根据点的坐标与图形性质得出点P的坐标，综上，可得答案.
11．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
即根据题意有：不等式的解集为：，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式的整数解为：，0，1，2，
∴，
解得．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∵，且，
∴，，
∴且，
又∵，
综上所述，，
∴符合题意的整数a有5和6，
所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：B．
【分析】先将a作为常数解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解列出关于字母a的不等式，求解得到a的取值范围；再将a作为常数，解分式方程，用含a的式子表示出y，由分式方程的解满足y＞-6，且y-4≠0，求出a的取值范围，综合即可确定整数a的值，最后求和即可．
12．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，∠PBQ=∠ABC=∠Q=60°
，
，
，
，，
，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，
∴当时，的周长最小．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；由等边三角形性质得出PQ=BQ=PB，AB=CB=AC，∠PBQ=∠ABC=60°，由角的构成可推出∠QBA=∠PBC，从而利用“SAS”证△QBA≌△PBC，由全等三角形的性质得出AQ=PC，∠BPC=∠Q=60°，由内错角相等，两直线平行推出PC∥QB，进而根据线段和差及等量代换推出PB=PA+PC，据此可判断②③④；根据垂线段最短可知，当BC⊥BQ时，BC最小，即可判断⑤．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
14．【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
15．【答案】23　
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】解：a2+=．
故答案为：23．
【分析】根据完全平分公式，即可解答．
16．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个内角为，
由折叠的性质可知：
∴，
同理由折叠的性质得：，，
∴，，
在中：，
故答案为：．
【分析】
根据内角和公式求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理计算即可解答．
17．【答案】117
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设原计划的开车的平均速速为，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义，
（），
肖老师实际开车的平均速度是；
故答案为：117．
【分析】设原计划的开车的平均速速为xkm/h，则实际开车的速度为(1+30%)xkm/h，根据总路程除以速度等于时间并结合“原计划所需时间-实际所用时间小时”列出分式方程，求解并检验得出x的值，进而根据(1+30%)x求出实际速度.
18．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
【分析】作点P关于，的对称点．连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角解答即可．
19．【答案】①②④
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
又，
，
，，
，故①正确；
如图，连接，
，，点是的中点，
，，
，
又，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，故②正确；
点不是的中点，
，
，
与不全等，故③错误；
是等腰直角三角形，
，
∴∠MAG= ∠ MCH
又，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等得∠BAC=∠ECD，由“AAS”证△ACB≌△CED，由全等三角形的对应边相等得AB=CD，BC=DE，从而利用线段和差及等量代换可判断①；连接CM，由等腰直角三角形的性质得AM=CM=ME及∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，由等量加等量和相等推出∠BAM=∠MCD，由“SAS”证△ABM≌△CDM，由全等三角形的性质可得，，可证△BMD是等腰直角三角形，从而可判断②；由，可得△ACE与△BMD不全等，从而可判断③；由“ASA”可证△AMG≌三小件CMH，由全等三角形的对应边相等得MG=MH，可求，由同位角相等，两直线平行，可证，即可判断④.
20．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：方程两边同时乘以得
，
整理得：，
原方程有增根，
，
解得：，，
当时，
，矛盾，等式不成立，
此种情况不存在；
当时，
，
解得：，
故的值为．
【知识点】整式的混合运算；分式方程的增根；无理数的混合运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、零次幂法则“”、负指数幂法则“(a≠0）”，分别计算，再计算有理数加减法运算即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式分别计算展开括号，再合并同类项即可；
（3）先用多项式乘以多项式进行运算，然后合并同类项将多项式整理成二次三项式的一般形式，再用完全平方差公式进行分解因式即可；
（4）此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：方程两边同时乘以得
，
整理得：，
原方程有增根，
，
解得：，，
当时，
，矛盾，等式不成立，
此种情况不存在；
当时，
，
解得：，
故的值为．
21．【答案】解：原式＝
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先利用同分母分式减法法则计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将被除式分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；由已知等式得出x2-2x=5，从而整体代入化简后的式子计算即可.
22．【答案】（1）解：∵，，平行于轴，
∴P、B两点的纵坐标相等，则，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：设，由题意可得： ，，则
∴，
∵
∴，解得或
∴点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据平行于轴，得到B、P两点纵坐标相等，得到，求出，即可得到点的坐标；
（2）根据轴对称的性质得到点，连线，即可得到；
（3）根据设，由题意可得： ，，则，根据得到，求出点的坐标为或．
（1）解：∵，，平行于轴，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）如图，即为所求；
（3）∵，点的坐标为，平行于轴，，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或．
23．【答案】（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴

【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件先求出，再根据即可求证；
（2）由三角形外角的性质可得，由（1）全等可得，列式计算即可.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
24．【答案】（1）解：设一个B型灯笼进价是x元，则A一个型灯笼的进价是(x+1)元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
（元），
答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元；
（2）解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得
，
解得：；
，
当时，
（元），
（个），
故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个B型灯笼进价是x元，则A一个型灯笼的进价是(x+1)元，根据总价除以单价等于数量及“700元购买A型灯笼的个数=用315元购买B型灯笼个数2倍”列分式方程，求解并检验得出x的值，进而利用x+1求出A型灯笼的价格；
（2）设购进A一个型灯笼m个，则购进B型灯笼(200-m)个，总利润为W元，由“购进A型灯笼的数量不少于B型灯笼数量的，且不超过150个”列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；然后总利润=售卖A型灯笼获得的利润+售卖B型灯笼获得的利润列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可；
（1）解：设一个型灯笼进价是元，则一个型灯笼的进价是元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
（元），
答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元；
（2）解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得
，
解得：；
，
当时，
（元），
（个），
故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元．
25．【答案】（1）解：，
，，
，．
，
又，
为等腰直角三角形，
；
（2）解：，
，
∴，
，
，
．
，，
，
；
（3）解：的值不变．理由如下：过点作，垂足为，
，，OC⊥AB
∴，
∴．
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零即可求得a、b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质即可求出∠OAB的度数；
（2）由等边对等角及三角形内角和定理求得∠POD=∠PDO=67.5°，用三角形外角性质及邻补角推出∠PDA=∠BPO=112.5°，从而利用“AAS”证△POB≌△DPA，由全等三角形的对应边相等得，，求出的长即可求解；
（3）过点O作OC⊥AB于点C，利用等腰直角三角形的性质求出，由等边对等角、角的构成及三角形外角相等推出，根据“AAS”证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等得OC=PE=4，即可得出结论.
（1），
，，
，．
，又，
为等腰直角三角形，
；
（2），
，
则，
，
，
，
，
．
，
，
，
；
（3）的值不变．
理由如下：过点作，垂足为，
，，
，
又
∴，
∴，
∴．
同理可求：，
∴．
，
，
，，
，
，
，
．
1 / 1四川省德阳市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025八上·德阳期末）二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（2025八上·德阳期末）随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．（2025八上·德阳期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则，逐项进行计算判断即可.
4．（2025八上·德阳期末）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，，
∴△POM≌△PON(HL).
故答案为：D.
【分析】由垂直的定义得∠PMO=∠PNO=90°，由于直角边OM=ON，斜边OP是公共边，从而根据在两个直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，可得结论.
5．（2025八上·德阳期末）如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、加上，无法构成完全平方式，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
6．（2025八上·德阳期末）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程得AB=AD=BC=CD，由四边相等的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，由菱形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=136°，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角得出∠CBD的度数.
7．（2025八上·德阳期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案五位：A．
【分析】设规定时间为x天，则慢马送达所需时间为(x+1)天，快马送达所需时间为(x-2)天，利用速度等于路程除以时间表示出慢马于快马的速度，最后根据快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程.
8．（2025八上·德阳期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，
∴∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠DAE=60°，∠B=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得到BF=4；连接AF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到FA=FB=4，由等边对等角得出∠FAB=∠B=30°，进而根据角的和差可证出∠DAF=∠D，再由等角对等边得到DF=AF=4．
9．（2025八上·德阳期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①利用整体法计算该图形的面积为(a+b)2，利用分割求和法表示该图形的面积为a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，①符合题意；
②利用整体法计算大正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-2ab+b2，
∴(a-b)2=a2-2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，②符合题意；
③利用整体法计算大正方形的面积为(a+b)(a-b)，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-b2，
∴(a+b)(a-b)=a2-b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，③符合题意；
④利用整体法计算小正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示小正方形的面积为 (a+b)2 -4ab，
∴(a-b)2= (a+b)2 -4ab ，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共4个.
故答案为：．
【分析】根据正方形及长方形面积公式，用整体法及分割求和法分别表示出同一个图形的面积，即可验证各个恒等式，从而得出结论.
10．（2025八上·德阳期末）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为（　　）
A．（4，1） B．（4， 2）
C．（2，2） D．（4， 2）或（2，4）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴∠COA=∠OAB=∠BCO=90°
∵B(4，4)，
∴OC=AB=BC=OA=4，
∴四边形OABC是正方形，
①当P运动至AB上时，当OP=CD时，
在Rt△COD与Rt△OAP中，
∴Rt△COD≌Rt△OAP（HL），
∴OD=AP，
∵D为OA的中点，
∴OD=2，则AP=2，
∴P的坐标为（4，2），
②当P运动至BC上时，当OP=CD时，同理有Rt△COD≌Rt△OCP，
此时OD=CP=2，则P的坐标为（2，4），
综上，运动过程中P的坐标可为（4，2）或（2，4），
故答案为：D．
【分析】易得四边形OABC是正方形，然后分类讨论：①当P运动至AB上时，当OP=CD时，利用“HL”证Rt△COD≌Rt△OAP，由全等三角形的对应边相等得OD=AP=2，然后根据点的坐标与图形性质得出点P的坐标；②当P运动至BC上时，当OP=CD时，利用“HL”判断出 Rt△COD≌Rt△OCP， 由全等三角形的对应边相等得OD=CP=2，然后根据点的坐标与图形性质得出点P的坐标，综上，可得答案.
11．（2025八上·德阳期末）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．15 B．11 C．10 D．18
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
即根据题意有：不等式的解集为：，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴不等式的整数解为：，0，1，2，
∴，
解得．
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
∵，且，
∴，，
∴且，
又∵，
综上所述，，
∴符合题意的整数a有5和6，
所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：B．
【分析】先将a作为常数解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解列出关于字母a的不等式，求解得到a的取值范围；再将a作为常数，解分式方程，用含a的式子表示出y，由分式方程的解满足y＞-6，且y-4≠0，求出a的取值范围，综合即可确定整数a的值，最后求和即可．
12．（2025八上·德阳期末）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PCQB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），
与不一定相等，故①不正确；
和都为等边三角形，
，，∠PBQ=∠ABC=∠Q=60°
，
，
，
，，
，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，
∴当时，的周长最小．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；由等边三角形性质得出PQ=BQ=PB，AB=CB=AC，∠PBQ=∠ABC=60°，由角的构成可推出∠QBA=∠PBC，从而利用“SAS”证△QBA≌△PBC，由全等三角形的性质得出AQ=PC，∠BPC=∠Q=60°，由内错角相等，两直线平行推出PC∥QB，进而根据线段和差及等量代换推出PB=PA+PC，据此可判断②③④；根据垂线段最短可知，当BC⊥BQ时，BC最小，即可判断⑤．
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（2025八上·德阳期末）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
14．（2025八上·德阳期末）若m、n满足，则　 　．
【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
15．（2025八上·德阳期末）已知a+=5，则a2+的值是　 　 ．
【答案】23　
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】解：a2+=．
故答案为：23．
【分析】根据完全平分公式，即可解答．
16．（2025八上·德阳期末）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为　 　度．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵正五边形的每一个内角为，
由折叠的性质可知：
∴，
同理由折叠的性质得：，，
∴，，
在中：，
故答案为：．
【分析】
根据内角和公式求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理计算即可解答．
17．（2025八上·德阳期末）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是　 　．
【答案】117
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设原计划的开车的平均速速为，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义，
（），
肖老师实际开车的平均速度是；
故答案为：117．
【分析】设原计划的开车的平均速速为xkm/h，则实际开车的速度为(1+30%)xkm/h，根据总路程除以速度等于时间并结合“原计划所需时间-实际所用时间小时”列出分式方程，求解并检验得出x的值，进而根据(1+30%)x求出实际速度.
18．（2025八上·德阳期末）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
【分析】作点P关于，的对称点．连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角解答即可．
19．（2025八上·德阳期末）如图，在四边形中，点为边上一点．，，点为中点．连，，分别交，于．两点下列结论：①；②为等腰直角三角形；③；④．其中正确的结论是 　 　．
【答案】①②④
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
，
又，
，
，，
，故①正确；
如图，连接，
，，点是的中点，
，，
，
又，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，故②正确；
点不是的中点，
，
，
与不全等，故③错误；
是等腰直角三角形，
，
∴∠MAG= ∠ MCH
又，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角余角相等得∠BAC=∠ECD，由“AAS”证△ACB≌△CED，由全等三角形的对应边相等得AB=CD，BC=DE，从而利用线段和差及等量代换可判断①；连接CM，由等腰直角三角形的性质得AM=CM=ME及∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，由等量加等量和相等推出∠BAM=∠MCD，由“SAS”证△ABM≌△CDM，由全等三角形的性质可得，，可证△BMD是等腰直角三角形，从而可判断②；由，可得△ACE与△BMD不全等，从而可判断③；由“ASA”可证△AMG≌三小件CMH，由全等三角形的对应边相等得MG=MH，可求，由同位角相等，两直线平行，可证，即可判断④.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2025八上·德阳期末）解决下列问题：
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）分解因式：；
（4）已知关于的分式方程有增根，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
（4）解：方程两边同时乘以得
，
整理得：，
原方程有增根，
，
解得：，，
当时，
，矛盾，等式不成立，
此种情况不存在；
当时，
，
解得：，
故的值为．
【知识点】整式的混合运算；分式方程的增根；无理数的混合运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先根据有理数乘方运算法则、零次幂法则“”、负指数幂法则“(a≠0）”，分别计算，再计算有理数加减法运算即可；
（2）先利用平方差和完全平方公式分别计算展开括号，再合并同类项即可；
（3）先用多项式乘以多项式进行运算，然后合并同类项将多项式整理成二次三项式的一般形式，再用完全平方差公式进行分解因式即可；
（4）此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：方程两边同时乘以得
，
整理得：，
原方程有增根，
，
解得：，，
当时，
，矛盾，等式不成立，
此种情况不存在；
当时，
，
解得：，
故的值为．
21．（2025八上·德阳期末）先化简，再求值：已知，其中x满足．
【答案】解：原式＝
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先利用同分母分式减法法则计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将被除式分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简；由已知等式得出x2-2x=5，从而整体代入化简后的式子计算即可.
22．（2025八上·德阳期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴．
（1）求出点的坐标；
（2）作出关于轴对称的；
（3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____．
【答案】（1）解：∵，，平行于轴，
∴P、B两点的纵坐标相等，则，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：设，由题意可得： ，，则
∴，
∵
∴，解得或
∴点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据平行于轴，得到B、P两点纵坐标相等，得到，求出，即可得到点的坐标；
（2）根据轴对称的性质得到点，连线，即可得到；
（3）根据设，由题意可得： ，，则，根据得到，求出点的坐标为或．
（1）解：∵，，平行于轴，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）如图，即为所求；
（3）∵，点的坐标为，平行于轴，，
∴，
∴或，
∴点的坐标为或．
23．（2025八上·德阳期末）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴

【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件先求出，再根据即可求证；
（2）由三角形外角的性质可得，由（1）全等可得，列式计算即可.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
24．（2025八上·德阳期末）“灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个．
（1）求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？
（2）该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设一个B型灯笼进价是x元，则A一个型灯笼的进价是(x+1)元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
（元），
答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元；
（2）解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得
，
解得：；
，
当时，
（元），
（个），
故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一个B型灯笼进价是x元，则A一个型灯笼的进价是(x+1)元，根据总价除以单价等于数量及“700元购买A型灯笼的个数=用315元购买B型灯笼个数2倍”列分式方程，求解并检验得出x的值，进而利用x+1求出A型灯笼的价格；
（2）设购进A一个型灯笼m个，则购进B型灯笼(200-m)个，总利润为W元，由“购进A型灯笼的数量不少于B型灯笼数量的，且不超过150个”列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；然后总利润=售卖A型灯笼获得的利润+售卖B型灯笼获得的利润列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可；
（1）解：设一个型灯笼进价是元，则一个型灯笼的进价是元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
（元），
答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元；
（2）解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得
，
解得：；
，
当时，
（元），
（个），
故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元．
25．（2025八上·德阳期末）已知，在平面直角坐标系中，，，且，满足．是线段上一动点，是轴负半轴上一点，且．
（1）求的度数；
（2）如图1，设，若，求点的坐标；
（3）如图2，过点作于点，设，当点运动时，的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求的值．
【答案】（1）解：，
，，
，．
，
又，
为等腰直角三角形，
；
（2）解：，
，
∴，
，
，
．
，，
，
；
（3）解：的值不变．理由如下：过点作，垂足为，
，，OC⊥AB
∴，
∴．
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据偶数次幂及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零即可求得a、b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质即可求出∠OAB的度数；
（2）由等边对等角及三角形内角和定理求得∠POD=∠PDO=67.5°，用三角形外角性质及邻补角推出∠PDA=∠BPO=112.5°，从而利用“AAS”证△POB≌△DPA，由全等三角形的对应边相等得，，求出的长即可求解；
（3）过点O作OC⊥AB于点C，利用等腰直角三角形的性质求出，由等边对等角、角的构成及三角形外角相等推出，根据“AAS”证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等得OC=PE=4，即可得出结论.
（1），
，，
，．
，又，
为等腰直角三角形，
；
（2），
，
则，
，
，
，
，
．
，
，
，
；
（3）的值不变．
理由如下：过点作，垂足为，
，，
，
又
∴，
∴，
∴．
同理可求：，
∴．
，
，
，，
，
，
，
．
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