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四川省成都市武侯区2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025八上·武侯期末）下列各数中为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，是有理数，不符合题意；
B、 是有限小数，是有理数，不符合题意；
C、， 是无限不循环小数，是无理数，正确；
D、=2是整数，是有理数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．（2025八上·武侯期末）已知点在一次函数的图象上，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将点(a，3)代入一次函数解析式y=2x-1可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
3．（2025八上·武侯期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．， D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故A符合题意；
B、由，不能判断是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴不是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形内角和定理，结合三个内角的关系求出三角形三内角的度数，由最大内角为90°的三角形就是直角三角形，可判断C、D选项.
4．（2025八上·武侯期末）如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：D.
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠AEF=36°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠DFE=∠AEF=36°，进而根据平角定义可求出∠1的度数.
5．（2025八上·武侯期末）已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数（为常数），，
随的增大而减小，
点和都在直线（为常数）上，且，
，
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较出M、N两点的横坐标大小，结合增减性即可得出结论.
6．（2025八上·武侯期末）在下列四个命题中，真命题的个数有（　　）
①无限不循环小数是无理数；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；无理数的概念；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①无限不循环小数是无理数，正确，故命题①是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故命题②是假命题；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故命题③是真命题；
④在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，正确，故命题④是真命题，
因此真命题共有3个．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”可判断①；根据平行线的性质定理“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”可判断②；根据三角形外角性质“三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可判断③；根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可判断④.
7．（2025八上·武侯期末）武侯区某校组织的一次篮球比赛中，甲、乙两队的队员身高情况（单位：厘米）如下表所示：
　 队员① 队员② 队员③ 队员④ 队员⑤
甲队
乙队
则关于两队队员身高情况的说法正确的是（　　）
A．甲队的平均数比乙队大 B．甲队的中位数比乙队大
C．甲队的众数比乙队大 D．甲队的极差比乙队大
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A、 甲队的平均数为（厘米），
乙队的平均数为（厘米），
，故该选项不符合题意；
B、甲队和乙队的中位数都是，故该选项不符合题意；
C、 甲队和乙队的众数都是，故该选项不符合题意；
D、∵甲队的极差为，乙队的极差为，且13＞7，
∴甲队的极差比乙队大，故该选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此即可逐一判断得出答案.
8．（2025八上·武侯期末）古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组．
故答案为：B．
【分析】 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 根据“ 甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ”可列出方程9x=11y；根据“ 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两 ”可列出方程(11-1)y+x-[(9-1)x+y]=13，联立两方程即可得出所求的方程组.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025八上·武侯期末）比较大小：7　 　．（选填“＞”或“＜”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
，
故答案为： ．
【分析】根据“”的逆用将根号外的因数放到根号内，进而根据被开方数越大其算术平方根就越大进行比较可得结论.
10．（2025八上·武侯期末）将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减改变x，上加下减改变函数值”即可直接得出答案.
11．（2025八上·武侯期末）如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵以的长为半径画弧，交线段于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由同圆半径相等知AE=BC=3，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，进而根据线段的和差，由DE=AD-AE解答即可.
12．（2025八上·武侯期末）已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入得：，
∴直线与直线相交于点，
∴关于的方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，把代入求出，从而得出点P的坐标；根据两函数解析式组成的方程组的解就是两函数图象交点坐标可得到答案．
13．（2025八上·武侯期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为　 　．
【答案】2或8
【知识点】含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况，
当，如图，
在中，，
∴，
∴，
∴；
当，如图，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为2或8，
故答案为：2或8．
【分析】①当∠MNP=90°时，根据直角三角形两锐角互余求出∠PMN=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出PN=4，然后根据路程、速度、时间三者的关系求出t；②当 ∠ PMN=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠PNM=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出PN=8，然后根据路程、速度、时间三者的关系求出t，综上，可得答案.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025八上·武侯期末）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2），
整理得，
得，
解得：，
把代入得，
解得：，
原方程组的解为.
【知识点】二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式乘法、同时根据有理数乘方运算法则及绝对值性质分别计算，进而根据二次根式性质化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可；
（2）首先将原方程组中的两个方程分别去分母、去括号、移项整理成最简形式，然后将方程组中的两个方程相加消去y求出x的值，进而将x的值代入①方程求出y的值，从而得到方程组的解.
15．（2025八上·武侯期末）2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，其中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数；
（2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由．
【答案】（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
补全的条形统计图如图所示，
本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；中位数是8分；
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D组的人数除以其所占的百分比，可以求得本次调查的人数，继而根据四个组的人数之和等于本次调查的总人数可求得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2） 平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此算出本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分，即可判断得出答案.
（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
补全的条形统计图如图所示，
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
16．（2025八上·武侯期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，，两点都在格点上，作直线AB．
（1）画出平面直角坐标系，使得点的坐标为；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，画出直线：；
（3）在（2）的基础上，求证：．
【答案】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）解：平面直角坐标系中，直线；
令，则，
令，则，
点在直线上，
如图，过点画直线，直线即为所求；
（3）证明：设直线的解析式为，
把代入得，
解得；，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点A向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后的对应点作为坐标原点，以过这点的水平直线及竖直直线分别作为x轴与y轴，向右及向上的方向作为正方向，网格纸中每一个小正方形的边长作为单位长度，建立平面直角坐标系即可；
（2）分别令直线y=-2x+4中的x=0与y=0分别算出对应的y与x的值，即可得到直线y=-2x+4与坐标轴两交点的坐标，从而利用两点法画出函数图象即可；
（3）用待定系数法求出直线AB的解析式，根据互相平行直线斜率相同即可得到结论．
（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）解：平面直角坐标系中，直线；
令，则，
令，则，
点在直线上，
如图，过点画直线，直线即为所求；
（3）证明：设直线的解析式为，
把代入得，
解得；，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
．
17．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，作直线．
（1）求点C的坐标及直线的函数表达式；
（2）在线段上取一点D，连接，将沿直线翻折得到，且点E刚好落在y轴上．
ⅰ）求点D的坐标；
ⅱ）试探究直线与直线的位置关系．
【答案】（1）解：在中，令，得，
令，得，
，，
点关于轴的对称点为，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
（2）解：ⅰ）设，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，，
，
，
解得，
，
；
ⅱ），理由如下：
延长交于，如上图，
点关于轴的对称点为，
，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 分别令直线 中的x=0与y=0分别算出对应的y与x的值，即可得到直线与坐标轴两交点的坐标B、A的坐标， 根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同可得点C的坐标，再用待定系数法可得直线BC解析式为；
（2）ⅰ）由点的坐标与图形性质设，由翻折性质得OE=OA=3，AD=ED，从而可得点，根据AD=ED，结合平面内两点间的距离公式建立方程，求解得出m的值，从而即可得到点D的坐标；
ⅱ）延长DE交BC于F，由轴对称性质、翻折的性质及对顶角相等可得，由直角三角形两锐角互余及等量代换可推出，从而根据三角形的内角和定理得出，由垂直定义可得．
（1）解：在中，令，得，
令，得，
，，
点关于轴的对称点为，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
（2）解：ⅰ）设，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，，
，
，
解得，
，
；
ⅱ），理由如下：
延长交于，如上图，
点关于轴的对称点为，
，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，
，
，
，
，
．
18．（2025八上·武侯期末）【尝试初探】
（1）如图1，在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，过作于点，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在中，，，在射线上取一点（点不与重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接交线段于点，设，．
ⅰ）当时，求的值；
ⅱ）请直接写出与之间满足的函数关系式．
【答案】（1）证明：由题意知：，，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：i）：情况1，当点在上时，如图1，
作于，
，
由（1）知：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
情况2，当点在的延长线上时，如图3，
作于的延长线点，
，
同（1）理可得：，
∴，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
；
综上所述：当点在上时，；当点在的延长线上时，．
ii）与之间满足的函数关系式为：或
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）
ii）：情况1，当点在上时，如图2，
作于，
由上知：，，
设，则，
，，
，
，
，
，
情况2，当点在的延长线上时，如图3，
作，交的延长线于点，
由上知，，，
，，
，
，
，
综上所述：当点在上时，；当点在的延长线上时，．
【分析】（1）由旋转性质得AM=AB，∠BAM=90°，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得出∠BAC=∠M，从而利用“AAS”可证明△ABC≌△MAN，由全等三角形的对应边相等得BC=AN，AC=MN，进而根据线段和差、等量代换可得结论；
（2））分两种情形：当点在上时，作于，由（1）知：，；用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得，然后根据线段和差用含AC的式子表示出AE，从而即可求出两条线段的比值；同样方法得出当点在的延长线上时的情形；
）分两种情形：当点在上时，作于，由（1）知：，，设，则，从而，，由线段和差表示出，根据得出等式，进而得出结果；同样方法得出当点在的延长线上时的情形．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八上·武侯期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
又∵的整数部分为，小数部分为 ，
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出的范围，从而可得a、b的值，最后根据乘法法则求出a与b的积即可.
20．（2025八上·武侯期末）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点是直线上一点，
∴设，
∵点到轴与轴的距离相等，
∴|x|=|x+2|，
∴或，
解得：，
∴ 点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标与图形性质，设，根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值点到轴与轴的距离相等，可得|x|=|x+2| ，进而解含绝对值方程即可.
21．（2025八上·武侯期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是　 　．
【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同，
他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数，
小亮猜对的数字是，
在百位上，
和可以排除，
小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，
这个三位数密码是，
故答案为： ．
【分析】首先分析重复数字：5和4都有重复，且位置相同，可以排除这两个数；然后确定百位数字：则小亮猜对的数字是只能是百位上的2，这样3和9也就可以排除；再确定个位数字与十位数字：故小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，最后即可得出密码锁的密码了.
22．（2025八上·武侯期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，设AH=a，易得△ADH是等腰直角三角形，则可得AH=DH=a，由线段和差得CH=a-3；由“SAS”证△ACD≌△AED，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得CD=DE=3，，由平角的定义求出∠BDE=90°，即；根据三角形的面积公式分别算出△BDE、△ABC、△ACD的面积，由全等三角形的面积相等得S△ACD=S△AED，再根据建立方程解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出AC的长．
23．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为　 　；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得是等腰直角三角形，
∴，
∴当有最大值时，则亦有最大值，
如图，当点在轴上，会有最大值，
过作轴于点，过作轴于点，
∵直线，分别交轴于，两点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
如图，设点在上，点在上，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴点在的直线上，
作点关于的对称点，则，
∴，
连接，
∴，当且仅当三点共线时取等，
∵，
∴，
在中，，
∴最小值为；
故答案为：，．
【分析】由题意知△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得， 故当AC有最大值时，则AB亦有最大值； 再结合图形很容易发现当点在轴上，AC会有最大值； 过A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N， 易得AM=2，BN=3，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠ACM=∠CBN，从而由“AAS”判定出△ACM≌△CBN，由全等三角形的对应边相等得CM=BN=3，由勾股定理算出CA，进而即可得出AB的最大值；看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八上·武侯期末）【背景阅读】
图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图2中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美．
【数据收集】
某校八年级数学兴趣小组通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，下表为其中的部分数据：
凳面宽度 … 130 145 155 181.5 …
凳面一端两个榫眼的内侧距离 … 38.8 n 48.8 59.4 …
【数据分析】
该数学兴趣小组以对应的一组x，y的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上．
【建模应用】
（1）求y与x之间满足的函数关系式，并求出表格中n的值；
（2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度．
【答案】解∶（1）由题意可知，y与x之间为一次函数关系，设y与x之间的函数关系式为 (k、b为常数，且)
将，和，分别代入，
得，
解得，
与y之间的函数关系式为，
当时，，
的值为44.8．
（2）根据题意，得，
解得．
答∶该板凳的登面宽度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 由题意可知，y与x之间为一次函数关系；设设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，将表格中任意两对x与y的对应值分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而得到y关于x的函数关系式；进而将x=145代入关系式求出对应y的值，即n的值即可；
（2）由“ 板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时”列出关于字母x的方程，求解出x的值即可．
25．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为，连接．
（1）直接写出点B的坐标及直线的函数表达式；
（2）连接，若的面积为6，求k的值；
（3）在第一象限内的直线上取一点D，连接，当是等腰直角三角形时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：，直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
【分析】（1）令中的，算出对应的y的值即可得出点B的坐标；再用待定系数法可得直线BC的函数表达式为；
（2）设交轴于，令直线BC解析式中的y=0算出对应的x的值，可求得点K的坐标；根据S△ABC=S△ABK+S△AKC结合三角形面积公式建立方程求解得出AK=3；分当A点在K的右侧与左侧两种情况，结合x轴上点的坐标特点可求出点A的坐标，进而将点A的坐标代入y=kx+3即可算出k的值；
（3）设，分类讨论：当为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠DBE=∠BCF，从而由“AAS”证明△DBE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，BE=CF，可得，故；当C为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得；当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，同理可得△BMD≌△DNC，由全等三角形的对应边相等得BM=DN，DM=CN，可得，故D（3，2）.
（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
26．（2025八上·武侯期末）在中，，取边的中点M和平面内一点D，连接并延长至点E，使得，连接，．
【初步感知】
（1）设，，．
ⅰ）如图1，当点D在边上时，求证：；
ⅱ）如图2，当点D不在直线上时，请比较a，，三者之间的大小关系（直接写出答案，不必写解答过程）；
【图形探索】
（2）若，且，设，，求的度数（用含，的代数式表示）；
【综合创新】
（3）在（2）的条件下，当时，若，且，求线段的长．
【答案】（1）ⅰ）证明：为的中点，
，
，，
，
，
，，
；
ⅱ）；
（2）解：如图3，
由（1）同理得：，
，，
，，
，
是直角三角形，且，
设，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图4，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
，，
，
由（2）知：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
，
，
或（舍），
，，
，
即线段的长为5．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）ⅱ）解：如图2，连接，
同理得：，
，中，，
，，
；
【分析】（1）ⅰ）根据“SAS”证明△DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等得DC=BE=n，然后由线段和差AC=AD+CD及AC=AB=a可得结论；ⅱ）连接CD，同理△DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等得DC=BE=n，然后根据三角形三边关系得出|AD-CD|＜AC＜AD+CD，即可得出结论；
（2）如图3，由（1）同理得 △DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得DC=BE，，根据勾股定理的逆定理可得，设，由等边对等角及三角形内角和定理可得，然后根据角的构成表示出∠DAC与∠ACD，进而根据直角三角形两锐角互余建立方程即可得出答案；
（3）如图4，延长交于，由（1）同理得 △DMC≌△EMB，由全等三角形的对应角相等得，由内错角相等，两直线平行得出DC∥BE，进而根据二直线平行，同位角相等得出；设，由同角的补角相等得，证明△DKE是等腰直角三角形，则，最后根据勾股定理和建立方程求出m的值，进而求出AD、CD得长，最后再根据勾股定理算出AC即可得出答案.
1 / 1四川省成都市武侯区2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025八上·武侯期末）下列各数中为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·武侯期末）已知点在一次函数的图象上，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025八上·武侯期末）下列条件中，可以判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C．， D．
4．（2025八上·武侯期末）如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·武侯期末）已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2025八上·武侯期末）在下列四个命题中，真命题的个数有（　　）
①无限不循环小数是无理数；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025八上·武侯期末）武侯区某校组织的一次篮球比赛中，甲、乙两队的队员身高情况（单位：厘米）如下表所示：
　 队员① 队员② 队员③ 队员④ 队员⑤
甲队
乙队
则关于两队队员身高情况的说法正确的是（　　）
A．甲队的平均数比乙队大 B．甲队的中位数比乙队大
C．甲队的众数比乙队大 D．甲队的极差比乙队大
8．（2025八上·武侯期末）古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．向金，银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025八上·武侯期末）比较大小：7　 　．（选填“＞”或“＜”）
10．（2025八上·武侯期末）将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为　 　．
11．（2025八上·武侯期末）如图，在长方形中，，，现以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点，则线段的长为　 　．
12．（2025八上·武侯期末）已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为　 　．
13．（2025八上·武侯期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025八上·武侯期末）（1）计算：
（2）解方程组：
15．（2025八上·武侯期末）2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，其中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数；
（2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由．
16．（2025八上·武侯期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，，两点都在格点上，作直线AB．
（1）画出平面直角坐标系，使得点的坐标为；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，画出直线：；
（3）在（2）的基础上，求证：．
17．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A关于y轴的对称点为C，作直线．
（1）求点C的坐标及直线的函数表达式；
（2）在线段上取一点D，连接，将沿直线翻折得到，且点E刚好落在y轴上．
ⅰ）求点D的坐标；
ⅱ）试探究直线与直线的位置关系．
18．（2025八上·武侯期末）【尝试初探】
（1）如图1，在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，过作于点，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在中，，，在射线上取一点（点不与重合），连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接交线段于点，设，．
ⅰ）当时，求的值；
ⅱ）请直接写出与之间满足的函数关系式．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八上·武侯期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为　 　．
20．（2025八上·武侯期末）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，且到轴与轴的距离相等，则点的坐标为　 　．
21．（2025八上·武侯期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是　 　．
22．（2025八上·武侯期末）如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为　 　．
23．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为　 　；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八上·武侯期末）【背景阅读】
图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图2中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美．
【数据收集】
某校八年级数学兴趣小组通过测量收集了一类板凳的数据，如图2，设凳面宽度为，凳面一端两个榫眼的内侧距离为，下表为其中的部分数据：
凳面宽度 … 130 145 155 181.5 …
凳面一端两个榫眼的内侧距离 … 38.8 n 48.8 59.4 …
【数据分析】
该数学兴趣小组以对应的一组x，y的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上．
【建模应用】
（1）求y与x之间满足的函数关系式，并求出表格中n的值；
（2）当板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时，求该板凳的凳面宽度．
25．（2025八上·武侯期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为，连接．
（1）直接写出点B的坐标及直线的函数表达式；
（2）连接，若的面积为6，求k的值；
（3）在第一象限内的直线上取一点D，连接，当是等腰直角三角形时，求点D的坐标．
26．（2025八上·武侯期末）在中，，取边的中点M和平面内一点D，连接并延长至点E，使得，连接，．
【初步感知】
（1）设，，．
ⅰ）如图1，当点D在边上时，求证：；
ⅱ）如图2，当点D不在直线上时，请比较a，，三者之间的大小关系（直接写出答案，不必写解答过程）；
【图形探索】
（2）若，且，设，，求的度数（用含，的代数式表示）；
【综合创新】
（3）在（2）的条件下，当时，若，且，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，是有理数，不符合题意；
B、 是有限小数，是有理数，不符合题意；
C、， 是无限不循环小数，是无理数，正确；
D、=2是整数，是有理数，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将点(a，3)代入一次函数解析式y=2x-1可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故A符合题意；
B、由，不能判断是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴不是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，，，
∴不是直角三角形，故D不符合题意.
故答案为：A．
【分析】一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形内角和定理，结合三个内角的关系求出三角形三内角的度数，由最大内角为90°的三角形就是直角三角形，可判断C、D选项.
4．【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：D.
【分析】由直角三角形两锐角互余求出∠AEF=36°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠DFE=∠AEF=36°，进而根据平角定义可求出∠1的度数.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数（为常数），，
随的增大而减小，
点和都在直线（为常数）上，且，
，
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此比较出M、N两点的横坐标大小，结合增减性即可得出结论.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；无理数的概念；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①无限不循环小数是无理数，正确，故命题①是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故命题②是假命题；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故命题③是真命题；
④在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，正确，故命题④是真命题，
因此真命题共有3个．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”可判断①；根据平行线的性质定理“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”可判断②；根据三角形外角性质“三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可判断③；根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可判断④.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：A、 甲队的平均数为（厘米），
乙队的平均数为（厘米），
，故该选项不符合题意；
B、甲队和乙队的中位数都是，故该选项不符合题意；
C、 甲队和乙队的众数都是，故该选项不符合题意；
D、∵甲队的极差为，乙队的极差为，且13＞7，
∴甲队的极差比乙队大，故该选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差，据此即可逐一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组．
故答案为：B．
【分析】 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 根据“ 甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ”可列出方程9x=11y；根据“ 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两 ”可列出方程(11-1)y+x-[(9-1)x+y]=13，联立两方程即可得出所求的方程组.
9．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
，
故答案为： ．
【分析】根据“”的逆用将根号外的因数放到根号内，进而根据被开方数越大其算术平方根就越大进行比较可得结论.
10．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减改变x，上加下减改变函数值”即可直接得出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵以的长为半径画弧，交线段于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由同圆半径相等知AE=BC=3，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，进而根据线段的和差，由DE=AD-AE解答即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入得：，
∴直线与直线相交于点，
∴关于的方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，把代入求出，从而得出点P的坐标；根据两函数解析式组成的方程组的解就是两函数图象交点坐标可得到答案．
13．【答案】2或8
【知识点】含30°角的直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况，
当，如图，
在中，，
∴，
∴，
∴；
当，如图，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为2或8，
故答案为：2或8．
【分析】①当∠MNP=90°时，根据直角三角形两锐角互余求出∠PMN=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出PN=4，然后根据路程、速度、时间三者的关系求出t；②当 ∠ PMN=90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠PNM=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质求出PN=8，然后根据路程、速度、时间三者的关系求出t，综上，可得答案.
14．【答案】解：（1）
；
（2），
整理得，
得，
解得：，
把代入得，
解得：，
原方程组的解为.
【知识点】二次根式的混合运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式乘法、同时根据有理数乘方运算法则及绝对值性质分别计算，进而根据二次根式性质化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加法运算即可；
（2）首先将原方程组中的两个方程分别去分母、去括号、移项整理成最简形式，然后将方程组中的两个方程相加消去y求出x的值，进而将x的值代入①方程求出y的值，从而得到方程组的解.
15．【答案】（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
补全的条形统计图如图所示，
本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；中位数是8分；
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D组的人数除以其所占的百分比，可以求得本次调查的人数，继而根据四个组的人数之和等于本次调查的总人数可求得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2） 平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此算出本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分，即可判断得出答案.
（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
补全的条形统计图如图所示，
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
16．【答案】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）解：平面直角坐标系中，直线；
令，则，
令，则，
点在直线上，
如图，过点画直线，直线即为所求；
（3）证明：设直线的解析式为，
把代入得，
解得；，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将点A向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后的对应点作为坐标原点，以过这点的水平直线及竖直直线分别作为x轴与y轴，向右及向上的方向作为正方向，网格纸中每一个小正方形的边长作为单位长度，建立平面直角坐标系即可；
（2）分别令直线y=-2x+4中的x=0与y=0分别算出对应的y与x的值，即可得到直线y=-2x+4与坐标轴两交点的坐标，从而利用两点法画出函数图象即可；
（3）用待定系数法求出直线AB的解析式，根据互相平行直线斜率相同即可得到结论．
（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）解：平面直角坐标系中，直线；
令，则，
令，则，
点在直线上，
如图，过点画直线，直线即为所求；
（3）证明：设直线的解析式为，
把代入得，
解得；，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
．
17．【答案】（1）解：在中，令，得，
令，得，
，，
点关于轴的对称点为，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
（2）解：ⅰ）设，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，，
，
，
解得，
，
；
ⅱ），理由如下：
延长交于，如上图，
点关于轴的对称点为，
，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，
，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 分别令直线 中的x=0与y=0分别算出对应的y与x的值，即可得到直线与坐标轴两交点的坐标B、A的坐标， 根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同可得点C的坐标，再用待定系数法可得直线BC解析式为；
（2）ⅰ）由点的坐标与图形性质设，由翻折性质得OE=OA=3，AD=ED，从而可得点，根据AD=ED，结合平面内两点间的距离公式建立方程，求解得出m的值，从而即可得到点D的坐标；
ⅱ）延长DE交BC于F，由轴对称性质、翻折的性质及对顶角相等可得，由直角三角形两锐角互余及等量代换可推出，从而根据三角形的内角和定理得出，由垂直定义可得．
（1）解：在中，令，得，
令，得，
，，
点关于轴的对称点为，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
（2）解：ⅰ）设，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，，
，
，
解得，
，
；
ⅱ），理由如下：
延长交于，如上图，
点关于轴的对称点为，
，
将沿直线翻折得到，且点刚好落在轴上，
，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）证明：由题意知：，，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：i）：情况1，当点在上时，如图1，
作于，
，
由（1）知：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
情况2，当点在的延长线上时，如图3，
作于的延长线点，
，
同（1）理可得：，
∴，，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
；
综上所述：当点在上时，；当点在的延长线上时，．
ii）与之间满足的函数关系式为：或
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）
ii）：情况1，当点在上时，如图2，
作于，
由上知：，，
设，则，
，，
，
，
，
，
情况2，当点在的延长线上时，如图3，
作，交的延长线于点，
由上知，，，
，，
，
，
，
综上所述：当点在上时，；当点在的延长线上时，．
【分析】（1）由旋转性质得AM=AB，∠BAM=90°，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得出∠BAC=∠M，从而利用“AAS”可证明△ABC≌△MAN，由全等三角形的对应边相等得BC=AN，AC=MN，进而根据线段和差、等量代换可得结论；
（2））分两种情形：当点在上时，作于，由（1）知：，；用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得，然后根据线段和差用含AC的式子表示出AE，从而即可求出两条线段的比值；同样方法得出当点在的延长线上时的情形；
）分两种情形：当点在上时，作于，由（1）知：，，设，则，从而，，由线段和差表示出，根据得出等式，进而得出结果；同样方法得出当点在的延长线上时的情形．
19．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
又∵的整数部分为，小数部分为 ，
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出的范围，从而可得a、b的值，最后根据乘法法则求出a与b的积即可.
20．【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点是直线上一点，
∴设，
∵点到轴与轴的距离相等，
∴|x|=|x+2|，
∴或，
解得：，
∴ 点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据点的坐标与图形性质，设，根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值点到轴与轴的距离相等，可得|x|=|x+2| ，进而解含绝对值方程即可.
21．【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同，
他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数，
小亮猜对的数字是，
在百位上，
和可以排除，
小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，
这个三位数密码是，
故答案为： ．
【分析】首先分析重复数字：5和4都有重复，且位置相同，可以排除这两个数；然后确定百位数字：则小亮猜对的数字是只能是百位上的2，这样3和9也就可以排除；再确定个位数字与十位数字：故小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，最后即可得出密码锁的密码了.
22．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，设AH=a，易得△ADH是等腰直角三角形，则可得AH=DH=a，由线段和差得CH=a-3；由“SAS”证△ACD≌△AED，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得CD=DE=3，，由平角的定义求出∠BDE=90°，即；根据三角形的面积公式分别算出△BDE、△ABC、△ACD的面积，由全等三角形的面积相等得S△ACD=S△AED，再根据建立方程解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出AC的长．
23．【答案】；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得是等腰直角三角形，
∴，
∴当有最大值时，则亦有最大值，
如图，当点在轴上，会有最大值，
过作轴于点，过作轴于点，
∵直线，分别交轴于，两点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
如图，设点在上，点在上，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴点在的直线上，
作点关于的对称点，则，
∴，
连接，
∴，当且仅当三点共线时取等，
∵，
∴，
在中，，
∴最小值为；
故答案为：，．
【分析】由题意知△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得， 故当AC有最大值时，则AB亦有最大值； 再结合图形很容易发现当点在轴上，AC会有最大值； 过A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N， 易得AM=2，BN=3，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠ACM=∠CBN，从而由“AAS”判定出△ACM≌△CBN，由全等三角形的对应边相等得CM=BN=3，由勾股定理算出CA，进而即可得出AB的最大值；看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可．
24．【答案】解∶（1）由题意可知，y与x之间为一次函数关系，设y与x之间的函数关系式为 (k、b为常数，且)
将，和，分别代入，
得，
解得，
与y之间的函数关系式为，
当时，，
的值为44.8．
（2）根据题意，得，
解得．
答∶该板凳的登面宽度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 由题意可知，y与x之间为一次函数关系；设设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，将表格中任意两对x与y的对应值分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，从而得到y关于x的函数关系式；进而将x=145代入关系式求出对应y的值，即n的值即可；
（2）由“ 板凳凳面一端两个榫眼的内侧距离刚好等于凳面宽度的时”列出关于字母x的方程，求解出x的值即可．
25．【答案】（1）解：，直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
【分析】（1）令中的，算出对应的y的值即可得出点B的坐标；再用待定系数法可得直线BC的函数表达式为；
（2）设交轴于，令直线BC解析式中的y=0算出对应的x的值，可求得点K的坐标；根据S△ABC=S△ABK+S△AKC结合三角形面积公式建立方程求解得出AK=3；分当A点在K的右侧与左侧两种情况，结合x轴上点的坐标特点可求出点A的坐标，进而将点A的坐标代入y=kx+3即可算出k的值；
（3）设，分类讨论：当为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠DBE=∠BCF，从而由“AAS”证明△DBE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF，BE=CF，可得，故；当C为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得；当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，同理可得△BMD≌△DNC，由全等三角形的对应边相等得BM=DN，DM=CN，可得，故D（3，2）.
（1）解：在中，令得，
，
设直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：设交轴于，如图：
在中，令得，
，
的面积为6，，，
，
，
当在右侧时，，
，
解得；
当在左侧时，，
，
解得；
的值为或2；
（3）解：设，
当B为直角顶点时，过作轴于，过作轴于，如图∶
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
；
当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
解得，
．
综上所述，的坐标为或或．
26．【答案】（1）ⅰ）证明：为的中点，
，
，，
，
，
，，
；
ⅱ）；
（2）解：如图3，
由（1）同理得：，
，，
，，
，
是直角三角形，且，
设，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图4，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
，，
，
由（2）知：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
，
，
或（舍），
，，
，
即线段的长为5．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）ⅱ）解：如图2，连接，
同理得：，
，中，，
，，
；
【分析】（1）ⅰ）根据“SAS”证明△DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等得DC=BE=n，然后由线段和差AC=AD+CD及AC=AB=a可得结论；ⅱ）连接CD，同理△DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等得DC=BE=n，然后根据三角形三边关系得出|AD-CD|＜AC＜AD+CD，即可得出结论；
（2）如图3，由（1）同理得 △DMC≌△EMB，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得DC=BE，，根据勾股定理的逆定理可得，设，由等边对等角及三角形内角和定理可得，然后根据角的构成表示出∠DAC与∠ACD，进而根据直角三角形两锐角互余建立方程即可得出答案；
（3）如图4，延长交于，由（1）同理得 △DMC≌△EMB，由全等三角形的对应角相等得，由内错角相等，两直线平行得出DC∥BE，进而根据二直线平行，同位角相等得出；设，由同角的补角相等得，证明△DKE是等腰直角三角形，则，最后根据勾股定理和建立方程求出m的值，进而求出AD、CD得长，最后再根据勾股定理算出AC即可得出答案.
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