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四川省泸州市古蔺县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·古蔺期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·古蔺期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·古蔺期末）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·古蔺期末）若一个边形的内角和为，则的值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2025八上·古蔺期末）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·古蔺期末）下列因式分解结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·古蔺期末）恰好能写成一个完全平方式，求的值是（　　）
A． B． C．48 D．24
8．（2025八上·古蔺期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不变
9．（2025八上·古蔺期末）下列说法错误的是（　　）．
A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
10．（2025八上·古蔺期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·古蔺期末）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
12．（2025八上·古蔺期末）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八上·古蔺期末）如果，关于轴对称，则　 　．
14．（2025八上·古蔺期末）分解因式：　 　．
15．（2025八上·古蔺期末）若方程的一个根是a，则的值为　 　．
16．（2025八上·古蔺期末）如图，在四边形中，，，连接BD，，．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·古蔺期末）计算：
；
18．（2025八上·古蔺期末）化简：，并请你在﹣2，+1，39三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值．
19．（2025八上·古蔺期末）如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：．
20．（2025八上·古蔺期末）解方程：．
21．（2025八上·古蔺期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应、），并分别写出点的坐标；
（2）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小．
22．（2025八上·古蔺期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠CEB＝90°，对角线BD平分∠ABC，且BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBC；
（2）当∠ADB＝60°时，求∠DCE的度数．
23．（2025八上·古蔺期末）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍．
（1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？
24．（2025八上·古蔺期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
25．（2025八上·古蔺期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，符合题意，
B选项图形是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：A．
【分析】将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形是轴对称图形.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，则A计算错误；
B. ，则B合并错误；
C. ，则C不符合题意；
D. ，则D符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法其实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，根据法则即可一一判断。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
4．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据题意得；，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°结合其内角和为900°列出方程，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵，
若，则，
∵，
∴，故A正确；
B、当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，故B不正确；
C、当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，故C不正确；
D、当与不可能相等，
∴不能判断，故D不正确.
故答案为：A．
【分析】要使△ABC≌△ADE，题干已经给出了AB=AD，AC=AE，如果利用“SSS”可添加BC=DE；如果利用“SAS”可以添加∠1=∠2或∠BAC=∠DAE，从而即可逐一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意；
B、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意；
C、原式，故本选项原分解因式正确，符合题意；
D、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，逐一判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】单项式除以单项式；完全平方式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵恰好能写成一个完全平方式，
∴m=±2×2×3
∴m=±12，
∴ .
故答案为： A．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可列出关于字母m的方程，求解即可得到m的值.
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
所以如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．
故答案为：A．
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质"分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变" 进行化简即可求解．
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、错误，直角三角形也有三条高线；
D、正确．
故答案为：C
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质逐一判断即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BF=BF，∠BFA=∠BFE=90°，
∴△BFA≌△BFE（ASA），
∴BA=BE，
∵BD=BD，∠ABD=∠EBD，BA=BE，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-45°=50°，
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=90°，然后根据“ASA”判断出△BFA≌△BFE，由全等三角形的对应边相等得BA=BE，进而再利用“SAS”判断出△BDA≌△BDE，由全等三角形的对应角相等得∠BED=∠BAD=95°，然后根据三角形的外角性质得∠CDE=∠BED-∠C可算出答案.
11．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，
∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．
故答案为：A．
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①正确；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等可得∠BHE=∠C，再由平行四边形得对角相等得∠A=∠C，可判断②正确；用“AAS”证明△BEH≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得BH=CD，再由平行四边形的对边相等得AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点可知，a=-2，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先直接提取各项的公因式3，再利用完全平方公式将剩下的商式继续分解因式即可．
15．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵程的一个根是a，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2026．
【分析】使一元二次方程的左边等于右边的未知数得值就是该一元二次方程的根，据此将x=a代入原方程可得a2+a=2025，从而整体代入待求式子即可算出答案.
16．【答案】10
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，DP的长度最小，
∵，
∴，
∵，
∴DP的最小值是10，
故答案为：10．
【分析】由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等求出，根据垂线段最短得出当时，DP的长度最小，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DP=AD，从而可得答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的性质“”及绝对值性质分别计算，再计算加减法运算即可得出答案.
18．【答案】解：
＝
=
=
=
当a的值为﹣2和+1时，分式无意义，故选a的值为39，
代入原式=．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号内的整式“a-2”的分母看成1，通分计算括号内分式的加法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简；最后将使原分式有意义的a的值代入化简后的式子，计算即可.
19．【答案】证明：、、、四点共线，且，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查利用ASA判定三角形全等，由，利用等式的基本性质可得，结合题目条件，可利用ASA证，即可得到．
20．【答案】解：方程两边同乘以，
得，
解得，
经检验：是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母约去分母，可把分式方程化为整式方程，解整式方程，求出x得值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示：点P即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（1）解：由图可知：；
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，即可得到所求的△A1B1C1，点A1、B1、C1在坐标系中的位置，写出其坐标即可；
（2）利用轴对称的性质及两点之间线段最短，作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B1，A'B1与y轴的交点即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
由图可知：；
（2）如图所示：点P即为所求．
22．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°，
∴△ABD≌△EBC（AAS）
（2）解：∵∠ADB＝60°， ∠A＝90°
∴∠ABD＝30°，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC，
∴∠BDC＝75°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝15°．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD，从而由“AAS”可证△ABD≌△EBC；
（2）由直角三角形的两锐角互余得出∠ABD=30°，由全等三角形的对应角相等、对应边相等得∠ABD＝∠DBC＝30°，BD＝BC，由等边对等角及三角形的内角和定理求得∠BDC＝75°，最后再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
（1）1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°，
∴△ABD≌△EBC（AAS）
（2）（2）∵∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC，
∴∠BDC＝75°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝15°．
23．【答案】（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元．
（2）解：设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，
依题意得：，
解得：，
答：最多购进120个甲种月饼．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据总价除以单价等于数量及“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出分式方程，求解并检验得出乙种月饼的单价，进而由“1.5x”求出甲种月饼的单价；
（2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据总价等于单价乘以数量及“购进甲乙两种月饼的总金额不超过1300元”列出不等式，求出最大整数解即可.
（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元．
（2）设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，
依题意得：，
解得：，
答：最多购进120个甲种月饼．
24．【答案】（1）
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：，
，
，
．
答：的值为5．
②空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
大长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
【分析】（1）观察图形结合正方形及长方形面积计算方法可得题目中给的代数式是大图形的面积，根据矩形面积计算公式，因式分解的结果恰好是长方形形长与宽的乘积，从而得出答案；
（2）①根据长方形的周长公式结合大长方形的周长为30列出方程，整理可得a+b的值；
②由①得a+b=5，阴影部分的面积为2a2+2b2，结合完全平方公式的恒等变形(a+b)2-2ab=a2+b2，然后整体代入计算可得求出ab，从而根据空白部分的面积是5ab得出答案.
25．【答案】（1）证明：过P作PF∥QC交AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
又∵PF∥CQ，
∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠DQB=∠DPF，
∴△AFP是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
在和中，
，
∴，
∴DQ＝DP，即点D是PQ的中点；
（2）解：∵，
∴∠BQD=∠FPD，
∵，
∴，
∴，
∴AP＝2；
（3）解：DE的长度不变，理由如下：
由（2）知BD＝DF，
∵是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE＝EF，
∴DE＝DF+EF
＝3，
为定值，即DE的长不变．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）过P作PF∥QC交AB于F，由等边三角形的三个内角都是60°得∠A=∠ABC=∠C=60°，由二直线平行，内错角相等得∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠DQB=∠DPF，从而由三个内角都是60°的三角形是等边三角形得出△AFP是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出AP=PF=AF；利用路程、速度、时间三者的关系得出BQ=AP=PF，从而利用“AAS”证△DBQ≌△DFP，由全等三角形的对应边相等得出DQ=DP，从而根据线段中点定义可得答案；
（2）由全等三角形对应角相等得∠BQD=∠FPD，由三角形外角性质、已知及对顶角相等得∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，由等角对等边及（1）中结论可推出BD=DF=PF=FA=AP=AB=2；
（3）DE的长度不变，理由如下：由等边三角形的三线合一得出EF=AF，结合（2）的结论及线段和差得出DE=DF+EF=AB，从而可得答案.
1 / 1四川省泸州市古蔺县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·古蔺期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，符合题意，
B选项图形是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：A．
【分析】将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形是轴对称图形.
2．（2025八上·古蔺期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，则A计算错误；
B. ，则B合并错误；
C. ，则C不符合题意；
D. ，则D符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法其实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式的展开式是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央，根据法则即可一一判断。
3．（2025八上·古蔺期末）冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000031用科学记数法表示为：
.
故答案为：．
【分析】根据科学记数法的意义“任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意即可求解．
4．（2025八上·古蔺期末）若一个边形的内角和为，则的值是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据题意得；，
解得：．
故答案为：B．
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°结合其内角和为900°列出方程，求解即可.
5．（2025八上·古蔺期末）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、∵，
若，则，
∵，
∴，故A正确；
B、当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，故B不正确；
C、当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，故C不正确；
D、当与不可能相等，
∴不能判断，故D不正确.
故答案为：A．
【分析】要使△ABC≌△ADE，题干已经给出了AB=AD，AC=AE，如果利用“SSS”可添加BC=DE；如果利用“SAS”可以添加∠1=∠2或∠BAC=∠DAE，从而即可逐一判断得出答案.
6．（2025八上·古蔺期末）下列因式分解结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意；
B、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意；
C、原式，故本选项原分解因式正确，符合题意；
D、原式，故本选项原分解因式错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，逐一判断得出答案.
7．（2025八上·古蔺期末）恰好能写成一个完全平方式，求的值是（　　）
A． B． C．48 D．24
【答案】A
【知识点】单项式除以单项式；完全平方式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵恰好能写成一个完全平方式，
∴m=±2×2×3
∴m=±12，
∴ .
故答案为： A．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可列出关于字母m的方程，求解即可得到m的值.
8．（2025八上·古蔺期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
所以如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．
故答案为：A．
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质"分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变" 进行化简即可求解．
9．（2025八上·古蔺期末）下列说法错误的是（　　）．
A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、错误，直角三角形也有三条高线；
D、正确．
故答案为：C
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质逐一判断即可。
10．（2025八上·古蔺期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BF=BF，∠BFA=∠BFE=90°，
∴△BFA≌△BFE（ASA），
∴BA=BE，
∵BD=BD，∠ABD=∠EBD，BA=BE，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-45°=50°，
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=90°，然后根据“ASA”判断出△BFA≌△BFE，由全等三角形的对应边相等得BA=BE，进而再利用“SAS”判断出△BDA≌△BDE，由全等三角形的对应角相等得∠BED=∠BAD=95°，然后根据三角形的外角性质得∠CDE=∠BED-∠C可算出答案.
11．（2025八上·古蔺期末）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
12．（2025八上·古蔺期末）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，
∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．
故答案为：A．
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①正确；由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等可得∠BHE=∠C，再由平行四边形得对角相等得∠A=∠C，可判断②正确；用“AAS”证明△BEH≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得BH=CD，再由平行四边形的对边相等得AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八上·古蔺期末）如果，关于轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点可知，a=-2，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
14．（2025八上·古蔺期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先直接提取各项的公因式3，再利用完全平方公式将剩下的商式继续分解因式即可．
15．（2025八上·古蔺期末）若方程的一个根是a，则的值为　 　．
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵程的一个根是a，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2026．
【分析】使一元二次方程的左边等于右边的未知数得值就是该一元二次方程的根，据此将x=a代入原方程可得a2+a=2025，从而整体代入待求式子即可算出答案.
16．（2025八上·古蔺期末）如图，在四边形中，，，连接BD，，．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　．
【答案】10
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，DP的长度最小，
∵，
∴，
∵，
∴DP的最小值是10，
故答案为：10．
【分析】由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等求出，根据垂线段最短得出当时，DP的长度最小，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DP=AD，从而可得答案.
三、解答题（共72分）
17．（2025八上·古蔺期末）计算：
；
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的性质“”及绝对值性质分别计算，再计算加减法运算即可得出答案.
18．（2025八上·古蔺期末）化简：，并请你在﹣2，+1，39三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值．
【答案】解：
＝
=
=
=
当a的值为﹣2和+1时，分式无意义，故选a的值为39，
代入原式=．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号内的整式“a-2”的分母看成1，通分计算括号内分式的加法，同时根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简；最后将使原分式有意义的a的值代入化简后的式子，计算即可.
19．（2025八上·古蔺期末）如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：．
【答案】证明：、、、四点共线，且，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查利用ASA判定三角形全等，由，利用等式的基本性质可得，结合题目条件，可利用ASA证，即可得到．
20．（2025八上·古蔺期末）解方程：．
【答案】解：方程两边同乘以，
得，
解得，
经检验：是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母约去分母，可把分式方程化为整式方程，解整式方程，求出x得值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．（2025八上·古蔺期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）画出关于x轴对称的图形（点A、C分布对应、），并分别写出点的坐标；
（2）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示：点P即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（1）解：由图可知：；
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，即可得到所求的△A1B1C1，点A1、B1、C1在坐标系中的位置，写出其坐标即可；
（2）利用轴对称的性质及两点之间线段最短，作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B1，A'B1与y轴的交点即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
由图可知：；
（2）如图所示：点P即为所求．
22．（2025八上·古蔺期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠CEB＝90°，对角线BD平分∠ABC，且BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBC；
（2）当∠ADB＝60°时，求∠DCE的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°，
∴△ABD≌△EBC（AAS）
（2）解：∵∠ADB＝60°， ∠A＝90°
∴∠ABD＝30°，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC，
∴∠BDC＝75°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝15°．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD，从而由“AAS”可证△ABD≌△EBC；
（2）由直角三角形的两锐角互余得出∠ABD=30°，由全等三角形的对应角相等、对应边相等得∠ABD＝∠DBC＝30°，BD＝BC，由等边对等角及三角形的内角和定理求得∠BDC＝75°，最后再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
（1）1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°，
∴△ABD≌△EBC（AAS）
（2）（2）∵∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC，
∴∠BDC＝75°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝15°．
23．（2025八上·古蔺期末）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼．已知购进甲种月饼的金额是1200元，购进乙种月饼的金额是600元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍．
（1）求超市购进甲、乙两种月饼的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种月饼共200个，若总金额不超过1300元．问最多购进多少个甲种月饼？
【答案】（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元．
（2）解：设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，
依题意得：，
解得：，
答：最多购进120个甲种月饼．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，根据总价除以单价等于数量及“购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多40个”列出分式方程，求解并检验得出乙种月饼的单价，进而由“1.5x”求出甲种月饼的单价；
（2） 设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，根据总价等于单价乘以数量及“购进甲乙两种月饼的总金额不超过1300元”列出不等式，求出最大整数解即可.
（1）解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼每个的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲种月饼每个的单价为7.5元，乙种月饼每个的单价为5元．
（2）设购进甲种月饼个，则购进乙种月饼个，
依题意得：，
解得：，
答：最多购进120个甲种月饼．
24．（2025八上·古蔺期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：，
，
，
．
答：的值为5．
②空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
大长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
【分析】（1）观察图形结合正方形及长方形面积计算方法可得题目中给的代数式是大图形的面积，根据矩形面积计算公式，因式分解的结果恰好是长方形形长与宽的乘积，从而得出答案；
（2）①根据长方形的周长公式结合大长方形的周长为30列出方程，整理可得a+b的值；
②由①得a+b=5，阴影部分的面积为2a2+2b2，结合完全平方公式的恒等变形(a+b)2-2ab=a2+b2，然后整体代入计算可得求出ab，从而根据空白部分的面积是5ab得出答案.
25．（2025八上·古蔺期末）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】（1）证明：过P作PF∥QC交AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
又∵PF∥CQ，
∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠DQB=∠DPF，
∴△AFP是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
在和中，
，
∴，
∴DQ＝DP，即点D是PQ的中点；
（2）解：∵，
∴∠BQD=∠FPD，
∵，
∴，
∴，
∴AP＝2；
（3）解：DE的长度不变，理由如下：
由（2）知BD＝DF，
∵是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE＝EF，
∴DE＝DF+EF
＝3，
为定值，即DE的长不变．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）过P作PF∥QC交AB于F，由等边三角形的三个内角都是60°得∠A=∠ABC=∠C=60°，由二直线平行，内错角相等得∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠DQB=∠DPF，从而由三个内角都是60°的三角形是等边三角形得出△AFP是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出AP=PF=AF；利用路程、速度、时间三者的关系得出BQ=AP=PF，从而利用“AAS”证△DBQ≌△DFP，由全等三角形的对应边相等得出DQ=DP，从而根据线段中点定义可得答案；
（2）由全等三角形对应角相等得∠BQD=∠FPD，由三角形外角性质、已知及对顶角相等得∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，由等角对等边及（1）中结论可推出BD=DF=PF=FA=AP=AB=2；
（3）DE的长度不变，理由如下：由等边三角形的三线合一得出EF=AF，结合（2）的结论及线段和差得出DE=DF+EF=AB，从而可得答案.
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