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四川省宜宾市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八上·宜宾期末） 4的平方根是（）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
2．（2025八上·宜宾期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·宜宾期末）实数，，，，，中，无理数的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025八上·宜宾期末）如图，已知，若添加一个条件使，则添加错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·宜宾期末）如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·宜宾期末）给出下列命题：①如果，那么；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④全等三角形的对应角相等；它们的逆命题是假命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交于点D．若，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
8．（2025八上·宜宾期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·宜宾期末）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（2025八上·宜宾期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，连接点M是延长线上一点，点N在延长线上，当为等边三角形时，下面的结论：①；②；③；④若的面积为4，则四边形的面积为16．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025八上·宜宾期末）对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上）
13．（2025八上·宜宾期末）计算　 　．
14．（2025八上·宜宾期末）“少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是　 　．
15．（2025八上·宜宾期末）如图，有一个高为12厘米，底面周长为10厘米的圆柱形陶罐，在陶罐上沿口的点B处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的陶罐内壁底A处有一滴蜂蜜．则蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为　 　厘米．
16．（2025八上·宜宾期末）已知：，则的值为　 　．
17．（2025八上·宜宾期末）在中，，，，点为的中点，为的垂直平分线，点E为上任意一点，连接、，则周长的最小值是　 　．
18．（2025八上·宜宾期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（2025八上·宜宾期末）（1）计算：
（2）分解因式：
20．（2025八上·宜宾期末）先化简，再求值：，其中
21．（2025八上·宜宾期末）如图，，，．求证：．
22．（2025八上·宜宾期末）某校为满足学生多元化文化需求，课外开展了形式多样的特色活动．为了解学生对部分活动的喜爱程度，对部分学生进行了一次调查并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）请将统计图1补充完整；
（2）统计图2中， ；“美食”部分扇形的圆心角是 ；
（3）若该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有多少？
23．（2025八上·宜宾期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
24．（2025八上·宜宾期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：．
解：．
（1）用配方法分解因式：；
（2）若与，请比较A、B的大小关系并说明理由；
（3）如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）．
①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？
25．（2025八上·宜宾期末）已知：如图，中，，过点A作，分别在上取点D、E，使，过点B作，垂足为G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）连接，过点C作，交于点F．求证：点F为的中点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】∵（±2)2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案应选C
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项法则即可判断A选项；根据幂的乘方计算法则即可判断B选项；单项式除以单项式的计算法则即可判断C选项；根据单项式乘以单项式计算法则即可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：实数，，，，，中，，，是无理数，共3个，
故选：C．
【分析】根据无限不循环小数是无理数．由此即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得：，，
A．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
B．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
C．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
D．若添加，不能根据全等三角形判定定理判定，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，图3的长方形的长为，宽为，
则图3的长方形的面积为，
由图1可知，图3的长方形的面积为图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，
∴通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为，
故选：A．
【分析】根据题意可知：图3的长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①逆命题为如果，那么，成立，是真命题，不符合题意；
②逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，是真命题，不符合题意；
③逆命题为如果两个角相等，那么他们是对顶角，是假命题，符合题意；
④逆命题为对应角相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
故选：B．
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断真假即可．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，
过D点作于H，如图，
∵平分，，，
∴．
点D到的距离为2．
故选：A．
【分析】由题意可知平分，过D点作于H，根据角平分线的性质得到．
8．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
，
∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】先根据整式计算法则计算，然后根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
11．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，点D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
故结论①正确；
∵，，
∴点A，N，C，M共圆，
∴，
故结论②正确；
如图，在上取点F，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
故结论③正确；
如图，过点C作，交延长线于点E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
但是不能判断，的关系，所以不能得出，
故结论④不正确；
综上，正确的结论有：，共3个，
故选：C．
【分析】根据题意得到是线段的垂直平分线，则，，再根据等边三角形的性质可得，，即可判断结论①；然后说明点A，N，C，M共圆，即可判断结论②；在上取点F，使得，利用可证得，于是可得，即可判断结论③；过点C作，交延长线于点E，利用可证得，然后根据，的关系即可判断结论④；
12．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：①当，，
则，
则，
故①正确，符合题意；
②当，
则，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③，
∵
则当的值恒为正数时，即可，
∴，
故③正确，符合题意；
④当，且，
则，
∴，，
∵p、q为整数，
∴p、q的值可为或或或或或
∴或或8或或7或，
故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式把代入计算求出m的值即可判断①；根据题意得到关于n和b的方程组， 则，即可判断②；利用完全平方公式计算得到原式为，则当的值恒为正数时，即可，即可判断③；根据题意计算并结合p、q为整数，得到p和q的取值情况，进而即可判断④.
13．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可。
14．【答案】3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：“强”字出现了3次．
所以，“强”字出现的频数是3，
故答案为：3．
【分析】
“频数即出现次数”．
15．【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱形陶罐的侧面展开图如下，即为最短路径，
由题意可知，厘米，厘米，
厘米，
即蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为13厘米，
故答案为：13．
【分析】将圆柱侧面展开，则即为最短路径，然后利用勾股定理计算即可.
16．【答案】2
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴
故答案为：．
【分析】根据已知得出，，则，最后整体代入计算即可.
17．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，
∴周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，根据线段中点的定义从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，则的周长最小，由此即可得．
18．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点是边的中点，，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在点运动过程中，始终有，
∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
∴在 中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先根据线段中点的定义求出，再利用"SAS"证出，则，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
19．【答案】解：（1）
；
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根进行化简得到，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解；
（2）先提公因式得到，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
20．【答案】解：
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式进行计算得到，再合并同类项，最后把字母的值代入即可求解．
21．【答案】证明：∵
∴，
∵
∴，
在与中
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可得，然后根据线段的和差可证明，进而根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
22．【答案】（1）解：总人数为（人）
“绘画”的人数为（人）
补充统计图如图所示，
（2），
（3）解：（人）
答：估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵“绘画”的人数为人，总人数为人，
∴，即，
“美食”部分扇形的圆心角是
故答案为：，．
【分析】（1）根据篮球的人数与占比可得总人数，求出绘画的人数，再补全图形即可.
（2）根据绘画的人数除以总人数可得a值，根据360°乘以美食的占比即可求出答案.
（3）根据总人数乘以绘画的占比即可求出答案.
（1）解：总人数为（人）
“绘画”的人数为（人）
补充统计图如图所示，
（2）解：∵“绘画”的人数为人，总人数为人，
∴，即，
“美食”部分扇形的圆心角是
故答案为：，．
（3）解：（人）
答：估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人
23．【答案】（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）过点作，交于点D，等腰三角形的性质求出，然后在中利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先在中利用勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
24．【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）仿照题干根据平方差公式求解；
（2）根据题意计算得到，根据平方的非负性得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到，再由三角形面积公式列代数式，由三角形边长为正求t的取值范围；
②利用配方法结合完全平方式的非负性求解．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
25．【答案】（1）证明：，，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，，
∴，
∵，
∴，
即；

（3）证明：延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴与重合，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F为的中点．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用"HL"证明，进而即可求解；
（2）由（1）中的全等得到，进而得到，最后根据四边形内角和结合角之间数量关系即可求解；
（3）延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，先利用"SAS"证明，则，进而再利用"AAS"证明，得到，故与重合，证明，则，故点F为的中点．
（1）证明：，，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）证明：延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴与重合，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F为的中点．
1 / 1四川省宜宾市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八上·宜宾期末） 4的平方根是（）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】∵（±2)2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案应选C
2．（2025八上·宜宾期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项法则即可判断A选项；根据幂的乘方计算法则即可判断B选项；单项式除以单项式的计算法则即可判断C选项；根据单项式乘以单项式计算法则即可判断D选项.
3．（2025八上·宜宾期末）实数，，，，，中，无理数的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：实数，，，，，中，，，是无理数，共3个，
故选：C．
【分析】根据无限不循环小数是无理数．由此即可求解.
4．（2025八上·宜宾期末）如图，已知，若添加一个条件使，则添加错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得：，，
A．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
B．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
C．若添加，根据全等三角形判定定理能判定，故不符合题意；
D．若添加，不能根据全等三角形判定定理判定，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
5．（2025八上·宜宾期末）如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，图3的长方形的长为，宽为，
则图3的长方形的面积为，
由图1可知，图3的长方形的面积为图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，
∴通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为，
故选：A．
【分析】根据题意可知：图3的长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式计算即可.
6．（2025八上·宜宾期末）给出下列命题：①如果，那么；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④全等三角形的对应角相等；它们的逆命题是假命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①逆命题为如果，那么，成立，是真命题，不符合题意；
②逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，是真命题，不符合题意；
③逆命题为如果两个角相等，那么他们是对顶角，是假命题，符合题意；
④逆命题为对应角相等的三角形全等，是假命题，符合题意；
故选：B．
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断真假即可．
7．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交于点D．若，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，
过D点作于H，如图，
∵平分，，，
∴．
点D到的距离为2．
故选：A．
【分析】由题意可知平分，过D点作于H，根据角平分线的性质得到．
8．（2025八上·宜宾期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
，
∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，
∴，，
∴，
故选：B．
【分析】先根据整式计算法则计算，然后根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．
9．（2025八上·宜宾期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴当的值最小时，取得最大值，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【分析】在中利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而求出EF的长度，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，CF的值最小，最后利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得．
10．（2025八上·宜宾期末）第14届数学教育大会会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则直角三角形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直角三角形的面积，
故选：D．
【分析】根据勾股定理得出，结合完全平方公式求出，即可求解.
11．（2025八上·宜宾期末）如图，在等腰中，，，点D为的中点，连接点M是延长线上一点，点N在延长线上，当为等边三角形时，下面的结论：①；②；③；④若的面积为4，则四边形的面积为16．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，点D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
故结论①正确；
∵，，
∴点A，N，C，M共圆，
∴，
故结论②正确；
如图，在上取点F，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
故结论③正确；
如图，过点C作，交延长线于点E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
但是不能判断，的关系，所以不能得出，
故结论④不正确；
综上，正确的结论有：，共3个，
故选：C．
【分析】根据题意得到是线段的垂直平分线，则，，再根据等边三角形的性质可得，，即可判断结论①；然后说明点A，N，C，M共圆，即可判断结论②；在上取点F，使得，利用可证得，于是可得，即可判断结论③；过点C作，交延长线于点E，利用可证得，然后根据，的关系即可判断结论④；
12．（2025八上·宜宾期末）对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：①当，，
则，
则，
故①正确，符合题意；
②当，
则，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③，
∵
则当的值恒为正数时，即可，
∴，
故③正确，符合题意；
④当，且，
则，
∴，，
∵p、q为整数，
∴p、q的值可为或或或或或
∴或或8或或7或，
故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式把代入计算求出m的值即可判断①；根据题意得到关于n和b的方程组， 则，即可判断②；利用完全平方公式计算得到原式为，则当的值恒为正数时，即可，即可判断③；根据题意计算并结合p、q为整数，得到p和q的取值情况，进而即可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上）
13．（2025八上·宜宾期末）计算　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可。
14．（2025八上·宜宾期末）“少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是　 　．
【答案】3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：“强”字出现了3次．
所以，“强”字出现的频数是3，
故答案为：3．
【分析】
“频数即出现次数”．
15．（2025八上·宜宾期末）如图，有一个高为12厘米，底面周长为10厘米的圆柱形陶罐，在陶罐上沿口的点B处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的陶罐内壁底A处有一滴蜂蜜．则蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为　 　厘米．
【答案】13
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱形陶罐的侧面展开图如下，即为最短路径，
由题意可知，厘米，厘米，
厘米，
即蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为13厘米，
故答案为：13．
【分析】将圆柱侧面展开，则即为最短路径，然后利用勾股定理计算即可.
16．（2025八上·宜宾期末）已知：，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】单项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴
故答案为：．
【分析】根据已知得出，，则，最后整体代入计算即可.
17．（2025八上·宜宾期末）在中，，，，点为的中点，为的垂直平分线，点E为上任意一点，连接、，则周长的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，
∴周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，根据线段中点的定义从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，则的周长最小，由此即可得．
18．（2025八上·宜宾期末）如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点是边的中点，，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在点运动过程中，始终有，
∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
∴在 中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先根据线段中点的定义求出，再利用"SAS"证出，则，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
19．（2025八上·宜宾期末）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】解：（1）
；
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根进行化简得到，然后根据实数的混合运算进行计算即可求解；
（2）先提公因式得到，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
20．（2025八上·宜宾期末）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式进行计算得到，再合并同类项，最后把字母的值代入即可求解．
21．（2025八上·宜宾期末）如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵
∴，
∵
∴，
在与中
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等可得，然后根据线段的和差可证明，进而根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
22．（2025八上·宜宾期末）某校为满足学生多元化文化需求，课外开展了形式多样的特色活动．为了解学生对部分活动的喜爱程度，对部分学生进行了一次调查并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）请将统计图1补充完整；
（2）统计图2中， ；“美食”部分扇形的圆心角是 ；
（3）若该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有多少？
【答案】（1）解：总人数为（人）
“绘画”的人数为（人）
补充统计图如图所示，
（2），
（3）解：（人）
答：估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵“绘画”的人数为人，总人数为人，
∴，即，
“美食”部分扇形的圆心角是
故答案为：，．
【分析】（1）根据篮球的人数与占比可得总人数，求出绘画的人数，再补全图形即可.
（2）根据绘画的人数除以总人数可得a值，根据360°乘以美食的占比即可求出答案.
（3）根据总人数乘以绘画的占比即可求出答案.
（1）解：总人数为（人）
“绘画”的人数为（人）
补充统计图如图所示，
（2）解：∵“绘画”的人数为人，总人数为人，
∴，即，
“美食”部分扇形的圆心角是
故答案为：，．
（3）解：（人）
答：估计该校最喜欢“绘画”特色活动的学生约有人
23．（2025八上·宜宾期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）过点作，交于点D，等腰三角形的性质求出，然后在中利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先在中利用勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
24．（2025八上·宜宾期末）“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或式子的部分通过变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．例如，用配方法分解因式：．
解：．
（1）用配方法分解因式：；
（2）若与，请比较A、B的大小关系并说明理由；
（3）如图，中，．点M从点A开始以的速度向点C运动，同时点N从点C开始以的速度向点B运动，当其中任何一点到达终点时另一点停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）．
①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
②求t为何值时S的值最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；配方法的应用；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）仿照题干根据平方差公式求解；
（2）根据题意计算得到，根据平方的非负性得到，进而即可求解；
（2）①根据题意得到，再由三角形面积公式列代数式，由三角形边长为正求t的取值范围；
②利用配方法结合完全平方式的非负性求解．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：①由题意得，，
∴的面积，
由得，
②∵，
∵，
∴，
∴当时，面积的最大值为4．
25．（2025八上·宜宾期末）已知：如图，中，，过点A作，分别在上取点D、E，使，过点B作，垂足为G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）连接，过点C作，交于点F．求证：点F为的中点．
【答案】（1）证明：，，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，，
∴，
∵，
∴，
即；

（3）证明：延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴与重合，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F为的中点．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用"HL"证明，进而即可求解；
（2）由（1）中的全等得到，进而得到，最后根据四边形内角和结合角之间数量关系即可求解；
（3）延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，先利用"SAS"证明，则，进而再利用"AAS"证明，得到，故与重合，证明，则，故点F为的中点．
（1）证明：，，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵在四边形中，，，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）证明：延长交于点，过点作交延长线于点，记与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴与重合，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F为的中点．
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