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吉林省吉林市龙潭区2024-2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025八上·龙潭期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴能组成三角形，该选项符合题意；
故选：．
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，然后逐项分析判断即可.
2．（2025八上·龙潭期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项分析即可.
3．（2025八上·龙潭期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠x4，原计算错误；
B、≠x7，原计算错误；
C、，原计算正确；
D、和不是同类项，不能合并，原计算错误；
故答案为：C．
【分析】本题利用同底数幂除法计算判断A选项，幂的乘方计算判断B选项；积的乘方计算判断C选项；合并同类项判断D选项。
4．（2025八上·龙潭期末）已知代数式的值为0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵代数式的值为0，
∴，且．
∴且．
∴．
故答案为：C．
【分析】先求出，且，再求出且，最后求解即可。
5．（2025八上·龙潭期末）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P线段BC上，∴
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
结合选项，D中的直线为线段BC的垂直平分线，
故选：D．
【分析】根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解．
6．（2025八上·龙潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，若轴于点D，轴于点E，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
则．
轴，轴，
．
又，
，且，
，
在和中，
，
．
，
，
，
故选：D．
【分析】根据题意得到．然后利用"AAS"证明，则，进而根据线段间的数量关系得到，进而即可求解.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025八上·龙潭期末）在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
8．（2025八上·龙潭期末）在人体血液中，红细胞直径约为 ，数据0.00077用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00077=7.7×10-4，
故答案为：7.7×10-4．
【分析】科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示成a ×10-n，的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10， n是原数的从左边起第一个非零数字前面所有零的个数。
9．（2025八上·龙潭期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提公因式得到，再利用平方差公式分解即可.
10．（2025八上·龙潭期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先根据负数的偶次幂、负整数指数幂的运算性质、以及零指数幂的定义分别计算每一项的值，然后进行加减运算得出最终结果.
11．（2025八上·龙潭期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据多边形的内角和公式得到多边形的内角和为，进而列出方程即可求解.
12．（2025八上·龙潭期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
这个条件可以是。
故答案为：．
【分析】要使，而条件中有，并且进行角度作差得到，此时可以用SAS，即添加即可；也可以利用ASA，添加∠ABD=∠ACE亦可；还可以用AAS，添加∠ADB=∠AEC亦可。
13．（2025八上·龙潭期末）如图，在中，，平分交于，于．若，则　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的性质得，然后在中根据含30°的直角三角形的性质得到BD的长度，然后根据线段间的数量关系计算即可.
14．（2025八上·龙潭期末）甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做个零件，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设乙每小时做个零件，根据题意： 甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，据此列出方程.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025八上·龙潭期末）计算：
【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式和多项式乘以多项式计算即可得到，最后根据整式加减计算法则计算即可.
16．（2025八上·龙潭期末）计算： ．
【答案】解：
＝
＝
＝
＝
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据题意先通分括号内再变除为乘，并对分子进行因式分解最后分子分母上下约分即可.
17．（2025八上·龙潭期末）解方程：．
【答案】解：方程两边乘以（x+1）(x-1)，得：，
去括号，得到，
移项、合并同类项得到，
系数化为1，解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题按照解分式方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x值之后进行检验，以免产生增根。
18．（2025八上·龙潭期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：．
【答案】证明：∵，垂足分别为A，D，∴．
∴．
在和中，
∴（AAS）．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；翻折全等-对顶角模型
【解析】【分析】根据垂直的定义得出，再由全等三角形的判定方法AAS证全等和性质证明BE=CE．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025八上·龙潭期末）先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
∵且且，
∴且且，
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的性质和运算法则进行化简得到原式为，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解.
20．（2025八上·龙潭期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
【答案】解：如图，
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可.
21．（2025八上·龙潭期末）经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，根据“电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
22．（2025八上·龙潭期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使．
（1）画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
；
（2）证明：，，
，，
由（1）知：平分，
，
在和中，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）作出的平分线即可；
（2）根据题意结合角平分线的定义即可得到，，进而即可利用"SAS"证明则，进而根据等腰三角形的性质即可求解.
（1）解：如图，即为所求：
；
（2）证明：，，
，，
由（1）知：平分，
，
在和中，
，
，
，
．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025八上·龙潭期末）【阅读理解】例题：若，求和的值．
解：，，即，，，∴，．
【方法运用】若，求的值．
【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长．
【答案】解：方法运用：∵
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴的值为；
拓展提升：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
当时，
∵，
∴构成不了三角形，该种情况不符合；
当时，的周长；
∴的周长为
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）根据完全平方公式得到原式为，进而根据偶次方的非负性得到，，即可求出x的值；
（）把右式移到左边得到：，根据完全平方公式得到原式为，进而根据偶次方的非负性得到，，即可求出a和b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理得到当时满足题意，进而计算即可
24．（2025八上·龙潭期末）如图，在中，，点E在上，的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，若．
（1）求证：；
（2）请直接写出与位置关系是 ；
（3）若，则的度数为 ．
【答案】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）．理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）如图，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，然后即可证是等腰直角三角形，并利用"AAS"证，得，进而即得；
（2）结合（1）得到，再证明，即可得出结论；
（3）结合（1）得到，得，由，即可得．
（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025八上·龙潭期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）填空：①若，则 ；
②若，则 ．
（3）如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）①；②
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2）①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（）根据题意得到，结合题意计算即可；
（）①根据题意得到，进而结合题意计算得到，进而计算即可；
②根据题意得到，进而结合题意计算得到，进而计算即可；
（）由体题意可得，，根据长方形面积为200，据此列出方程，结合题意计算得到，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解；
（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为．
26．（2025八上·龙潭期末）已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点．
（1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，连接，，设点P运动时间为，()．
①用含t的代数式表示长为 ；
②当时，求的度数；
③当t为何值时，是直角三角形？
（2）当点P在边，点Q在直线BC上的运动，且时，请直接写出、和之间的数量关系，不需证明．
【答案】（1）①；
②根据题意得：当时，，
∵等边三角形的边长为，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
③由题意知，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
得，
解得；
∴当或秒时，为直角三角形；
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵等边的边长为，，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，即点Q和点C在点P的异侧，如图，
以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和线段间的数量关系计算求解即可；
② 当时，，利用等边三角形的判定，得出是等边三角形，，进而即可求解；
③利用分类思想，分两种情形：①当时，②当时，分别根据含30°角的直角三角形的性质分别列出方程即可；
（2）以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，，可证，再证明得，进而可求出．
（1）解：①∵等边的边长为，，
∴．
故答案为：；
②根据题意得：当时，，
∵等边三角形的边长为，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
③由题意知，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
得，
解得；
∴当或秒时，为直角三角形；
（2）解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，即点Q和点C在点P的异侧，如图，
以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
1 / 1吉林省吉林市龙潭区2024-2025学年八年级上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2025八上·龙潭期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·龙潭期末）下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·龙潭期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·龙潭期末）已知代数式的值为0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·龙潭期末）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·龙潭期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且，若轴于点D，轴于点E，则长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2025八上·龙潭期末）在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为　 　．
8．（2025八上·龙潭期末）在人体血液中，红细胞直径约为 ，数据0.00077用科学记数法表示为　 　．
9．（2025八上·龙潭期末）因式分解：　 　．
10．（2025八上·龙潭期末）计算：　 　．
11．（2025八上·龙潭期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为　 　．
12．（2025八上·龙潭期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
13．（2025八上·龙潭期末）如图，在中，，平分交于，于．若，则　 　．
14．（2025八上·龙潭期末）甲、乙二人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．若设乙每小时做个零件，则根据题意可列方程为　 　．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2025八上·龙潭期末）计算：
16．（2025八上·龙潭期末）计算： ．
17．（2025八上·龙潭期末）解方程：．
18．（2025八上·龙潭期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2025八上·龙潭期末）先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
20．（2025八上·龙潭期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
21．（2025八上·龙潭期末）经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
22．（2025八上·龙潭期末）如图，已知中，点在上，连接，并延长至点，使．
（1）画图：作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2025八上·龙潭期末）【阅读理解】例题：若，求和的值．
解：，，即，，，∴，．
【方法运用】若，求的值．
【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长．
24．（2025八上·龙潭期末）如图，在中，，点E在上，的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，若．
（1）求证：；
（2）请直接写出与位置关系是 ；
（3）若，则的度数为 ．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2025八上·龙潭期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）填空：①若，则 ；
②若，则 ．
（3）如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
26．（2025八上·龙潭期末）已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点．
（1）如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，连接，，设点P运动时间为，()．
①用含t的代数式表示长为 ；
②当时，求的度数；
③当t为何值时，是直角三角形？
（2）当点P在边，点Q在直线BC上的运动，且时，请直接写出、和之间的数量关系，不需证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴能组成三角形，该选项符合题意；
故选：．
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，然后逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项分析即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠x4，原计算错误；
B、≠x7，原计算错误；
C、，原计算正确；
D、和不是同类项，不能合并，原计算错误；
故答案为：C．
【分析】本题利用同底数幂除法计算判断A选项，幂的乘方计算判断B选项；积的乘方计算判断C选项；合并同类项判断D选项。
4．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵代数式的值为0，
∴，且．
∴且．
∴．
故答案为：C．
【分析】先求出，且，再求出且，最后求解即可。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P线段BC上，∴
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
结合选项，D中的直线为线段BC的垂直平分线，
故选：D．
【分析】根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解．
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
则．
轴，轴，
．
又，
，且，
，
在和中，
，
．
，
，
，
故选：D．
【分析】根据题意得到．然后利用"AAS"证明，则，进而根据线段间的数量关系得到，进而即可求解.
7．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.
8．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00077=7.7×10-4，
故答案为：7.7×10-4．
【分析】科学记数法表示绝对值较小的数，一般表示成a ×10-n，的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10， n是原数的从左边起第一个非零数字前面所有零的个数。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提公因式得到，再利用平方差公式分解即可.
10．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先根据负数的偶次幂、负整数指数幂的运算性质、以及零指数幂的定义分别计算每一项的值，然后进行加减运算得出最终结果.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据多边形的内角和公式得到多边形的内角和为，进而列出方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
这个条件可以是。
故答案为：．
【分析】要使，而条件中有，并且进行角度作差得到，此时可以用SAS，即添加即可；也可以利用ASA，添加∠ABD=∠ACE亦可；还可以用AAS，添加∠ADB=∠AEC亦可。
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线的性质得，然后在中根据含30°的直角三角形的性质得到BD的长度，然后根据线段间的数量关系计算即可.
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做个零件，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设乙每小时做个零件，根据题意： 甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等，据此列出方程.
15．【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式和多项式乘以多项式计算即可得到，最后根据整式加减计算法则计算即可.
16．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据题意先通分括号内再变除为乘，并对分子进行因式分解最后分子分母上下约分即可.
17．【答案】解：方程两边乘以（x+1）(x-1)，得：，
去括号，得到，
移项、合并同类项得到，
系数化为1，解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题按照解分式方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出x值之后进行检验，以免产生增根。
18．【答案】证明：∵，垂足分别为A，D，∴．
∴．
在和中，
∴（AAS）．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；翻折全等-对顶角模型
【解析】【分析】根据垂直的定义得出，再由全等三角形的判定方法AAS证全等和性质证明BE=CE．
19．【答案】解：原式
，
∵且且，
∴且且，
∴，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的性质和运算法则进行化简得到原式为，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解.
20．【答案】解：如图，
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可.
21．【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，根据“电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
22．【答案】（1）解：如图，即为所求：
；
（2）证明：，，
，，
由（1）知：平分，
，
在和中，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）作出的平分线即可；
（2）根据题意结合角平分线的定义即可得到，，进而即可利用"SAS"证明则，进而根据等腰三角形的性质即可求解.
（1）解：如图，即为所求：
；
（2）证明：，，
，，
由（1）知：平分，
，
在和中，
，
，
，
．
23．【答案】解：方法运用：∵
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴的值为；
拓展提升：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
当时，
∵，
∴构成不了三角形，该种情况不符合；
当时，的周长；
∴的周长为
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（）根据完全平方公式得到原式为，进而根据偶次方的非负性得到，，即可求出x的值；
（）把右式移到左边得到：，根据完全平方公式得到原式为，进而根据偶次方的非负性得到，，即可求出a和b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系定理得到当时满足题意，进而计算即可
24．【答案】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）．理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）如图，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，然后即可证是等腰直角三角形，并利用"AAS"证，得，进而即得；
（2）结合（1）得到，再证明，即可得出结论；
（3）结合（1）得到，得，由，即可得．
（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）①；②
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2）①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（）根据题意得到，结合题意计算即可；
（）①根据题意得到，进而结合题意计算得到，进而计算即可；
②根据题意得到，进而结合题意计算得到，进而计算即可；
（）由体题意可得，，根据长方形面积为200，据此列出方程，结合题意计算得到，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解；
（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为．
26．【答案】（1）①；
②根据题意得：当时，，
∵等边三角形的边长为，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
③由题意知，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
得，
解得；
∴当或秒时，为直角三角形；
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）①∵等边的边长为，，
∴．
故答案为：；
（2）∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，即点Q和点C在点P的异侧，如图，
以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和线段间的数量关系计算求解即可；
② 当时，，利用等边三角形的判定，得出是等边三角形，，进而即可求解；
③利用分类思想，分两种情形：①当时，②当时，分别根据含30°角的直角三角形的性质分别列出方程即可；
（2）以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，，可证，再证明得，进而可求出．
（1）解：①∵等边的边长为，，
∴．
故答案为：；
②根据题意得：当时，，
∵等边三角形的边长为，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴；
③由题意知，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，
得，
解得；
∴当或秒时，为直角三角形；
（2）解：∵，
∴点P在线段的垂直平分线上，即点Q和点C在点P的异侧，如图，
以点P为圆心，以为半径画弧交的延长线于点H，则，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
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