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四川省绵阳市江油市2025年中考数学模拟预测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·江油模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
2．（2025·江油模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是
，
故答案为：D ．
【分析】俯视图就是从几何体的上面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，从而可得该结合体的俯视图是一个大矩形中套一个虚线矩形，且两矩形相邻顶点用虚线相连.
3．（2025·江油模拟）据报到，第五届“巴山蜀水运动川渝”体育旅游休闲消费季在四川绵阳的江油市圆满结束，在三天时间内，实现了商旅综合消费总额超过亿元．请你把亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·江油模拟）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“乡村艺术大舞台”活动，其中参赛的六个村得分分别为：88，90，83，95，92，88，则这组数据的中位数是（　　）
A．88 B．89 C．90 D．91
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：对原数据进行排列：83，88，88，90，92，95，
根据中位数的定义可得本组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，
即
故答案为：B．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
5．（2025·江油模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，
画出树状图，
共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为种，
∴两人恰好选中同一种的概率为，
故答案为：A．
【分析】此题是抽取放回类型，设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，用树状图展示所有等可能的结果，由图可知共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为4，然后根据概率公式求解即可．
6．（2025·江油模拟）估计的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
故答案为A．
【分析】直接利用乘法分配律及二次根式的乘法运算法则展开括号，进而根据被开方数越大其算术平方根就越大得，最后根据不等式性质求出，从而即可得出答案.
7．（2025·江油模拟）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：B．
【分析】 根据扇形的面积公式 ，结合，计算即可．
8．（2025·江油模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长是x步，则圆的半径为步，根据圆的面积公式、正方形面积公式，直接利用圆的面积减去正方形面积等于耕地面积，列出方程即可.
9．（2025·江油模拟）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
，
，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
分式方程没有意义时，或，
此时，
整式不成立时，，
∴，
∴的值为或，
故答案为：A．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可.
10．（2025·江油模拟）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（　　）
A．400米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：点作于点，
，
由题意可得：，，
∴，，
在中，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴（米），
故答案为：B．
【分析】过点作于点，根据方向角的定义、直角三角形性质及角的构成求出∠DAB=60°，∠CAD=45°，然后根据∠DAB的正弦函数算出BD，∠DAB的余弦函数求出AD，由等腰直角三角形的性质得出AD=CD，进而根据BC=CD+BD 可求出答案.
11．（2025·江油模拟）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，
∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，
Rt△BCH中，HC==2，
∴CP的最小值=HC-HP=2-2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接HP，HC， 由正方形的性质得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，从而利用“SAS”证明△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠CBF，由直角三角形两锐角互余、等量代换及三角形内角和即可得到∠APB=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得HP=BC=2，则点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，由勾股定理算出HC的长，最后根据CP=HC-HP，即可得出CP的最小值．
12．（2025·江油模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】四边形的综合；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
整理得，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得，
根据三角形等面积法可得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：C．
【分析】由矩形性质得，， 由垂直定义得∠BFE=90°，根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABFE是矩形，由角平分线的定义及平行线的性质推出，由等角对等边得AB=AE，从而由有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABFE是正方形，由正方形四边相等得出AB=AE=EF=BF=4； 设，，则，；由平行于三角形一边得的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEH∽△CFH，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出CF；再由平行于三角形一边得的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEG∽△CBG，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出CF；根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得出方程求出a=x，从而求出CF、BC；在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC，由等面积法求出BM，进而再在Rt△ABE中，利用勾股定理算出BE，进而得出BG，最后根据等角的同名三角形函数值相等结合正弦函数的定义求出∠AGB的正弦函数值即可得出答案.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（2025·江油模拟）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≤4且x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由y= ，得4-x≥0且x-2≠0.
解得x≤4且x≠2.
故答案为： x≤4且x≠2 .
【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组，求解可得答案.
14．（2025·江油模拟）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理算出∠3=85°，再根据二直线平行，同位角相等得出∠2=∠3=85°.
15．（2025·江油模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
且，
的最小整数值为2．
故答案为：2．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，进而即可得到m的最小整数值.
16．（2025·江油模拟）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有　 　（直接填写序号）．
【答案】①③
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线，
则，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
∴另一个交点为，
∴．
∵，
∴，
∴，所以①正确；
②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误；
③对于任意实数，
总有
，所以③正确；
综上所述，正确的结论有：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，结合对称轴直线公式可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，将点(-2，0)代入抛物线 ，结合可得c=-8a，从而可判断①；结合图象，根据抛物线的增减性即可判断②；将b=-2a代入am2+bm-a-b，整理后利用提取公因式法及完全平方公式法分解因式，最后结合偶数次幂的非负性即可判断③.
17．（2025·江油模拟）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 　 　.
【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
18．（2025·江油模拟）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，
连接、，
∵，
∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，
∵四边形为菱形，，，
∴AO=AC=8，AC⊥BD，
∴在中，，
由对称性可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴的最大值为4．
故答案为：．
【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合，可得当点P、E、F'在一条直线上时，取到最大值，最大值即为EF'的长度；由菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=8，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，由轴对称性质得出OF'=OF=1，由线段和差算出BF'，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BF'E∽△BAO，由相似三角形对应角相等得出， 然后在Rt△BEF'中，利用勾股定理算出EF'，从而可得答案.
三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（2025·江油模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂的法则“”、绝对值性质及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别化简，再根据实数加减法法则计算即可；
（2）把括号内的整式1看成“”，利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将a的值代入化简结果，再分母有理化即可.
20．（2025·江油模拟）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量，为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有　 　名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数．
【答案】（1）100；
（2）解：C组的人数为名，
补图如下：
；
（3）解：，
∴估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名．
【知识点】条形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次被抽查的学生共有100名，
，
∴A类所对应的圆心角度数为，
故答案为：100，；
【分析】（1）根据B组人数与占比可得总人数，再根据乘以A组人数占比可得A类所对应的圆心角度数.
（2）根据有理数的减法求出C组的人数，再补全图形即可求出答案.
（3）根据3000乘以D类占比即可求出答案.
（1）解：，
∴本次被抽查的学生共有100名，
，
∴A类所对应的圆心角度数为，
故答案为：100，；
（2）解：C组的人数为名，
补图如下：
；
（3）解：，
∴估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名．
21．（2025·江油模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：不等式的解集为：或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
【分析】（）连接，交轴于点，由菱形的性质得，，，结合点D的坐标可得，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值，从而得到两函数解析式；
（）联立两函数解析式求解得出点B的坐标，从图象角度看，求不等式的解集，就是求反比例函数图象在直线下方部分对应的自变量的取值范围，结合点A、B的横坐标即可得出答案；
（）由菱形的对角线互相平分得出OC=2OE=2，ADS=2DE=4，然后根据菱形面积公式可求得菱形面积，然后结合已知得到△OAP的面积；根据点的坐标与图形的性质，设点坐标为，设与轴相交于，则，利用三角形面积公式算出△OAF的面积，然后分点P在A的左侧时，由S△FOP=S△OAP-S△OAF，结合三角形面积公式建立方程，求出a的值，可求得点坐标；当点P在A的右侧时，由S△FOP=S△OAP+S△OAF，结合三角形面积公式建立方程，求出a的值，可求得点坐标.
（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
22．（2025·江油模拟）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，然后根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出关于的分式方程，解方程即可；
（2）设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，然后根据库“航空模型数量不少于航海模型数量的”列出关于的不等式，解不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
23．（2025·江油模拟）在中，，是上一点．
（1）如图，是的中点，，，，求线段的长度；
（2）如图，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，猜想并证明与的关系．
【答案】（1）解：如图，过点作交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵是中点，，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图，延长，在延长线上截取，取的中点，连接，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；已知正切值求边长
【解析】【分析】（）过点作交于点，由∠BCE的正切函数可得，利用勾股定理建立方程求出CG，进而得到EG的长；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等要三角形的三线合一得，进而利用勾股定理求出AC、CD，最后根据BD=BC-CD即可求出答案；
（）AF=2CH，理由如下：延长，在延长线上截取，取的中点，连接，由旋转的性质得CF=CG及∠FCG=90°，由同角的余角相等推出∠B'CG=∠ACF，从而由“SAS”证明，得到，；设，则，根据三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，，由二直线平行，同位角相等得，由三角形外角性质得，，则，由等角对等边得，进而即可求解．
（1）解：如图，过点作交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵是中点，，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图，延长，在延长线上截取，取的中点，连接，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
24．（2025·江油模拟）如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，记与的交点为T，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
把代入，得，
解得．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，由垂径定理的推论得出，然后根据平行线的性质可得，从而根据垂直半径外端点的直线是圆得切线可得结论；
（2）由等弧所对的圆周角相等得，由角平分线的定义得，根据角的构成、三角形外角性质及等量加等量和相等得出，根据等角对等边即可得出DB=DE；
（3）如图，连接，由等弧所对的弦相等，可设，由二直线平行，同位角相等及同弧所对的圆周角相等可推出，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及等角的补角相等推出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得AD=1.5x； 由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACB∽△ADB， 由相似三角形对应边成比例得；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ATC∽△ADF，由相似三角形对应边得出把代入进行计算，即可作答．
（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，记与的交点为T，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
把代入，得，
解得．
25．（2025·江油模拟）如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：依题可得：，
解得：，
∴，
（2）解：∵令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，解得，舍，
；
（3）解：n的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：依题意，，
新的图形的顶点坐标为，
则新的抛物线解析式为，
设平移后的直线解析式为，
当经过点时，有3个交点，即，
解得：，
当与只有一个交点，
则，
消去得，，
即，
∴，
解得：，
结合函数图象可得：；
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+3可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，然后利用待定系数法求直线BC的解析式；根据点的坐标与图形性质，设，则，由平面内两点间的距离公式表示出PG，易得△BOC是等腰直角三角形，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，则△AFP是等腰直角三角形，得AF=PF，据此建立关于字母m的方程，求解得出m的值，即可得到点P的坐标；
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，设平移后的直线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，有3个交点，从而将点A坐标代入直线y=-x+3-n可求出n得值，当平移后的直线翻折后的新抛物线只有一个交点时，联立两函数解析式得结合根的判别式建立方程求出n的值，综上即可得出答案.
（1）解：依题可得：，
解得：，
∴，
（2）解：∵
令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，解得，舍，
；
（3）解：依题意，，
新的图形的顶点坐标为，
则新的抛物线解析式为，
设平移后的直线解析式为，
当经过点时，有3个交点，即，
解得：，
当与只有一个交点，
则，
消去得，，
即，
∴，
解得：，
结合函数图象可得：；
1 / 1四川省绵阳市江油市2025年中考数学模拟预测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选择中，只有一项符合题目要求）
1．（2025·江油模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·江油模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·江油模拟）据报到，第五届“巴山蜀水运动川渝”体育旅游休闲消费季在四川绵阳的江油市圆满结束，在三天时间内，实现了商旅综合消费总额超过亿元．请你把亿元用科学记数法表示为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
4．（2025·江油模拟）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“乡村艺术大舞台”活动，其中参赛的六个村得分分别为：88，90，83，95，92，88，则这组数据的中位数是（　　）
A．88 B．89 C．90 D．91
5．（2025·江油模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．江油市非物质文化遗产有江油肥肠、重华烟火架、铁索飞渡、青林口高抬戏等．小聪和小颖商定从“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”四种中各随机选择一种，用于宣传江油的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·江油模拟）估计的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
7．（2025·江油模拟）如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·江油模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·江油模拟）若关于的方程无解，则的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．（2025·江油模拟）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（　　）
A．400米 B．米 C．米 D．米
11．（2025·江油模拟）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·江油模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，交于点，过作于点，交于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（2025·江油模拟）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是　 　.
14．（2025·江油模拟）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为　 　．
15．（2025·江油模拟）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值　 　．
16．（2025·江油模拟）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有　 　（直接填写序号）．
17．（2025·江油模拟）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 　 　.
18．（2025·江油模拟）如图，在菱形中，对角线交于点O，，，点E、F分别在、上，且，，点P是上任意一点，则的最大值为　 　．
三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（2025·江油模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·江油模拟）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量，为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有　 　名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数．
21．（2025·江油模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
22．（2025·江油模拟）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
23．（2025·江油模拟）在中，，是上一点．
（1）如图，是的中点，，，，求线段的长度；
（2）如图，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，猜想并证明与的关系．
24．（2025·江油模拟）如图，内接于，点D为的中点，连接、，平分交于点E，过点D作交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
25．（2025·江油模拟）如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是
，
故答案为：D ．
【分析】俯视图就是从几何体的上面看得到的平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，从而可得该结合体的俯视图是一个大矩形中套一个虚线矩形，且两矩形相邻顶点用虚线相连.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：对原数据进行排列：83，88，88，90，92，95，
根据中位数的定义可得本组数据的中位数是第3位数和第4位数的平均数，
即
故答案为：B．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，
画出树状图，
共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为种，
∴两人恰好选中同一种的概率为，
故答案为：A．
【分析】此题是抽取放回类型，设“江油肥肠”、“重华烟火架”、“铁索飞渡”、“青林口高抬戏”分别用表示，用树状图展示所有等可能的结果，由图可知共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种的结果数为4，然后根据概率公式求解即可．
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
故答案为A．
【分析】直接利用乘法分配律及二次根式的乘法运算法则展开括号，进而根据被开方数越大其算术平方根就越大得，最后根据不等式性质求出，从而即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：B．
【分析】 根据扇形的面积公式 ，结合，计算即可．
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长是x步，则圆的半径为步，根据圆的面积公式、正方形面积公式，直接利用圆的面积减去正方形面积等于耕地面积，列出方程即可.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
，
，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
分式方程没有意义时，或，
此时，
整式不成立时，，
∴，
∴的值为或，
故答案为：A．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：点作于点，
，
由题意可得：，，
∴，，
在中，米，
∴米，
米，
∴米，
∵，
∴（米），
故答案为：B．
【分析】过点作于点，根据方向角的定义、直角三角形性质及角的构成求出∠DAB=60°，∠CAD=45°，然后根据∠DAB的正弦函数算出BD，∠DAB的余弦函数求出AD，由等腰直角三角形的性质得出AD=CD，进而根据BC=CD+BD 可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点H，连接HP，HC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABP=∠CBF+ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴HP=BC=2，点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，
∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，
Rt△BCH中，HC==2，
∴CP的最小值=HC-HP=2-2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接HP，HC， 由正方形的性质得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，从而利用“SAS”证明△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应角相等得∠BAE=∠CBF，由直角三角形两锐角互余、等量代换及三角形内角和即可得到∠APB=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得HP=BC=2，则点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，由勾股定理算出HC的长，最后根据CP=HC-HP，即可得出CP的最小值．
12．【答案】C
【知识点】四边形的综合；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
设，，则，，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
整理得，
解得或（舍去），
，
在中，由勾股定理得，
根据三角形等面积法可得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：C．
【分析】由矩形性质得，， 由垂直定义得∠BFE=90°，根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABFE是矩形，由角平分线的定义及平行线的性质推出，由等角对等边得AB=AE，从而由有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABFE是正方形，由正方形四边相等得出AB=AE=EF=BF=4； 设，，则，；由平行于三角形一边得的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEH∽△CFH，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出CF；再由平行于三角形一边得的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEG∽△CBG，由相似三角形对应边成比例建立方程可表示出CF；根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等得出方程求出a=x，从而求出CF、BC；在Rt△ABC中，由勾股定理算出AC，由等面积法求出BM，进而再在Rt△ABE中，利用勾股定理算出BE，进而得出BG，最后根据等角的同名三角形函数值相等结合正弦函数的定义求出∠AGB的正弦函数值即可得出答案.
13．【答案】x≤4且x≠2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由y= ，得4-x≥0且x-2≠0.
解得x≤4且x≠2.
故答案为： x≤4且x≠2 .
【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组，求解可得答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理算出∠3=85°，再根据二直线平行，同位角相等得出∠2=∠3=85°.
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
且，
的最小整数值为2．
故答案为：2．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，进而即可得到m的最小整数值.
16．【答案】①③
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线，
则，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
∴另一个交点为，
∴．
∵，
∴，
∴，所以①正确；
②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误；
③对于任意实数，
总有
，所以③正确；
综上所述，正确的结论有：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，结合对称轴直线公式可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，将点(-2，0)代入抛物线 ，结合可得c=-8a，从而可判断①；结合图象，根据抛物线的增减性即可判断②；将b=-2a代入am2+bm-a-b，整理后利用提取公因式法及完全平方公式法分解因式，最后结合偶数次幂的非负性即可判断③.
17．【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
18．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线所在直线的对称点，
连接、，
∵，
∴当点P、E、在一条直线上时，取到最大值，最大值即为的长度，
∵四边形为菱形，，，
∴AO=AC=8，AC⊥BD，
∴在中，，
由对称性可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴的最大值为4．
故答案为：．
【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合，可得当点P、E、F'在一条直线上时，取到最大值，最大值即为EF'的长度；由菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=8，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，由轴对称性质得出OF'=OF=1，由线段和差算出BF'，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BF'E∽△BAO，由相似三角形对应角相等得出， 然后在Rt△BEF'中，利用勾股定理算出EF'，从而可得答案.
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵
∴原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂的法则“”、绝对值性质及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别化简，再根据实数加减法法则计算即可；
（2）把括号内的整式1看成“”，利用同分母分式的减法法则计算括号内的部分，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将a的值代入化简结果，再分母有理化即可.
20．【答案】（1）100；
（2）解：C组的人数为名，
补图如下：
；
（3）解：，
∴估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名．
【知识点】条形统计图；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴本次被抽查的学生共有100名，
，
∴A类所对应的圆心角度数为，
故答案为：100，；
【分析】（1）根据B组人数与占比可得总人数，再根据乘以A组人数占比可得A类所对应的圆心角度数.
（2）根据有理数的减法求出C组的人数，再补全图形即可求出答案.
（3）根据3000乘以D类占比即可求出答案.
（1）解：，
∴本次被抽查的学生共有100名，
，
∴A类所对应的圆心角度数为，
故答案为：100，；
（2）解：C组的人数为名，
补图如下：
；
（3）解：，
∴估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名．
21．【答案】（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：不等式的解集为：或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
【分析】（）连接，交轴于点，由菱形的性质得，，，结合点D的坐标可得，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值，从而得到两函数解析式；
（）联立两函数解析式求解得出点B的坐标，从图象角度看，求不等式的解集，就是求反比例函数图象在直线下方部分对应的自变量的取值范围，结合点A、B的横坐标即可得出答案；
（）由菱形的对角线互相平分得出OC=2OE=2，ADS=2DE=4，然后根据菱形面积公式可求得菱形面积，然后结合已知得到△OAP的面积；根据点的坐标与图形的性质，设点坐标为，设与轴相交于，则，利用三角形面积公式算出△OAF的面积，然后分点P在A的左侧时，由S△FOP=S△OAP-S△OAF，结合三角形面积公式建立方程，求出a的值，可求得点坐标；当点P在A的右侧时，由S△FOP=S△OAP+S△OAF，结合三角形面积公式建立方程，求出a的值，可求得点坐标.
（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
22．【答案】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，
根据题意，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元；
（2）解：设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，然后根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出关于的分式方程，解方程即可；
（2）设购买航空模型个，则购买航海模型个，且学校花费为元，然后根据库“航空模型数量不少于航海模型数量的”列出关于的不等式，解不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
23．【答案】（1）解：如图，过点作交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵是中点，，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图，延长，在延长线上截取，取的中点，连接，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；已知正切值求边长
【解析】【分析】（）过点作交于点，由∠BCE的正切函数可得，利用勾股定理建立方程求出CG，进而得到EG的长；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等要三角形的三线合一得，进而利用勾股定理求出AC、CD，最后根据BD=BC-CD即可求出答案；
（）AF=2CH，理由如下：延长，在延长线上截取，取的中点，连接，由旋转的性质得CF=CG及∠FCG=90°，由同角的余角相等推出∠B'CG=∠ACF，从而由“SAS”证明，得到，；设，则，根据三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得，，由二直线平行，同位角相等得，由三角形外角性质得，，则，由等角对等边得，进而即可求解．
（1）解：如图，过点作交于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵是中点，，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图，延长，在延长线上截取，取的中点，连接，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
24．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，记与的交点为T，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
把代入，得，
解得．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，由垂径定理的推论得出，然后根据平行线的性质可得，从而根据垂直半径外端点的直线是圆得切线可得结论；
（2）由等弧所对的圆周角相等得，由角平分线的定义得，根据角的构成、三角形外角性质及等量加等量和相等得出，根据等角对等边即可得出DB=DE；
（3）如图，连接，由等弧所对的弦相等，可设，由二直线平行，同位角相等及同弧所对的圆周角相等可推出，由圆内接四边形的对角互补、邻补角及等角的补角相等推出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得AD=1.5x； 由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACB∽△ADB， 由相似三角形对应边成比例得；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ATC∽△ADF，由相似三角形对应边得出把代入进行计算，即可作答．
（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，记与的交点为T，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
把代入，得，
解得．
25．【答案】（1）解：依题可得：，
解得：，
∴，
（2）解：∵令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，解得，舍，
；
（3）解：n的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：依题意，，
新的图形的顶点坐标为，
则新的抛物线解析式为，
设平移后的直线解析式为，
当经过点时，有3个交点，即，
解得：，
当与只有一个交点，
则，
消去得，，
即，
∴，
解得：，
结合函数图象可得：；
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+3可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，然后利用待定系数法求直线BC的解析式；根据点的坐标与图形性质，设，则，由平面内两点间的距离公式表示出PG，易得△BOC是等腰直角三角形，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，则△AFP是等腰直角三角形，得AF=PF，据此建立关于字母m的方程，求解得出m的值，即可得到点P的坐标；
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，设平移后的直线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，有3个交点，从而将点A坐标代入直线y=-x+3-n可求出n得值，当平移后的直线翻折后的新抛物线只有一个交点时，联立两函数解析式得结合根的判别式建立方程求出n的值，综上即可得出答案.
（1）解：依题可得：，
解得：，
∴，
（2）解：∵
令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，解得，舍，
；
（3）解：依题意，，
新的图形的顶点坐标为，
则新的抛物线解析式为，
设平移后的直线解析式为，
当经过点时，有3个交点，即，
解得：，
当与只有一个交点，
则，
消去得，，
即，
∴，
解得：，
结合函数图象可得：；
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