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四川省绵阳市富乐学校九年级2025年中考模拟考试数学试题
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·绵阳模拟）的算术平方根是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2025·绵阳模拟）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000千米用科学记数法表示为（　　）米
A． B． C． D．
3．（2025·绵阳模拟）若，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绵阳模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．等腰直角三角形
C．正五边形 D．正边形（且为整数）
5．（2025·绵阳模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．20242024202420242024
6．（2025·绵阳模拟）如图，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·绵阳模拟）小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
8．（2025·绵阳模拟）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为， ，第个数记为，则（　　）
A．20108 B．20119 C．20110 D．20111
9．（2025·绵阳模拟）如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·绵阳模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·绵阳模拟）若抛物线与轴的交点为，，顶点为，那么的面积的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．1 D．2
12．（2025·绵阳模拟）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2025·绵阳模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·绵阳模拟）如图，已知，，，则的度数为　 　°．
15．（2025·绵阳模拟）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　 　．
16．（2025·绵阳模拟）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价　 　元．
17．（2025·绵阳模拟）若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为　 　．
18．（2025·绵阳模拟）如图，矩形纸片，，点在线段上，将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为　 　．
三、解答题（共90分）
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）化简求值： ，其中是满足不等式组的整数解．
20．（2025·绵阳模拟）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
21．（2025·绵阳模拟）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂．
　 （吨） （吨） 费用（元）
第一次 12 8 33600
第二次 8 4 20800
（1），两种原料每吨的进价各是多少元？
（2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？
22．（2025·绵阳模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若为反比例函数图象上点下方一点，直线与轴交于点，且满足，求点的坐标．
23．（2025·绵阳模拟）如图，以的边为直径的经过边的中点，点为上的点，连接，，，若点恰好是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长；
（3）连接，在（2）的条件下，求的值．
24．（2025·绵阳模拟）在中，点C在直线的上方．
（1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
（2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
25．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，2的算术平方根为：.
故答案为：D．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，则这个非负数x就是a的算术平方根，用符号表示为，据此先化简“”得2，再求2的算术平方根即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000千米米米
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先对a2+b2-c2+2ab利用“一三”分组得(a2+b2+2ab)-c2，进而利用完全平方公式变形为(a+b)2-c2，接着利用平方差公式分解为(a+b+c)(a+b-c)，最后代入已知条件可得a+b-c=2.
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、正边形（且为整数）是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数；
B、是无理数；
C、是无理数；
D、20242024202420242024是整数，不是无理数．
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，如图，
．
故答案为：B.
【分析】俯视图就是从上向下看得到平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线；该几何体的俯视图是一个矩形.
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为（分钟），故A选项错误；
B、在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故B选项正确；
C、7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故C选项错误；
D、方差为：，故D选项错误．
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，，，，， ，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】通过对前几个数进行分析，可归纳出an=1+2+3+……+n，进而利用等差数列求和公式得an=，然后将n=200代入计算求出a200得值，最后根据有理数加法法则算出a4+a200即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
半径为，
，
将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】连接OO'，根据折叠的性质得AO=AO，△AOC≌△AO'C，从而由三边相等的三角形是等边三角形得出△AOO'为等边三角形，由等边三角形的性质及折叠性质得到，然后根据∠OAC的正切函数可求得，再由三角形面积公式得到S△AOC，最后根据扇形面积公式由S阴影=S扇形AOB-S△AOC- S△AO'C 列式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；同角三角函数的关系；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．
故答案为：B．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，由平移的性质得DE∥AB，由二直线平行，同位角相等得∠APC＝∠EDC；由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，且∠DCE=90°，然后根据等角的同名三角函数值相等，结合余弦函数的定义求出∠CDE的余弦函数值即可得出答案.
11．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当时，则，
解得，，
，
，顶点为，
点C的纵坐标是，
∴ ，
，
当时，有最小值，是4，
的最小值是．
故答案为：C.
【分析】令抛物线解析式中的y=0，可得关于字母x的一元二次方程，利用公式法解该方程用含k的式子表示出x，然后根据两点间的距离公式计算出AB，再利用顶点坐标公式求出顶点C的纵坐标，进而根据三角形面积公式用含k的式子表示出△ABC得面积，最后根据偶数次幂的非负性求出△ABC面积的最小值.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点与圆的位置关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图象交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
当时，则由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
∴正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】把点B的坐标代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，代入a+3b+2c结合抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，由两点间的距离公式求出，，再分当时， 当时，两种情况根据勾股定理求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形的对应边成比例可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．
13．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先利用单项式乘以多项式法则展开括号，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
14．【答案】40
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40.
【分析】过点C作，由二直线平行，同旁内角互补可算出∠DCF的度数，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到，从而根据二直线平行，内错角相等，得，进而根据角的和差即可解答．
15．【答案】，
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
关于x的方程的解为非负数，
且5+m≠2
解得：且，
故答案为：且.
【分析】把m当作已知数，根据解分式方程的步骤求解，用哪个含m得式子表示出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围.
16．【答案】10
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
【分析】设每件降价x元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量列出关于字母x的方程，求解得出x得孩子，进而结合尽快减少库存确定出符合题意得x的值.
17．【答案】或3或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当a 3≠0时，图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，
则△＝（4a 1） 4（a 3）×4a＝0，
解得：a＝；
当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点，
即
解得：a＝0；
②当a＝3时，y＝ 11x＋12，与坐标轴只有两个交点．
故答案为：或3或0．
【分析】分类讨论：①当a 3≠0时，二次函数图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，故根的判别式△=b2-4ac=0或抛物线过原点，即可求解；②当a＝3时，函数为一次函数，与坐标轴只有两个交点，综上即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，
，，，
，
，
将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，
，，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，，
是的中点，
，
过点作于，与的交点记作点，连接，如图所示，
在中，，
，
在中，，
，
设，则，
将四边形沿向上翻折，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质及已知易得AB=CD=2，BC=AD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°；由折叠性质得AB=BE，∠BEF=∠A=90°，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABEF是正方形；根据等腰直角三角形性质，得出；过点C'作于H，CC'与MN的交点记作点K，连接CM，由∠FBE的正弦函数求出BH=1，再用勾股定理求出，进而根据轴对称性质得出，再用勾股定理建立方程求出，最后用等面积法，由建立方程求出MN即可．
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
解
解①得，，
解②得，，
故不等式组的解集为：，
是满足不等式组的整数解
或或或，
，，
或，
那么当时，原式；
当时，原式．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算负指数幂法则“”、零指数幂法则“a0=1(a≠0)”及完全平方公式将根号下的被开方数分解因式；然后根据分母有理化及二次根式性质分别化简，最后计算加减法可得答案；
（2）将括号内的整式看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的加减法，同时根据平方差公式及完全平方公式分别将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转化成乘法，进而计算分式乘法，约分化简，接着通分计算分式减法得出最简结果；然后解不等式组，求出其整数解，然后代入使原分式有意义得x的值到化简后的式子，计算即可.
20．【答案】（1）200，
（2）解：∵C组人数为（人），
∴A组人数为（人），
条形统计图补充为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，
所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：调查的总人数为（人），
在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为；
故答案为：200，36；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择去B地的人数除以其所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以360°得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角；
（2）用本次调查的总人数乘以选择去C地的人数所占的百分比求出选择去C地人数，根据选择去五个地方的人数之和等于本次调查的总人数计算出选择去A地的人数，然后补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，用树状图展示出所有等可能的结果，由表可知共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 然后根据概率公式求解．
21．【答案】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，
依题意得，，
解得，
答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元．
（2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，
依题意得，，
解得；
设总运费为元，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为．
答：与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A原料每吨的进价是a元，B原料每吨的进价是b元，根据单价乘以数量等于总价及“购买12吨A种原料的费用+购买8吨B原料的费用=33600元和购买8吨A种原料的费用+购买4吨B原料的费用=20800元”列出方程组，解之即可；
（2）设安排甲种货车x辆，则乙种货车(8-x)辆，根据“x辆甲种货车装A种原料的数量+(8-x)辆乙种货车装的A种原料得数量不小于两次购进A种原料的总数量及x辆甲种货车装B种原料的数量+(8-x)辆乙种货车装的B种原料得数量不小于两次购进B种原料的总数量 ”列出关于字母m的不等式组，求解得出x的取值范围；然后根据“x辆甲种货车的运费+(8-x)辆乙种货车的运费等于总运费”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案．
（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，
依题意得，，
解得，
答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元．
（2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，
依题意得，，
解得；
设总运费为元，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为．
答：与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元．
22．【答案】（1）解：直线过，
，
，
，
直线与反比例函数的图象交于点，
，
，
；
（2）解：根据题意，作轴于点，于点，如图所示，
则，
，
，
，，
，，
，
，
点的纵坐标为，
点为反比例函数图象上点下方一点，
点的横坐标为，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点A(a，3)代入直线 可算出a的值，从而得到A点坐标；然后由待定系数法即可求得反比例函数解析式；
（2）作轴于点，于点，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出CF∥ED，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AFC∽△AED，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AF的长，进而得到点C的纵坐标，最后根据点在反比例函数图象上即可得到点的坐标．
（1）解：直线过，
，
，
，
直线与反比例函数的图象交于点，
，
，
；
（2）解：根据题意，作轴于点，于点，如图所示，
则，
，
，
，，
，，
，
，
点的纵坐标为，
点为反比例函数图象上点下方一点，
点的横坐标为，
．
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
是直径，点恰好是弧的中点，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：过点作于，如图所示：
是直径，
，
点恰好是弧的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，，
，，
，
，，，
，
；
（3）解：过点作于，如图所示：
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，是的中点，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，易得OD是△ABC的中位线，由三角形中位线平行于第三边可得，有二直线平行，同位角相等得，根据圆心角、弧、弦的关系得出，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）过点作于，由直径所对的圆周角为直角得出∠ADB=∠AFB=90°，由等弧所对的弦相等得AD=BD，则△ABD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠AFD=45°，从而可得△AFH是等腰直角三角形；由勾股定理可求得AB，不妨设，，利用勾股定理建立方程求得a，可得AF、BF的长，最后在Rt△ADH中利用勾股定理求得DH，从而根据线段和差得出答案；
（3）过点作于，利用等面积法，由建立方程求得EF，再由勾股定理求得AE的长，然后根据线段和差求得CE，最后由正切函数的定义求出答案．
（1）证明：连接，如图所示：
是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
是直径，点恰好是弧的中点，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：过点作于，如图所示：
是直径，
，
点恰好是弧的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，，
，，
，
，，，
，
；
（3）解：过点作于，如图所示：
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，是的中点，
，
，
．
24．【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
则（负值舍去）；
（2）解：，理由如下：
过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：PQ的最小值为：.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；四点共圆模型
【解析】【解答】（3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，则，
∵，
∴
∴，
∵点K为中点，且
∴，
∵，
∴，
∴，
而，点K为中点，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，
∴的最小值为．
【分析】（1）设，则，CB=3x，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可求出x2的值，进而在Rt△ACD中，再利用勾股定理可算出AD的长；
（2）AE=BE+CF，理由如下：过点C作EF的平行线交AE于点G，则A、C、E、B四点共圆；由等边对等角及三角形内角和定理可得出∠CAB=∠CBA=∠ECF=∠EFC，由同弧所对的圆周角相等得∠AEC=∠ABC，则∠AEC=∠ECF，由内错角相等，两直线平行，得AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形CGEF是平行四边形，则CG=EF，GE=CF， ∠GCE= ∠ACB，再由“SAS”证明△CGA≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得AG=EB，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）记PQ与AB交点为K，过B在直线AB上方作BO⊥AB，且BO=KB，连接OP、OK、KC，由旋转得AC=AQ，∠CAQ=90°，由同旁内角互补，二直线平行得AQ∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠2，从而用“AAS”证明△AKQ≌△BKP，由全等三角形的对应边相等得PK=QK，AK=KB，则，由同角的余角相等得∠CAK=∠OBP，再通过“SAS”证明出，由全等三角形的对应边相等得OP=CK，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得OP=4，再由勾股定理算出KO的长，由即可求解．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：过A作于G，如图所示：
设，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴直线解析式可设为，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
此时，P的坐标为.
（3）G的横坐标为或
【知识点】轴对称的性质；同角三角函数的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：，
∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
当G在x轴上方时，
设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
当点G在x轴下方时，
作H关于直线的对称点Q，连接，
∴，，
过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
综上，G的横坐标为或．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式求出a、c的值即可；
（2）过A作于G，设，先求出直线AC的解析式，再设直线解析式，将点P代入直线PD可得，再将y=0代入求出，可得，再求出，利用线段的和差求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）先求出 平移后抛物线解析式为， 再分类讨论：① 当G在x轴上方时， ② 当点G在x轴下方时， 再分别画出图形并利用全等三角形的判断和性质列出方程求解即可.
1 / 1四川省绵阳市富乐学校九年级2025年中考模拟考试数学试题
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·绵阳模拟）的算术平方根是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，2的算术平方根为：.
故答案为：D．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，则这个非负数x就是a的算术平方根，用符号表示为，据此先化简“”得2，再求2的算术平方根即可.
2．（2025·绵阳模拟）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000千米用科学记数法表示为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000千米米米
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．（2025·绵阳模拟）若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先对a2+b2-c2+2ab利用“一三”分组得(a2+b2+2ab)-c2，进而利用完全平方公式变形为(a+b)2-c2，接着利用平方差公式分解为(a+b+c)(a+b-c)，最后代入已知条件可得a+b-c=2.
4．（2025·绵阳模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．等腰直角三角形
C．正五边形 D．正边形（且为整数）
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、正边形（且为整数）是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．（2025·绵阳模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．20242024202420242024
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是无理数；
B、是无理数；
C、是无理数；
D、20242024202420242024是整数，不是无理数．
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
6．（2025·绵阳模拟）如图，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，如图，
．
故答案为：B.
【分析】俯视图就是从上向下看得到平面图形，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线；该几何体的俯视图是一个矩形.
7．（2025·绵阳模拟）小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟 D．方差为0
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为（分钟），故A选项错误；
B、在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故B选项正确；
C、7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故C选项错误；
D、方差为：，故D选项错误．
故答案为：B．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
8．（2025·绵阳模拟）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为， ，第个数记为，则（　　）
A．20108 B．20119 C．20110 D．20111
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，，，，， ，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】通过对前几个数进行分析，可归纳出an=1+2+3+……+n，进而利用等差数列求和公式得an=，然后将n=200代入计算求出a200得值，最后根据有理数加法法则算出a4+a200即可.
9．（2025·绵阳模拟）如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
半径为，
，
将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】连接OO'，根据折叠的性质得AO=AO，△AOC≌△AO'C，从而由三边相等的三角形是等边三角形得出△AOO'为等边三角形，由等边三角形的性质及折叠性质得到，然后根据∠OAC的正切函数可求得，再由三角形面积公式得到S△AOC，最后根据扇形面积公式由S阴影=S扇形AOB-S△AOC- S△AO'C 列式计算即可.
10．（2025·绵阳模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平移的性质；同角三角函数的关系；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．
故答案为：B．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，由平移的性质得DE∥AB，由二直线平行，同位角相等得∠APC＝∠EDC；由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，且∠DCE=90°，然后根据等角的同名三角函数值相等，结合余弦函数的定义求出∠CDE的余弦函数值即可得出答案.
11．（2025·绵阳模拟）若抛物线与轴的交点为，，顶点为，那么的面积的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：当时，则，
解得，，
，
，顶点为，
点C的纵坐标是，
∴ ，
，
当时，有最小值，是4，
的最小值是．
故答案为：C.
【分析】令抛物线解析式中的y=0，可得关于字母x的一元二次方程，利用公式法解该方程用含k的式子表示出x，然后根据两点间的距离公式计算出AB，再利用顶点坐标公式求出顶点C的纵坐标，进而根据三角形面积公式用含k的式子表示出△ABC得面积，最后根据偶数次幂的非负性求出△ABC面积的最小值.
12．（2025·绵阳模拟）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点与圆的位置关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图象交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
当时，则由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
∴正确的有3个，
故答案为：C．
【分析】把点B的坐标代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，代入a+3b+2c结合抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，由两点间的距离公式求出，，再分当时， 当时，两种情况根据勾股定理求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形的对应边成比例可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2025·绵阳模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先利用单项式乘以多项式法则展开括号，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
14．（2025·绵阳模拟）如图，已知，，，则的度数为　 　°．
【答案】40
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40.
【分析】过点C作，由二直线平行，同旁内角互补可算出∠DCF的度数，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到，从而根据二直线平行，内错角相等，得，进而根据角的和差即可解答．
15．（2025·绵阳模拟）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 　 　．
【答案】，
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
关于x的方程的解为非负数，
且5+m≠2
解得：且，
故答案为：且.
【分析】把m当作已知数，根据解分式方程的步骤求解，用哪个含m得式子表示出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围.
16．（2025·绵阳模拟）某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价　 　元．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
【分析】设每件降价x元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量列出关于字母x的方程，求解得出x得孩子，进而结合尽快减少库存确定出符合题意得x的值.
17．（2025·绵阳模拟）若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为　 　．
【答案】或3或0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当a 3≠0时，图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，
则△＝（4a 1） 4（a 3）×4a＝0，
解得：a＝；
当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点，
即
解得：a＝0；
②当a＝3时，y＝ 11x＋12，与坐标轴只有两个交点．
故答案为：或3或0．
【分析】分类讨论：①当a 3≠0时，二次函数图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，故根的判别式△=b2-4ac=0或抛物线过原点，即可求解；②当a＝3时，函数为一次函数，与坐标轴只有两个交点，综上即可得出答案.
18．（2025·绵阳模拟）如图，矩形纸片，，点在线段上，将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，
，，，
，
，
将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，
，，
四边形是正方形，
是正方形的对角线，
，，
是的中点，
，
过点作于，与的交点记作点，连接，如图所示，
在中，，
，
在中，，
，
设，则，
将四边形沿向上翻折，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由矩形的性质及已知易得AB=CD=2，BC=AD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°；由折叠性质得AB=BE，∠BEF=∠A=90°，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABEF是正方形；根据等腰直角三角形性质，得出；过点C'作于H，CC'与MN的交点记作点K，连接CM，由∠FBE的正弦函数求出BH=1，再用勾股定理求出，进而根据轴对称性质得出，再用勾股定理建立方程求出，最后用等面积法，由建立方程求出MN即可．
三、解答题（共90分）
19．（2025·绵阳模拟）（1）计算：．
（2）化简求值： ，其中是满足不等式组的整数解．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
解
解①得，，
解②得，，
故不等式组的解集为：，
是满足不等式组的整数解
或或或，
，，
或，
那么当时，原式；
当时，原式．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算负指数幂法则“”、零指数幂法则“a0=1(a≠0)”及完全平方公式将根号下的被开方数分解因式；然后根据分母有理化及二次根式性质分别化简，最后计算加减法可得答案；
（2）将括号内的整式看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的加减法，同时根据平方差公式及完全平方公式分别将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转化成乘法，进而计算分式乘法，约分化简，接着通分计算分式减法得出最简结果；然后解不等式组，求出其整数解，然后代入使原分式有意义得x的值到化简后的式子，计算即可.
20．（2025·绵阳模拟）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度；
（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；
（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．
【答案】（1）200，
（2）解：∵C组人数为（人），
∴A组人数为（人），
条形统计图补充为：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，
所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：调查的总人数为（人），
在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为；
故答案为：200，36；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择去B地的人数除以其所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以360°得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角；
（2）用本次调查的总人数乘以选择去C地的人数所占的百分比求出选择去C地人数，根据选择去五个地方的人数之和等于本次调查的总人数计算出选择去A地的人数，然后补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，用树状图展示出所有等可能的结果，由表可知共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 然后根据概率公式求解．
21．（2025·绵阳模拟）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂．
　 （吨） （吨） 费用（元）
第一次 12 8 33600
第二次 8 4 20800
（1），两种原料每吨的进价各是多少元？
（2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？
【答案】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，
依题意得，，
解得，
答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元．
（2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，
依题意得，，
解得；
设总运费为元，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为．
答：与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A原料每吨的进价是a元，B原料每吨的进价是b元，根据单价乘以数量等于总价及“购买12吨A种原料的费用+购买8吨B原料的费用=33600元和购买8吨A种原料的费用+购买4吨B原料的费用=20800元”列出方程组，解之即可；
（2）设安排甲种货车x辆，则乙种货车(8-x)辆，根据“x辆甲种货车装A种原料的数量+(8-x)辆乙种货车装的A种原料得数量不小于两次购进A种原料的总数量及x辆甲种货车装B种原料的数量+(8-x)辆乙种货车装的B种原料得数量不小于两次购进B种原料的总数量 ”列出关于字母m的不等式组，求解得出x的取值范围；然后根据“x辆甲种货车的运费+(8-x)辆乙种货车的运费等于总运费”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案．
（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，
依题意得，，
解得，
答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元．
（2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，
依题意得，，
解得；
设总运费为元，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为．
答：与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元．
22．（2025·绵阳模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若为反比例函数图象上点下方一点，直线与轴交于点，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）解：直线过，
，
，
，
直线与反比例函数的图象交于点，
，
，
；
（2）解：根据题意，作轴于点，于点，如图所示，
则，
，
，
，，
，，
，
，
点的纵坐标为，
点为反比例函数图象上点下方一点，
点的横坐标为，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点A(a，3)代入直线 可算出a的值，从而得到A点坐标；然后由待定系数法即可求得反比例函数解析式；
（2）作轴于点，于点，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出CF∥ED，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AFC∽△AED，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AF的长，进而得到点C的纵坐标，最后根据点在反比例函数图象上即可得到点的坐标．
（1）解：直线过，
，
，
，
直线与反比例函数的图象交于点，
，
，
；
（2）解：根据题意，作轴于点，于点，如图所示，
则，
，
，
，，
，，
，
，
点的纵坐标为，
点为反比例函数图象上点下方一点，
点的横坐标为，
．
23．（2025·绵阳模拟）如图，以的边为直径的经过边的中点，点为上的点，连接，，，若点恰好是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求弦的长；
（3）连接，在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
是直径，点恰好是弧的中点，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：过点作于，如图所示：
是直径，
，
点恰好是弧的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，，
，，
，
，，，
，
；
（3）解：过点作于，如图所示：
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，是的中点，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，易得OD是△ABC的中位线，由三角形中位线平行于第三边可得，有二直线平行，同位角相等得，根据圆心角、弧、弦的关系得出，然后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）过点作于，由直径所对的圆周角为直角得出∠ADB=∠AFB=90°，由等弧所对的弦相等得AD=BD，则△ABD是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠AFD=45°，从而可得△AFH是等腰直角三角形；由勾股定理可求得AB，不妨设，，利用勾股定理建立方程求得a，可得AF、BF的长，最后在Rt△ADH中利用勾股定理求得DH，从而根据线段和差得出答案；
（3）过点作于，利用等面积法，由建立方程求得EF，再由勾股定理求得AE的长，然后根据线段和差求得CE，最后由正切函数的定义求出答案．
（1）证明：连接，如图所示：
是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
是直径，点恰好是弧的中点，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：过点作于，如图所示：
是直径，
，
点恰好是弧的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，，
，，
，
，，，
，
；
（3）解：过点作于，如图所示：
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，是的中点，
，
，
．
24．（2025·绵阳模拟）在中，点C在直线的上方．
（1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
（2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
则（负值舍去）；
（2）解：，理由如下：
过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：PQ的最小值为：.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；四点共圆模型
【解析】【解答】（3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，则，
∵，
∴
∴，
∵点K为中点，且
∴，
∵，
∴，
∴，
而，点K为中点，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，
∴的最小值为．
【分析】（1）设，则，CB=3x，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程可求出x2的值，进而在Rt△ACD中，再利用勾股定理可算出AD的长；
（2）AE=BE+CF，理由如下：过点C作EF的平行线交AE于点G，则A、C、E、B四点共圆；由等边对等角及三角形内角和定理可得出∠CAB=∠CBA=∠ECF=∠EFC，由同弧所对的圆周角相等得∠AEC=∠ABC，则∠AEC=∠ECF，由内错角相等，两直线平行，得AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形CGEF是平行四边形，则CG=EF，GE=CF， ∠GCE= ∠ACB，再由“SAS”证明△CGA≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得AG=EB，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）记PQ与AB交点为K，过B在直线AB上方作BO⊥AB，且BO=KB，连接OP、OK、KC，由旋转得AC=AQ，∠CAQ=90°，由同旁内角互补，二直线平行得AQ∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠2，从而用“AAS”证明△AKQ≌△BKP，由全等三角形的对应边相等得PK=QK，AK=KB，则，由同角的余角相等得∠CAK=∠OBP，再通过“SAS”证明出，由全等三角形的对应边相等得OP=CK，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得OP=4，再由勾股定理算出KO的长，由即可求解．
25．（2025·绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴.
（2）解：过A作于G，如图所示：
设，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴直线解析式可设为，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
此时，P的坐标为.
（3）G的横坐标为或
【知识点】轴对称的性质；同角三角函数的关系；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：，
∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
当G在x轴上方时，
设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
当点G在x轴下方时，
作H关于直线的对称点Q，连接，
∴，，
过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
整理得，
解得，（舍去），
∴G的横坐标为；
综上，G的横坐标为或．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式求出a、c的值即可；
（2）过A作于G，设，先求出直线AC的解析式，再设直线解析式，将点P代入直线PD可得，再将y=0代入求出，可得，再求出，利用线段的和差求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）先求出 平移后抛物线解析式为， 再分类讨论：① 当G在x轴上方时， ② 当点G在x轴下方时， 再分别画出图形并利用全等三角形的判断和性质列出方程求解即可.
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