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安徽省合肥市名校九年级联合教研大联考2025年数学试卷
1．（2025·合肥模拟）如果上升记作，那么下降记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵上升记作，
∴下降记作，
故答案为：B.
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数表示上升，则负数就表示下降.
2．（2025·合肥模拟）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算正确；
B、， 故此选项原计算不正确；
C、与不是同类项，不能合并， 故此选项原计算不正确；
D、， 故此选项原计算不正确．
故答案为：A．
【分析】单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，据此计算可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D选项.
3．（2025·合肥模拟）《安徽日报》是我省内部发行量最大的综合性对开日报，日发行量达份，这里“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·合肥模拟）下列几何体的三视图中，不可能出现矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B、该几何体的主视图是三角形，左视图与俯视图都是矩形 ，故本选项不符合题意；
C、该几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是正六边形，故本选项不符合题意；
D、该几何体的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，即三视图不可能出现矩形，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】主视图就是几何体从正面看得到的平面图形，俯视图就是几何体从上面看得到的平面图形， 左视图就是几何体从左面看得到的平面图形 ，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此分别找出各个几何体的三视图，从而即可判断得出答案.
5．（2025·合肥模拟）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得出∠ADB=∠BAD=45°，由平角的定义可求出∠FDC=45°，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和算出∠CFE的度数.
6．（2025·合肥模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（　　）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
结合四个选项的值，满足条件的的值是3；
故答案为：A．
【分析】一次函数“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”中，当k＞0时，图象经过第一三象限，y随x的增大而增大，当k＜0时，图象经过二四象限，y随x的增大而减小，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可逐一判断得出答案.
7．（2025·合肥模拟）如图，正五边形内接于，连接，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】由于正多边形的每一个内角都相等，故结合多边形内角和公式可得，根据正多边形中心角度数公式可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理求出，最后根据角的构成，由代值计算可得答案.
8．（2025·合肥模拟）在某校举行的运动会上，参加八年级男子射箭比赛的20名运动员的成绩如下表所示：
成绩／环 5 6 7 8 9 10
人数 1 1 3 8 6 1
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是8环；②这些运动员成绩的中位数是7.5环；③这些运动员成绩的众数是8环，④这些运动员成绩的方差．上述结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：①这些运动员成绩的平均数是（环），故①正确；
②20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是8，8，故中位数为（环），故②错误；
③8环出现次数最多，故众数是8环，故③正确，
④这些运动员成绩的方差，故④正确．
所以，正确的结论有3个.
故答案为：C．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
9．（2025·合肥模拟）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过点，
∴，
∴，，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
解得：，故B错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故C错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据抛物线上点的坐标特点，分别将三点的坐标代入y=ax2+bx+c，可得b=2a，m=3a+c，n=-a+c，然后利用整式减法法则求出m-n=4a，结合a＜0即可判断A选项；将m=3a+c代入c-m＞2，求解即可判断B选项；把n=-a+c代入c-n＞-1求出a的取值范围，进而结合m-n=4a即可求出m-n的取值范围，据此可判断C选项；把n=-a+c代入c-n＜-1求出a的取值范围，进而结合m-n=4a即可求出m-n的取值范围，据此可判断D选项.
10．（2025·合肥模拟）如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，，
∵∠CDE=∠CDF+∠EDF=45°+∠CDF=∠B+∠BED=45°+∠BED
，
，
，
，，
过点作于点，
∴DM∥AB，
，
，
，
，
又当时，即，，
，
关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件．
故答案为：C.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，然后根据勾股定理算出BC的长，进而可求出BD、CD的长；利用角的构成及三角形外角性质可推出∠BED=∠CDF，从而由有两组角相等得两个三角形相似得出△BDE∽△CFD，由相似三角形对应边成比例建立方程可用含x的式子表示出CF、AF； 过点D作DM⊥AC于点M，由同位角相等两直线平行得出DM∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△CDM∽△CBA，由相似三角形对应边成比例得出DM=4，然后根据三角形面积计算公式建立出y关于x的函数解析式，进而求出x的取值范围，最后根据所得函数解析式及平移规律即可判断得出答案.
11．（2025·合肥模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】方程两边同时乘以x-3约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
12．（2025·合肥模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2x，然后将剩下的商式再利用完全平方公式进行分解即可.
13．（2025·合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，若点为的中点，且的面积为3，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，即，
∵点E，D在反比例函数的图象上，
∴，，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】连接OD、OE，由点B的坐标及矩形的性质得OA=BC=3，OC=AB=4，∠B=∠COA=90°，从而根据点的坐标与图形性质得，，F（0，2），根据两点间的距离公式表示出BD、BE，再由反比例函数k的几何意义及同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系得出，， 然后利用割补法，由S△DEF=S矩形OABC-S△OAE-S△BDE-S△CDF，得到关于k的方程，求解即可得出k的值.
14．（2025·合肥模拟）如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若，则　 　；
（2）点到的距离最小值为　 　．
【答案】17；
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵点，关于点对称，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：17；
（2）连接，如图．
由（1）得
为等腰直角三角形，
∴
又由知，
，
，
由折叠知，
∴点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，
点到的距离最小值为．
故答案为：．
【分析】由矩形性质得，，由轴对称性质得，，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得到，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理得到，从而根据角的构成可求出的度数；连接，易得△ADD'为等腰直角三角形，由勾股定理求出AD'的长；由全等三角形的对应边相等得AO=D'O，由等腰直角三角形的三线合一结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出OD的长，由折叠得到DE=DC，从而可得点E在以点D为圆心，以DC为半径的弧上运动，进而由垂线段最短得到点E到AD'的距离最小值为DO-DE．
15．（2025·合肥模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，然后根据有理数乘方运算法则、绝对值性质分别化简，进而计算实数的乘法，最后计算实数的加减运算即可.
16．（2025·合肥模拟）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，理由如下：
∵，，
，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标为或 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次链接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AC12、AD12、AD22、C1D12、C1D22，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出∠D2AC1与∠D1AC1=90°，从而即可得出结论，最后根据点D1与D2的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或．
理由：∵，，
，
∴，，
∴．
17．（2025·合肥模拟）“砀山梨”是安徽名特产，果农为了便于销售，将采摘的砀山梨分装为大箱和小箱两种规格，已知2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨，4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨．求每个大箱和小箱各装多少公斤砀山梨．
【答案】解：设大箱可装公斤砀山梨，小箱可装公斤砀山梨，
根据题意得：，
解得．
答：大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】先设每一个大箱可装x公斤砀山梨，每一个小箱可装y公斤砀山梨，根据“2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨”列出方程2x+3y=16，根据“4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨”列出方程4x+y=22，联立两方程，求解即可得出答案.
18．（2025·合肥模拟）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）______；
（ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
【答案】（1）（ⅰ）48
（ⅱ）证明：，
又∵是正整数，
能被8整除，结论成立；
（2）或；
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）（ⅰ），
故答案为：；
（2），
．
故答案为：（或），．
【分析】（1）（ⅰ）利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算有理数的乘法得出答案；
（ⅱ） 利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出结论；
（2） 利用平方差公式将(2n+2)2-(2n)2变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出第一空的答案，进而得出关于字母k的等式，变形用含n的式子表示出k即可.
19．（2025·合肥模拟）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（，在同一平面内，B，D在同一水平面上），求建筑物的高．（精确到1米）（参考数据：，，，，，）
【答案】解：设过点的水平线交于点，如图所示，
由题意知四边形是矩形，
米，，
在中，
，
；
在中，
，
；
，
，
解得（米）．
答：建筑物的高约为16米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设过点的水平线交于点，根据矩形的性质得出米，，在Rt△BCD中，根据∠DBC的正切函数定义表示出BD，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函数表示出AE，根据AE=BD列出方程，求解即可.
20．（2025·合肥模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：、BE是的直径，
，
又平分，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
；
（2）解：连接，由（1）知，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得出∠ABC=∠ADC=∠BDF=90°，由角平分线的定义及同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得出，由等弧所对的弦相等得AD=CD，由同角的余角相等推出∠ADF=∠CDB，由圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠FAD=∠BCD，从而利用“ASA”证△DAF≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得出AF=BC；
（2）连接，由（1）知，由圆心角、弧、弦的关系可得，由直径所对的圆周角为直角得出，最后在Rt△AEF中，利用勾股定理求解即可．
（1）证明：是的直径，
，
又平分，
，
，
，
是的直径，
，
，
四边形内接于，
，
，
；
（2）解：连接，由（1）知，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得．
21．（2025·合肥模拟）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值．
【答案】（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）解：左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）用画树状图法列举出所有等可能的情况数，由树状图可知总共有9种等可能的结果，而能使杠杆平衡的情况数只有3种，从而利用概率公式计算即可；
（2）设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得即，结合杠杆平衡的概率为，由概率公式可得平衡的情况数有3种，然后分情况讨论求出G的值.
（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
22．（2025·合肥模拟）在综合实践活动课上，数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下：
操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和折痕；
把正方形纸片展平，得图4，折痕与的交点分别为．连接，得图5．
（1）根据以上操作，得______，的形状是______；
（2）如图6，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：四边形是菱形；
（3）如图6，请求出的值．
【答案】（1）45，等腰直角三角形
（2）证明：由翻折知，，，，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
又，
，
又，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，由翻折知，
，
，
四边形是菱形；
（3）解：设，
在中，根据，
可得，
由翻折可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
由，得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：由折叠得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
【分析】（1）由正方形的性质与折叠的性质即可求出； 由正方形的对角线平分一组对角及折叠性质可推出=45°，再结合对顶角相等，由有两组角相等的三角形相似得出△AGE∽△BGH，由相似三角形对应边成比例 得，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△AGB∽△EGH，由相似三角形对应角相等得∠BAC=∠BEH=45°，则∠EBF=∠BEH=45°，即可证明△BEH是等腰直角三角形；
（2）由翻折可推出∠ABE=∠CBF，由正方形性质得BA=BC，∠BAE=∠BCF=90°，从而用“ASA”易证△BAE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得AE=CF，由等量减去等量差相等推出DE=DF，由等边对等角及三角形内角和定理推出 ∠DFE=45°，从而由同位角相等两直线平行推出EF∥AC，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形CFPH是平行四边形，由二直线平行，内错角相等及翻折性质可推出∠CHF=∠BFC，由等角对等边得出CH=CF，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）设，，由勾股定理得，由翻折可得，利用二直线平行，内错角相等可推∠AGE=∠FEG=∠AEG，由等角对等边得到AE=AG，同理推出CB=CG=b，进而可推出CH=AG=a，由线段和差得出，进而得到．即，即可求解．
（1）解：由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：由翻折知，，，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
又，
，
又，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，由翻折知，
，
，
四边形是菱形；
（3）解：设，
在中，根据，
可得，
由翻折可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
由，得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
23．（2025·合肥模拟）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离；
（3）已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意可得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，解得 ，，
∴，，
∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，
∴平移后的 ，，
∴线段的三等分点的坐标为，，
∵，顶点坐标为，开口向下，
∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上，
∴，
∵与的交点为：，，
∴的对称轴为：，
∴则设平移后的抛物线表达式为，
将代入，得，
∴，
∵，，
∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
（3）解：秒后，点，，抛物线的表达式为，
令时，得，则与抛物线所截线段长小于6，
如图1，当恰好在抛物线上时，
则，化简得，
解得，（舍去），
如图2，当恰好在抛物线上时，
则，
化简得，解得 ，（舍去），
∴的取值范围为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（3，-12）代入y=ax2+bx+3可得9a+3b+3=-12，由对称轴直线公式可得，联立两方程求解可得a、b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，先求出A、B点的坐标；根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得到点B'、A'的坐标，进而可求出线段A'B'的三等分点的坐标；根据轴对称的性质求出原抛物线关于轴对称的抛物线解析式y1，根据抛物线的对称性再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可；
（3）设秒后，点，，抛物线的表达式为，分析当N'恰好在抛物线y'上时和当M'恰好在抛物线y'上时的取值，即可求解．
（1）解：根据题意可得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得 ，，
∴，，
∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，
∴平移后的 ，，
∴线段的三等分点的坐标为，，
∵，顶点坐标为，开口向下，
∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上，
∴，
∵与的交点为：，，
∴的对称轴为：，
∴则设平移后的抛物线表达式为，
将代入，得，
∴，
∵，，
∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
（3）秒后，点，，
抛物线的表达式为，
令时，得，则与抛物线所截线段长小于6，
如图1，当恰好在抛物线上时，
则，化简得，
解得，（舍去），
如图2，当恰好在抛物线上时，
则，
化简得，解得 ，（舍去），
∴的取值范围为．
1 / 1安徽省合肥市名校九年级联合教研大联考2025年数学试卷
1．（2025·合肥模拟）如果上升记作，那么下降记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·合肥模拟）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·合肥模拟）《安徽日报》是我省内部发行量最大的综合性对开日报，日发行量达份，这里“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·合肥模拟）下列几何体的三视图中，不可能出现矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·合肥模拟）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·合肥模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（　　）
A．3 B．1 C．0 D．
7．（2025·合肥模拟）如图，正五边形内接于，连接，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·合肥模拟）在某校举行的运动会上，参加八年级男子射箭比赛的20名运动员的成绩如下表所示：
成绩／环 5 6 7 8 9 10
人数 1 1 3 8 6 1
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是8环；②这些运动员成绩的中位数是7.5环；③这些运动员成绩的众数是8环，④这些运动员成绩的方差．上述结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025·合肥模拟）已知二次函数（其中是常数，且）的图象过点，则下列说法正确的是（　　）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·合肥模拟）如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·合肥模拟）分式方程的解是　 　．
12．（2025·合肥模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，若点为的中点，且的面积为3，则的值为　 　．
14．（2025·合肥模拟）如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点．
（1）若，则　 　；
（2）点到的距离最小值为　 　．
15．（2025·合肥模拟）计算：．
16．（2025·合肥模拟）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标．
17．（2025·合肥模拟）“砀山梨”是安徽名特产，果农为了便于销售，将采摘的砀山梨分装为大箱和小箱两种规格，已知2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨，4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨．求每个大箱和小箱各装多少公斤砀山梨．
18．（2025·合肥模拟）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
能否被8整除
能
能
能
能
能
… …
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）______；
（ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论；
（2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下：
假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除．
阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容．
19．（2025·合肥模拟）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（，在同一平面内，B，D在同一水平面上），求建筑物的高．（精确到1米）（参考数据：，，，，，）
20．（2025·合肥模拟）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（2025·合肥模拟）小明在探究杠杆平衡条件的实验中，使用了一个长度为6米的杠杆，支点位于中点．杠杆左侧有A，B，C三个挂钩点，距离支点分别为1米，2米，3米；右侧有D，E，F三个挂钩点，距离支点同样为1米，2米，3米．实验中，小明在挂钩点放置物体后，杠杆可能在支点保持平衡．请回答以下问题．（杠杆定理公式：动力动力臂阻力阻力臂）
（1）小明在左侧随机选择一个挂钩点挂的物体，在右侧也随机选择一个挂钩点挂的物体．请用树状图或列表法求此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）小明改为在左侧随机选择一个挂钩点挂两个的物体（总重力），右侧随机选择一个挂钩点挂重力为的物体．若此时杠杆平衡的概率为，请求出的值．
22．（2025·合肥模拟）在综合实践活动课上，数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下：
操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和折痕；
把正方形纸片展平，得图4，折痕与的交点分别为．连接，得图5．
（1）根据以上操作，得______，的形状是______；
（2）如图6，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：四边形是菱形；
（3）如图6，请求出的值．
23．（2025·合肥模拟）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离；
（3）已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵上升记作，
∴下降记作，
故答案为：B.
【分析】由于正数与负数可以表示一对具有相反意义的量，故知道了正数表示上升，则负数就表示下降.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算正确；
B、， 故此选项原计算不正确；
C、与不是同类项，不能合并， 故此选项原计算不正确；
D、， 故此选项原计算不正确．
故答案为：A．
【分析】单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，据此计算可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B、该几何体的主视图是三角形，左视图与俯视图都是矩形 ，故本选项不符合题意；
C、该几何体的主视图与左视图都是矩形，俯视图是正六边形，故本选项不符合题意；
D、该几何体的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，即三视图不可能出现矩形，故本选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】主视图就是几何体从正面看得到的平面图形，俯视图就是几何体从上面看得到的平面图形， 左视图就是几何体从左面看得到的平面图形 ，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此分别找出各个几何体的三视图，从而即可判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得出∠ADB=∠BAD=45°，由平角的定义可求出∠FDC=45°，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和算出∠CFE的度数.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
结合四个选项的值，满足条件的的值是3；
故答案为：A．
【分析】一次函数“y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)”中，当k＞0时，图象经过第一三象限，y随x的增大而增大，当k＜0时，图象经过二四象限，y随x的增大而减小，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解即可逐一判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】由于正多边形的每一个内角都相等，故结合多边形内角和公式可得，根据正多边形中心角度数公式可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理求出，最后根据角的构成，由代值计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：①这些运动员成绩的平均数是（环），故①正确；
②20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是8，8，故中位数为（环），故②错误；
③8环出现次数最多，故众数是8环，故③正确，
④这些运动员成绩的方差，故④正确．
所以，正确的结论有3个.
故答案为：C．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过点，
∴，
∴，，，
∴，故A错误；
∵，
∴，
解得：，故B错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故C错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据抛物线上点的坐标特点，分别将三点的坐标代入y=ax2+bx+c，可得b=2a，m=3a+c，n=-a+c，然后利用整式减法法则求出m-n=4a，结合a＜0即可判断A选项；将m=3a+c代入c-m＞2，求解即可判断B选项；把n=-a+c代入c-n＞-1求出a的取值范围，进而结合m-n=4a即可求出m-n的取值范围，据此可判断C选项；把n=-a+c代入c-n＜-1求出a的取值范围，进而结合m-n=4a即可求出m-n的取值范围，据此可判断D选项.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，，
∵∠CDE=∠CDF+∠EDF=45°+∠CDF=∠B+∠BED=45°+∠BED
，
，
，
，，
过点作于点，
∴DM∥AB，
，
，
，
，
又当时，即，，
，
关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件．
故答案为：C.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，然后根据勾股定理算出BC的长，进而可求出BD、CD的长；利用角的构成及三角形外角性质可推出∠BED=∠CDF，从而由有两组角相等得两个三角形相似得出△BDE∽△CFD，由相似三角形对应边成比例建立方程可用含x的式子表示出CF、AF； 过点D作DM⊥AC于点M，由同位角相等两直线平行得出DM∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△CDM∽△CBA，由相似三角形对应边成比例得出DM=4，然后根据三角形面积计算公式建立出y关于x的函数解析式，进而求出x的取值范围，最后根据所得函数解析式及平移规律即可判断得出答案.
11．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】方程两边同时乘以x-3约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2x，然后将剩下的商式再利用完全平方公式进行分解即可.
13．【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，即，
∵点E，D在反比例函数的图象上，
∴，，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【分析】连接OD、OE，由点B的坐标及矩形的性质得OA=BC=3，OC=AB=4，∠B=∠COA=90°，从而根据点的坐标与图形性质得，，F（0，2），根据两点间的距离公式表示出BD、BE，再由反比例函数k的几何意义及同高三角形面积之间的关系就是对应底之间的关系得出，， 然后利用割补法，由S△DEF=S矩形OABC-S△OAE-S△BDE-S△CDF，得到关于k的方程，求解即可得出k的值.
14．【答案】17；
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵点，关于点对称，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：17；
（2）连接，如图．
由（1）得
为等腰直角三角形，
∴
又由知，
，
，
由折叠知，
∴点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，
点到的距离最小值为．
故答案为：．
【分析】由矩形性质得，，由轴对称性质得，，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得到，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理得到，从而根据角的构成可求出的度数；连接，易得△ADD'为等腰直角三角形，由勾股定理求出AD'的长；由全等三角形的对应边相等得AO=D'O，由等腰直角三角形的三线合一结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出OD的长，由折叠得到DE=DC，从而可得点E在以点D为圆心，以DC为半径的弧上运动，进而由垂线段最短得到点E到AD'的距离最小值为DO-DE．
15．【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，然后根据有理数乘方运算法则、绝对值性质分别化简，进而计算实数的乘法，最后计算实数的加减运算即可.
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，理由如下：
∵，，
，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标为或 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次链接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AC12、AD12、AD22、C1D12、C1D22，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出∠D2AC1与∠D1AC1=90°，从而即可得出结论，最后根据点D1与D2的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或．
理由：∵，，
，
∴，，
∴．
17．【答案】解：设大箱可装公斤砀山梨，小箱可装公斤砀山梨，
根据题意得：，
解得．
答：大箱可装5公斤砀山梨，小箱可装2公斤砀山梨．
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】先设每一个大箱可装x公斤砀山梨，每一个小箱可装y公斤砀山梨，根据“2个大箱和3个小箱能装公斤砀山梨”列出方程2x+3y=16，根据“4个大箱和1个小箱能装公斤砀山梨”列出方程4x+y=22，联立两方程，求解即可得出答案.
18．【答案】（1）（ⅰ）48
（ⅱ）证明：，
又∵是正整数，
能被8整除，结论成立；
（2）或；
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）（ⅰ），
故答案为：；
（2），
．
故答案为：（或），．
【分析】（1）（ⅰ）利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算有理数的乘法得出答案；
（ⅱ） 利用平方差公式将两个数的平方差变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出结论；
（2） 利用平方差公式将(2n+2)2-(2n)2变形为这两个数的和与这两个数的差的积，然后计算括号内的加减法，最后计算单项式乘法得出第一空的答案，进而得出关于字母k的等式，变形用含n的式子表示出k即可.
19．【答案】解：设过点的水平线交于点，如图所示，
由题意知四边形是矩形，
米，，
在中，
，
；
在中，
，
；
，
，
解得（米）．
答：建筑物的高约为16米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设过点的水平线交于点，根据矩形的性质得出米，，在Rt△BCD中，根据∠DBC的正切函数定义表示出BD，在Rt△ACE中，由∠CAE的正切函数表示出AE，根据AE=BD列出方程，求解即可.
20．【答案】（1）证明：、BE是的直径，
，
又平分，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
；
（2）解：连接，由（1）知，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得出∠ABC=∠ADC=∠BDF=90°，由角平分线的定义及同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得出，由等弧所对的弦相等得AD=CD，由同角的余角相等推出∠ADF=∠CDB，由圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠FAD=∠BCD，从而利用“ASA”证△DAF≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得出AF=BC；
（2）连接，由（1）知，由圆心角、弧、弦的关系可得，由直径所对的圆周角为直角得出，最后在Rt△AEF中，利用勾股定理求解即可．
（1）证明：是的直径，
，
又平分，
，
，
，
是的直径，
，
，
四边形内接于，
，
，
；
（2）解：连接，由（1）知，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得．
21．【答案】（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）解：左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分类讨论
【解析】【分析】（1）用画树状图法列举出所有等可能的情况数，由树状图可知总共有9种等可能的结果，而能使杠杆平衡的情况数只有3种，从而利用概率公式计算即可；
（2）设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得即，结合杠杆平衡的概率为，由概率公式可得平衡的情况数有3种，然后分情况讨论求出G的值.
（1）解：如下图，
从树状图中可以看到，总共有9种等可能的结果．
根据杠杆定理公式“动力动力臂阻力阻力臂”，当左右两侧力都为时，只有左右两侧力臂相等，杠杆才能平衡．
所以杠杆平衡的情况有：左侧A点，右侧D点；左侧B点，右侧E点；左侧C点，右侧F点，共3种，
∴此时杠杆恰好平衡的概率；
（2）左侧随机选一个挂钩点挂物体，右侧随机选一个挂钩点挂重力为的物体，同样有9种等可能的结果，
设左侧力臂为，取值为1米，2米，3米；右侧力臂为，取值为1米，2米，3米，根据杠杆定理公式可得，即．
已知杠杆平衡的概率为，由概率公式可知平衡的情况数为种，
分情况讨论求出的值：
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，；
当米，米时，．
要使平衡情况有3种，的值为．
22．【答案】（1）45，等腰直角三角形
（2）证明：由翻折知，，，，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
又，
，
又，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，由翻折知，
，
，
四边形是菱形；
（3）解：设，
在中，根据，
可得，
由翻折可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
由，得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：由折叠得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
【分析】（1）由正方形的性质与折叠的性质即可求出； 由正方形的对角线平分一组对角及折叠性质可推出=45°，再结合对顶角相等，由有两组角相等的三角形相似得出△AGE∽△BGH，由相似三角形对应边成比例 得，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△AGB∽△EGH，由相似三角形对应角相等得∠BAC=∠BEH=45°，则∠EBF=∠BEH=45°，即可证明△BEH是等腰直角三角形；
（2）由翻折可推出∠ABE=∠CBF，由正方形性质得BA=BC，∠BAE=∠BCF=90°，从而用“ASA”易证△BAE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得AE=CF，由等量减去等量差相等推出DE=DF，由等边对等角及三角形内角和定理推出 ∠DFE=45°，从而由同位角相等两直线平行推出EF∥AC，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形CFPH是平行四边形，由二直线平行，内错角相等及翻折性质可推出∠CHF=∠BFC，由等角对等边得出CH=CF，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）设，，由勾股定理得，由翻折可得，利用二直线平行，内错角相等可推∠AGE=∠FEG=∠AEG，由等角对等边得到AE=AG，同理推出CB=CG=b，进而可推出CH=AG=a，由线段和差得出，进而得到．即，即可求解．
（1）解：由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：由翻折知，，，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
又，
，
又，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，由翻折知，
，
，
四边形是菱形；
（3）解：设，
在中，根据，
可得，
由翻折可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
由，得，
，
是等腰直角三角形，
，
．
23．【答案】（1）解：根据题意可得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，解得 ，，
∴，，
∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，
∴平移后的 ，，
∴线段的三等分点的坐标为，，
∵，顶点坐标为，开口向下，
∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上，
∴，
∵与的交点为：，，
∴的对称轴为：，
∴则设平移后的抛物线表达式为，
将代入，得，
∴，
∵，，
∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
（3）解：秒后，点，，抛物线的表达式为，
令时，得，则与抛物线所截线段长小于6，
如图1，当恰好在抛物线上时，
则，化简得，
解得，（舍去），
如图2，当恰好在抛物线上时，
则，
化简得，解得 ，（舍去），
∴的取值范围为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（3，-12）代入y=ax2+bx+3可得9a+3b+3=-12，由对称轴直线公式可得，联立两方程求解可得a、b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，先求出A、B点的坐标；根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”得到点B'、A'的坐标，进而可求出线段A'B'的三等分点的坐标；根据轴对称的性质求出原抛物线关于轴对称的抛物线解析式y1，根据抛物线的对称性再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可；
（3）设秒后，点，，抛物线的表达式为，分析当N'恰好在抛物线y'上时和当M'恰好在抛物线y'上时的取值，即可求解．
（1）解：根据题意可得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得 ，，
∴，，
∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，
∴平移后的 ，，
∴线段的三等分点的坐标为，，
∵，顶点坐标为，开口向下，
∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上，
∴，
∵与的交点为：，，
∴的对称轴为：，
∴则设平移后的抛物线表达式为，
将代入，得，
∴，
∵，，
∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
（3）秒后，点，，
抛物线的表达式为，
令时，得，则与抛物线所截线段长小于6，
如图1，当恰好在抛物线上时，
则，化简得，
解得，（舍去），
如图2，当恰好在抛物线上时，
则，
化简得，解得 ，（舍去），
∴的取值范围为．
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