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河北省保定市易县2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题
1．（2025八上·易县期末）科技融入生活，绿色引领未来．下列新能源汽车标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．可以发现该标志沿着中间一条竖直的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，不符合题意；
B．该标志沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
C．该标志沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
D．无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义，即如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。对于每个选项中的新能源汽车标志，通过观察其形状，尝试找出能使图形沿着某条直线对折后，直线两侧部分完全重合的直线。若能找到这样的直线，则该图形是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形。
2．（2025八上·易县期末）在中作边上的高，下列画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：过点作边的垂线段，即画边上的高，
所以画法正确的是C选项；
故选：C．
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
3．（2025八上·易县期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解，并且正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：对9x 6y+3提取公因式，应该得到3(3x 2y+1)，而不是3(3x 2y)，所以该选项因式分解错，A不符合题意；
，故正确，B符合题意；
，是整式乘法，不是因式分解，故错误，C不符合题意；
，不是因式分解，故错误，D不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式”来判断每个选项。对于每个选项，先观察等式右边的形式是否为整式积的形式，若是，再进一步判断其分解是否正确；若不是整式积的形式，则可直接判断该选项不是因式分解。
4．（2025八上·易县期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
5．（2025八上·易县期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（　　）
A．3米 B．14米 C．5米 D．9米
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得：，
即：，
∴四个选项中只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】
首先通过连接A、B两点，将其与已知的OA、OB构成三角形，然后根据三边关系定理列出关于AB长度的不等式，计算出AB的取值范围，最后将各选项与取值范围进行对比，判断A、B间的距离不可能是哪个选项。
6．（2025八上·易县期末）下列运算结果等于的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则，对每个选项逐一进行计算，判断其运算结果是否等于a3n。
7．（2025八上·易县期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①利用整体法计算该图形的面积为(a+b)2，利用分割求和法表示该图形的面积为a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，①符合题意；
②利用整体法计算大正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-2ab+b2，
∴(a-b)2=a2-2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，②符合题意；
③利用整体法计算大正方形的面积为(a+b)(a-b)，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-b2，
∴(a+b)(a-b)=a2-b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，③符合题意；
④利用整体法计算小正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示小正方形的面积为 (a+b)2 -4ab，
∴(a-b)2= (a+b)2 -4ab ，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共4个.
故答案为：．
【分析】根据正方形及长方形面积公式，用整体法及分割求和法分别表示出同一个图形的面积，即可验证各个恒等式，从而得出结论.
8．（2025八上·易县期末）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是，
∴，
又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是，
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用正多边形外角和为360°求出正五边形和正方形的外角度数，进而得到它们在顶点B处的内角度数。最后根据图形中角的关系，通过周角减去相关内角的度数得出∠ABC的度数。
9．（2025八上·易县期末）如图，的面积为8，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．4.5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：解：如图，延长交于E，
与的平分线垂直，垂足为，
，，
在与中，
，
，
，，
和等底同高，
，
，
故选：A．
【分析】
延长AP交BC于点Q，因为BP是∠ABC的平分线，所以∠ABP=∠QBP；又因为⊥AP⊥BP，所以∠APB=∠QPB=90°，且BP是公共边。根据全等三角形的判定定理“角边角”（ASA），可以证明△ABP和△QBP全等。从而由等三角形的对应边相等，对应角相等。可得AP=QP，即P是AQ的中点。进而利用等底等高的三角形面积相等这一性质，得出△PBC与△ABQ的面积关系，即△PBC的面积是△ABQ面积的一半；又因为Q在BC上，△ABQ的面积等于△ABC的面积，再三角形面积公式S=ah（a为底，
h为高）求出△ABC的面积即可得出答案。
10．（2025八上·易县期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C． D．且
【答案】A
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，即，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：A．
【分析】
先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出方程的解（用含k的式子表示）。然后根据方程的解为正数这一条件得到关于k的一个不等式，解出k的初步取值范围。最后考虑原分式方程分母不能为零这一限制条件，得到关于k的另一个不等式，解出k的限制取值，综合两个条件确定k的最终取值范围。
11．（2025八上·易县期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③；④平分；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
故结论①正确；
根据已知条件不能推出，
故结论②错误；
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，故结论③正确；
，即平分，故结论④正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可.
12．（2025八上·易县期末）“如图，是等腰三角形，，，平分，是射线上的一点．若是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确
B．只有乙正确
C．甲、乙两人合在一起才正确
D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
可分三种情况讨论：
①当时，如下图，
则；
②当时，如下图，
则；
③当时，如下图，
则，
∴．
综合所述，的度数为或或．
故选：D．
【分析】
在等腰三角形△ABC中，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为180 ，可求出∠ABC和∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，求出∠PBC的度数。然后分情况讨论△BCD为等腰三角形时∠BDC的度数 ：情况一：当BC=CD时，在等腰三角形△BCD中，若BC=CD，则两底角∠BDC和∠DBC相等，而∠DBC=∠PBC=35°，所以可直接得出∠BDC的度数；情况二：当BC=BD时，在等腰三角形△BCD中，若BC=BD，则∠BDC=∠BCD。根据三角形内角和为180°，以及已求出的∠DBC=35°，可求出∠BDC的度数。
13．（2025八上·易县期末）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
14．（2025八上·易县期末）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（2025八上·易县期末）当x=　 　时，分式 值为0．
【答案】-1
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式为0的条件，列出方程和不等式， 求出x的值，即可求解.
16．（2025八上·易县期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
∴，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：24．
【分析】
因为△ABC和△ADE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可知其两个底角相等且为45 ，两直角边相等。进而根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，从而得到∠ACD的度数和CD的长度，再计算∠BCD的度数。然后根据已知△DCE中∠BCD=90°，得出△DCE是直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式S=ah（a为底，h为高），以CE为底，CD为高来计算面积即可得出答案．
17．（2025八上·易县期末）嘉嘉在计算：时，解答过程如下．
…第一步
……第二步
．………第三步
（1）嘉嘉的解答从第______步开始出错；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】
解：嘉嘉的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
【分析】
（1）根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2来判断其计算是否正确。对于(x+2)2，这里a=x，b=2，根据完全平方公式应得到x2+4x+4，而嘉嘉错误地计算成了x2+4，所以嘉嘉的解答从第一步开始出错；
（2）先根据乘法分配律将x(x 2)展开，再根据完全平方公式将(x+2)2展开，然后去括号，最后合并同类项即可求解。
（1）解：嘉嘉的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
（2）解：原式
．
18．（2025八上·易县期末）按下列程序计算，并回答下列问题．
______ 3 1 5
输出答案 1 1 ① ②
（1）表格中①的值为______，②的值为______；
（2）根据上述计算，你发现了什么规律？
（3）请说明你发现的规律是正确的．
【答案】（1）；
（2）计算结果都是
（3）解：∵
，
∴输入，计算结果都是．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-程序框图；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意：，
，
则表格中①的值为，②的值为；
（2）
解：根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是；
【分析】
本题考查了代数式求值及分式的运算，寻找规律再计算是解题的关键．（1）根据给定的计算程序，将输入值依次进行平方、乘以5、除以a2、加上的运算，得到输出答案；
（2）当输入a分别为3、1、5、 1时，输出答案均为1，所以规律是无论输入的a（a≠0）取何值，计算结果都是1；
（3）根据计算程序列出关于a的代数式，然后通过整式运算化简该代数式，看化简结果是否恒为1即可得出结论。
（1）解：根据题意：，
，
则表格中①的值为，②的值为；
（2）解：根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是；
（3）解：∵
，
∴输入，计算结果都是．
19．（2025八上·易县期末）尺规作图痕迹如图所示，若，，求的度数．
【答案】解：由作图痕迹可得点为的垂直平分线与的平分线的交点，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由作图痕迹可知点D为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点。根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以DA=DB；根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，所以∠ABD=∠CBD。已知∠ADE是△ABD的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ADE=∠DAB+∠DBA，又因为∠DAB=∠DBA，所以可以求出∠DAB和∠DBA的度数，进而求出∠ABC的度数。最后在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可以求出∠ACB的度数。
20．（2025八上·易县期末）八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高．
【答案】解：由题意得：，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：教学楼高度为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】首先，根据已知的垂直关系和角度条件，通过直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等，可得出两个三角形中的对应角相等关系。然后，结合已知的边相等条件，利用ASA判定定理证明△CDP和
△PBA全等。最后，根据全等三角形对应边相等的性质，将求教学楼高度AB的问题转化为求线段PD的长度，再通过已知线段的长度关系计算得出结果。
21．（2025八上·易县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点（网格线的交点）上．
（1）请直接写出点关于轴对称的点：的坐标：______；
（2）的面积为______；（直接写出结果）
（3）若为轴上的一点，当最小时，此时点的坐标是______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：根据图象得到，
则点关于轴对称的点的坐标为；
（2）
解：的面积为：；
（3）
解：如图，点关于轴对称的点，连接交x轴于点，
由对称的性质得：，则的最小值为，
∴根据网格的特点得：．
【分析】
（1）根据图象得到B的坐标为( 3，3)，结合关于y轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相同直接求解即可得到答案；
（2）利用格点坐标，通过“割补法”，将△ABC放在一个包含它的最小矩形中，用矩形的面积减去周围多余三角形的面积，从而得到△ABC的面积；
（3）作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称的性质可知，PC=PC'，那么求PA+PC的最小值，就转化为求PA+PC'的最小值。连接AC'，AC'与x轴的交点P即为使得PA+PC'（也就是PA+PC）最小的点。在给定的网格中，通过观察和分析网格的特点，确定AC'与x轴交点P的坐标为( 3，0)。
（1）解：根据图象得到，
则点关于轴对称的点的坐标为；
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图，点关于轴对称的点，连接交x轴于点，
由对称的性质得：，则的最小值为，
∴根据网格的特点得：．
22．（2025八上·易县期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
②求的最小值．
．
，
，
即的最小值为．
【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题．
（1）用配方法分解因式：；
（2）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．
①用含有的代数式表示．
②当为何值时，的值最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：①∵，，∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次函数的最值；三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【分析】
（1）配方法的关键在于通过添加和减去一次项系数一半的平方，将原式构造成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解。对y2 2y进行配方，一次项系数为 2，其一半为 1，平方为1，则y2 2y 15=y2 2y+1 1 15；
（2）①先确定运动时间t的取值范围：点P从A到B所需时间为6÷1=66÷1=6秒，点Q从B到C所需时间为8÷2=48÷2=4秒，因为当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动，所以0<≤40②利用材料中方法配方即可解答；
（1）解：
；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．
23．（2025八上·易县期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，为激发学生探索科学奥秘的兴趣，某中学购入，两款物理实验套装．已知用12000元购进款实验套装的数量比用5000元购进款实验套装的数量多50个，且款实验套装的单价是款实验套装的单价的1.2倍．求，两款实验套装的单价．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程．
甲：．
乙：．
则甲所列方程中的表示______，乙所列方程中的表示______；
（2）任选其中一种方法，求，两款实验套装的单价．
【答案】（1）款实验套装的数量；购买款实验套装的单价
（2）解：选甲：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元），（元）；
选乙：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元．
【知识点】解分式方程；代数式的实际意义；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：对于甲：表示的是：款实验套装的单价是款实验套装单价的倍，
∴分别表示款实验套装和款实验套装的单价，
∴表示款实验套装的数量；
对于乙：表示的是：款实验套装的数量比款实验套装的数量多50个，
∴，分别表示表示款实验套装和款实验套装的数量，
∴表示购买款实验套装的单价；
故答案为：款实验套装的数量；购买款实验套装的单价；
【分析】
（1）在中，根据“总价÷数量=单价”，左边 表示A款实验套装的单价；右边 表示B款实验套装的单价（同样是总价除以数量），因为A款数量比B款多50个，所以x 50表示B款实验套装的数量，那么x就表示A款实验套装的数量；在中，根据“总价÷单价=数量”，表示A款实验套装的数量， 表示B款实验套装的数量，方程的差值为50，符合“A款数量比B款多50个”这一条件，所以y表示B款实验套装的单价。
（2）分别解分式方程并检验即可．
（1）解：对于甲：表示的是：款实验套装的单价是款实验套装单价的倍，
∴分别表示款实验套装和款实验套装的单价，
∴表示款实验套装的数量；
对于乙：表示的是：款实验套装的数量比款实验套装的数量多50个，
∴，分别表示表示款实验套装和款实验套装的数量，
∴表示购买款实验套装的单价；
故答案为：款实验套装的数量；购买款实验套装的单价；
（2）解：选甲：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元），（元）；
选乙：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元．
24．（2025八上·易县期末）如图，在中，，过点引一条射线，是上的一点．
（1）【问题解决】
如图1，若，射线在的内部，，求证：．
小明的做法：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，，当射线在的内部时，求的度数．
（3）【变式迁移】
如图3，，当射线在的下方时，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，，；（2）证明：在上取一点E，，，，，，，，，，，即，在和中，，；
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在上取一点E，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（3）∠BDC=80°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
（3）解：在延长线上取一点E，使得，则，
同理①的方法可证：，
，
．
【分析】
（1）已知∠ADC=60°，取AE=AD，可构造等边三角形△ADE，得到∠EAD=60°。又因为AB=AC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，即∠BAC=60°。由此可推出∠CAE=∠BAD，进而证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ADB，最后得出∠BDC的度数；
（2）同样在CD上取一点E，使AE=AD，构造等腰三角形△ADE，求出∠EAD的度数。再由AB=AC和∠ABC的度数求出∠BAC的度数，进而得到∠CAE=∠BAD，证明△BAD和△CAE全等，求出∠ADB，从而得出∠BDC的度数。；
（3）在DC的延长线上取一点E，使AE=AD，构造等腰三角形△ADE。求出相关角度，证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ADB，进而得到∠BDC的度数。
1 / 1河北省保定市易县2024-2025学年上学期期末考试八年级数学试题
1．（2025八上·易县期末）科技融入生活，绿色引领未来．下列新能源汽车标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·易县期末）在中作边上的高，下列画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·易县期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解，并且正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·易县期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
5．（2025八上·易县期末）如图，为了估计池塘两岸，的距离，琪琪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（　　）
A．3米 B．14米 C．5米 D．9米
6．（2025八上·易县期末）下列运算结果等于的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·易县期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2025八上·易县期末）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·易县期末）如图，的面积为8，与的平分线垂直，垂足为，连接，则的面积为（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．4.5
10．（2025八上·易县期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C． D．且
11．（2025八上·易县期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（　　）
①；②；③；④平分；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025八上·易县期末）“如图，是等腰三角形，，，平分，是射线上的一点．若是等腰三角形，求的度数．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确
B．只有乙正确
C．甲、乙两人合在一起才正确
D．甲、乙、丙三人答案合在一起才完整
13．（2025八上·易县期末）因式分解： 　 　.
14．（2025八上·易县期末）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为　 　．
15．（2025八上·易县期末）当x=　 　时，分式 值为0．
16．（2025八上·易县期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是　 　．
17．（2025八上·易县期末）嘉嘉在计算：时，解答过程如下．
…第一步
……第二步
．………第三步
（1）嘉嘉的解答从第______步开始出错；
（2）请写出正确的解答过程．
18．（2025八上·易县期末）按下列程序计算，并回答下列问题．
______ 3 1 5
输出答案 1 1 ① ②
（1）表格中①的值为______，②的值为______；
（2）根据上述计算，你发现了什么规律？
（3）请说明你发现的规律是正确的．
19．（2025八上·易县期末）尺规作图痕迹如图所示，若，，求的度数．
20．（2025八上·易县期末）八年级数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动．如图，为了测量一幢教学楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，使得，量得．，其中，，求该教学楼的高．
21．（2025八上·易县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点（网格线的交点）上．
（1）请直接写出点关于轴对称的点：的坐标：______；
（2）的面积为______；（直接写出结果）
（3）若为轴上的一点，当最小时，此时点的坐标是______．
22．（2025八上·易县期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
②求的最小值．
．
，
，
即的最小值为．
【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题．
（1）用配方法分解因式：；
（2）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．
①用含有的代数式表示．
②当为何值时，的值最大，最大值是多少？
23．（2025八上·易县期末）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，为激发学生探索科学奥秘的兴趣，某中学购入，两款物理实验套装．已知用12000元购进款实验套装的数量比用5000元购进款实验套装的数量多50个，且款实验套装的单价是款实验套装的单价的1.2倍．求，两款实验套装的单价．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程．
甲：．
乙：．
则甲所列方程中的表示______，乙所列方程中的表示______；
（2）任选其中一种方法，求，两款实验套装的单价．
24．（2025八上·易县期末）如图，在中，，过点引一条射线，是上的一点．
（1）【问题解决】
如图1，若，射线在的内部，，求证：．
小明的做法：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，，当射线在的内部时，求的度数．
（3）【变式迁移】
如图3，，当射线在的下方时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．可以发现该标志沿着中间一条竖直的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，不符合题意；
B．该标志沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
C．该标志沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意；
D．无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形的定义，即如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。对于每个选项中的新能源汽车标志，通过观察其形状，尝试找出能使图形沿着某条直线对折后，直线两侧部分完全重合的直线。若能找到这样的直线，则该图形是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形。
2．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：过点作边的垂线段，即画边上的高，
所以画法正确的是C选项；
故选：C．
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：对9x 6y+3提取公因式，应该得到3(3x 2y+1)，而不是3(3x 2y)，所以该选项因式分解错，A不符合题意；
，故正确，B符合题意；
，是整式乘法，不是因式分解，故错误，C不符合题意；
，不是因式分解，故错误，D不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式”来判断每个选项。对于每个选项，先观察等式右边的形式是否为整式积的形式，若是，再进一步判断其分解是否正确；若不是整式积的形式，则可直接判断该选项不是因式分解。
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得：，
即：，
∴四个选项中只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】
首先通过连接A、B两点，将其与已知的OA、OB构成三角形，然后根据三边关系定理列出关于AB长度的不等式，计算出AB的取值范围，最后将各选项与取值范围进行对比，判断A、B间的距离不可能是哪个选项。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则，对每个选项逐一进行计算，判断其运算结果是否等于a3n。
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①利用整体法计算该图形的面积为(a+b)2，利用分割求和法表示该图形的面积为a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，①符合题意；
②利用整体法计算大正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-2ab+b2，
∴(a-b)2=a2-2ab+b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，②符合题意；
③利用整体法计算大正方形的面积为(a+b)(a-b)，利用分割求和法表示大正方形的面积为a2-b2，
∴(a+b)(a-b)=a2-b2，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，③符合题意；
④利用整体法计算小正方形的面积为(a-b)2，利用分割求和法表示小正方形的面积为 (a+b)2 -4ab，
∴(a-b)2= (a+b)2 -4ab ，故此图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式 ，④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共4个.
故答案为：．
【分析】根据正方形及长方形面积公式，用整体法及分割求和法分别表示出同一个图形的面积，即可验证各个恒等式，从而得出结论.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是，
∴，
又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是，
∴，
故选：C．
【分析】
首先利用正多边形外角和为360°求出正五边形和正方形的外角度数，进而得到它们在顶点B处的内角度数。最后根据图形中角的关系，通过周角减去相关内角的度数得出∠ABC的度数。
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；等积变换
【解析】【解答】解：解：如图，延长交于E，
与的平分线垂直，垂足为，
，，
在与中，
，
，
，，
和等底同高，
，
，
故选：A．
【分析】
延长AP交BC于点Q，因为BP是∠ABC的平分线，所以∠ABP=∠QBP；又因为⊥AP⊥BP，所以∠APB=∠QPB=90°，且BP是公共边。根据全等三角形的判定定理“角边角”（ASA），可以证明△ABP和△QBP全等。从而由等三角形的对应边相等，对应角相等。可得AP=QP，即P是AQ的中点。进而利用等底等高的三角形面积相等这一性质，得出△PBC与△ABQ的面积关系，即△PBC的面积是△ABQ面积的一半；又因为Q在BC上，△ABQ的面积等于△ABC的面积，再三角形面积公式S=ah（a为底，
h为高）求出△ABC的面积即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，即，
解得：，
根据题意得：，且，
解得：，且．
故选：A．
【分析】
先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出方程的解（用含k的式子表示）。然后根据方程的解为正数这一条件得到关于k的一个不等式，解出k的初步取值范围。最后考虑原分式方程分母不能为零这一限制条件，得到关于k的另一个不等式，解出k的限制取值，综合两个条件确定k的最终取值范围。
11．【答案】C
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，
故结论①正确；
根据已知条件不能推出，
故结论②错误；
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，故结论③正确；
，即平分，故结论④正确；
综上所述，正确的结论有，共个，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可.
12．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
可分三种情况讨论：
①当时，如下图，
则；
②当时，如下图，
则；
③当时，如下图，
则，
∴．
综合所述，的度数为或或．
故选：D．
【分析】
在等腰三角形△ABC中，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为180 ，可求出∠ABC和∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，求出∠PBC的度数。然后分情况讨论△BCD为等腰三角形时∠BDC的度数 ：情况一：当BC=CD时，在等腰三角形△BCD中，若BC=CD，则两底角∠BDC和∠DBC相等，而∠DBC=∠PBC=35°，所以可直接得出∠BDC的度数；情况二：当BC=BD时，在等腰三角形△BCD中，若BC=BD，则∠BDC=∠BCD。根据三角形内角和为180°，以及已求出的∠DBC=35°，可求出∠BDC的度数。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．【答案】-1
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：x=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据分式为0的条件，列出方程和不等式， 求出x的值，即可求解.
16．【答案】24
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，
∴，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：24．
【分析】
因为△ABC和△ADE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可知其两个底角相等且为45 ，两直角边相等。进而根据全等三角形的对应角相等，对应边相等，从而得到∠ACD的度数和CD的长度，再计算∠BCD的度数。然后根据已知△DCE中∠BCD=90°，得出△DCE是直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式S=ah（a为底，h为高），以CE为底，CD为高来计算面积即可得出答案．
17．【答案】（1）一
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】
解：嘉嘉的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
【分析】
（1）根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2来判断其计算是否正确。对于(x+2)2，这里a=x，b=2，根据完全平方公式应得到x2+4x+4，而嘉嘉错误地计算成了x2+4，所以嘉嘉的解答从第一步开始出错；
（2）先根据乘法分配律将x(x 2)展开，再根据完全平方公式将(x+2)2展开，然后去括号，最后合并同类项即可求解。
（1）解：嘉嘉的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）；
（2）计算结果都是
（3）解：∵
，
∴输入，计算结果都是．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-程序框图；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意：，
，
则表格中①的值为，②的值为；
（2）
解：根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是；
【分析】
本题考查了代数式求值及分式的运算，寻找规律再计算是解题的关键．（1）根据给定的计算程序，将输入值依次进行平方、乘以5、除以a2、加上的运算，得到输出答案；
（2）当输入a分别为3、1、5、 1时，输出答案均为1，所以规律是无论输入的a（a≠0）取何值，计算结果都是1；
（3）根据计算程序列出关于a的代数式，然后通过整式运算化简该代数式，看化简结果是否恒为1即可得出结论。
（1）解：根据题意：，
，
则表格中①的值为，②的值为；
（2）解：根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是；
（3）解：∵
，
∴输入，计算结果都是．
19．【答案】解：由作图痕迹可得点为的垂直平分线与的平分线的交点，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由作图痕迹可知点D为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点。根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以DA=DB；根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，所以∠ABD=∠CBD。已知∠ADE是△ABD的一个外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ADE=∠DAB+∠DBA，又因为∠DAB=∠DBA，所以可以求出∠DAB和∠DBA的度数，进而求出∠ABC的度数。最后在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可以求出∠ACB的度数。
20．【答案】解：由题意得：，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：教学楼高度为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】首先，根据已知的垂直关系和角度条件，通过直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等，可得出两个三角形中的对应角相等关系。然后，结合已知的边相等条件，利用ASA判定定理证明△CDP和
△PBA全等。最后，根据全等三角形对应边相等的性质，将求教学楼高度AB的问题转化为求线段PD的长度，再通过已知线段的长度关系计算得出结果。
21．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：根据图象得到，
则点关于轴对称的点的坐标为；
（2）
解：的面积为：；
（3）
解：如图，点关于轴对称的点，连接交x轴于点，
由对称的性质得：，则的最小值为，
∴根据网格的特点得：．
【分析】
（1）根据图象得到B的坐标为( 3，3)，结合关于y轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相同直接求解即可得到答案；
（2）利用格点坐标，通过“割补法”，将△ABC放在一个包含它的最小矩形中，用矩形的面积减去周围多余三角形的面积，从而得到△ABC的面积；
（3）作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称的性质可知，PC=PC'，那么求PA+PC的最小值，就转化为求PA+PC'的最小值。连接AC'，AC'与x轴的交点P即为使得PA+PC'（也就是PA+PC）最小的点。在给定的网格中，通过观察和分析网格的特点，确定AC'与x轴交点P的坐标为( 3，0)。
（1）解：根据图象得到，
则点关于轴对称的点的坐标为；
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图，点关于轴对称的点，连接交x轴于点，
由对称的性质得：，则的最小值为，
∴根据网格的特点得：．
22．【答案】（1）解：
；
（2）解：①∵，，∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次函数的最值；三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【分析】
（1）配方法的关键在于通过添加和减去一次项系数一半的平方，将原式构造成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解。对y2 2y进行配方，一次项系数为 2，其一半为 1，平方为1，则y2 2y 15=y2 2y+1 1 15；
（2）①先确定运动时间t的取值范围：点P从A到B所需时间为6÷1=66÷1=6秒，点Q从B到C所需时间为8÷2=48÷2=4秒，因为当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动，所以0<≤40②利用材料中方法配方即可解答；
（1）解：
；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．
23．【答案】（1）款实验套装的数量；购买款实验套装的单价
（2）解：选甲：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元），（元）；
选乙：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元．
【知识点】解分式方程；代数式的实际意义；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：对于甲：表示的是：款实验套装的单价是款实验套装单价的倍，
∴分别表示款实验套装和款实验套装的单价，
∴表示款实验套装的数量；
对于乙：表示的是：款实验套装的数量比款实验套装的数量多50个，
∴，分别表示表示款实验套装和款实验套装的数量，
∴表示购买款实验套装的单价；
故答案为：款实验套装的数量；购买款实验套装的单价；
【分析】
（1）在中，根据“总价÷数量=单价”，左边 表示A款实验套装的单价；右边 表示B款实验套装的单价（同样是总价除以数量），因为A款数量比B款多50个，所以x 50表示B款实验套装的数量，那么x就表示A款实验套装的数量；在中，根据“总价÷单价=数量”，表示A款实验套装的数量， 表示B款实验套装的数量，方程的差值为50，符合“A款数量比B款多50个”这一条件，所以y表示B款实验套装的单价。
（2）分别解分式方程并检验即可．
（1）解：对于甲：表示的是：款实验套装的单价是款实验套装单价的倍，
∴分别表示款实验套装和款实验套装的单价，
∴表示款实验套装的数量；
对于乙：表示的是：款实验套装的数量比款实验套装的数量多50个，
∴，分别表示表示款实验套装和款实验套装的数量，
∴表示购买款实验套装的单价；
故答案为：款实验套装的数量；购买款实验套装的单价；
（2）解：选甲：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元），（元）；
选乙：
，
经检验，是原分式方程的解，
则（元）
答：款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元．
24．【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在和中，，，；（2）证明：在上取一点E，，，，，，，，，，，即，在和中，，；
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在上取一点E，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（3）∠BDC=80°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
（3）解：在延长线上取一点E，使得，则，
同理①的方法可证：，
，
．
【分析】
（1）已知∠ADC=60°，取AE=AD，可构造等边三角形△ADE，得到∠EAD=60°。又因为AB=AC，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，即∠BAC=60°。由此可推出∠CAE=∠BAD，进而证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ADB，最后得出∠BDC的度数；
（2）同样在CD上取一点E，使AE=AD，构造等腰三角形△ADE，求出∠EAD的度数。再由AB=AC和∠ABC的度数求出∠BAC的度数，进而得到∠CAE=∠BAD，证明△BAD和△CAE全等，求出∠ADB，从而得出∠BDC的度数。；
（3）在DC的延长线上取一点E，使AE=AD，构造等腰三角形△ADE。求出相关角度，证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ADB，进而得到∠BDC的度数。
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