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(共24张PPT)
第21章 二次四边形
21.3.2菱形（第2课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路，发展推理能力；
掌握菱形的三种判定方法，能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算，发展应用意识。
02
新知导入
回顾菱形的概念和性质．
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的性质：
1.对边平行，
2.对角相等，
3.菱形的四条边都相等，
4.对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
5.菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
= 底×高 = 对角线乘积的一半
菱形的面积
02
新知讲解
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
还有其他的方法吗
02
新知讲解
思考
我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,
猜想：对角线垂直的平行四边形是菱形.
下面我们一起证明这个结论.
02
新知讲解
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD.
ABCD
求证： ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BA=BC.
∴ ABCD是菱形.
03
新知探究
菱形的判定：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
02
新知讲解
思考
我们知道，菱形是四条边相等的四边形．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
猜想：
四条边相等的四边形是菱形.
求证：四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD,求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
证明：∵AD=BC，AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
03
新知探究
菱形的判定：
四条边相等的四边形是菱形．
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
03
新知讲解
例4
如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
分析：已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形AFCE是平行四边形.由题意可知AO=CO，还需证明EO=FO.
A
B
D
C
F
E
O
1
2
03
新知讲解
例4
如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
D
C
F
E
O
1
2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，∴∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形.
你能利用“四条边相等的四边形是菱形”证明这个例题吗？
03
新知讲解
例4
A
B
D
C
F
E
O
1
2
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，AF=FC，OA=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠1=∠2.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF (ASA).
∴EA=FC,
∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形.
04
课堂练习
基础题
1.下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
C
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BCDE的顶点E在边AB上，连接CE，AD. 添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（　C　）
A. CE⊥AB B. CD⊥AD
C. CD＝CE D. AC＝DE
C
04
课堂练习
基础题
3. 如图，在 ABCD中，过AC的中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF. 只需添加一个条件即可判定四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　AE＝AF　（写出一个即可）.（答案不唯一）
AE＝AF　
（答案不唯一）
04
课堂练习
基础题
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形.
解：∵ AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴ AB2＝OA2＋OB2.
∴ ∠AOB＝90°.
∴ AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形
04
课堂练习
提升题
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，DE＝2，则四边形OCED的面积为（　A　）
B. 4 D. 8
A
04
课堂练习
提升题
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG，DH分别平分∠ABC，∠ADC，交AD，BC于点G，H，要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 　1＋ 　.
1＋ 　
04
课堂练习
拓展题
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B＝∠ADF. ∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△AEB和△AFD中，
∴ △AEB≌△AFD. ∴ AB＝AD.
∴ 四边形ABCD是菱形
04
课堂练习
拓展题
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
（2） 连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG＝30°，AE＝2，求AG的长.
（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.
∴ ∠EAG＝∠AEB＝90°，∠G＝∠CEG＝30°.
∴ 在Rt△AEG中，EG＝2AE＝4.
∴ 由勾股定理，得AG＝ ＝2
05
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
06
板书设计
21.3.2菱形（第2课时）
菱形的判定：
Thanks!
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