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(共25张PPT)
第21章 二次四边形
21.3.3正方形（第2课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；
掌握正方形的判定方法，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算，发展推理能力和应用意识.
02
新知导入
正方形的性质：
1.对边平行且相等；
2.对角线互相垂直、平分且相等，对角线平分对角；
3.四个角都是直角；
4.四条边都相等；
5.既是中心对称图形，也是轴对称图形.
02
新知讲解
做一做
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
02
新知讲解
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
02
新知讲解
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
矩形
做一做
02
新知讲解
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD.
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
02
新知讲解
从平行四边形出发：
证明有一个内角是直角，有一组邻边相等. (定义法)
平行四边形
一组邻边相等
一个内角是直角
正方形
02
新知讲解
从四边形出发呢？
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
两组对角分别相等
有一个角是直角(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
有三个角是直角
四条边都相等
02
新知讲解
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
正方形
①有一个直角
②对角线相等
先判定矩形
正方形
①一组邻边相等
②对角线垂直
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
02
新知讲解
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
03
新知讲解
例6
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是正方形．
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由 △AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
A
B
C
D
H
G
F
E
03
新知讲解
例6
A
B
C
D
H
G
F
E
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180(∠1+∠3)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
04
课堂练习
基础题
1. 下列说法中，正确的是（　D　）
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 四角相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
04
课堂练习
基础题
2. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC与BD互相平分，且交于点O，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 　AB＝BC　（只填一个即可）.（答案不唯一）
AB＝BC　
（答案不唯一）
04
课堂练习
基础题
3. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE＝CE，求证：四边形AECF是正方形.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC.
∵ CF⊥AD，AE⊥BC，
∴ ∠BCF＝∠AFC＝∠DAE＝∠AEC＝90°.
∴ 四边形AECF是矩形.∵ AE＝CE，
∴ 四边形AECF是正方形
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BE，CE的中点，要使四边形EGFH是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（　B　）
A. BC＝AB B. BC＝2AB
C. BC＝ AB D. BC＝ AB
B
04
课堂练习
提升题
2. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动）.设运动时间为ts，连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝ 　3　时，四边形DEBF为正方形.
3　
04
课堂练习
拓展题
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CE，CF，AF.
（1） 求证：四边形AECF是正方形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵ BE＝DF，∴ OB－BE＝OD－DF.
∴ OE＝OF. ∴ 四边形AECF是平行四边形.
∵ AC⊥BD，∴ AECF是菱形.又∵ AC＝EF，
∴ 菱形AECF是正方形
04
课堂练习
拓展题
（2） 若AB＝ ，OB＝3 ，求AE的长.
（2） ∵ AC⊥BD，AB＝ ，OB＝3 ，
∴ 在Rt△OAB中，由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝2 .由（1），可知四边形AECF是正方形，∴ OE＝OA＝2 .
∴ 在Rt△OAE中，由勾股定理，得AE＝ ＝ ＝4
05
课堂小结
正方形的判定
从平行四边形出发
从矩形出发
从菱形出发
一组邻边相等+一个角是直角
矩形+一组邻边相等
矩形+对角线互相垂直
菱形+有一个角是直角
菱形+对角线相等
06
板书设计
21.3.3正方形（第2课时）
正方形的判定：
Thanks!
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