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(共28张PPT)
第21章 二次四边形
21.3.2菱形（第1课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题，发展抽象能力和应用意识；
经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法，发展推理能力.
02
新知导入
回顾平行四边形的概念和性质．
概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
性质：
平行四边形的对角线互相平分.
02
新知讲解
前面我们已经学行四边形，我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组邻边相等时，它还是平行四边形吗？
它是一个特殊的平行四边形
那它是什么图形呢？
03
新知探究
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
02
新知讲解
思考
菱形也是常见的几何图形，你还能举出一些例子吗？
类似于对矩形的研究，我们重点研究菱形的性质和判定.
02
新知讲解
思考
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可从边、角、对角线作进一步的分析.
猜想：
你能推理证明吗？
A D
B C
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
02
新知讲解
证一证
如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O，
求证:（1）AB=BC=CD=AD；
A
B
C
O
D
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC
∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD
03
新知探究
菱形的性质定理：
菱形的四条边都相等。
A
B
C
O
D
符号语言表示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD.
02
新知讲解
证一证
如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O，
求证:（2）AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
A
B
C
O
D
证明:(2)∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
03
新知探究
菱形的性质定理：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
符号语言表示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，
∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
02
新知讲解
每条对角线所在的直线
轴对称图形
对称性：_________________________
对称轴：_________________________
利用折纸、剪切的方法，剪出一个菱形的纸片. 在剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形（如图），并回答以下问题:
菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
02
新知讲解
探究
平行四边形的对角线可以把平行四边形分成什么？菱形的对角线可以把菱形分成什么？
B
C
D
A
O
平行四边形一般只被分成两对全等的三角形，
菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
B
A
D
O
C
02
新知讲解
由菱形两条对角线的长，能求出它的面积吗？
分析：
已知菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.因此只须求出一个直角三角形的面积就能求得菱形的面积.
推导：
S菱形ABCD= 4×S△ABO= 4×AO·BO
= ×2AO×2BO = AC·BD.
B
A
D
O
C
探究
菱形的面积公式
菱形的面积=对角线长的乘积的一半.
S菱形ABCD = AC·BD.
02
新知讲解
探究
方法一：
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴过点A作AE⊥BC于点E，S菱形ABCD= 底×高= BC·AE.
方法二：
∵菱形由两个全等的等腰三角形构成，且AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)= AC·BD.
还有其他方法求菱形的面积吗？
B
A
D
O
C
E
菱形的面积公式
菱形的面积=底高.
S菱形ABCD=BC·AE.
03
新知讲解
例3
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
在Rt△ABO中，AO= AB= ×20=10，
BO===10.
A
C
B
D
O
03
新知讲解
例3
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
A
C
B
D
O
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20 m，
BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积
S菱形ABCD=4×S△ABO= 4×AO·BO=200≈346.4(m2).
04
课堂练习
基础题
1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE. 若OE＝3，则菱形的边长为（　A　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A
04
课堂练习
基础题
2. 如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则边AB上的高CE是（　D　）
A. 2.4 B. 4.8
C. 10 D. 9.6
D
3. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上.若AE＝AC，则∠BAE的度数为 　115°　.
115°　
04
课堂练习
基础题
4. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN. 求证：∠DMN＝∠DNM.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD＝CD，∠A＝∠C.
在△DAM和△DCN中，
∴ △DAM≌△DCN.
∴ DM＝DN.
∴ ∠DMN＝∠DNM
04
课堂练习
提升题
1. 如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是边BC的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　A　）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
A
2. 如图，四边形ADCE是菱形，过点C作CB⊥AC，交AD的延长线于点B. 若AE＝ ，BC＝4，则AC的长为 　2　.
2　
04
课堂练习
拓展题
如图，在菱形ABCD中，P是边BC上一点，连接AP，E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF. 求证：
（1） △ABF≌△DAE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝DA，AD∥BC. ∴ ∠BPF＝∠DAE.
∵ ∠ABC＝∠AED，∴ ∠BAF＝∠ADE.
∵ ∠ABF＝∠BPF，∠BPF＝∠DAE，
∴ ∠ABF＝∠DAE.
在△ABF和△DAE中，
∴ △ABF≌△DAE
04
课堂练习
拓展题
如图，在菱形ABCD中，P是边BC上一点，连接AP，E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF. 求证：
（2） DE＝BF＋EF.
（2） 由（1），得△ABF≌△DAE，
∴ BF＝AE，AF＝DE.
∴ AF＝AE＋EF＝BF＋EF.
∴ DE＝BF＋EF
05
课堂小结
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角
是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
06
板书设计
21.3.2菱形（第1课时）
1.菱形的定义：
2.菱形的性质：
Thanks!
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