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第六章《实数》基础卷—沪科版数学七（下）分层单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2025七下·三台月考）的算术平方根的平方根（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2024七下·绥中期中）下列结论正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．没有立方根
C．平方根等于本身的数是0 D．
3．（2023七下·浏阳期末）一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．（2024七下·广安月考）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．2与
5．（2025七下·黄埔期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2025七下·三台月考）下列各数：…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025七下·浦北月考）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·宾阳期末）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·惠城期末）在，，，这四个数中，最小的数是(　　)
A． B． C． D．
10．（2025七下·蓬江月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2020七下·北京月考）写出一个比2大且比3小的无理数：　 　．
12．（2025七下·潮阳期中）若，，且，则的值为　 　．
13．（2025七下·富顺期末）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为　 　．
14．（2025七下·绵阳月考）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为　 　．
15．（2025七下·珠海期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是　 　．
16．（2024七下·东西湖期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作就能变为1．类似地，对81只需进行3次操作也能变为1，那么只需进行3次操作就能变为1的所有正整数中，最大的是　 　.
三、解答题：共9题，共计72分
17．（2025七下·中江月考）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
18．（2025七下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
19．（2025七下·芙蓉月考）解方程：
（1）
（2）
20．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
21．（2024七下·瑞金期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：即，所以的整数部分为2，小数部分为，诱根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
22．（2025七下·珠海期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽：
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断，
23．（2025七下·柳州期中）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗 请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是9，，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：______．
24．（2025七下·邕宁期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）求修改后长方形的周长；
（3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
25．（2024七下·新余期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，，2的平方根为，
∴的算术平方根的平方根为，
故选：A．
【分析】根据算术平方根与平方根的定义计算即可求得.
2．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、64的立方根是4，故该选项错误；
B、的立方根是，故该选项错误；
C、平方根等于本身的数是0，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【分析】根据平方根与立方根的性质，算术平方根的意义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方体原来的棱长为a，体积扩大后的棱长为b，根据题意，得：
则b=2a
故答案为：A
【分析】本题考查立方根的应用。根据正方体的体积变化，可得棱长的数量关系。
4．【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意；
B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
故选A．
【分析】
本题考查相反数的定义及算术平方根、立方根、绝对值的化简.解题时需先化简各选项中的数（如算术平方根、立方根、绝对值的化简），再根据相反数的定义判断.
5．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故答案为：C．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，则正数x就是a的算术平方根，据此求出16的算术平方根，然后判断其与2的大小，如果不小于2，将其作为新的输入数再求算术平方根，这样循环下去直至所求算术平方根小于2输出即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），
其中无理数的是（相邻两个2之间5的个数逐次加1），共2个，
故选：B ．
【分析】根据无理数的定义可知无理数是无限不循环小数，即可求得.
7．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置．
C、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
D、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
故选：B．
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：B.
【分析】利用实数相反数的定义及表示方法分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
，
在四个实数：，，，中，
，
最小的数是，
故答案为：．
【分析】根据平方法先比较-2与的大小，然后再根据正数大于0，0大于负数，即可解答．
10．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在6和7之间．
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
11．【答案】 （答案不唯一：如 只要 即可）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∵一个比2大且比3小的无理数，
∴只要满足 即可；
∴如 ；
故答案为：
【分析】根据算术平方根的定义有 ，这样就可得到满足条件的无理数．
12．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
则的值为，
故答案为：．
【分析】本题考查平方根、立方根的计算以及有理数的符号判定，解题时先分别求出的平方根和的立方根，再根据确定的具体取值，最后将、的值代入代数式，按照有理数的减法法则计算即可。
13．【答案】8
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：8．
【分析】根据新运算列出算式，再根据算术平方根和立方根的运算计算即可.
14．【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：每个方块的体积为，
每个方块的边长为.
故答案为：.
【分析】先求出每个方块的体积，再求得每个方块的边长即可．
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；线段的中点
【解析】【解答】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长，
∴点的位置表示的实数为，
∴中点表示的实数为．
故答案为：．
【分析】本题考查圆的周长公式、数轴上点的平移规律以及数轴上两点间中点表示的数的计算方法，解题时先根据圆的周长公式（）求出圆滚动一周的长度为，点沿数轴向左滚动一周，即数轴上的点从向左移动个单位，得到点表示的数为，再根据数轴上两点中点的计算公式，代入点和点的数值，计算出中点表示的数。
16．【答案】255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
，，
而256＞255＞254
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为：255.
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出第2次操作后的数字是2或3，再向前一步推开方后取整是3的最大整数为15，继续得到取整是15的最大整数为255.
17．【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，
∴正实数集合{②，④，…}；
无理数集合{③，④，…}；
整数集合{②，⑤，⑦，…}；
分数集合{①，⑥，…}．
故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥．
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无限不循环小数称为无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此进行分类即可.
18．【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用有理数的乘方和算术平方根的性质化简，再计算即可.
（1）
；
（2）
．
19．【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：或；
（2）解：，
整理得：
，
．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）把x-2看成一个整体，根据平方根的定义，若()，则，求解即可；
（2）把x+10看成一个整体，先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时除以2将未知数项的系数化为1，进而根据立方根定义，若，则，求解即可.
（1）解：，
∴，
∴或，
解得：或；
（2）解：，
整理得：
，
．
20．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
21．【答案】（1）5；
（2）解：的整数部分为3，即a＝3，
的整数部分为4，即b＝4，
∴12a+7b＝12×3+7×4＝36+28＝64，．
∵64的立方根是4，∴12a+7b的立方根是4．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】（1），
整数部分是5， 小数部分是 .
故答案为：5；.
【分析】（1）估算无理数的范围，进而可得整数部分；用减去整数部分即可得到小数部分；
（2）先求出a、b的值，再代入求出立方根即可.
22．【答案】（1）解：设长方形信封的长为，宽为，由题意得：，
解得：，
∴长方形信封的长为：，宽为：；
（2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．理由如下：∵，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴，
∴能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的实际应用，以及长方形、正方形的面积公式，核心是通过面积公式列方程求解边长，再比较边长大小判断贺卡能否放入。
(1)解题时设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积公式列出方程，解方程求出的值，进而求出长方形的长和宽；
(2)解题时先根据正方形面积公式（为边长）求出正方形贺卡的边长为，再比较贺卡边长与信封宽的大小，通过比较和的大小，推出与的大小关系，从而判断能否放入。
（1）解：设长方形信封的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
∴长方形信封的长为：，宽为：；
（2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．理由如下：
∵，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴，
∴能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．
23．【答案】（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23.
（2）0.81
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（2）解：第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23；
（2）第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
24．【答案】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为.
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为.
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）设长方形的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（3）先利用估算无理数大小的方法化简，再比较大小即可.
（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为，
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为，
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
25．【答案】解：（1），；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长为，进而可得出数轴上点A和点B表示的数，得到答案；
（2）根据长方形的面积得正方形的面积为5，进而得到正方形的边长，再画出图象，即可求解；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即为a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N，即可得到答案．
1 / 1第六章《实数》基础卷—沪科版数学七（下）分层单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2025七下·三台月考）的算术平方根的平方根（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，，2的平方根为，
∴的算术平方根的平方根为，
故选：A．
【分析】根据算术平方根与平方根的定义计算即可求得.
2．（2024七下·绥中期中）下列结论正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．没有立方根
C．平方根等于本身的数是0 D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、64的立方根是4，故该选项错误；
B、的立方根是，故该选项错误；
C、平方根等于本身的数是0，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【分析】根据平方根与立方根的性质，算术平方根的意义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2023七下·浏阳期末）一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（　　）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方体原来的棱长为a，体积扩大后的棱长为b，根据题意，得：
则b=2a
故答案为：A
【分析】本题考查立方根的应用。根据正方体的体积变化，可得棱长的数量关系。
4．（2024七下·广安月考）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．2与
【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意；
B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
故选A．
【分析】
本题考查相反数的定义及算术平方根、立方根、绝对值的化简.解题时需先化简各选项中的数（如算术平方根、立方根、绝对值的化简），再根据相反数的定义判断.
5．（2025七下·黄埔期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故答案为：C．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，则正数x就是a的算术平方根，据此求出16的算术平方根，然后判断其与2的大小，如果不小于2，将其作为新的输入数再求算术平方根，这样循环下去直至所求算术平方根小于2输出即可.
6．（2025七下·三台月考）下列各数：…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），
其中无理数的是（相邻两个2之间5的个数逐次加1），共2个，
故选：B ．
【分析】根据无理数的定义可知无理数是无限不循环小数，即可求得.
7．（2025七下·浦北月考）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置．
C、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
D、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置．
故选：B．
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
8．（2024七下·宾阳期末）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：B.
【分析】利用实数相反数的定义及表示方法分析求解即可.
9．（2024七下·惠城期末）在，，，这四个数中，最小的数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
，
，
在四个实数：，，，中，
，
最小的数是，
故答案为：．
【分析】根据平方法先比较-2与的大小，然后再根据正数大于0，0大于负数，即可解答．
10．（2025七下·蓬江月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在6和7之间．
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2020七下·北京月考）写出一个比2大且比3小的无理数：　 　．
【答案】 （答案不唯一：如 只要 即可）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∵一个比2大且比3小的无理数，
∴只要满足 即可；
∴如 ；
故答案为：
【分析】根据算术平方根的定义有 ，这样就可得到满足条件的无理数．
12．（2025七下·潮阳期中）若，，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
则的值为，
故答案为：．
【分析】本题考查平方根、立方根的计算以及有理数的符号判定，解题时先分别求出的平方根和的立方根，再根据确定的具体取值，最后将、的值代入代数式，按照有理数的减法法则计算即可。
13．（2025七下·富顺期末）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：8．
【分析】根据新运算列出算式，再根据算术平方根和立方根的运算计算即可.
14．（2025七下·绵阳月考）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为　 　．
【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：每个方块的体积为，
每个方块的边长为.
故答案为：.
【分析】先求出每个方块的体积，再求得每个方块的边长即可．
15．（2025七下·珠海期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；线段的中点
【解析】【解答】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长，
∴点的位置表示的实数为，
∴中点表示的实数为．
故答案为：．
【分析】本题考查圆的周长公式、数轴上点的平移规律以及数轴上两点间中点表示的数的计算方法，解题时先根据圆的周长公式（）求出圆滚动一周的长度为，点沿数轴向左滚动一周，即数轴上的点从向左移动个单位，得到点表示的数为，再根据数轴上两点中点的计算公式，代入点和点的数值，计算出中点表示的数。
16．（2024七下·东西湖期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作就能变为1．类似地，对81只需进行3次操作也能变为1，那么只需进行3次操作就能变为1的所有正整数中，最大的是　 　.
【答案】255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
，，
而256＞255＞254
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.
故答案为：255.
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出第2次操作后的数字是2或3，再向前一步推开方后取整是3的最大整数为15，继续得到取整是15的最大整数为255.
三、解答题：共9题，共计72分
17．（2025七下·中江月考）判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：，，
∴正实数集合{②，④，…}；
无理数集合{③，④，…}；
整数集合{②，⑤，⑦，…}；
分数集合{①，⑥，…}．
故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥．
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无限不循环小数称为无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此进行分类即可.
18．（2025七下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解；
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用有理数的乘方和算术平方根的性质化简，再计算即可.
（1）
；
（2）
．
19．（2025七下·芙蓉月考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：或；
（2）解：，
整理得：
，
．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）把x-2看成一个整体，根据平方根的定义，若()，则，求解即可；
（2）把x+10看成一个整体，先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时除以2将未知数项的系数化为1，进而根据立方根定义，若，则，求解即可.
（1）解：，
∴，
∴或，
解得：或；
（2）解：，
整理得：
，
．
20．（2025七下·义乌开学考）如果为的算术平方根，为的立方根，求的平方根．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根与立方根的定义，列出方程组求出、的值，进而求出2a-3b的平方根．
21．（2024七下·瑞金期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：即，所以的整数部分为2，小数部分为，诱根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
【答案】（1）5；
（2）解：的整数部分为3，即a＝3，
的整数部分为4，即b＝4，
∴12a+7b＝12×3+7×4＝36+28＝64，．
∵64的立方根是4，∴12a+7b的立方根是4．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】（1），
整数部分是5， 小数部分是 .
故答案为：5；.
【分析】（1）估算无理数的范围，进而可得整数部分；用减去整数部分即可得到小数部分；
（2）先求出a、b的值，再代入求出立方根即可.
22．（2025七下·珠海期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽：
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断，
【答案】（1）解：设长方形信封的长为，宽为，由题意得：，
解得：，
∴长方形信封的长为：，宽为：；
（2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．理由如下：∵，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴，
∴能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题考查算术平方根的实际应用，以及长方形、正方形的面积公式，核心是通过面积公式列方程求解边长，再比较边长大小判断贺卡能否放入。
(1)解题时设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积公式列出方程，解方程求出的值，进而求出长方形的长和宽；
(2)解题时先根据正方形面积公式（为边长）求出正方形贺卡的边长为，再比较贺卡边长与信封宽的大小，通过比较和的大小，推出与的大小关系，从而判断能否放入。
（1）解：设长方形信封的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
∴长方形信封的长为：，宽为：；
（2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．理由如下：
∵，
∴正方形贺卡的边长为．
∵，
∴，
∴能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．
23．（2025七下·柳州期中）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗 请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是9，，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：______．
【答案】（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23.
（2）0.81
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（2）解：第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23；
（2）第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
24．（2025七下·邕宁期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）求修改后长方形的周长；
（3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为.
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为.
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）设长方形的长为，宽为，利用长方形的面积列出方程，再求解即可；
（3）先利用估算无理数大小的方法化简，再比较大小即可.
（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为，
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
由修改后的长方形的长、宽之比为，
设长方形的长为，宽为，
由其面积为，
所以，
即，
解得（负值舍），
长方形的周长为，
（3）解：，
∴，
∴铁丝够用．
25．（2024七下·新余期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【答案】解：（1），；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长为，进而可得出数轴上点A和点B表示的数，得到答案；
（2）根据长方形的面积得正方形的面积为5，进而得到正方形的边长，再画出图象，即可求解；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即为a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N，即可得到答案．
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