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第七章《一元一次不等式与不等式组》提升卷—沪科版数学七（下）分层单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
2．（2024七下·海兴期末）设n为正整数，且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先估算的大小，然后结合不等式的性质即可得到的范围，据此即可得到的值.
3．（2025七下·天河期末）已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y，当x分别取值时对于y的值如表所示，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 ﹣1 …
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，将
分别代入ax+b=y
解得
∴ax+b＜0可化为-x+2＜0
解得x＞2
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据建立方程组，解出a，b的值后代入到不等式中，解不等式得到x的取值范围。
4．（2026八上·余姚期末） 一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分。小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　）
A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，
依题意，得：5x-2(20-1-x)>80，
解得：
∵x为正整数，
∴x的最小值为17.
即最少答对17题，
∴小聪至多答错了3道题.
故答案为：B.
【分析】设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论.
5．（2025八上·义乌期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
6．（2025八上·滨江期中） 已知x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解， 则关于x的不等式k（x-3）+3b>0的解集是（　　）
A．x<3 B．x>3 C．x<9 D．x>9
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵ x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解，
∴2k+b=0，
解得b=-2k，
∵b>0，
∴-2k>0，即k<0，
则不等式 k（x-3）+3b>0 为 k（x-3）-6k>0
∴x-3-6<0，
解得x<9，
故答案为：C.
【分析】先把x=2代入方程求出b=-2k，然后得到k<0，再代入不等式先去k，解不等式即可.
7．（2026八上·宁波期末） 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得2a-1≤2a<0，即有.
故答案为：B .
【分析】求解不等式组可得其解集，根据3个整数角可得2a的范围，即得a的范围.
8．（2026八上·南湖期末）定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
9．（2025七下·藤县月考）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得，
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，得到租赁乙型客车辆，结合全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可得到答案．
10．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2022七下·常宁期末）若，且，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵若，且，
∴，
则；
故答案为：．
【分析】由不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，可得，求解即可.
12．（2026八上·金东期末）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：　 　．
【答案】x+1<3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据数轴表示的解集可得不等式为x+1<3，
故答案为：x+1<3.
【分析】根据数轴上表示的解集写出不等式即可.
13．（2024七下·合肥期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，第一次运行的结果为2x-3，第二次运行的结果为2(2x-3)-3，第三次运行的结果为2[2(2x-3)-3]-3，而运行三次才停止，故
2x-3<30①，
2(2x-3)-3≤30②，
2[2(2x-3)-3]-3>30③，
解得x<，x≤，x>
故
【分析】先将第一次、第二次、第三次运行的结果列出，根据第3次才停止得到不等关系，解不等式组即可.
14．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
15．某企业要购进两款机器狗共5只．如图所示，已知Cyber Dog2单价是1.3万元/只，Unitree Go2单价是1万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过6.2万元，则Cyber Dog2最多可以购进　 　只.
【答案】4
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设 Cyber Dog2购进 x只，则 Unitree Go2 购进(5-x)只，
据题意得 1.3x+(5-x)≥6.2，
解得 x≤4，
∴ Cyber Dog2最多可以购进 4只，
故答案为：4.
【分析】根据题意列出不等式，并求出其最大整数解.
16．（2024八上·北京市月考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据路程、速度、时间三者之间的关系：路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围，即可得出答案．
三、解答题：共9题，共计72分
17．（2025八上·柯桥期末）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：9x-1＞7x+3，
移项，得：9x-7x＞3+1，
合并同类项，得：2x＞4，
系数化为1，得：x＞2.
（2）解：，
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x≤3，
将不等式①②的解集在数轴上表示：
∴原不等式组的解集为-1＜x≤3.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集并在数轴上表示即可求出不等式组的解集．
（1）解：，
移项，合并同类项，得，
解得；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
18．（2024八上·常德期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解．
【答案】解： ，
解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示不等式的解集：
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式，进而得到不等式组的解集，最后再画数轴表示，找出不等式组的整数解即可．
19．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”。
（1）判断：（正确的画“√”，错误的画“×”）
①当输入x=3后，程序操作仅进行一次就停止。（　　）
②当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入的数大。（　　）
（2）探究：是否存在正整数x，使程序能进行两次操作，并且输出结果小于12 若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）×：√
（2）解：因为程序要进行两次操作，所以第一次操作的结果 2x+5≤0。
第二次操作是对 2x+5进行同样的运算，其结果为 2( 2x+5)+5，且0< 2( 2x+5)+5<12。
解不等式 2x+5≤0，解得x≥，
解不等式0< 2( 2x+5)+5<12：
先解 2( 2x+5)+5>0，
解得x>；
再解 2( 2x+5)+5<12，
解得x< 。
综合起来，不等式组的解集为 ≤x< 。
又因为x为正整数，所以x=3或x=4。
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：①当x=3时，第一次操作的结果为3×( 2)+5= 6+5= 1，
因为 1<0，不满足停止条件，所以程序操作仅进行一次就停止这种说法是错误的，应画“×”；
②设输入的负数为x，经过程序运算后的结果为y= 2x+5。
y x=( 2x+5) x= 3x+5。
因为x<0，
所以 3x>0，
那么 3x+5>0，即y x>0，
所以y>x，也就是输出的结果总比输入数大，这种说法是正确的，应画“√”。
【分析】（1）①将x=3代入运算式x×( 2)+5，计算出第一次操作后的结果，再根据程序停止的条件（结果大于0时停止）判断是否仅进行一次操作就停止；②设输入的负数为x，计算出经过程序运算后的结果表达式，然后通过作差法比较运算结果与输入数的大小关系；
（2）要使程序能进行两次操作，那么第一次操作的结果不大于0；并且第二次操作的结果要小于12。根据这两个条件列出关于x的不等式组，求解不等式组得到x的取值范围，再结合x为正整数这一条件，确定符合条件的x的值。
20．（2025七下·长沙期末）对x，y定义一种新运算T，
规定：T（x，y）=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+2b×1-1=2b-1.
（1）已知T（1，-1）=-6，T（4，2）=3.
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【答案】（1）解：①根据题意得：
，
解得：，
②由题意得：，
则可以化为，
解得：，
恰有2个整数解，
故
解得
（2）解：∵对任意实数x，y都成立
即对任意实数都成立
即
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；
②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可；
（2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案．
21．（2024八上·雨花开学考）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
（3）该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，利用“销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”列出方程组求解即可；
（2）利用“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组求解即可；
（3）先求出每种方案的费用，再比较大小即可.
（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
22．
（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≤2”可理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2.则：
①“|a|＞2”可理解为　 　；
②请列举3个不同的整数a，使不等式|a|＜2成立．列举的a的值是　 　，　 　，　 　．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＞m”“|x|＜m”（m为非负数)的不等式称为绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
　　　
由图①可得，绝对值不等式|x|≤3的解集是－3≤x≤3；由图②可得，绝对值不等式|x|≥4的解集是x≤－4或x≥4.则：
①不等式|x|＜5的解集是　 　；
②不等式≥3的解集是　 　．
（3）【灵活运用】求不等式|－x＋4|≤1的解集.
【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；-1；0；1
（2）－5＜x＜5；x≥6或x≤－6
（3）解：∵|－x＋4|≤1，
根据数轴知：－1≤－x＋4≤1，
解得 3≤x≤5.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；绝对值的概念与意义；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）∵“|a|”的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离，
∴“|a|＞2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2.
|a|＜2 可理解为 数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
结合数轴知，这样的整数a有：-1，0，1.
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；-1，0，1.
（2）如图，
据图知 ：不等式|x|＜5的解集 -5∵≥3 ，
∴，
借助数轴表示如图，
据图知，不等式解集为x≥6或x≤-6，
即不等式≥3的解集是x≥6或x≤-6，
故答案为：－5＜x＜5；x≥6或x≤－6.
【分析】（1）根据“|a|”的几何意义作答.
（2）根据“|a|”的几何意义，借助数轴解不等式.
（3）根据“|a|”的几何意义，借助数轴解不等式.
23．（2024七下·衡阳期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程．
（1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由；
（2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围；
（3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围．
【答案】（1）解：
，
解得：，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义可得，再求出a的取值范围即可；
（3）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分类讨论求解即可.
（1）解：
，
解得，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
24．（2024七下·西塘期末）近年来我国航天技术进入应用和发展新阶段：天问一号探访火星，空间站迎来“访客”，嫦娥六号月球背面取土壤……，航天延续精彩，不断创新，积极面向星辰大海，这给许多中学生在心中种下了一个航天梦.某航模专卖店有A，B两款热销的航模玩具，以下是小红和小刘同学的一段对话：
（1）求A，B两款航模玩具的单价；
（2）某航模社计划购买A，B两款航模玩具共15个（两款都购买），恰逢该航模专卖店周年店庆，A款航模玩具打八折，B款航模玩具打九折
①若预算不超过1150元，则最多购买A款航模玩具多少个？
②若购买A款航模玩具的数量不少于B款航模玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由
【答案】（1）解：设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款航模玩具的单价为100元，B款航模玩具的单价为80元.
（2）解：①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∵m取正整数，
∴m的最大值为8，
答：最多购买A款航模玩具8个，
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∴，
∵n取正整数，
∴n可取的值为12，13，14，
方案一：购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个；
总费用：元，
方案二：购买A款航模玩具13个，则购买B款航模玩具2个；
总费用：元，
方案三：购买A款航模玩具14个，则购买B款航模玩具1个；
总费用：元，
∵，
∴当购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个最省钱．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，根据题意可得，再求解即可；
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，根据“ 购买A款航模玩具的数量不少于B款航模玩具的3倍 ”列出不等式，再求出n的取值范围，最后求出每种方案的费用，最后比较大小即可.
（1）解：设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款航模玩具的单价为100元，B款航模玩具的单价为80元；
（2）①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∵m取正整数，
∴m的最大值为8，
答：最多购买A款航模玩具8个，
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，解得：，
∴，
∵n取正整数，
∴n可取的值为12，13，14，
方案一：购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个；
总费用：元，
方案二：购买A款航模玩具13个，则购买B款航模玩具2个；
总费用：元，
方案三：购买A款航模玩具14个，则购买B款航模玩具1个；
总费用：元，
∵，
∴当购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个最省钱．
25．（2025八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
【答案】解：任务1：设长方体的高度为x cm，
根据题意可列方程为：60-2x=2（40-2x），
解得：x=10，
答：长方体的高度为；
任务2：设图1方式需要裁剪m张木板，图2方式需要裁剪（100-m）张木板，
∴，
∴，
∴m的整数解有：83，84，85，
∴共有3种方案：①83张木板按图1方式裁剪，17张木板按图2方式裁剪；
②84张木板按图1方式裁剪 ，16张木板按图2方式裁剪 ；
③85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ；
任务3：由任务2中的三种方案，根据题意可得，
①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额=（83-17×3）×20+17×3×30+83×4×5=3830（元）；
②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额=（84-16×3）×20+16×3×30+84×4×5=3840（元）；
③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额=（85-15×3）×20+15×3×30+85×4×5=3850（元）；
综上所述：方案③利润最大，85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ，最大利润为3850-15×100=2350（元）．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务1：由图1，根据“底面长与宽之比为”列一元一次方程求解即可；
任务2：根据题意中“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列一元一次不等式组求解即可；
任务3：根据任务2，计算出每种方案的销售额即可得出答案.
1 / 1第七章《一元一次不等式与不等式组》提升卷—沪科版数学七（下）分层单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（2025七下·田阳期中）下列不等式运算不一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
2．（2024七下·海兴期末）设n为正整数，且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025七下·天河期末）已知关于x，y的二元一次方程ax+b＝y，当x分别取值时对于y的值如表所示，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 2 1 0 ﹣1 …
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
4．（2026八上·余姚期末） 一次垃圾分类知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分。小明有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小明至多答错了（　　）
A．4道题 B．3道题 C．2道题 D．1道题
5．（2025八上·义乌期中）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=ab-2a.如：15=1×5-2×1=3，则不等式3x≥x-2的解集为是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＞-2 D．x≥-2
6．（2025八上·滨江期中） 已知x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解， 则关于x的不等式k（x-3）+3b>0的解集是（　　）
A．x<3 B．x>3 C．x<9 D．x>9
7．（2026八上·宁波期末） 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
8．（2026八上·南湖期末）定义新运算F：．若关于正数x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围 (　　)
A．6≤m<7 B．8≤m<9 C．10≤m<11 D．11≤m<12
9．（2025七下·藤县月考）某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.
11．（2022七下·常宁期末）若，且，则m的取值范围是　 　．
12．（2026八上·金东期末）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：　 　．
13．（2024七下·合肥期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是　 　．
14．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是　 　．
15．某企业要购进两款机器狗共5只．如图所示，已知Cyber Dog2单价是1.3万元/只，Unitree Go2单价是1万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过6.2万元，则Cyber Dog2最多可以购进　 　只.
16．（2024八上·北京市月考）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是　 　．
三、解答题：共9题，共计72分
17．（2025八上·柯桥期末）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）解不等式组．
18．（2024八上·常德期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解．
19．一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”。
（1）判断：（正确的画“√”，错误的画“×”）
①当输入x=3后，程序操作仅进行一次就停止。（　　）
②当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入的数大。（　　）
（2）探究：是否存在正整数x，使程序能进行两次操作，并且输出结果小于12 若存在，请求出所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由。
20．（2025七下·长沙期末）对x，y定义一种新运算T，
规定：T（x，y）=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+2b×1-1=2b-1.
（1）已知T（1，-1）=-6，T（4，2）=3.
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
21．（2024八上·雨花开学考）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
（3）该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
22．
（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≤2”可理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2.则：
①“|a|＞2”可理解为　 　；
②请列举3个不同的整数a，使不等式|a|＜2成立．列举的a的值是　 　，　 　，　 　．
我们定义：形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|＞m”“|x|＜m”（m为非负数)的不等式称为绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
　　　
由图①可得，绝对值不等式|x|≤3的解集是－3≤x≤3；由图②可得，绝对值不等式|x|≥4的解集是x≤－4或x≥4.则：
①不等式|x|＜5的解集是　 　；
②不等式≥3的解集是　 　．
（3）【灵活运用】求不等式|－x＋4|≤1的解集.
23．（2024七下·衡阳期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程．
（1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由；
（2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围；
（3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围．
24．（2024七下·西塘期末）近年来我国航天技术进入应用和发展新阶段：天问一号探访火星，空间站迎来“访客”，嫦娥六号月球背面取土壤……，航天延续精彩，不断创新，积极面向星辰大海，这给许多中学生在心中种下了一个航天梦.某航模专卖店有A，B两款热销的航模玩具，以下是小红和小刘同学的一段对话：
（1）求A，B两款航模玩具的单价；
（2）某航模社计划购买A，B两款航模玩具共15个（两款都购买），恰逢该航模专卖店周年店庆，A款航模玩具打八折，B款航模玩具打九折
①若预算不超过1150元，则最多购买A款航模玩具多少个？
②若购买A款航模玩具的数量不少于B款航模玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由
25．（2025八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先估算的大小，然后结合不等式的性质即可得到的范围，据此即可得到的值.
3．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，将
分别代入ax+b=y
解得
∴ax+b＜0可化为-x+2＜0
解得x＞2
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据建立方程组，解出a，b的值后代入到不等式中，解不等式得到x的取值范围。
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，
依题意，得：5x-2(20-1-x)>80，
解得：
∵x为正整数，
∴x的最小值为17.
即最少答对17题，
∴小聪至多答错了3道题.
故答案为：B.
【分析】设小聪答对了x道题，则答错了(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： 由题意3x =3x-6，于是3x-6 ≥x-2 得3x-x ≥6-2，2x ≥4，得x ≥2.
故答案：B.
【分析】由新定义运算知3x =3x-6，代入不等式并求解不等式即得解集.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵ x=2是关于x的方程 kx+b=0（k≠0，b>0）的解，
∴2k+b=0，
解得b=-2k，
∵b>0，
∴-2k>0，即k<0，
则不等式 k（x-3）+3b>0 为 k（x-3）-6k>0
∴x-3-6<0，
解得x<9，
故答案为：C.
【分析】先把x=2代入方程求出b=-2k，然后得到k<0，再代入不等式先去k，解不等式即可.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得2a-1≤2a<0，即有.
故答案为：B .
【分析】求解不等式组可得其解集，根据3个整数角可得2a的范围，即得a的范围.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
对于：
∵，
∴， 即，
对于：
∵，
∴， 即，
∴不等式组解为
要求恰有三个整数解，即
∴需，
∴．
故选：B．
【分析】根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得m的取值范围即可．
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得，
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设租赁甲型客车辆，得到租赁乙型客车辆，结合全部师生都有座位且空座位不超过10个，列出不等式组，即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
11．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵若，且，
∴，
则；
故答案为：．
【分析】由不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，可得，求解即可.
12．【答案】x+1<3（答案不唯一）
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据数轴表示的解集可得不等式为x+1<3，
故答案为：x+1<3.
【分析】根据数轴上表示的解集写出不等式即可.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意，第一次运行的结果为2x-3，第二次运行的结果为2(2x-3)-3，第三次运行的结果为2[2(2x-3)-3]-3，而运行三次才停止，故
2x-3<30①，
2(2x-3)-3≤30②，
2[2(2x-3)-3]-3>30③，
解得x<，x≤，x>
故
【分析】先将第一次、第二次、第三次运行的结果列出，根据第3次才停止得到不等关系，解不等式组即可.
14．【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
15．【答案】4
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设 Cyber Dog2购进 x只，则 Unitree Go2 购进(5-x)只，
据题意得 1.3x+(5-x)≥6.2，
解得 x≤4，
∴ Cyber Dog2最多可以购进 4只，
故答案为：4.
【分析】根据题意列出不等式，并求出其最大整数解.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据路程、速度、时间三者之间的关系：路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围，即可得出答案．
17．【答案】（1）解：9x-1＞7x+3，
移项，得：9x-7x＞3+1，
合并同类项，得：2x＞4，
系数化为1，得：x＞2.
（2）解：，
解不等式①得：x＞-1，
解不等式②得：x≤3，
将不等式①②的解集在数轴上表示：
∴原不等式组的解集为-1＜x≤3.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集并在数轴上表示即可求出不等式组的解集．
（1）解：，
移项，合并同类项，得，
解得；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：．
18．【答案】解： ，
解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示不等式的解集：
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个不等式，进而得到不等式组的解集，最后再画数轴表示，找出不等式组的整数解即可．
19．【答案】（1）×：√
（2）解：因为程序要进行两次操作，所以第一次操作的结果 2x+5≤0。
第二次操作是对 2x+5进行同样的运算，其结果为 2( 2x+5)+5，且0< 2( 2x+5)+5<12。
解不等式 2x+5≤0，解得x≥，
解不等式0< 2( 2x+5)+5<12：
先解 2( 2x+5)+5>0，
解得x>；
再解 2( 2x+5)+5<12，
解得x< 。
综合起来，不等式组的解集为 ≤x< 。
又因为x为正整数，所以x=3或x=4。
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：①当x=3时，第一次操作的结果为3×( 2)+5= 6+5= 1，
因为 1<0，不满足停止条件，所以程序操作仅进行一次就停止这种说法是错误的，应画“×”；
②设输入的负数为x，经过程序运算后的结果为y= 2x+5。
y x=( 2x+5) x= 3x+5。
因为x<0，
所以 3x>0，
那么 3x+5>0，即y x>0，
所以y>x，也就是输出的结果总比输入数大，这种说法是正确的，应画“√”。
【分析】（1）①将x=3代入运算式x×( 2)+5，计算出第一次操作后的结果，再根据程序停止的条件（结果大于0时停止）判断是否仅进行一次操作就停止；②设输入的负数为x，计算出经过程序运算后的结果表达式，然后通过作差法比较运算结果与输入数的大小关系；
（2）要使程序能进行两次操作，那么第一次操作的结果不大于0；并且第二次操作的结果要小于12。根据这两个条件列出关于x的不等式组，求解不等式组得到x的取值范围，再结合x为正整数这一条件，确定符合条件的x的值。
20．【答案】（1）解：①根据题意得：
，
解得：，
②由题意得：，
则可以化为，
解得：，
恰有2个整数解，
故
解得
（2）解：∵对任意实数x，y都成立
即对任意实数都成立
即
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；
②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可；
（2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案．
21．【答案】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，利用“销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”列出方程组求解即可；
（2）利用“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组求解即可；
（3）先求出每种方案的费用，再比较大小即可.
（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
22．【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；-1；0；1
（2）－5＜x＜5；x≥6或x≤－6
（3）解：∵|－x＋4|≤1，
根据数轴知：－1≤－x＋4≤1，
解得 3≤x≤5.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；绝对值的概念与意义；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）∵“|a|”的几何意义是数a在数轴上对应的点到原点的距离，
∴“|a|＞2”可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2.
|a|＜2 可理解为 数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，
结合数轴知，这样的整数a有：-1，0，1.
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；-1，0，1.
（2）如图，
据图知 ：不等式|x|＜5的解集 -5∵≥3 ，
∴，
借助数轴表示如图，
据图知，不等式解集为x≥6或x≤-6，
即不等式≥3的解集是x≥6或x≤-6，
故答案为：－5＜x＜5；x≥6或x≤－6.
【分析】（1）根据“|a|”的几何意义作答.
（2）根据“|a|”的几何意义，借助数轴解不等式.
（3）根据“|a|”的几何意义，借助数轴解不等式.
23．【答案】（1）解：
，
解得：，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义可得，再求出a的取值范围即可；
（3）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分类讨论求解即可.
（1）解：
，
解得，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
24．【答案】（1）解：设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款航模玩具的单价为100元，B款航模玩具的单价为80元.
（2）解：①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∵m取正整数，
∴m的最大值为8，
答：最多购买A款航模玩具8个，
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∴，
∵n取正整数，
∴n可取的值为12，13，14，
方案一：购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个；
总费用：元，
方案二：购买A款航模玩具13个，则购买B款航模玩具2个；
总费用：元，
方案三：购买A款航模玩具14个，则购买B款航模玩具1个；
总费用：元，
∵，
∴当购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个最省钱．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，根据题意可得，再求解即可；
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，根据“ 购买A款航模玩具的数量不少于B款航模玩具的3倍 ”列出不等式，再求出n的取值范围，最后求出每种方案的费用，最后比较大小即可.
（1）解：设A款航模玩具的单价为x元，B款航模玩具的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款航模玩具的单价为100元，B款航模玩具的单价为80元；
（2）①设购买A款航模玩具m个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，
解得：，
∵m取正整数，
∴m的最大值为8，
答：最多购买A款航模玩具8个，
②设购买A款航模玩具n个，则购买B款航模玩具个，
由题意得：，解得：，
∴，
∵n取正整数，
∴n可取的值为12，13，14，
方案一：购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个；
总费用：元，
方案二：购买A款航模玩具13个，则购买B款航模玩具2个；
总费用：元，
方案三：购买A款航模玩具14个，则购买B款航模玩具1个；
总费用：元，
∵，
∴当购买A款航模玩具12个，则购买B款航模玩具3个最省钱．
25．【答案】解：任务1：设长方体的高度为x cm，
根据题意可列方程为：60-2x=2（40-2x），
解得：x=10，
答：长方体的高度为；
任务2：设图1方式需要裁剪m张木板，图2方式需要裁剪（100-m）张木板，
∴，
∴，
∴m的整数解有：83，84，85，
∴共有3种方案：①83张木板按图1方式裁剪，17张木板按图2方式裁剪；
②84张木板按图1方式裁剪 ，16张木板按图2方式裁剪 ；
③85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ；
任务3：由任务2中的三种方案，根据题意可得，
①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额=（83-17×3）×20+17×3×30+83×4×5=3830（元）；
②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额=（84-16×3）×20+16×3×30+84×4×5=3840（元）；
③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额=（85-15×3）×20+15×3×30+85×4×5=3850（元）；
综上所述：方案③利润最大，85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ，最大利润为3850-15×100=2350（元）．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务1：由图1，根据“底面长与宽之比为”列一元一次方程求解即可；
任务2：根据题意中“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列一元一次不等式组求解即可；
任务3：根据任务2，计算出每种方案的销售额即可得出答案.
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