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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.10已知抛物线上对称的两点求对称轴
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 1 1 ．．．
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（ ）
A．轴 B．直线 C．直线 D．直线
5．（本题3分）若点，在抛物线上，则此抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．（本题3分）二次函数的图象对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．（本题3分）二次函数，自变量与函数的对应值如表：
… 0 …
… 4 0 0 4 …
下列说法正确的是：（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大
C．当时，的范围是 D．抛物线的对称轴是直线
8．（本题3分）当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．0
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______．
10．（本题3分）已知，为抛物线上不重合的两点，则______．
11．（本题3分）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________．
12．（本题3分）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______．
13．（本题3分）如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p．
(1)若，请求出该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若，求m的值．
15．（本题8分）已知二次函数中的x，y满足如表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)直接写出该函数图象的开口方向；
(2)当时，求自变量x的值；
(3)直接写出当时，x的取值范围．
16．（本题8分）已知抛物线的图像如图，且点，点是图像上两点．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴．
17．（本题8分）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 10 3 m …
(1)这个二次函数的对称轴是直线________；
(2)m的值为________；
(3)当时，y的取值范围为________．
18．（本题9分）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 m 8 …
(1)这个二次函数的对称轴是直线 ；
(2)m的值为 ；
(3)当时，则y的取值范围为 ．
19．（本题10分）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示：
… …
… …
(1)当时，
求该二次函数图象的顶点坐标；
若，求的取值范围；
(2)求证：．
20．（本题12分）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，
①画出函数的图象，并求出该二次函数的最值．
②根据函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
(2)当m取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小阳认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为你认为小阳的想法是否正确？请说明理由．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.10已知抛物线上对称的两点求对称轴
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　）
A． B． C． D．
解：∵二次函数图象过和两个点，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴当时的函数值与当时的函数值相等，
∵二次函数图象过点，
∴二次函数图象过点，即时，．
2．（本题3分）已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：二次函数的图象过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，即抛物线过点，且点不在坐标轴上，
点与点关于对称轴对称，
，即，
，
，即．
故选：．
3．（本题3分）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 1 1 ．．．
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵二次函数图象过点和，
∴该抛物线的对称轴为，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，
∴．
故选：C．
4．（本题3分）已知二次函数的图象经过点和点，则该抛物线对称轴为（ ）
A．轴 B．直线 C．直线 D．直线
解：∵点和点的纵坐标均为2，
∴对称轴为直线．
∴该抛物线对称轴为直线．
故选：D．
5．（本题3分）若点，在抛物线上，则此抛物线的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
解：∵点，的纵坐标均为4，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴是直线．
故选：A．
6．（本题3分）二次函数的图象对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
解：∵二次函数，其图象与轴的交点横坐标为和，
∴对称轴为两交点中点的横坐标，即，
故选：C．
7．（本题3分）二次函数，自变量与函数的对应值如表：
… 0 …
… 4 0 0 4 …
下列说法正确的是：（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大
C．当时，的范围是 D．抛物线的对称轴是直线
解：∵当时，；当时，，
∴这两点关于抛物线对称轴对称，
∴对称轴为直线，故D正确；
∵和时，和时，离对称轴越远函数值越大，
∴抛物线开口向上，故A错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，而，故当时，在时随增大而减小，时随增大而增大，B错误；
∵抛物线与轴交于和，且开口向上，
∴当时，或，故C错误．
故选：D．
8．（本题3分）当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．0
解：当x取和时，多项式的值相等，
设，
∴二次函数图象的对称轴为：，且图象开口向上，
当x取和时，该多项式的值分别为和，
∵，
∴时的函数值小于时的函数值，
根据对称性得到，的函数值与时的函数值相等，
∴，
∴B选项符合题意，
故选：B ．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______．
解：因为点和点的纵坐标相同，
所以抛物线的对称轴为直线．
因为，
所以抛物线开口向上，
所以点离对称轴越远函数值越大，
因为，
所以，
所以点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即．
所以或．
故答案为：或
10．（本题3分）已知，为抛物线上不重合的两点，则______．
解：因为点，的纵坐标相等，
所以点，关于对称轴对称，
所以，
解得．
故答案为：3．
11．（本题3分）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________．
解：由题意得，点和关于对称轴对称，
∴二次函数图像的对称轴为直线，
故答案为：．
12．（本题3分）已知抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是，则点的坐标是______．
解：设点的坐标为，
由于抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，则点和点的中点的横坐标等于对称轴的横坐标，
即，
解得，
故点的坐标为．
故答案为．
13．（本题3分）如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____．
解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
结合抛物线的对称性可得：
，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p．
(1)若，请求出该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若，求m的值．
（1）解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当，最小值，
∴该二次函数图像的顶点坐标；
（2）在的函数图像上，
，
，
，
，
，；
15．（本题8分）已知二次函数中的x，y满足如表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)直接写出该函数图象的开口方向；
(2)当时，求自变量x的值；
(3)直接写出当时，x的取值范围．
（1）解：∵图象经过，，
∴图象对称轴为直线，
由表格可得，时，y随x增大而增大，
∴抛物线图象开口向上；
（2）∵关于直线的对称点是，
∴当时，求自变量x的值为或5；
（3）∵函数图象经过，，开口向上，
∴当时，x的取值范围为：．
16．（本题8分）已知抛物线的图像如图，且点，点是图像上两点．
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)请你仅用无刻度的直尺画出抛物线的对称轴．
（1）解：∵，，即与轴平行，
∴，
∴抛物线的对称轴为：．
（2）解：直线为抛物线的对称轴，如图所示：
17．（本题8分）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 10 3 m …
(1)这个二次函数的对称轴是直线________；
(2)m的值为________；
(3)当时，y的取值范围为________．
（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等
∴对称轴是直线
故答案为：；
（2）解：∵点关于直线的对称点为
∴，
故答案为：；
（3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大，
∴抛物线开口向上，
又对称轴是直线
∴当时，
故答案为：．
18．（本题9分）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 m 8 …
(1)这个二次函数的对称轴是直线 ；
(2)m的值为 ；
(3)当时，则y的取值范围为 ．
（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等
∴对称轴是直线
故答案为：；
（2）解：∵点关于直线的对称点为
∴，
故答案为：3；
（3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大，
∴抛物线开口向上，
又对称轴是直线
∴当时，
故答案为：．
19．（本题10分）已知二次函数的函数值和自变量的部分对应值如下表所示：
… …
… …
(1)当时，
求该二次函数图象的顶点坐标；
若，求的取值范围；
(2)求证：．
（1）解：当时，
当时，，
当时，，
由二次函数的对称性可知顶点坐标为．
二次函数图象的对称轴为直线，且，开口向上，
离对称轴越远，函数值越大，
，
对应的点比对应的点距离对称轴远，
，即，
或，
解得或，
观察表格可知，，
．
（2）证明：当时，，
，
，
，
．
20．（本题12分）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题．
(1)当时，
①画出函数的图象，并求出该二次函数的最值．
②根据函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
(2)当m取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小阳认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为你认为小阳的想法是否正确？请说明理由．
（1）当时，，
①若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；
描点画出图象如下：
由图象可知，该二次函数的最小值；
②观察函数图象可得，当时，y的取值范围是；
（2）小阳的想法正确，理由如下：
在中，令得，
解得，
抛物线的对称轴为直线，
在中，令得，
当时，函数的最小值为，
，
函数最小值里面的最大值为
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