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浙教版数学八年级下册 第4章 平行四边形 培优检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2026九上·武义期末） 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（　　）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似
2．（2025九上·瑞安期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．下列现象中，属于平移的是(　　)
A．翻开书本 B．钟摆的摆动
C．大楼中直上直下的电梯 D．落叶随风飘零
4．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
5．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，以点 O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为该平行四边形第四个顶点坐标的是 (　　)
A．(-3，1) B．(4，1) C．(-2，1) D．(2，-1)
7．（2025八上·温州期中） 如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC是锐角三角形，E是 BC的中点，分别以AB，AC为腰向外侧作等腰三角形 ABM 和等腰三角形 ACN. D，F分别是底边 BM，CN的中点，连结 DE，EF.若∠BAM=∠CAN=θ(θ是锐角)，则∠DEF 的度数是 (　　)
A．180°-2θ B． C． D．
9．（2025九上·乐清期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（1，2） C．（3，0） D．（0，3）
10．（2026八上·嘉兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将AD绕点A顺时针旋转90°，得到AF，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②AE=AF；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2.其中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
12．（2026九上·天台期末）如果一个平面图形绕着某点O旋转角α(0°<α<360°)后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中α叫做旋转对称角.请问中心对称图形的旋转对称角α=　 　°.
13．（2025八下·温州期中）如图，的对角线AC，BD交于点，已知的周长比的周长小3，则BC的长为　 　。
14．（2026七上·宁波月期末）两块相同的直角三角尺ABC和AED(∠ABC=∠ADE=90°， ∠BAC=∠E=30°)按如图摆放，顶点B，A， D在直线l上。现将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转得到三角尺AB'C'，当三角尺AB'C'的边AC'与AE重合时停止旋转，则在旋转过程中∠C'AE与∠B'AD满足数量关系是　 　.
15．如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连结BF，CD。若，则DF=　 　。
16．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2025·金东二模）如图，在四边形 ABCD 中，AD// BC，∠B=90°，BC=2AD，点 E，F 分别是BC，CD 中点，连结 AE、EF.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形：
（2）若 AB=4、BC=6， 求 EF 的长。
18．（2025八下·慈溪期末）我们把顶点在格点的四边形叫做格点四边形。如图在7×7的方格纸中，已知线段AB，请按下列要求完成作图。
（1）在图1中作格点四边形ABCD，使四边形ABCD为中心对称图形。
（2）在图2中作格点四边形ABCD，使四边形ABCD为轴对称图形。
19．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
20．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
21．（2026七上·衢州期末）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。
（1） 图2是由图1抽象出的几何图形， 且∠AOB=∠COD=90°， 若∠AOC=130°， 求∠BOD 的度数。
（2）现在把含45°角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平角)。
①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母。
②第①题中∠AOC和∠BOD 有怎样的数量关系 请说明理由。
22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边三角形ABC中，AB=3，点M，N分别在边 AC，BC上，且 AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点 P，作射线 AP.
在【问题呈现】的条件下，回答下列问题：
（1）求证：AM=MP；
（2）∠CAP 的大小为　 　度，线段 MN长度的最小值为　 　.
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形 BCDE 是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 M在AC 上，点 N 在 DE 上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳 MN长度的最小值为　 　米.
23．（2025八下·温州期中）如图1，在Rt中，是线段BC上的动点，是射线CA上的动点，且．设．
（1）当在线段AC上时，用含的代数式表示线段AQ的长．
（2）如图2，是AB的中点，以DP，DQ为邻边构造．
①当点与点重合时，连结MD，求MD的长．
②当点落在的边上时，求AM的长．
24．（2025八下·余姚期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线。例：如图1，在□ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是□ABCD的等积线.
（1）请利用图1完成例的证明.
（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD，已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC=6，求 CF的长度.
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G.若FG=EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转，
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，将一个图形绕一定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，
∵，
∴∠COD=180°-∠D-∠C=30°，
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠COD的度数，由旋转的性质可得，再根据角的和差即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A.翻开书本属于旋转，故本选项不符合题意；
B.钟摆的摆动属于旋转，故本选项不符合题意；
C.大楼中直上直下的电梯属于平移，故本选项符合题意；
D.落叶随风飘落是无规则运动，故本选项不符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据平移和旋转的定义，逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设第四个顶点为C.
当点C 的坐标为(-3，1)时，
.四边形ABOC 不是平行四边形，符合题意；
当点C的坐标为(4，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBCA是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(-2，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBAC是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(2，-1)时，OC=AB=，OA=BC=，故OABC是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，E为BC的中点
∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE
∵D为AB的中点，E为BC的中点
∴DE||AC
∴∠CAE=∠AED=20°
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°
故答案：A.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AE⊥BC，∠CAE=∠BAE，由中位线定理知DE||AC，即得∠CAE=20°，由此可得∠C的度数.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连结MC交AB于点L，交EF于点I，连结BN交DE于点H，交MC于点G.
∵∠BAM=∠CAN=θ，
∴∠MAC=∠BAN=∠BAC+θ.
∵△ABM和△ACN是分别以BM，CN为底边的等腰三角形，
∴AM=AB，AC=AN.
在△AMC和△ABN中，
∵
∴△AMC≌△ABN(SAS)，
∴∠AMC=∠ABN，
∴∠BGM=∠BLM-∠ABN=∠BLM-∠AMC=∠BAM=θ.
∵E，D，F分别是BC，BM，CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF=∠BGC=180°-∠BGM=180°-θ.
故选：B.
【分析】连接MC交AB于点L， 交EF于点I， 连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明 和 N， 得 可推导出 由三角形的中位线定理得 ，则四边形EHGI是平行四边形，得到 ，于是得到问题的答案.
9．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，
将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（3，0），
故选：C.
【分析】根据点A（0，2），点B（2，0），建立直角坐标系，再利用旋转的定义作图即可求解．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： ①∵AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°，即∠DAE=∠FAE．
在△AED和△AEF中，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；
② 由旋转知AD=AF，但AE与AD不一定相等，因此AE=AF不成立，故②错误；
③∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，即∠FAB=∠DAC．
又AB=AC，AF=AD，
∴△AFB≌△ADC（SAS），
∴FB=DC，∠FBA=∠C=45°．
∴∠FBE=∠FBA+∠ABC=45°+45°=90°．
在Rt△FBE中，由勾股定理得FB2+BE2=FE2．
由①知FE=DE，且FB=DC，
∴DC2+BE2=DE2，显然BE+DC≠DE，故③错误；
④由③得BE2+FB2=FE2，FB=DC，FE=DE，
∴BE2+DC2=DE2，故④正确．
故答案为：B.
【分析】先利用旋转性质得到AD=AF与∠DAF=90°，结合∠DAE=45°证明△AED≌△AEF（①正确）；再通过角的等量代换证明△AFB≌△ADC，得到FB=DC与∠FBE=90°；最后在Rt△FBE中用勾股定理，结合FE=DE得到BE2+DC2=DE2（④正确），同时排除②③．
11．【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
12．【答案】180
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：根据旋转对称图形的定义，中心对称图形绕点O旋转后能与自身重合，
故旋转对称角α为．
故答案为：180．
【分析】中心对称图形的定义是绕对称中心旋转后与原图形重合，据此解答即可．
13．【答案】7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵的周长比的周长小3，AB=4，
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=3，
即BC-AB=3，
解得：BC=7；
故答案为：7.
【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形周长差转化为边长关系 ，即可得出BC的长度.
14．【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：设旋转角为，根据题意，得，
又，，
故，
故，
故，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设旋转角为，根据题意，得，，得到，解答即可．
15．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD。
∵E是BC中点，
∴CE=BE=BC=。
又∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF △BED，
∴CF=BD，
∴CDBF是平行四边形，
∴DF=2DE。
如图，过点E作EM⊥BD于点M，
∵∠ABC=45°，∠EMB=90°，
∴△EMB是等腰直角三角形，
EM2+BM2=BE2，
设EM=BM=x，
则x2+x2=（）2
解得x=1，
即EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠FDB=30°，
∴DE=2EM=2。
故答案为：2
【分析】已知CF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，得到∠ECF=∠EBD。因为E是BC中点，所以CE=BE，同时∠CEF与∠BED是对顶角，根据对顶角相等可知∠CEF=∠BED。此时在△CEF和△BED中，有两角及其夹边分别相等，满足“角边角”（ASA）判定定理，从而证明△CEF △BED。由全等三角形的性质得出CF=BD，又因为已知CF∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形CDBF是平行四边形。依据平行四边形的对角线互相平分这一性质，得出DF=2DE。过点E作EM⊥BD于点M，因为∠ABC=45°，∠EMB=90°，所以△EMB是等腰直角三角形。在等腰直角三角形△EMB中，设EM=BM=x，根据勾股定理EM2+BM2=BE2可求出EM=1。在Rt△EMD中，∠FDB=30°，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，可得DE=2EM=2。
16．【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形.
（2）解：连接BD，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°
∵AB=4，.
∴.
∵点F，F分别是BC，CD中点
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据中点结合已知条件，推出AD=EC，即可得证；
(2)连接BD，勾股定理求出BD的长，三角形的中位线定理求出EF的长即可.
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合中心对称图形的定义画图即可；
（2）结合轴对称图形的定义画图即可．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵，
∴OB=AB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵点E是AO的中点，
∴BE⊥AO.
（2）解：∵点G是BC的中点，
∴BG=，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF=，EF∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BD=2OB，进而求得，求得△ABO是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）根据点E、F分别是AO、DO的中点，求得EF是△ADO的中位线，利用三角形的中位线定理得出EF=，EF∥AD，再根据平行四边形的性质得出BC∥AD，BC=AD，进而求得∴BG∥EF，BG=EF，即可得出结论．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵是中点，
∴；
（2）解：∵点、是、的中点，
∴且，
∵中，，
∴且，
∵点是的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
21．【答案】（1）解：因为为周角，
所以，
因为：
所以，
即：
（2）解：①：如图4
②：
理由如下：因为，所以，
因为，
而，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据周角的定义和角的和差可得，然后代入数值计算即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据，然后根据角的和差解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP=NC.
又∵AM=CN，
∴AM=MP.
（2）30；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵MP∥NC，
∴∠PMC=∠MCN=60°，
∵∠PMC=∠MAP+∠MPA，AM=MP，
∴∠CAP=30°，
∵∠CAP=30°，C点固定，P点在定直线上运动，
∴当CP⊥AP时，CP=MN最小，
此时MN=CP=，
故答案为：30°；.
（3）如图，作MP∥ND，PD∥MN，连接AP，AD
由（1）（2）可得，∠CAP=15°，
∵∠ACB=30°，∠BCD=90°，
∴∠ACD=120°，
又∵AC=CD=2，
∴∠CAD=30°，AD=，
∴∠PAD=45°，
当DP⊥AP时，MN=DP有最小值，
∴AD=，
∴DP=，
【分析】(1)先证四边形CPMN是平行四边形得到MP=NC=AM；
（2）利用等腰三角形可得∠CAP=∠MPA=30°，再将MN转化成PC，PC⊥AP时有最小值，即可求解；
（3）参考上述思路构造平行四边形，将MN转化成DP，再求得∠PAD=45°，AD＝，即可求解.
23．【答案】（1）解：∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴，
∴CQ=2BP，
∴CQ=2a，
∴AQ=AC-CQ=6-2a
（2）解：①在中，
是AB中点
四边形PBDM是平行四边形
由于与重合，，则
②当在BC边上时，可得
则
当在AC边上时，
则
或1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)求出AC=6，则可得出答案；
(2)①证明四边形PBDM是平行四边形，得出MD=PB，由于A与Q重合，C0=6，则PB=3，可得出MD=3；
②分两种情况，当M在BC边上时，当M在AC边上时，由平行四边形的性质可得出答案.
24．【答案】（1）解：如图，作，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
AC是□ABCD的等积线.
（2）解：如图，过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，连接DH，
，，
，，
DE是四边形ABCD的等积线，
，
，
.
（3）解：如图，连接BG，
，
，
，
，
，
BG是四边形ABCD的等积线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质证得AE=CF，然后通过三角形的面积公式可判定，故AC是□ABCD的等积线.
(2)过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，利用平行线的性质可得，进而得到，再通过三角形的面积公式证得EH=EC，即可求得.
(3)利用平行线的性质可得，进而证得，故可得BG是四边形ABCD的等积线.
1 / 1浙教版数学八年级下册 第4章 平行四边形 培优检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2026九上·武义期末） 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（　　）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转，
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，将一个图形绕一定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，据此解答即可.
2．（2025九上·瑞安期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，
∵，
∴∠COD=180°-∠D-∠C=30°，
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠COD的度数，由旋转的性质可得，再根据角的和差即可得出答案.
3．下列现象中，属于平移的是(　　)
A．翻开书本 B．钟摆的摆动
C．大楼中直上直下的电梯 D．落叶随风飘零
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A.翻开书本属于旋转，故本选项不符合题意；
B.钟摆的摆动属于旋转，故本选项不符合题意；
C.大楼中直上直下的电梯属于平移，故本选项符合题意；
D.落叶随风飘落是无规则运动，故本选项不符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据平移和旋转的定义，逐一判断即可.
4．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
5．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
6．如图，在平面直角坐标系中，以点 O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为该平行四边形第四个顶点坐标的是 (　　)
A．(-3，1) B．(4，1) C．(-2，1) D．(2，-1)
【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设第四个顶点为C.
当点C 的坐标为(-3，1)时，
.四边形ABOC 不是平行四边形，符合题意；
当点C的坐标为(4，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBCA是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(-2，1)时，AC=OB=3，AC∥OB，故OBAC是平行四边形，不符合题意；
当点C的坐标为(2，-1)时，OC=AB=，OA=BC=，故OABC是平行四边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
7．（2025八上·温州期中） 如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，E为BC的中点
∴AE⊥BC，∠BAE=∠CAE
∵D为AB的中点，E为BC的中点
∴DE||AC
∴∠CAE=∠AED=20°
∴∠C=90°-∠CAD=90°-20°=70°
故答案：A.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AE⊥BC，∠CAE=∠BAE，由中位线定理知DE||AC，即得∠CAE=20°，由此可得∠C的度数.
8．如图，△ABC是锐角三角形，E是 BC的中点，分别以AB，AC为腰向外侧作等腰三角形 ABM 和等腰三角形 ACN. D，F分别是底边 BM，CN的中点，连结 DE，EF.若∠BAM=∠CAN=θ(θ是锐角)，则∠DEF 的度数是 (　　)
A．180°-2θ B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连结MC交AB于点L，交EF于点I，连结BN交DE于点H，交MC于点G.
∵∠BAM=∠CAN=θ，
∴∠MAC=∠BAN=∠BAC+θ.
∵△ABM和△ACN是分别以BM，CN为底边的等腰三角形，
∴AM=AB，AC=AN.
在△AMC和△ABN中，
∵
∴△AMC≌△ABN(SAS)，
∴∠AMC=∠ABN，
∴∠BGM=∠BLM-∠ABN=∠BLM-∠AMC=∠BAM=θ.
∵E，D，F分别是BC，BM，CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF=∠BGC=180°-∠BGM=180°-θ.
故选：B.
【分析】连接MC交AB于点L， 交EF于点I， 连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明 和 N， 得 可推导出 由三角形的中位线定理得 ，则四边形EHGI是平行四边形，得到 ，于是得到问题的答案.
9．（2025九上·乐清期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（1，2） C．（3，0） D．（0，3）
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图所示，
将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后，点C的对应点的坐标为（3，0），
故选：C.
【分析】根据点A（0，2），点B（2，0），建立直角坐标系，再利用旋转的定义作图即可求解．
10．（2026八上·嘉兴期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将AD绕点A顺时针旋转90°，得到AF，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②AE=AF；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2.其中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： ①∵AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°，即∠DAE=∠FAE．
在△AED和△AEF中，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；
② 由旋转知AD=AF，但AE与AD不一定相等，因此AE=AF不成立，故②错误；
③∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠FAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，即∠FAB=∠DAC．
又AB=AC，AF=AD，
∴△AFB≌△ADC（SAS），
∴FB=DC，∠FBA=∠C=45°．
∴∠FBE=∠FBA+∠ABC=45°+45°=90°．
在Rt△FBE中，由勾股定理得FB2+BE2=FE2．
由①知FE=DE，且FB=DC，
∴DC2+BE2=DE2，显然BE+DC≠DE，故③错误；
④由③得BE2+FB2=FE2，FB=DC，FE=DE，
∴BE2+DC2=DE2，故④正确．
故答案为：B.
【分析】先利用旋转性质得到AD=AF与∠DAF=90°，结合∠DAE=45°证明△AED≌△AEF（①正确）；再通过角的等量代换证明△AFB≌△ADC，得到FB=DC与∠FBE=90°；最后在Rt△FBE中用勾股定理，结合FE=DE得到BE2+DC2=DE2（④正确），同时排除②③．
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
12．（2026九上·天台期末）如果一个平面图形绕着某点O旋转角α(0°<α<360°)后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中α叫做旋转对称角.请问中心对称图形的旋转对称角α=　 　°.
【答案】180
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：根据旋转对称图形的定义，中心对称图形绕点O旋转后能与自身重合，
故旋转对称角α为．
故答案为：180．
【分析】中心对称图形的定义是绕对称中心旋转后与原图形重合，据此解答即可．
13．（2025八下·温州期中）如图，的对角线AC，BD交于点，已知的周长比的周长小3，则BC的长为　 　。
【答案】7
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵的周长比的周长小3，AB=4，
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=3，
即BC-AB=3，
解得：BC=7；
故答案为：7.
【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，将三角形周长差转化为边长关系 ，即可得出BC的长度.
14．（2026七上·宁波月期末）两块相同的直角三角尺ABC和AED(∠ABC=∠ADE=90°， ∠BAC=∠E=30°)按如图摆放，顶点B，A， D在直线l上。现将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转得到三角尺AB'C'，当三角尺AB'C'的边AC'与AE重合时停止旋转，则在旋转过程中∠C'AE与∠B'AD满足数量关系是　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：设旋转角为，根据题意，得，
又，，
故，
故，
故，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设旋转角为，根据题意，得，，得到，解答即可．
15．如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连结BF，CD。若，则DF=　 　。
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD。
∵E是BC中点，
∴CE=BE=BC=。
又∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF △BED，
∴CF=BD，
∴CDBF是平行四边形，
∴DF=2DE。
如图，过点E作EM⊥BD于点M，
∵∠ABC=45°，∠EMB=90°，
∴△EMB是等腰直角三角形，
EM2+BM2=BE2，
设EM=BM=x，
则x2+x2=（）2
解得x=1，
即EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠FDB=30°，
∴DE=2EM=2。
故答案为：2
【分析】已知CF∥AB，根据两直线平行，内错角相等，得到∠ECF=∠EBD。因为E是BC中点，所以CE=BE，同时∠CEF与∠BED是对顶角，根据对顶角相等可知∠CEF=∠BED。此时在△CEF和△BED中，有两角及其夹边分别相等，满足“角边角”（ASA）判定定理，从而证明△CEF △BED。由全等三角形的性质得出CF=BD，又因为已知CF∥BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形CDBF是平行四边形。依据平行四边形的对角线互相平分这一性质，得出DF=2DE。过点E作EM⊥BD于点M，因为∠ABC=45°，∠EMB=90°，所以△EMB是等腰直角三角形。在等腰直角三角形△EMB中，设EM=BM=x，根据勾股定理EM2+BM2=BE2可求出EM=1。在Rt△EMD中，∠FDB=30°，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，可得DE=2EM=2。
16．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2025·金东二模）如图，在四边形 ABCD 中，AD// BC，∠B=90°，BC=2AD，点 E，F 分别是BC，CD 中点，连结 AE、EF.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形：
（2）若 AB=4、BC=6， 求 EF 的长。
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形.
（2）解：连接BD，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°
∵AB=4，.
∴.
∵点F，F分别是BC，CD中点
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据中点结合已知条件，推出AD=EC，即可得证；
(2)连接BD，勾股定理求出BD的长，三角形的中位线定理求出EF的长即可.
18．（2025八下·慈溪期末）我们把顶点在格点的四边形叫做格点四边形。如图在7×7的方格纸中，已知线段AB，请按下列要求完成作图。
（1）在图1中作格点四边形ABCD，使四边形ABCD为中心对称图形。
（2）在图2中作格点四边形ABCD，使四边形ABCD为轴对称图形。
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合中心对称图形的定义画图即可；
（2）结合轴对称图形的定义画图即可．
19．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
20．（2025八下·杭州期中）如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵，
∴OB=AB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵点E是AO的中点，
∴BE⊥AO.
（2）解：∵点G是BC的中点，
∴BG=，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF=，EF∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BD=2OB，进而求得，求得△ABO是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）根据点E、F分别是AO、DO的中点，求得EF是△ADO的中位线，利用三角形的中位线定理得出EF=，EF∥AD，再根据平行四边形的性质得出BC∥AD，BC=AD，进而求得∴BG∥EF，BG=EF，即可得出结论．
（1）解：∵中，，，
∴，
∵是中点，
∴；
（2）解：∵点、是、的中点，
∴且，
∵中，，
∴且，
∵点是的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形．
21．（2026七上·衢州期末）如图1所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在一起。
（1） 图2是由图1抽象出的几何图形， 且∠AOB=∠COD=90°， 若∠AOC=130°， 求∠BOD 的度数。
（2）现在把含45°角的三角尺绕直角顶点，按逆时针方向转动至图3的位置(转动的角度小于平角)。
①请借助量角器和圆规，在图4中补全由图3所抽象出的几何图形，参照图2标上相应的字母。
②第①题中∠AOC和∠BOD 有怎样的数量关系 请说明理由。
【答案】（1）解：因为为周角，
所以，
因为：
所以，
即：
（2）解：①：如图4
②：
理由如下：因为，所以，
因为，
而，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据周角的定义和角的和差可得，然后代入数值计算即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②根据，然后根据角的和差解答即可．
22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边三角形ABC中，AB=3，点M，N分别在边 AC，BC上，且 AM=CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点 P，作射线 AP.
在【问题呈现】的条件下，回答下列问题：
（1）求证：AM=MP；
（2）∠CAP 的大小为　 　度，线段 MN长度的最小值为　 　.
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形 BCDE 是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 M在AC 上，点 N 在 DE 上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳 MN长度的最小值为　 　米.
【答案】（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP=NC.
又∵AM=CN，
∴AM=MP.
（2）30；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵MP∥NC，
∴∠PMC=∠MCN=60°，
∵∠PMC=∠MAP+∠MPA，AM=MP，
∴∠CAP=30°，
∵∠CAP=30°，C点固定，P点在定直线上运动，
∴当CP⊥AP时，CP=MN最小，
此时MN=CP=，
故答案为：30°；.
（3）如图，作MP∥ND，PD∥MN，连接AP，AD
由（1）（2）可得，∠CAP=15°，
∵∠ACB=30°，∠BCD=90°，
∴∠ACD=120°，
又∵AC=CD=2，
∴∠CAD=30°，AD=，
∴∠PAD=45°，
当DP⊥AP时，MN=DP有最小值，
∴AD=，
∴DP=，
【分析】(1)先证四边形CPMN是平行四边形得到MP=NC=AM；
（2）利用等腰三角形可得∠CAP=∠MPA=30°，再将MN转化成PC，PC⊥AP时有最小值，即可求解；
（3）参考上述思路构造平行四边形，将MN转化成DP，再求得∠PAD=45°，AD＝，即可求解.
23．（2025八下·温州期中）如图1，在Rt中，是线段BC上的动点，是射线CA上的动点，且．设．
（1）当在线段AC上时，用含的代数式表示线段AQ的长．
（2）如图2，是AB的中点，以DP，DQ为邻边构造．
①当点与点重合时，连结MD，求MD的长．
②当点落在的边上时，求AM的长．
【答案】（1）解：∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴，
∴CQ=2BP，
∴CQ=2a，
∴AQ=AC-CQ=6-2a
（2）解：①在中，
是AB中点
四边形PBDM是平行四边形
由于与重合，，则
②当在BC边上时，可得
则
当在AC边上时，
则
或1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)求出AC=6，则可得出答案；
(2)①证明四边形PBDM是平行四边形，得出MD=PB，由于A与Q重合，C0=6，则PB=3，可得出MD=3；
②分两种情况，当M在BC边上时，当M在AC边上时，由平行四边形的性质可得出答案.
24．（2025八下·余姚期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线。例：如图1，在□ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是□ABCD的等积线.
（1）请利用图1完成例的证明.
（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD，已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC=6，求 CF的长度.
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G.若FG=EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，作，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
AC是□ABCD的等积线.
（2）解：如图，过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，连接DH，
，，
，，
DE是四边形ABCD的等积线，
，
，
.
（3）解：如图，连接BG，
，
，
，
，
，
BG是四边形ABCD的等积线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质证得AE=CF，然后通过三角形的面积公式可判定，故AC是□ABCD的等积线.
(2)过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，利用平行线的性质可得，进而得到，再通过三角形的面积公式证得EH=EC，即可求得.
(3)利用平行线的性质可得，进而证得，故可得BG是四边形ABCD的等积线.
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