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浙教版数学八年级下册 第4章 平行四边形 提高检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025八下·诸暨期末）2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列AI软件图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，C不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合；由此即可得出答案.
2．（2025八下·诸暨期中）在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的邻角互补，对角相等得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再结合已知可求出∠A的度数，从而即可得出答案.
3．（2025八下·新昌期中）已知点P（m，2）与点Q（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m+n的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 根据题意得，
解得
∴
故答案为：C.
【分析】根据中心对称的性质，关于原点对称的两点坐标互为相反数，列出方程即可解答.
4．（2025·绍兴模拟）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于，
可得，
∵，，
∴，
∴，
即．
故答案为：A．
【分析】根据多边形的外角和等于360度，可求得的度数．
5．（2026八上·南湖期末）要说明命题“若 则x=y”是假命题，可以举的反例是 (　　)
A．x=1， y=1 B．x=1， y=2
C．x=1， y=-1 D．x=-1， y=-1
【答案】C
【知识点】反证法；有理数的乘方法则；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意；
B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意；
C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意；
D、，且，不能作为反例，不符合题意．
故选：C．
【分析】要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证．
6．（2025九上·杭州月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的高，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，结合平行四边形ABCD的周长为40及AB=x=9， 可求出AD的长，进而结合DE与AD的关系求出DE的长，最后根据平行四边形的面积等于底×高进行求解即可．
7．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，则他带的碎玻璃编号是(　　)
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的判定解答即可.
8．如图，将三角形纸片 ABC剪掉一角变为四边形BCDE，下列说法正确的是(　　)
A．内角和变大 B．内角和变小 C．外角和变大 D．外角和变小
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由三角形变成四边形，内角和变大了，外角和不变，
故答案为：A.
【分析】根据三角形变成四边形后内角和的变化情况求解即可.
9．（2025八下·义乌月考）如图，在 ABCD中（AB＜BC），∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．则AC长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：在 ABCD中对角线AC、BD交于点O，则S△BOC=S△COD=S△AOB，
∵动点E从点B出发，沿着B→C→D运动.
设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，
∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即，
当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为x=10，即x=BC+CD=10，
设在 ABCD中，AB=CD=a，则BC=10-a，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAH=30°，
∴，，
∵，
，
∴
解得：a1=4，a2=6(不合题意舍去)，
∵AB∴，
HC=BC-BH=6-2=4，
∴在Rt△AHB中，，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质可知S△BOC=S△COD=S△AOB，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时面积最大，，即，作DH⊥BC，垂足为H，利用，BC+AB=10，结合30度直角三角形性质可求出AB=4，BC=6，进而在Rt△AHB用勾股定理即可得到AC长.
10．（2025八下·瑞安期中） 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A．a+b B． c-a-b C．c-2a-b D．2a+b
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，
∵，S ABCD=DC·EM=c，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD =a，S△BQC= b.
∴S四边形EPFQ=a+b，
故阴影部分的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质和三角形面积公式来求解阴影部分的面积，通过连接E、F两点并作高，利用平行线性质和三角形面积相等的原理，推导出阴影部分的面积.
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·镇海区期末）一个正多边形的每个外角都等于，那么它是　 　边形．
【答案】正十
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据外角和定理知：，
所以这个正多边形是正十边形，
故答案为：正十.
【分析】本题考查的是多边形外角和定理 ：多边形的外角和为360°.对于正多边形，它的各个外角都相等，所以用外角和除以一个外角的度数，就能得到边数.
12．能够平分平行四边形面积的直线有　 　条，它们的共同特点是　 　.
【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
13． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线 AC，BD 相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你添加的条件是：　 　.
【答案】答案不唯一，如OB=OD，AB∥CD等
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OB=OD.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答.
14．（2022八下·兰溪期中）如图，在中，的平分线交BC于点E．若cm，cm，则EC＝　 　cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=9，
∴AD=BC=9，DC=AB=6，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=6，
∴EC=BC-BE=9-6=3，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC=9，DC=AB=6，AD∥BC，然后根据平行线性质以及角平分线定义推出∠BAE=∠BEA，从而根据等腰三角形的判定得到AB=BE=6，进而求EC=BC-BE的值即可.
15．如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边的中点，点 F 在 BC 边的延长线上，CF= BC.若CF=3，则EF的长为　 　.
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC边的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC.
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF=CD.
∵CA=CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∴CD===4，
∴EF=4.
故答案为：4.
【分析】连结DE，CD，根据三角形的中位线定理得到四边形DCFE为平行四边形，根据三线合一得到CD⊥AB，然后根据勾股定理解答即可.
16．（2025八下·龙泉期中）如图，在中，，点H，G分别是DC，BC边上的动点，连接AH，HG，点为AH的中点，点为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴，
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG=30°，
此时，，
∴，
即EF的最小值是 ，
故答案为：.
【分析】连接AG，利用三角形中位线定理，可知，求出AG的最小值即可解决问题.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2023八下·上城期末）如图，在中，点在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：是平行四边形，
，，即，
又，
四边形是平行四边形．
．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，即BE∥CD，再结合已知条件EC∥BD，得出四边形BECD是平行四边形，进而得到结论。
18．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
19．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
20．（2024九下·滨江月考）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为2，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是的中点，∴，，
同理得：，，
∵，
，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由根据平行四边形的性质，得到对角线，，再利用中点，证明，然后由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）先利用中点，可知，，
，，， 即可证明，则。
21．（2022八下·杭州期末） 如图，在中，，垂足为，点，，分别是，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）求证：．
【答案】（1）证明：点，，分别是，，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，点，点分别是，的中点，
，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DF//AC、DE//AB，则四边形AFDE是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=FA、EH=EA，则由等边对等角可得，又平行四边形的对角相等即，等量代换即可.
22．（2026九上·金平期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
23．（2022·拱墅模拟）问题：如图，在 中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF.若▲ ，求证： .在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答.
【答案】解：选择③； ，
证明如下： ，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择③：∠BEC=∠DFA，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
24． 如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3个命题：
Ⅰ.若D是AB 的中点， 则E 是AC 的中点；
Ⅱ.若 则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB 的中点，DE∥BC，则E是AC 的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图②中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点 E，从而直观判断E不一定是AC 的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图②中，作边 BC的垂直平分线，交 BC 于点M；
②在图②中，以点 D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC 交于点E 和点.E'.
请你在图②中完成以上作图.
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图①进行证明.
【答案】（1）解：如图①.

（2）解：选择命题Ⅱ.
证明：如图②，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM.
又∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM.
又∵DE=BC，∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∴DM=CE，DM∥CE，∴DM∥AE.
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点.
选择命题Ⅲ.
证明：如图③，延长ED至点F，使DF=DE，连结BF.
∵D是AB的中点，∴AD=BD.
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠F，∴AC∥BF.
又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，∴CE=AE，∴E是AC的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据作图的描述尺规作图即可；
（2）选择命题Ⅱ：过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM，则EDBM是平行四边形，即可得到DE=BM=CM，进而证明DECM、ADME是平行四边形，证明结论即可；选择命题Ⅲ：延长ED至点F，使DF=DE，连结BF，即可得到△ADE≌△BDF，进而证明BCEF是平行四边形，得到结论.
1 / 1浙教版数学八年级下册 第4章 平行四边形 提高检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025八下·诸暨期末）2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列AI软件图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·诸暨期中）在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·新昌期中）已知点P（m，2）与点Q（﹣3，n）关于原点成中心对称，则m+n的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
4．（2025·绍兴模拟）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·南湖期末）要说明命题“若 则x=y”是假命题，可以举的反例是 (　　)
A．x=1， y=1 B．x=1， y=2
C．x=1， y=-1 D．x=-1， y=-1
6．（2025九上·杭州月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
7．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，则他带的碎玻璃编号是(　　)
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
8．如图，将三角形纸片 ABC剪掉一角变为四边形BCDE，下列说法正确的是(　　)
A．内角和变大 B．内角和变小 C．外角和变大 D．外角和变小
9．（2025八下·义乌月考）如图，在 ABCD中（AB＜BC），∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．则AC长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
10．（2025八下·瑞安期中） 如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A．a+b B． c-a-b C．c-2a-b D．2a+b
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·镇海区期末）一个正多边形的每个外角都等于，那么它是　 　边形．
12．能够平分平行四边形面积的直线有　 　条，它们的共同特点是　 　.
13． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线 AC，BD 相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你添加的条件是：　 　.
14．（2022八下·兰溪期中）如图，在中，的平分线交BC于点E．若cm，cm，则EC＝　 　cm．
15．如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边的中点，点 F 在 BC 边的延长线上，CF= BC.若CF=3，则EF的长为　 　.
16．（2025八下·龙泉期中）如图，在中，，点H，G分别是DC，BC边上的动点，连接AH，HG，点为AH的中点，点为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为　 　。
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2023八下·上城期末）如图，在中，点在的延长线上，且．求证：．
18．（2025·西湖模拟）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，且，求的长．
19．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
20．（2024九下·滨江月考）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为2，求的面积．
21．（2022八下·杭州期末） 如图，在中，，垂足为，点，，分别是，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）求证：．
22．（2026九上·金平期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
23．（2022·拱墅模拟）问题：如图，在 中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF.若▲ ，求证： .在① ，② ，③ 这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答.
24． 如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3个命题：
Ⅰ.若D是AB 的中点， 则E 是AC 的中点；
Ⅱ.若 则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB 的中点，DE∥BC，则E是AC 的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图②中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点 E，从而直观判断E不一定是AC 的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图②中，作边 BC的垂直平分线，交 BC 于点M；
②在图②中，以点 D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC 交于点E 和点.E'.
请你在图②中完成以上作图.
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图①进行证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，C不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合；由此即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的邻角互补，对角相等得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再结合已知可求出∠A的度数，从而即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 根据题意得，
解得
∴
故答案为：C.
【分析】根据中心对称的性质，关于原点对称的两点坐标互为相反数，列出方程即可解答.
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于，
可得，
∵，，
∴，
∴，
即．
故答案为：A．
【分析】根据多边形的外角和等于360度，可求得的度数．
5．【答案】C
【知识点】反证法；有理数的乘方法则；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意；
B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意；
C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意；
D、，且，不能作为反例，不符合题意．
故选：C．
【分析】要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的高，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，结合平行四边形ABCD的周长为40及AB=x=9， 可求出AD的长，进而结合DE与AD的关系求出DE的长，最后根据平行四边形的面积等于底×高进行求解即可．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为： C.
【分析】根据平行四边形的判定解答即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由三角形变成四边形，内角和变大了，外角和不变，
故答案为：A.
【分析】根据三角形变成四边形后内角和的变化情况求解即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：在 ABCD中对角线AC、BD交于点O，则S△BOC=S△COD=S△AOB，
∵动点E从点B出发，沿着B→C→D运动.
设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，
∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即，
当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为x=10，即x=BC+CD=10，
设在 ABCD中，AB=CD=a，则BC=10-a，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAH=30°，
∴，，
∵，
，
∴
解得：a1=4，a2=6(不合题意舍去)，
∵AB∴，
HC=BC-BH=6-2=4，
∴在Rt△AHB中，，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质可知S△BOC=S△COD=S△AOB，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时面积最大，，即，作DH⊥BC，垂足为H，利用，BC+AB=10，结合30度直角三角形性质可求出AB=4，BC=6，进而在Rt△AHB用勾股定理即可得到AC长.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，
∵，S ABCD=DC·EM=c，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD =a，S△BQC= b.
∴S四边形EPFQ=a+b，
故阴影部分的面积为.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质和三角形面积公式来求解阴影部分的面积，通过连接E、F两点并作高，利用平行线性质和三角形面积相等的原理，推导出阴影部分的面积.
11．【答案】正十
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据外角和定理知：，
所以这个正多边形是正十边形，
故答案为：正十.
【分析】本题考查的是多边形外角和定理 ：多边形的外角和为360°.对于正多边形，它的各个外角都相等，所以用外角和除以一个外角的度数，就能得到边数.
12．【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
13．【答案】答案不唯一，如OB=OD，AB∥CD等
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OB=OD.
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答.
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，AD=9，
∴AD=BC=9，DC=AB=6，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=6，
∴EC=BC-BE=9-6=3，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC=9，DC=AB=6，AD∥BC，然后根据平行线性质以及角平分线定义推出∠BAE=∠BEA，从而根据等腰三角形的判定得到AB=BE=6，进而求EC=BC-BE的值即可.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC边的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC.
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF=CD.
∵CA=CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∴CD===4，
∴EF=4.
故答案为：4.
【分析】连结DE，CD，根据三角形的中位线定理得到四边形DCFE为平行四边形，根据三线合一得到CD⊥AB，然后根据勾股定理解答即可.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴，
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG=30°，
此时，，
∴，
即EF的最小值是 ，
故答案为：.
【分析】连接AG，利用三角形中位线定理，可知，求出AG的最小值即可解决问题.
17．【答案】证明：是平行四边形，
，，即，
又，
四边形是平行四边形．
．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，即BE∥CD，再结合已知条件EC∥BD，得出四边形BECD是平行四边形，进而得到结论。
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴的长为4cm.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，结合条件得，即可根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义得，由平行四边形的性质以及平行线的性质得，进行等量代换得，于是根据等腰三角形的判定得，然后求出，结合等腰三角形的判定得出即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
19．【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是的中点，∴，，
同理得：，，
∵，
，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由根据平行四边形的性质，得到对角线，，再利用中点，证明，然后由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）先利用中点，可知，，
，，， 即可证明，则。
21．【答案】（1）证明：点，，分别是，，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，点，点分别是，的中点，
，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DF//AC、DE//AB，则四边形AFDE是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=FA、EH=EA，则由等边对等角可得，又平行四边形的对角相等即，等量代换即可.
22．【答案】（1）证明：如图，
和都是等边三角形，
，，，
，
.
（2）证明：如图，
连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据和都是等边三角形，结合等边三角形的性质得，，，即可得，进一步即可证明.
（2）连接，先根据旋转的性质证明是等边三角形，再证明，得，由①得，得，即可证明四边形是平行四边形.
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
；
（2）证明：如图，连接，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∴，
由（1），
，
，
四边形是平行四边形；
23．【答案】解：选择③； ，
证明如下： ，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择③：∠BEC=∠DFA，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得∠DAF=∠BCE，证明△ADF≌△CBE，据此可得结论.
24．【答案】（1）解：如图①.

（2）解：选择命题Ⅱ.
证明：如图②，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM.
又∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM.
又∵DE=BC，∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∴DM=CE，DM∥CE，∴DM∥AE.
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点.
选择命题Ⅲ.
证明：如图③，延长ED至点F，使DF=DE，连结BF.
∵D是AB的中点，∴AD=BD.
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠F，∴AC∥BF.
又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，∴CE=AE，∴E是AC的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据作图的描述尺规作图即可；
（2）选择命题Ⅱ：过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM，则EDBM是平行四边形，即可得到DE=BM=CM，进而证明DECM、ADME是平行四边形，证明结论即可；选择命题Ⅲ：延长ED至点F，使DF=DE，连结BF，即可得到△ADE≌△BDF，进而证明BCEF是平行四边形，得到结论.
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