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广西桂林市永福县2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八下·永福期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
2．（2025八下·永福期中）下列各组数中不是勾股数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、42＋32＝52，此选项是勾股数；
B、52＋122＝132，此选项是勾股数；
C、152＋82＝172，此选项是勾股数；
D、62＋72≠92，此选项不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．
3．（2025八下·永福期中）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用邻补角求出∠1的度数即可.
4．（2025八下·永福期中）如图，在菱形中，已知，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出AD的长即可.
5．（2025八下·永福期中）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作于E，
是的平分线，，，
，
∴点P到边的距离为5．
故答案为：B．
【分析】过点P作于E，利用角平分线的性质可得，即可得到点P到边的距离为5．
6．（2025八下·永福期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵，
是的中点
∴是的中位线
∴
∵
∴
故答案为：D
【分析】先根据三角形中位线得到，进而结合题意代入数值即可求解。
7．（2025八下·永福期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）．
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；
AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；
无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
8．（2025八下·永福期中）如图，在中，，点、、分别对应刻度尺上的刻度，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图可知，，
又，且点D为边的中点，
．
故答案为：D．
【分析】先求出BC的长，再利用直线三角形斜边上中线的性质求出AD的长即可.
9．（2025八下·永福期中）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用作图痕迹及角平分线的定义可得，再利用平行四边形的性质及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得.
10．（2025八下·永福期中）下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法正确；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故B说法错误；
四个角都相等的菱形是正方形，故C说法正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D说法正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
11．（2025八下·永福期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
12．（2025八下·永福期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，交于，连接交于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
∴，
即就是的最小值．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，．
即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】连接，交于，连接交于P，再证出就是的最小值．再利用勾股定理求出，最后可得的最小值为．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八下·永福期中）如果一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形是正　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个正多边形是正八边形．
故答案为：八．
【分析】设这个多边形是n边形，利用多边形的内角和公式可得，再求出n的值即可.
14．（2025八下·永福期中）已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为　 　cm2．
【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半，
即：4×6÷2＝12（cm2）．
故答案为：12．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
15．（2025八下·永福期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．
【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：添加条件是AB=CD．
理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：AB=CD．
【分析】利用三角形全等的判定方法HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
16．（2025八下·永福期中）如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮至少需要元．
故答案为：.
【分析】作边的高，设与的延长线交于点，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长，再结合AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
三、解答题（7大题，共72分）
17．（2025八下·永福期中）已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．（2025八下·永福期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．
【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△ADC≌△ABC，利用全等三角形的性质可得∠DAC＝∠BAC，再结合CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF．
19．（2025八下·永福期中）如图：在矩形中，E、F分别是边上的点，且，．
（1）与全等吗？说明理由；
（2）是一个什么形状的三角形？说明理由．
【答案】（1）解：与全等，
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质可得，再结合，，利用“HL”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，结合，证出是等腰直角三角形．
（1）解：与全等，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
20．（2025八下·永福期中）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由．
【答案】（1）证明：在中，是边的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
四边形为菱形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得DM=DN，再结合BD=CD，即可证出四边形是平行四边形；
（2）利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可证出四边形为菱形．
21．（2025八下·永福期中）阅读材料，并完成相应任务．
【材料】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点是的中点．求证：
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点，使，连接，；
小华：如图3，取的中点，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】
（2）如图4，中，，是高，为中点，判定和的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接，又∵点D是的中点，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
（2）证明：∵是的高，
∴，
又∵O是边的中点，
∴，，
∴，
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先选择方法，再分别讨论，①若小明的方法：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；②若小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，进而得出结论即可；③若其他方法：分别取的中点E，的中点F，连接，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，，最后即可得到结论.
22．（2025八下·永福期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
（1）直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
【答案】（1）
（2）解：如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，
解得：，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：.
【分析】（1）先结合图形可得，，，再利用线段的和差求出即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，可得AM的长，最后利用线段的和差求出MN的长即可.
（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：；
（2）如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，解得，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
23．（2025八下·永福期中）根据以下素材，探索完成任务．
你会用折纸的方式做出不同的角度吗？
问题背景
素材一 长方形是我们熟悉的四边形，两组对边相等，四个角都是90度，因为这个特性我们可以折出很多漂亮的图形；
素材二 正方形也是我们熟悉的四边形，四条边相等，四个角都是90度，因为正方形比长方形还特殊，所以就能折出更漂亮的图形；
操作一 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，，延长与交于点；
操作二 小明将长方形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照操作一中的方式操作，并延长与交于点，连接．
解决问题
任务一 在操作一中，的度数为______，的形状是______；
任务二 在操作二中，判断与的数量关系，并说明理由；
任务三 在操作二的探究中，若正方形的边长为，当点是边的三等分点时，求的长．
【答案】解（1）【第1空】，
【第2空】等边三角形；
（2），理由如下：
由折叠性质得，．
四边形是正方形，
．
．
又，
∴．
；
；（3）的长为或．
情况一：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，，
，解得；
情况二：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
故有：，解得；
综上所述，的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解（1）∵，，，
∴，
∴，
∴
由折叠可得，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴是等边三角形.
故答案为：，等边三角形.
【分析】（1）根据折叠的特点得到，进而得到，根据折叠的性质和平行线的性质得到，，进而证明出是等边三角形；
（2）利用正方形和折叠的特点，证明便可得出答案；
（3）当点是边的三等分点时，一共有两种情况，运用三角形全等和勾股定理便可计算出结果．
1 / 1广西桂林市永福县2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八下·永福期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·永福期中）下列各组数中不是勾股数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·永福期中）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·永福期中）如图，在菱形中，已知，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
5．（2025八下·永福期中）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2025八下·永福期中）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·永福期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）．
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD
8．（2025八下·永福期中）如图，在中，，点、、分别对应刻度尺上的刻度，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·永福期中）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．（2025八下·永福期中）下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
11．（2025八下·永福期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．3米
12．（2025八下·永福期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八下·永福期中）如果一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形是正　 　边形．
14．（2025八下·永福期中）已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为　 　cm2．
15．（2025八下·永福期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．
16．（2025八下·永福期中）如图所示三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要　 　元．
三、解答题（7大题，共72分）
17．（2025八下·永福期中）已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．
18．（2025八下·永福期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．
19．（2025八下·永福期中）如图：在矩形中，E、F分别是边上的点，且，．
（1）与全等吗？说明理由；
（2）是一个什么形状的三角形？说明理由．
20．（2025八下·永福期中）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由．
21．（2025八下·永福期中）阅读材料，并完成相应任务．
【材料】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点是的中点．求证：
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点，使，连接，；
小华：如图3，取的中点，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】
（2）如图4，中，，是高，为中点，判定和的数量关系并说明理由．
22．（2025八下·永福期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
（1）直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
23．（2025八下·永福期中）根据以下素材，探索完成任务．
你会用折纸的方式做出不同的角度吗？
问题背景
素材一 长方形是我们熟悉的四边形，两组对边相等，四个角都是90度，因为这个特性我们可以折出很多漂亮的图形；
素材二 正方形也是我们熟悉的四边形，四条边相等，四个角都是90度，因为正方形比长方形还特殊，所以就能折出更漂亮的图形；
操作一 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，，延长与交于点；
操作二 小明将长方形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照操作一中的方式操作，并延长与交于点，连接．
解决问题
任务一 在操作一中，的度数为______，的形状是______；
任务二 在操作二中，判断与的数量关系，并说明理由；
任务三 在操作二的探究中，若正方形的边长为，当点是边的三等分点时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、42＋32＝52，此选项是勾股数；
B、52＋122＝132，此选项是勾股数；
C、152＋82＝172，此选项是勾股数；
D、62＋72≠92，此选项不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用邻补角求出∠1的度数即可.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出AD的长即可.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作于E，
是的平分线，，，
，
∴点P到边的距离为5．
故答案为：B．
【分析】过点P作于E，利用角平分线的性质可得，即可得到点P到边的距离为5．
6．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵，
是的中点
∴是的中位线
∴
∵
∴
故答案为：D
【分析】先根据三角形中位线得到，进而结合题意代入数值即可求解。
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；
AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；
无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图可知，，
又，且点D为边的中点，
．
故答案为：D．
【分析】先求出BC的长，再利用直线三角形斜边上中线的性质求出AD的长即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题中作图可知：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用作图痕迹及角平分线的定义可得，再利用平行四边形的性质及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法正确；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故B说法错误；
四个角都相等的菱形是正方形，故C说法正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D说法正确；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作，
根据题意得米，
由勾股定理可得，
∴米，
∴米，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，通过作辅助线构建直角三角形，由题意可知米、米，在中利用勾股定理求出的长度，再用即可得到木马上升的高度。
12．【答案】B
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，交于，连接交于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
∴，
即就是的最小值．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴（等腰三角形三线合一的性质）．
在中，．
即的最小值为．
故答案为：B．
【分析】连接，交于，连接交于P，再证出就是的最小值．再利用勾股定理求出，最后可得的最小值为．
13．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个正多边形是正八边形．
故答案为：八．
【分析】设这个多边形是n边形，利用多边形的内角和公式可得，再求出n的值即可.
14．【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半，
即：4×6÷2＝12（cm2）．
故答案为：12．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
15．【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：添加条件是AB=CD．
理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：AB=CD．
【分析】利用三角形全等的判定方法HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮至少需要元．
故答案为：.
【分析】作边的高，设与的延长线交于点，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长，再结合AB的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△ADC≌△ABC，利用全等三角形的性质可得∠DAC＝∠BAC，再结合CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，利用角平分线的性质可得CE＝CF．
19．【答案】（1）解：与全等，
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质可得，再结合，，利用“HL”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，结合，证出是等腰直角三角形．
（1）解：与全等，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
20．【答案】（1）证明：在中，是边的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
四边形为菱形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得DM=DN，再结合BD=CD，即可证出四边形是平行四边形；
（2）利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可证出四边形为菱形．
21．【答案】（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接，又∵点D是的中点，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
（2）证明：∵是的高，
∴，
又∵O是边的中点，
∴，，
∴，
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先选择方法，再分别讨论，①若小明的方法：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，利用矩形的性质得出结论即可；②若小华的方法：根据三角形的中位线定理，推出垂直平分，进而得出结论即可；③若其他方法：分别取的中点E，的中点F，连接，利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质，即可得出结论；
（2）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，，最后即可得到结论.
22．【答案】（1）
（2）解：如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，
解得：，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：.
【分析】（1）先结合图形可得，，，再利用线段的和差求出即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，可得AM的长，最后利用线段的和差求出MN的长即可.
（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：；
（2）如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有，
即，解得，
所以，
所以，
答：学校旗杆的高为．
23．【答案】解（1）【第1空】，
【第2空】等边三角形；
（2），理由如下：
由折叠性质得，．
四边形是正方形，
．
．
又，
∴．
；
；（3）的长为或．
情况一：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，，
，解得；
情况二：，如下图所示，
由，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
故有：，解得；
综上所述，的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解（1）∵，，，
∴，
∴，
∴
由折叠可得，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴是等边三角形.
故答案为：，等边三角形.
【分析】（1）根据折叠的特点得到，进而得到，根据折叠的性质和平行线的性质得到，，进而证明出是等边三角形；
（2）利用正方形和折叠的特点，证明便可得出答案；
（3）当点是边的三等分点时，一共有两种情况，运用三角形全等和勾股定理便可计算出结果．
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