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北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2019八下·罗湖期中）下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、C、D是通过旋转得到；
B是通过平移得到．
故选B．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即可．
2．（初中数学北师大版八年级上册平移、旋转 (1)）下列说法正确的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B．平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故A错误；
B、平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故B正确；
C、图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故C错误；
D、在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故D错误．
故选：B．
【分析】根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
3．（2025八下·深圳期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．6
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点，的坐标分别为，，若将线段平移至，
线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，
，，
．
故答案为：B．
【分析】在平面直角坐标系中，图形的平移变换等价于图形上任意一点的平移变换。平移过程中点的坐标变化遵循以下规律：横坐标向右平移增加，向左平移减少；纵坐标向上平移增加，向下平移减少。根据题意，线段首先沿y轴正方向平移2个单位长度，接着沿x轴负方向平移1个单位长度，最终得到线段。通过这一平移过程可确定参数和的数值，进而计算差值。
4．（2025八上·南海月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着长方形边线循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(-1，-1)，C(-1，3)，
∴AB==2；BC==4，
∴蚂蚁爬行一圈的路程：即长方形ABCD周长C=(AB+BC)×2=(2+4)×2=12（单位），
∵2025÷12=168....9，
∴蚂蚁爬了168圈后又爬了9个单位。
∵A到B为2个单位，B到C为4个单位，C到D为2个单位，2+4+2=8（单位），
∴再向下爬1个单位，此时位置坐标为(1，2)。
故选：D
【分析】先求出长方形的边长，进而得到蚂蚁爬行一圈的路程，再用总路程除以一圈的路程得到圈数和余数，根据余数确定位置。
5．（2026九上·平武期末） 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-3， 2)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 得到线段 ，则点 A' 的坐标为（　　）
A．(2， 3) B．(3， 2) C．(-2， -3) D．(-3， -2)
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A'作A'C⊥x轴，垂足为C
∴∠ABO=∠OCA'=90°，
∴∠BAO+∠AOB=90°，
∵点A的坐标为(-3，2)，
∴OB=3，AB=2，
由旋转得OA=OA'，∠AOA'=90°，
∴∠AOB+∠A'OC=180°-∠AOA'=90°，
∴∠BAO=∠A'OC，
∴△ABO≌△OCA'(AAS)，
∴OC=AB=2，A'C=OB=3，
∴点A'的坐标为(2，3)
故答案为：A .
【分析】根据点的坐标与旋转的性质可求OB，AB，∠AOA'，结合全等三角形的判定与性质即可求解。
6．（2025九上·广州期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，
如图，过点作于点，
当点在点处时，取得最小值，即为的长，
点是边的中点，
，
在中，，
，
，
即的最小值是，
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，根据线段中点可得CF，根据含30°角的直角三角形性质可得CG，再根据勾股定理即可求出答案.
7．（2026九上·衡水月考）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（　　）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故答案为：D．
【分析】先证出皆为等边三角形，再求出，再结合，可得每转到12次后与方向重合，从而可得第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，再结合为等边三角形，可得，从而可得点在点的正北方．
8．（2024八下·龙岗期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示：
点，点，
，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第一次；
如图所示：
，
，
由旋转的性质可得：，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第二次，
如图所示：
，
，
则由旋转的性质可得，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第三次，
如图所示：
，
，
则由旋转性质可得，
∴ 点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第四次，
…
数形结合，发现点的位置4次一个循环，
∴，
∵，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，
∴，
故答案为：C．
【分析】
本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．根据题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质： 旋转前后的两个图形是全等的，即旋转前后两个图形对应边相等，根据旋转的性质，逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律即可得到答案．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：　 　 ，　 　 ，　 　 ．
【答案】（a，b﹣1）；（a，﹣b）；（a，b）　
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（a，b）．
故答案为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（a，b）．
【分析】根据图形的大小没变，图形向下平移了1个单位，图形向下翻折，图形的横坐标变为原来的一半，可得答案．
10．（2019九上·东莞期中）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=　 　。

【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB
∴∠ACC'=∠CAB=75°
由旋转可知△ABC≌△AB'C'
∴∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'
∴∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°
∴∠CAC'=180°-∠AC'C-∠ACC'=30°
∴∠BAB'=∠CAC'=30°.
【分析】先利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=75°；然后利用旋转的性质可知△ABC≌△A'B'C，利用全等三角形的性质可得∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'，进而得∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°；再在△ACC'中利用三角形内角和定理求出∠CAC'即可得解。
11．（2026七上·宁波月期末）两块相同的直角三角尺ABC和AED(∠ABC=∠ADE=90°， ∠BAC=∠E=30°)按如图摆放，顶点B，A， D在直线l上。现将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转得到三角尺AB'C'，当三角尺AB'C'的边AC'与AE重合时停止旋转，则在旋转过程中∠C'AE与∠B'AD满足数量关系是　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：设旋转角为，根据题意，得，
又，，
故，
故，
故，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设旋转角为，根据题意，得，，得到，解答即可．
12．（2024七下·南开期末）如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 　 　．
【答案】11
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：
则
∴阴影部分的周长为：，
故答案为：11．
【分析】利用平移的性质可得再利用线段的和差求出EC的长，最后求出阴影部分的周长即可.
13．（2026九上·双流期末）如图，四边形ABCD为正方形，AB=6，E为BC延长线上一点，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接CF，当CF取最小值时，CE的长为　 　 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，将DC逆时针旋转60°得到DG，作直线GF交BC于点M，
则∠CDG=60°，DC=DG，
∵△DFE为等边三角形，
∴DF=DE，∠EDF=60°
∴∠GDF=∠CDE
∴△DCE≌△DGF(SAS)
∴∠G=∠DCE=90°
在四边形DCMG中，∠GMC=360°-60°-90°-90°=120°
∴点F在直线GM上运动，
当CF⊥GM时，CF最小，如图，
在Rt△DPG中，∠PDG=30°，DG=6.
∴
∴GQ=PQ-PG=3
在Rt△GQM中，∠GMQ=60°
∴
∴
在Rt△CMF中，∠CMF=60°
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】将DC逆时针旋转60°得到DG，作直线GF交BC于点M，易证△DCE≌△DGF(SAS)，可得∠GMC=360°-60°-90°-90°=120°，进而可得点F的运动轨迹，据此求解即可.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2024八下·余姚期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
【答案】（1）解：组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示；
（2）解：组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.
15．（2025八下·龙华期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，直线．
（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）画出关于直线对称的，并写出的坐标；
（3）能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，、、
（2）解：如图所示，即为所求，、、
（3）解：能由绕点逆时针旋转得到，如图
∴旋转中心的坐标为，旋转角度为
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查坐标与图形的轴对称变换和旋转变换，解题需依据轴对称和旋转的性质确定对应点坐标。
(1)关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此将、、的横坐标取反，得到、、，顺次连接可得；
(2)关于直线对称的点，横、纵坐标互换且符号改变，将、、按此规律变换，得到、、，顺次连接可得；
(3)判断旋转关系需找对应点连线的垂直平分线交点，与、与等对应点连线的垂直平分线交于原点，且旋转角度为，故可由绕原点逆时针旋转得到。
（1）解：如图所示，即为所求，、、
（2）解：如图所示，即为所求，、、
（3）解：能由绕点逆时针旋转得到，如图
∴旋转中心的坐标为，旋转角度为
16．（2025八下·深圳期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”. 这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合. 如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成演中，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称.
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出
（3）队形继续进行变换，绕点A1顺时针旋转90°得到，请写出此时B2的坐标　 　.
【答案】（1）解：△DEF如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（5，3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）∵绕点A1顺时针旋转90°得到，
∴ B2的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）.【分析】（1）根据中心对称的性质作图求解即可；
（2）根据平移的性质作图求解即可；
（3）根据旋转的性质，结合题意求点的坐标即可。
17．（2024八下·沈阳月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：设点P的坐标为（a，b），
由题意得：，解得，
∴ 点P的坐标为（-2，1）.
（3）解：由题意，P1（c-1，2c），
∴P1的“-4阶派生点”P2为（-4（c-1）+2c，c-1-8c），即（-2c+4，-7c-1），
∵P2在坐标轴上，
∴-2c+4=0或-7c-1=0，
∴c=2或c=，
∴P2（0，-15）或（，0）.
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）3×（-1）+5=2；-1=3×5=14.
∴点P的坐标为（-1，5），则它的“三阶派生点”的坐标为（2，14）；
故答案为：（2，14）；
【分析】（1）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（2）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（3）根据“派生点”的定义并结合点P2的坐标所在的位置可得关于c的方程，解方程即可求解.
18．（2025八下·龙华期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
19．（2025八上·北京期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，，连接，，将线段，所组成的图形称之为“八字形”．我们给出如下的定义：点先关于与所在直线分别对称得到点，，再将，向右或向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到点，，称，为点关于“八字形”的“八中变换点”．
（1）当时，
①已知点，则点关于“八字形”的“八中变换点”坐标为　 　．
②已知，，若点为线段上一动点，设图形为所有关于“八字形”的“八中变换点”，若与图形有两个交点，则的取值范围为　 　．
（2）若点在以，，，为顶点的正方形上运动，且上存在点关于“八字形”的“八中变换点”，则的取值范围为　 　．
【答案】（1），；
（2）-2≤n≤或≤n≤1
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，则A(-1，0)，B(-2，-1)，C(1，0)，D(2，-1)
如图，
点P(0，-2)关于AB所在直线对称点P1'（-3，1)
点P(0，-2)关于CD所在直线对称点P2'(3，1)；
故答案为：(-3，1)，(3，1)
②如图，
点E(a，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+ 1)
点F(a+2，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+3)
同理点E关于CD所在直线对称点为(2，1-a)
点F关于CD所在直线对称点为(2，-1-a)，
要使得y=1与图形N有两个交点，则
解得-2≤a≤0
故答案为：-2≤a≤0
（2）(n-1，n-2)分别关于AB所在直线与CD所在直线对称
能得到端点分别为（n-2，n)，(n-3，n)，(n-3，n+1)，(n-2，n+1)的正方形
以及端点分别为(n+2，n+1)，(n+2，n+2)，(n+3，n+2)，(n+3，n+1)的正方形
分别将该正方形向右(n ≥ 0)或向左(n< 0)平移|n|个单位
再向上(n≥0)或向下n<0平移|n|个单位，
得到端点为（2n-2，2n)，（2n-3，2n)，(2n-3，2n+ 1)，(2n -2，2n + 1)的正方形
以及端点分别为（2n+2，2n+1)，(2n+2，2n+2)，(2n+ 3，2n+2)，(2n+3，2n+1)的正方形.
若x=-1上存在点P关于“M-八字形”的“八中变换点”，则2n-3≤-1≤2n-2或2n+1≤2n
解得：或
∴n的取值范围为-2≤n≤或≤n≤1
故答案为：-2≤n≤或≤n≤1、
【分析】（1）①n=0时，则(-1，0)，B(-2，-1)，C(1，0)，D(2，-1)，根据对称性质可得P1'（-3，1)，P2'(3，1)即可求出答案.
②根据对称性质可得点E(a，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+ 1)，点F(a+2，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+3)，点E关于CD所在直线对称点为(2，1-a)，F关于CD所在直线对称点为(2，-1-a)，根据y=1与图形N有两个交点，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）(n-1，n-2)分别关于AB所在直线与CD所在直线对称，能得到端点分别为（n-2，n)，(n-3，n)，(n-3，n+1)，(n-2，n+1)的正方形，以及端点分别为(n+2，n+1)，(n+2，n+2)，(n+3，n+2)，(n+3，n+1)的正方形，分别将该正方形向右(n ≥ 0)或向左(n< 0)平移|n|个单位，再向上(n≥0)或向下n<0平移|n|个单位，得到端点为（2n-2，2n)，（2n-3，2n)，(2n-3，2n+ 1)，(2n -2，2n + 1)的正方形，以及端点分别为（2n+2，2n+1)，(2n+2，2n+2)，(2n+ 3，2n+2)，(2n+3，2n+1)的正方形，结合题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．（2025八下·深圳期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数 请写出完整过程； ▲ (直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案)
【答案】（1）3；150°
（2）
（3）解：；完整过程如下：
将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H
由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°
在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2
∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°
∴∠APB=∠BP'C=135°∴
（4）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB
∵∠PAC+∠BAP=60°
∴∠PAP'=60°
∴△APP'为等边三角形
∴PP'=AP=AP'=3
∵PP'2+BP2=BP2
∴△BPP'为直角三角形
∴∠BPP'=90°
∴∠APB=90°+60°=150°
故答案为：3；150°
（2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90°
∴∠BPH=30°
∵BH⊥AP
∴∠H=90°
∵PB=4
∴
∴
∴
故答案为：
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE
∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD
∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形
∴AP=PF=AF
作EH⊥BC于点H交AD于点G
∴∠AEG=30°
∴
∵
∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH
∵GH=AB=3
∴
∴PA+PD+PQ的最小值为
故答案为：
【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案.
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2019八下·罗湖期中）下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（初中数学北师大版八年级上册平移、旋转 (1)）下列说法正确的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B．平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
3．（2025八下·深圳期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（　　）
A．8 B．4 C． D．6
4．（2025八上·南海月考）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着长方形边线循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·平武期末） 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-3， 2)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 得到线段 ，则点 A' 的坐标为（　　）
A．(2， 3) B．(3， 2) C．(-2， -3) D．(-3， -2)
6．（2025九上·广州期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．2
7．（2026九上·衡水月考）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（　　）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
8．（2024八下·龙岗期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：　 　 ，　 　 ，　 　 ．
10．（2019九上·东莞期中）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=　 　。

11．（2026七上·宁波月期末）两块相同的直角三角尺ABC和AED(∠ABC=∠ADE=90°， ∠BAC=∠E=30°)按如图摆放，顶点B，A， D在直线l上。现将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转得到三角尺AB'C'，当三角尺AB'C'的边AC'与AE重合时停止旋转，则在旋转过程中∠C'AE与∠B'AD满足数量关系是　 　.
12．（2024七下·南开期末）如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 　 　．
13．（2026九上·双流期末）如图，四边形ABCD为正方形，AB=6，E为BC延长线上一点，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接CF，当CF取最小值时，CE的长为　 　 .
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2024八下·余姚期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
15．（2025八下·龙华期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，直线．
（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）画出关于直线对称的，并写出的坐标；
（3）能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由．
16．（2025八下·深圳期中）在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”. 这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合. 如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成演中，其初始位置坐标分别为A（1，4），B（3，1），C（4，4），另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的△DEF与△ABC关于点M（5，5）成中心对称.
（1）在图中画出△DEF；
（2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出
（3）队形继续进行变换，绕点A1顺时针旋转90°得到，请写出此时B2的坐标　 　.
17．（2024八下·沈阳月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
18．（2025八下·龙华期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
19．（2025八上·北京期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，，连接，，将线段，所组成的图形称之为“八字形”．我们给出如下的定义：点先关于与所在直线分别对称得到点，，再将，向右或向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到点，，称，为点关于“八字形”的“八中变换点”．
（1）当时，
①已知点，则点关于“八字形”的“八中变换点”坐标为　 　．
②已知，，若点为线段上一动点，设图形为所有关于“八字形”的“八中变换点”，若与图形有两个交点，则的取值范围为　 　．
（2）若点在以，，，为顶点的正方形上运动，且上存在点关于“八字形”的“八中变换点”，则的取值范围为　 　．
20．（2025八下·深圳期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.
（1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案)
（2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案)
（3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数 请写出完整过程； ▲ (直接写出答案)
（4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、C、D是通过旋转得到；
B是通过平移得到．
故选B．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，而旋转同样不改变图形的形状和大小，故A错误；
B、平移和旋转的共同点是改变图形的位置，而图形的形状大小没有变化，故B正确；
C、图形可以向某方向平移一定距离，而旋转是围绕中心做圆周运动，故C错误；
D、在平移和旋转图形中，对应角相等，平移中对应线段相等且平行，旋转图形对应线段相等但不一定平行，故D错误．
故选：B．
【分析】根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点，的坐标分别为，，若将线段平移至，
线段先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到线段，
，，
．
故答案为：B．
【分析】在平面直角坐标系中，图形的平移变换等价于图形上任意一点的平移变换。平移过程中点的坐标变化遵循以下规律：横坐标向右平移增加，向左平移减少；纵坐标向上平移增加，向下平移减少。根据题意，线段首先沿y轴正方向平移2个单位长度，接着沿x轴负方向平移1个单位长度，最终得到线段。通过这一平移过程可确定参数和的数值，进而计算差值。
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A(1，-1)，B(-1，-1)，C(-1，3)，
∴AB==2；BC==4，
∴蚂蚁爬行一圈的路程：即长方形ABCD周长C=(AB+BC)×2=(2+4)×2=12（单位），
∵2025÷12=168....9，
∴蚂蚁爬了168圈后又爬了9个单位。
∵A到B为2个单位，B到C为4个单位，C到D为2个单位，2+4+2=8（单位），
∴再向下爬1个单位，此时位置坐标为(1，2)。
故选：D
【分析】先求出长方形的边长，进而得到蚂蚁爬行一圈的路程，再用总路程除以一圈的路程得到圈数和余数，根据余数确定位置。
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A'作A'C⊥x轴，垂足为C
∴∠ABO=∠OCA'=90°，
∴∠BAO+∠AOB=90°，
∵点A的坐标为(-3，2)，
∴OB=3，AB=2，
由旋转得OA=OA'，∠AOA'=90°，
∴∠AOB+∠A'OC=180°-∠AOA'=90°，
∴∠BAO=∠A'OC，
∴△ABO≌△OCA'(AAS)，
∴OC=AB=2，A'C=OB=3，
∴点A'的坐标为(2，3)
故答案为：A .
【分析】根据点的坐标与旋转的性质可求OB，AB，∠AOA'，结合全等三角形的判定与性质即可求解。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，
如图，过点作于点，
当点在点处时，取得最小值，即为的长，
点是边的中点，
，
在中，，
，
，
即的最小值是，
故选：C．
【分析】根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，根据线段中点可得CF，根据含30°角的直角三角形性质可得CG，再根据勾股定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故答案为：D．
【分析】先证出皆为等边三角形，再求出，再结合，可得每转到12次后与方向重合，从而可得第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，再结合为等边三角形，可得，从而可得点在点的正北方．
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图所示：
点，点，
，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第一次；
如图所示：
，
，
由旋转的性质可得：，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第二次，
如图所示：
，
，
则由旋转的性质可得，
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第三次，
如图所示：
，
，
则由旋转性质可得，
∴ 点的横坐标为：
点的纵坐标为：
第四次，
…
数形结合，发现点的位置4次一个循环，
∴，
∵，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，
∴，
故答案为：C．
【分析】
本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．根据题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质： 旋转前后的两个图形是全等的，即旋转前后两个图形对应边相等，根据旋转的性质，逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律即可得到答案．
9．【答案】（a，b﹣1）；（a，﹣b）；（a，b）　
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（a，b）．
故答案为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（a，b）．
【分析】根据图形的大小没变，图形向下平移了1个单位，图形向下翻折，图形的横坐标变为原来的一半，可得答案．
10．【答案】30°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB
∴∠ACC'=∠CAB=75°
由旋转可知△ABC≌△AB'C'
∴∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'
∴∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°
∴∠CAC'=180°-∠AC'C-∠ACC'=30°
∴∠BAB'=∠CAC'=30°.
【分析】先利用平行线的性质得∠ACC'=∠CAB=75°；然后利用旋转的性质可知△ABC≌△A'B'C，利用全等三角形的性质可得∠B'AC'=∠CAB=75°，AC=AC'，进而得∠CAC'= ∠BAB'，∠AC'C=∠ACC'=∠CAB=75°；再在△ACC'中利用三角形内角和定理求出∠CAC'即可得解。
11．【答案】
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：设旋转角为，根据题意，得，
又，，
故，
故，
故，
故，
故，
故答案为：．
【分析】设旋转角为，根据题意，得，，得到，解答即可．
12．【答案】11
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：
则
∴阴影部分的周长为：，
故答案为：11．
【分析】利用平移的性质可得再利用线段的和差求出EC的长，最后求出阴影部分的周长即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，将DC逆时针旋转60°得到DG，作直线GF交BC于点M，
则∠CDG=60°，DC=DG，
∵△DFE为等边三角形，
∴DF=DE，∠EDF=60°
∴∠GDF=∠CDE
∴△DCE≌△DGF(SAS)
∴∠G=∠DCE=90°
在四边形DCMG中，∠GMC=360°-60°-90°-90°=120°
∴点F在直线GM上运动，
当CF⊥GM时，CF最小，如图，
在Rt△DPG中，∠PDG=30°，DG=6.
∴
∴GQ=PQ-PG=3
在Rt△GQM中，∠GMQ=60°
∴
∴
在Rt△CMF中，∠CMF=60°
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】将DC逆时针旋转60°得到DG，作直线GF交BC于点M，易证△DCE≌△DGF(SAS)，可得∠GMC=360°-60°-90°-90°=120°，进而可得点F的运动轨迹，据此求解即可.
14．【答案】（1）解：组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示；
（2）解：组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，、、
（2）解：如图所示，即为所求，、、
（3）解：能由绕点逆时针旋转得到，如图
∴旋转中心的坐标为，旋转角度为
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题考查坐标与图形的轴对称变换和旋转变换，解题需依据轴对称和旋转的性质确定对应点坐标。
(1)关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此将、、的横坐标取反，得到、、，顺次连接可得；
(2)关于直线对称的点，横、纵坐标互换且符号改变，将、、按此规律变换，得到、、，顺次连接可得；
(3)判断旋转关系需找对应点连线的垂直平分线交点，与、与等对应点连线的垂直平分线交于原点，且旋转角度为，故可由绕原点逆时针旋转得到。
（1）解：如图所示，即为所求，、、
（2）解：如图所示，即为所求，、、
（3）解：能由绕点逆时针旋转得到，如图
∴旋转中心的坐标为，旋转角度为
16．【答案】（1）解：△DEF如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）（5，3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）∵绕点A1顺时针旋转90°得到，
∴ B2的坐标是（5，3），
故答案为：（5，3）.【分析】（1）根据中心对称的性质作图求解即可；
（2）根据平移的性质作图求解即可；
（3）根据旋转的性质，结合题意求点的坐标即可。
17．【答案】（1）
（2）解：设点P的坐标为（a，b），
由题意得：，解得，
∴ 点P的坐标为（-2，1）.
（3）解：由题意，P1（c-1，2c），
∴P1的“-4阶派生点”P2为（-4（c-1）+2c，c-1-8c），即（-2c+4，-7c-1），
∵P2在坐标轴上，
∴-2c+4=0或-7c-1=0，
∴c=2或c=，
∴P2（0，-15）或（，0）.
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）3×（-1）+5=2；-1=3×5=14.
∴点P的坐标为（-1，5），则它的“三阶派生点”的坐标为（2，14）；
故答案为：（2，14）；
【分析】（1）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（2）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（3）根据“派生点”的定义并结合点P2的坐标所在的位置可得关于c的方程，解方程即可求解.
18．【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
19．【答案】（1），；
（2）-2≤n≤或≤n≤1
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）①n=0时，则A(-1，0)，B(-2，-1)，C(1，0)，D(2，-1)
如图，
点P(0，-2)关于AB所在直线对称点P1'（-3，1)
点P(0，-2)关于CD所在直线对称点P2'(3，1)；
故答案为：(-3，1)，(3，1)
②如图，
点E(a，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+ 1)
点F(a+2，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+3)
同理点E关于CD所在直线对称点为(2，1-a)
点F关于CD所在直线对称点为(2，-1-a)，
要使得y=1与图形N有两个交点，则
解得-2≤a≤0
故答案为：-2≤a≤0
（2）(n-1，n-2)分别关于AB所在直线与CD所在直线对称
能得到端点分别为（n-2，n)，(n-3，n)，(n-3，n+1)，(n-2，n+1)的正方形
以及端点分别为(n+2，n+1)，(n+2，n+2)，(n+3，n+2)，(n+3，n+1)的正方形
分别将该正方形向右(n ≥ 0)或向左(n< 0)平移|n|个单位
再向上(n≥0)或向下n<0平移|n|个单位，
得到端点为（2n-2，2n)，（2n-3，2n)，(2n-3，2n+ 1)，(2n -2，2n + 1)的正方形
以及端点分别为（2n+2，2n+1)，(2n+2，2n+2)，(2n+ 3，2n+2)，(2n+3，2n+1)的正方形.
若x=-1上存在点P关于“M-八字形”的“八中变换点”，则2n-3≤-1≤2n-2或2n+1≤2n
解得：或
∴n的取值范围为-2≤n≤或≤n≤1
故答案为：-2≤n≤或≤n≤1、
【分析】（1）①n=0时，则(-1，0)，B(-2，-1)，C(1，0)，D(2，-1)，根据对称性质可得P1'（-3，1)，P2'(3，1)即可求出答案.
②根据对称性质可得点E(a，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+ 1)，点F(a+2，-1)关于AB所在直线对称点为(-2，a+3)，点E关于CD所在直线对称点为(2，1-a)，F关于CD所在直线对称点为(2，-1-a)，根据y=1与图形N有两个交点，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）(n-1，n-2)分别关于AB所在直线与CD所在直线对称，能得到端点分别为（n-2，n)，(n-3，n)，(n-3，n+1)，(n-2，n+1)的正方形，以及端点分别为(n+2，n+1)，(n+2，n+2)，(n+3，n+2)，(n+3，n+1)的正方形，分别将该正方形向右(n ≥ 0)或向左(n< 0)平移|n|个单位，再向上(n≥0)或向下n<0平移|n|个单位，得到端点为（2n-2，2n)，（2n-3，2n)，(2n-3，2n+ 1)，(2n -2，2n + 1)的正方形，以及端点分别为（2n+2，2n+1)，(2n+2，2n+2)，(2n+ 3，2n+2)，(2n+3，2n+1)的正方形，结合题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）3；150°
（2）
（3）解：；完整过程如下：
将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H
由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45°
在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2
∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135°
∴∠APB=∠BP'C=135°∴
（4）
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB
∵∠PAC+∠BAP=60°
∴∠PAP'=60°
∴△APP'为等边三角形
∴PP'=AP=AP'=3
∵PP'2+BP2=BP2
∴△BPP'为直角三角形
∴∠BPP'=90°
∴∠APB=90°+60°=150°
故答案为：3；150°
（2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90°
∴∠BPH=30°
∵BH⊥AP
∴∠H=90°
∵PB=4
∴
∴
∴
故答案为：
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE
∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD
∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形
∴AP=PF=AF
作EH⊥BC于点H交AD于点G
∴∠AEG=30°
∴
∵
∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH
∵GH=AB=3
∴
∴PA+PD+PQ的最小值为
故答案为：
【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案.
（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案.
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