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第四章 三角形
第1课时
4.3探索三角形全等的条件
北师大版数学七年级下册
1.掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性；（重点）
2.在探索三角形全等条件的过程中，能有条理地思考并进行简单的推理；（难点）
3.在给出三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.
目 录
1 新课导入
2 新课讲授
3 典例分析
4 学以致用
5 课堂小结
6 布置作业
复习回顾
1.能够完全重合的两个三角形叫做　　　　　　.
2.全等三角形的对应边　　　　,对应角　　　　.
3.两个三角形全等的一般记法:全等用符号“　　　　”表示，读作“全等于”. △ABC和△DEF全等,记作　　　　　 　 　,其中要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等三角形
相等
相等
≌
△ABC≌△DEF
情境引入
如图所示，要画一个三角形与△ABC全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢 一个条件 两个条件 三个条件 ……
图 2
图 1
探究一：三角形全等的条件：“边边边”
①只有一条边相等,画出的的三角形不一定全等(如图1).
②只有一个角相等,画出的三角形不一定全等(如图2).
结论：有一个条件相等不能保证所画出的三角形一定全等.
（1）只给一个条件（一条边或一个角）画出的三角形一定全等吗？
操作·交流
30o
3 cm
（2）给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？请你试一试，并与同伴进行交流.
①已知一角一边画三角形.例如：三角形的一个内角为30°,一条边为3 cm；
不一定全等.
②已知两角画三角形.例如：三角形的两个内角分别是30°和50°;
50°
50°
30o
不一定全等.
6 cm
4 cm
结论：有两个条件对应相等不能保证所画出的三角形一定全等.
③已知两边画三角形.例如：三角形的两条边分别为4 cm，6 cm.
4 cm
4 cm
不一定全等.
有四种可能：三个角、三条边、两边一角、两角一边.
三个内角分别相等的两个三角形不一定全等.
60o
300
300
60o
给出三个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？与同伴进行交流.
思考·交流
(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
尝试·思考
(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm,你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画的进行比较,它们一定全等吗
一定全等.
7cm
5cm
4cm
5cm
7cm
4cm
通过刚才的探究过程，我们可以总结出“已知三角形的三边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤.
如图,已知:线段a，b，c，用尺规作△ABC，使得AB=c，AC=b，BC=a．
(3)小组合作,选择三条线段作为三角形的三条边,并用尺规作出这个三角形.把你作的三角形与同伴作的进行比较,它们一定全等吗
一定全等.
作法 示范
1.作一条线段BC=a.
2.分别以点B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于点A.
3.连接AB，AC.
△ABC就是所要作的三角形.
即确定了三角形的两个顶点.
即确定了三角形的第三个顶点.
作法与示范：
知识归纳
三角形全等的条件:“边边边”
（SSS）
几何语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
△ABC≌△A'B'C'
∴
A
B
C
A'
B'
C'
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
在列举两个三角形全等的条件时,一般是把同一个三角形的三个量放在等号的同一侧.
已知三角形的三边,用尺规作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的.
AB=A'B'，
BC=B'C'，
AC=A'C'.
∵
1.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由.
A
B
C
D
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
=
=
解：全等，理由如下：
在△ABC和△DCB中
AB = CD,
AC = BD,
BC=CB
∵
准备几根硬纸条.
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形（如图1），你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
图 1
操作·交流
探究二：三角形的稳定性
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形（如图2），拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？
图2
（3）上面的现象说明了什么？
三角形具有稳定性；四边具有不稳定性.
不变.
形状改变了.
知识归纳
三角形的稳定性
由上面的结论可知，只要三角形三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小也就完全确定了，三角形的这个性质叫做“三角形的稳定性”.
这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子，如下图.
你还能举出一些其他例子吗？
2.如图所示,人字梯中间一般会设计一个“拉杆”,这样做的道理是(　　)
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.两直线平行,内错角相等
C
例1:如图,有一个三角形钢架,AB =AC ,AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．
试证明：△ABD ≌△ACD ．
C
B
D
A
解题思路：
最后找隐含条件
公共边AD
先找现有条件
AB=AC
再找准备条件
BD=CD
D是BC的中点
证明：∵ D 是BC中点，
∴　BD =CD．
在△ABD 与△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
准备条件
指明范围
摆齐根据
写出结论
C
B
D
A
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
AD =AD （公共边）
∵
例2：如图所示，已知点A,D,B,F在同一条直线上，AC=FE，BC=DE，AD=FB.试说明△ABC≌△FDE.
解:∵AD=FB,
∴AD+DB=FB+DB,即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
∴△ABC≌△FDE(SSS).
AC=FE,
AB=FD,
BC=DE,
∵
例3：如图所示,已知线段a,b,求作:△ABC,使BC=a,AC=AB=b.
解:作法:如图,(1)作射线BE;
(2)在射线BE上截取BC=a;
(3)分别以点B,C为圆心,b为半径画弧,
两弧在射线BE的同侧交于点A.
(4)连接AB,AC.
则△ABC就是所求作的三角形.
2.如图所示,在△ABC中,D为边BC上一点,点E在AD上，AB= AC,EB=EC,则运用“SSS”可以直接判定 (　　)
A.△ABD≌△ACE B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△ACD D.以上选项均不对
B
1.下图的三角形中，与左图中△ABC全等的是(　　)
C
4.如图所示,点B,F,C,D在同一直线上，AB=EF，AC=ED,BF=CD,∠A=95°,∠B=25°,则∠D的度数为(　　)
A.60° B.25°
C.70° D.95°
A
3.如图所示， 已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点，BD= CD,则下列结论错误的是(　　)
A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC D.∠B=∠C
A
5.如图所示，一扇窗户打开后,用窗钩AB可以将其固定,这里所运用的几何原理是　 　　　　　　　　.
6.如图所示，点D,E分别在AB,AC上，AB=AC，BE=CD，要依据“SSS”判定△ABE≌△ACD，还需补充的条件是 .(填一个即可)
三角形具有稳定性
AE=AD
7.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下列作法的合理顺序为
　　　　(填序号).
①分别以点B,C为圆心,c,b为半径在BC的同侧作弧,两弧交于点A;
②作射线BM,在BM上截取BC=a;
③连接AB,AC,则△ABC就是所求作的三角形.
②①③
8.如图所示，已知点A,E,D在同一直线上,AB=AC,BE=CE,BD=CD.
(1)图中有几对全等三角形 请分别写出来;
(2)请选择一对全等三角形说明其全等的理由.
解:(1)有3对全等三角形,分别是△ABE≌△ACE,
△ABD≌△ACD,△BED≌△CED.
(2)在△ABE和△ACE中，
AB=AC,
BE=CE,
AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(SSS).(答案不唯一)
∵
9.如图所示，点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE, BC=EF.
(1)试说明:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
解:(1)∵AD=CF,
∴AD+DC=CF+DC,即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∵AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠F=∠ACB.
∵∠A=55°,∠B=88°,
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)
=180°-(55°+88°)=37°,
∴∠F=∠ACB=37°.
10.如图所示,AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点O.
试说明: ∠DAO=∠CBO.
解:如图,连接CD.
在△ACD和△BDC中,
∵AD=BC,AC=BD,CD=DC,
∴△ACD≌△BDC(SSS),
∴∠DAO=∠CBO.
11.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
试说明：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.
A
C
E
D
B
F
解：(1)∵ AD=FB，
∴AB=FD（等式的性质）.
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证）.
∴ ∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
∴△ABC≌△FDE（SSS）.
AC=FE，
BC=DE，
AB=FD，
在△ABC和△FDE 中，
∵
探索三角形全等的条件1
三边分别相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”）.
三角形的稳定性
已知三角形的三边,用尺规作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的.
三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.
三角形全等的条件：“边边边”
习题4.3：1，8，12，13题.
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