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北师大版数学八年级下册第四单元因式分解单元检测提升卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·安州期末） 把多项式分解因式，应提取的公因式是(　　)
A．ab B．2ab C． D．2a
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2ab+4ab2=2ab(1+2b)，
∴应提取的公因式是2ab，
故答案为：B.
【分析】根据公因式的确定方法解答即可.
2．（2026八上·长沙期末）下列多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．2a-6=2(a-3)
【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：选项A：，故A错误；
选项B：，，故B错误；
选项C：，不是乘积形式，故C错误；
选项D：，是提取公因式，正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义“因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式”判断解答即可．
3．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
4．（2025八上·广安期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】A
【知识点】公因式的概念；三角形三边关系；等腰三角形的概念；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：由题意得，
∴或，
∴或．
∵是的三边长，
∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边），
∴不成立，
∴只有成立，
∴是等腰三角形．
故选：A．
【分析】提公因式进行分解，根据整式乘法可得或，则或，再根据三角形三边关系，结合等腰三角形判定定理即可求出答案.
5．（2023八上·东平月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设这两个连续偶数分别（m为自然数），
∴“神秘数”，
A、若，解得，故Ａ错误.
B、若，解得，故Ｂ正确.
C、若，解得，故Ｃ错误.
D、若，解得，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】设这两个连续偶数分别（m为自然数），则“神秘数”，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数列方程求解即可，分别求出，，，的m值，根据m值是不是自然数即可得答案.
6．（2024八上·烟台期中）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
故选：B．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，可得c，b值，代入代数式，再进行因式分解即可求出答案.
7．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴
∵，
∴；
故答案为D
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及平方差公式的应用。由、，根据等腰三角形“三线合一”可得；在和中，根据勾股定理分别有、；两式相减得，利用平方差公式分解为；结合图形可知，，代入、，可得。
8．（2026八上·越秀月考）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取x=22，y=26，则有y=26，x-3=19，x+3=25，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（　　）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：a4 16b4＝（a2 4b2）（a2＋4b2）＝（a 2b）（a＋2b）（a2＋4b2），
∵a，b分别取正整数，
∴a 2b＜a＋2b＜a2＋4b2，
∴a 2b＝4，a＋2b＝8，
解得a＝6，b＝1，
∴a2＋4b2＝40，
∴该多项式生成的密码为4084，
故答案为：B．
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再求出因式码即可．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·宁明月考）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的分组分解法与平方差公式，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可运用公式的形式。观察多项式，可将后三项结合进行分组，即原式变形为；其中符合完全平方公式，可分解为，此时式子变为，该式又符合平方差公式，其中，，进而分解得到最终结果。
10．（2025八下·中江月考）已知，，则　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
【分析】先根据同分母分式加法法则求出a+b的值，然后利用完全平方公式将待求式子分解因式，最后整体代入计算可得答案.
11．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为，
∴在中，是正确的，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值代入原多项式进行因式分解.
12．某串联电路中电流I（单位：A）、电阻 R1，R2，R3（单位：Ω）、时间t（单位：s）与热量 Q（单位：J）有下列关系： 如图，当I 24.9Ω，t=3s 时，电流流经电阻所产生的热量 Q 为　 　 J.
【答案】108
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：由题意得，
将 代入，
得 +42.4+24.9)=0.36×3×100=108(J).
故答案为：108.
【分析】本题首先对提取公因数I2t，然后将 代入计算即可得出答案。
13．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八上·宁明月考）把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，关键是识别多项式的结构是否符合完全平方公式。观察多项式，其形式与完全平方公式一致，其中（因为），（因为），中间项，完全满足公式条件，因此可直接用完全平方公式分解。
（2）本题考察完全平方公式的应用，解题需识别多项式的首项、末项是否为完全平方数，中间项是否为两倍的首末项平方根的乘积。多项式中，首项是完全平方形式，末项也是完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再合并同类项得到最终结果。
（3）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，解题需将多项式中的部分项看作一个整体。观察多项式，可将看作一个整体，此时首项，末项，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再去括号整理得到结果。
（4）本题考察完全平方公式的应用，关键是将和看作完全平方公式中的两个项。多项式中，首项、末项均为完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，合并同类项得，再提取公因式，整理为。
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
15．（2025八下·东莞期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查二次根式的求值以及乘法公式的应用。
(1)利用完全平方公式将代数式变形为，先计算的结果，再代入平方计算；
(2)利用平方差公式将代数式变形为，分别计算和的结果，再将两个结果相乘即可。
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
16．（2025七下·浙江月考）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？
小季同学经过思考后作如下小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，
，即无论x取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为-9.
（1）请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
（2）求代数式的最大值.
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
因为无论m取何值时，都小于等于0，
所以，
则有最大值为18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法和对进行配方，参考小季同学的方法进行因式分解即可；
（2）利用小季同学的方法进行配方，得到 ，再参考小戴同学的方法，即可得到最值.
17．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
18．（2025八上·徐水期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
（3）结合本题知识，分解因式：．
【答案】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】(1) 本题考察十字相乘法分解二次三项式，对于，二次项系数为1，可分解为，常数项为-27，需要找到两个数，使其乘积为-27，且和为一次项系数6。尝试分解常数项：-3和9的乘积为-27，且，符合要求；因此按照十字相乘法的形式，将二次项系数和常数项的分解结果交叉相乘再相加，即可得到。
(2) 本题考察十字相乘法分解二次三项式，对于，二次项系数为6，可分解为，常数项为-3，需要找到两个数，使其乘积为-3，且交叉相乘后和为一次项系数-7。尝试分解常数项：-3和1的乘积为-3，交叉相乘得，符合要求；因此分解结果为。
(3) 本题考察十字相乘法的灵活应用，采用整体代换的思路，将看作一个整体。对于，二次项系数20可分解为，常数项-6可分解为，交叉相乘得，恰好等于一次项系数；因此先分解为，再展开括号，得到最终结果。
（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
19．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
【答案】（1）解：由题意得：当，时，
.
（2）解：观察得：

（3）解：由题意可得：，
，
（或写，或）
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用；三角形的面积；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）计算各个阴影三角形的面积并相加即可；
（2）用大正方形的面积减去各个白色三角形的面积并整理化简即可；
（3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可．
（1）解：当，时，
（2）
（3）
（或写，或）
20．（2025八上·固安月考）阅读材料：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
（1）已知，则______，______；
（2）若，，试比较A与B的大小：A______B（填“”或“”）；
（3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】（1）4；4
（2）
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，
（2）解：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：（1）4；4；（2）．
【分析】（1）依据材料中的变形方法，将2y2拆分成y2+y2，此时原式即可变形为，然后根据二次方的非负性求出结果即可；
（2）先列式作差，然后计算得出，最后根据二次方的非负性即可得出；
（3）先将10变为9+1，然后将原式变形得到，此时可以求出，，根据三角形三边关系以及a、b、c都是正整数，可以求出，最后即可求出三角形的周长。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：4；4．
（2）解：
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为．
1 / 1北师大版数学八年级下册第四单元因式分解单元检测提升卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2026八上·安州期末） 把多项式分解因式，应提取的公因式是(　　)
A．ab B．2ab C． D．2a
2．（2026八上·长沙期末）下列多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．2a-6=2(a-3)
3．（2026八上·常宁期末）当m为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2025八上·广安期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
5．（2023八上·东平月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
6．（2024八上·烟台期中）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·龙岗期中）著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．60
8．（2026八上·越秀月考）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取x=22，y=26，则有y=26，x-3=19，x+3=25，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（　　）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·宁明月考）因式分解：　 　．
10．（2025八下·中江月考）已知，，则　 　．
11．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为　 　．
12．某串联电路中电流I（单位：A）、电阻 R1，R2，R3（单位：Ω）、时间t（单位：s）与热量 Q（单位：J）有下列关系： 如图，当I 24.9Ω，t=3s 时，电流流经电阻所产生的热量 Q 为　 　 J.
13．（2026八上·海珠期末） 若 则 的值为　 　.
三、解答题（共7题；共61分)
14．（2025八上·宁明月考）把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
15．（2025八下·东莞期中）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
16．（2025七下·浙江月考）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？
小季同学经过思考后作如下小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，
，即无论x取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为-9.
（1）请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
（2）求代数式的最大值.
17．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
18．（2025八上·徐水期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
（3）结合本题知识，分解因式：．
19．（2024七下·长兴期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
（1）当，时，求阴影部分的面积；
（2）用含，的代数式表示阴影部分的面积；
（3）小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
20．（2025八上·固安月考）阅读材料：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：
（1）已知，则______，______；
（2）若，，试比较A与B的大小：A______B（填“”或“”）；
（3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2ab+4ab2=2ab(1+2b)，
∴应提取的公因式是2ab，
故答案为：B.
【分析】根据公因式的确定方法解答即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：选项A：，故A错误；
选项B：，，故B错误；
选项C：，不是乘积形式，故C错误；
选项D：，是提取公因式，正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义“因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式”判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：A．
【分析】根据平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可．
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念；三角形三边关系；等腰三角形的概念；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：由题意得，
∴或，
∴或．
∵是的三边长，
∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边），
∴不成立，
∴只有成立，
∴是等腰三角形．
故选：A．
【分析】提公因式进行分解，根据整式乘法可得或，则或，再根据三角形三边关系，结合等腰三角形判定定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设这两个连续偶数分别（m为自然数），
∴“神秘数”，
A、若，解得，故Ａ错误.
B、若，解得，故Ｂ正确.
C、若，解得，故Ｃ错误.
D、若，解得，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】设这两个连续偶数分别（m为自然数），则“神秘数”，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数列方程求解即可，分别求出，，，的m值，根据m值是不是自然数即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
故选：B．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，可得c，b值，代入代数式，再进行因式分解即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴
∵，
∴；
故答案为D
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及平方差公式的应用。由、，根据等腰三角形“三线合一”可得；在和中，根据勾股定理分别有、；两式相减得，利用平方差公式分解为；结合图形可知，，代入、，可得。
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；有理数混合运算法则（含乘方）；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：a4 16b4＝（a2 4b2）（a2＋4b2）＝（a 2b）（a＋2b）（a2＋4b2），
∵a，b分别取正整数，
∴a 2b＜a＋2b＜a2＋4b2，
∴a 2b＝4，a＋2b＝8，
解得a＝6，b＝1，
∴a2＋4b2＝40，
∴该多项式生成的密码为4084，
故答案为：B．
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再求出因式码即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的分组分解法与平方差公式，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可运用公式的形式。观察多项式，可将后三项结合进行分组，即原式变形为；其中符合完全平方公式，可分解为，此时式子变为，该式又符合平方差公式，其中，，进而分解得到最终结果。
10．【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
【分析】先根据同分母分式加法法则求出a+b的值，然后利用完全平方公式将待求式子分解因式，最后整体代入计算可得答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为，
∴在中，是正确的，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值代入原多项式进行因式分解.
12．【答案】108
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：由题意得，
将 代入，
得 +42.4+24.9)=0.36×3×100=108(J).
故答案为：108.
【分析】本题首先对提取公因数I2t，然后将 代入计算即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】因式分解﹣提公因式法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
=1+a（1+a+a2+a3+a4）+a6（1+a+a2+a3+a4）+......+a2021（1+a+a2+a3+a4）
=1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4）
=1.
故答案为：1.
【分析】把原式变形为1+（a+a6+a11+......+a2021）（1+a+a2+a3+a4），根据即可得出答案。
14．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，关键是识别多项式的结构是否符合完全平方公式。观察多项式，其形式与完全平方公式一致，其中（因为），（因为），中间项，完全满足公式条件，因此可直接用完全平方公式分解。
（2）本题考察完全平方公式的应用，解题需识别多项式的首项、末项是否为完全平方数，中间项是否为两倍的首末项平方根的乘积。多项式中，首项是完全平方形式，末项也是完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再合并同类项得到最终结果。
（3）本题考察完全平方公式在因式分解中的应用，解题需将多项式中的部分项看作一个整体。观察多项式，可将看作一个整体，此时首项，末项，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，再去括号整理得到结果。
（4）本题考察完全平方公式的应用，关键是将和看作完全平方公式中的两个项。多项式中，首项、末项均为完全平方形式，中间项，符合完全平方公式，因此先分解为，合并同类项得，再提取公因式，整理为。
（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
15．【答案】（1）解：∵，，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查二次根式的求值以及乘法公式的应用。
(1)利用完全平方公式将代数式变形为，先计算的结果，再代入平方计算；
(2)利用平方差公式将代数式变形为，分别计算和的结果，再将两个结果相乘即可。
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
16．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
因为无论m取何值时，都小于等于0，
所以，
则有最大值为18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法和对进行配方，参考小季同学的方法进行因式分解即可；
（2）利用小季同学的方法进行配方，得到 ，再参考小戴同学的方法，即可得到最值.
17．【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
18．【答案】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】(1) 本题考察十字相乘法分解二次三项式，对于，二次项系数为1，可分解为，常数项为-27，需要找到两个数，使其乘积为-27，且和为一次项系数6。尝试分解常数项：-3和9的乘积为-27，且，符合要求；因此按照十字相乘法的形式，将二次项系数和常数项的分解结果交叉相乘再相加，即可得到。
(2) 本题考察十字相乘法分解二次三项式，对于，二次项系数为6，可分解为，常数项为-3，需要找到两个数，使其乘积为-3，且交叉相乘后和为一次项系数-7。尝试分解常数项：-3和1的乘积为-3，交叉相乘得，符合要求；因此分解结果为。
(3) 本题考察十字相乘法的灵活应用，采用整体代换的思路，将看作一个整体。对于，二次项系数20可分解为，常数项-6可分解为，交叉相乘得，恰好等于一次项系数；因此先分解为，再展开括号，得到最终结果。
（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
19．【答案】（1）解：由题意得：当，时，
.
（2）解：观察得：

（3）解：由题意可得：，
，
（或写，或）
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用；三角形的面积；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）计算各个阴影三角形的面积并相加即可；
（2）用大正方形的面积减去各个白色三角形的面积并整理化简即可；
（3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可．
（1）解：当，时，
（2）
（3）
（或写，或）
20．【答案】（1）4；4
（2）
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，
（2）解：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：（1）4；4；（2）．
【分析】（1）依据材料中的变形方法，将2y2拆分成y2+y2，此时原式即可变形为，然后根据二次方的非负性求出结果即可；
（2）先列式作差，然后计算得出，最后根据二次方的非负性即可得出；
（3）先将10变为9+1，然后将原式变形得到，此时可以求出，，根据三角形三边关系以及a、b、c都是正整数，可以求出，最后即可求出三角形的周长。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：4；4．
（2）解：
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为．
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