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北师大版数学八年级下册第四单元因式分解单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？(　　)
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
2．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
3．（2025八上·雨花月考）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是(　　)
A． B．
C． D．
4．（2025七下·宁波期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
5．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是(　　)
A．64.8 B．24.3 C．16.2 D．8.1
6．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
8．（2024八上·万州期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（　　）
（1）能被整除；（2）若能被整除，则或；（3）若能被整除，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·固安月考）若△ABC三边、、满足，则△ABC是　 　三角形．
10．（2025八上·玉环期末）已知，则　 　．
11．多项式 因式分解的结果为 ，则的值为　 　.
12．（2024九上·江南期中）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为　 　．
13．数学家波利亚说过： “为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次， 从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理， 也称为富比尼原理． 例．如： 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 计算图 1 的面积， 把图 1 看作一个大正方形， 它的面积是 ； ．如果把图 1 看作是由 2 个长方形和 2 个小正方形组成的， 它的面积为 ． 由此得到 ． ．如图 2， 正方形 是由四个边长为 的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图 2 的面积进行计算，你发现的等式是　 　(用含 的代数式表示)
三、解答题（共7题；共61分)
14． 分解因式：
15．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．
16．（2024八下·桥西期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
（1）若选择B、C卡片，请进行因式分解；
（2）嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论为何整数，其结果总可以被整除”，请确定满足条件的最小正整数的值．
17．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
18．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
19．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
20．数学活动课上，老师准备了若干个如图①的三种纸片.甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形.
（1）【观察发现】用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图②的大正方形.观察图②的面积关系，写出正确的等式：　 　；
（2）【操作探究】
若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片　 　张，丙种纸片　 　张，乙种纸片　 　张；（所拼图形不重叠无缝隙）
（3）【拓展延伸】两个正方形ABCD、AEFG如图③摆放，边长分别为x，y，连接CE，DF.若 求图中阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：分割法计算面积为a2+3ab+2b2，
直接计算面积为（a+b）(a+2b)，
则a2+3ab+2b2=（a+b）(a+2b).
故答案为：B.
【分析】分别用两种方法计算面积，从而建立等式并匹配选项.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可得A型正方形的面积为，B型正方形的面积为4，C型长方形的面积为2x，故原有7张纸板的面积为，利用因式分解法对各选项的面积代数式进行分解，即可判定加上1块型纸板可拼出大长方形.
5．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由 可得到
则
故选： C.
【分析】根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
∴的值一共有6个，
故选：C．
【分析】十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，根据“十字相乘法”对一些特殊的多项式因式分解，是一种十分快捷简便的方法.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；三元一次方程组及其解法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1），能被整除，结论正确；
（2），则或，结论正确；
（3）能被整除，
将整式因式分解后，
有一个因式为，
设
，
，
，
解得：，
结论正确；
综上所述：（1）（2）（3）都正确，正确的个数为；
故答案为：D．
【分析】本题考查因式分解的应用，整式除法，解三元一次方程组；（1）利用因式分解，据此可判断（1）的正误；
（2）利用因式分解，据此可求出a的值；（3）由因式分解可设，展开对比系数可得方程组，解方程组可求出答案.
9．【答案】等腰
【知识点】等腰三角形的概念；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【分析】本题将式子进行因式分解后，利用两式相乘积为0，则可以得出或，此时a、b、c的关系即可得出，从而判断出三角形的形状。
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：由，
∵，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】
先利用拆项法可把所求多项式变形为，然后把代入求值即可．
11．【答案】5
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：因为
所以a=1，ab+1=5，
所以b+1=5，
解得b=4，
所以a+b=5.
故答案为：5.
【分析】利用多项式的乘法展开合并，然后根据对应系数相等求出a和b，然后代入代数式计算解答即可.
12．【答案】220
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：220．
【分析】提公因式进行化简，再代值计算即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，而SABCD也可视为由4个边长为a、b的长方形面积以及边长为a-b的正方形面积之和，即（a-b）2+4ab.
于是，有.
故填：.
【分析】根据题干的提示，分别从直接计算大正方形面积以及对小长方形、小正方形面积求和的角度建立等式即可.
14．【答案】解：解法一 原式：
=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x+2)(x+3).
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】首先把多项中的6x2和11x拆分成2项：6x2=x2+5x2，11x=5x+6x，然后再进行分组得出原式，然后把各组分别提取公因式，得到x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)，再进一步提取公因式(x+1)，可得，再把因式利用十字交叉相乘法分成两个一次因式的积即可；
15．【答案】解：∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，
∴a＋b－6＝0且ab﹣4＝0，
则a＋b＝6，ab＝4．
∴－a3b－2a2b2－ab3
＝－ab(a2＋2ab＋b2)
＝－ab(a＋b)2
＝－4×62
＝－144．
即：－a3b－2a2b2－ab3＝－144
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意可知，一个数的绝对值为非负数，一个数的完全平方也为非负数，而两个非负数相加得零，即a+b-6=0，ab-4=0，求得a+b=6，ab=4；将-a3b-2a2b2-ab3中的公因式-ab提取后可得-ab(a+b)2，最后将a+b=6，ab=4代入即可求得代数式的值。
16．【答案】（1）
（2）由题意可知的值总可以被整除，
即是整数的倍数，
满足条件的最小正整数的值是3．
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）根据题意结合平方差公式即可求解；
（2）先根据平方差公式结合题意因式分解即可得到，进而根据“的值总可以被整除”得到是整数的倍数，从而即可求解。
17．【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
18．【答案】（1）解：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y＋4)(x－y－4)
（2）解：∵a2－ab－ac＋bc＝0
∴a(a－b)－c(a－b)=0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】(1)由题干中的分组分解法可知，将前三项运用完全平方公式进行因式分解，x2-2xy+y2=(x-y)2，再运用平方差公式即可将（x-y）2-16进行因式分解。
（2）同样也用分组分解法，先将a2、-ab和-ac、bc分成两组，通过提公因式法将a2、-ab和-ac、bc的公因式分别提取出来，然后再次运用提公因式法将（a-b）提取即可进行因式分解，然后判定三角形ABC的形状。
19．【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
20．【答案】（1）a2 +2ab+b2 = (a+b)2
（2）1；2；3
（3）解：∵DG=AD-AG=2，AD=x，AG=y，
∴x-y=2，
即
∴52-2xy=4，2xy=48， xy=24，
∴x+y=10或-10(不符合题意，舍去)，
∴阴影部分的面积
=10×2-y-x
=10×2-(x+y)
=20-10=10
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)观察图形可知，图中的面积可表示为
还可以表示为：((a+b)2，
∴可写出等式
故答案为：a2 +2ab+b2 = (a+b)2
（2）
∴需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张.
故答案为：1；2；3
【分析】（1）根据题意列式即可求出答案.
（2）根据多项式乘多项式去括号化简，再根据图形面积即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得x-y=2，则，即 ，根据题意可得2xy=48， xy=24，再代入等式可得x+y=10，再根据阴影部分面积化简计算即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册第四单元因式分解单元检测培优卷
一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？(　　)
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
2．（2024八下·织金期末）已知，，则代数式的值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵，，
∴，
原式=，
故答案为：D．
【分析】先将待求式子因式分解，再由已知条件得到，然后代入求值．
3．（2025八上·雨花月考）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：分割法计算面积为a2+3ab+2b2，
直接计算面积为（a+b）(a+2b)，
则a2+3ab+2b2=（a+b）(a+2b).
故答案为：B.
【分析】分别用两种方法计算面积，从而建立等式并匹配选项.
4．（2025七下·宁波期中）如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　）
A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板
C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意可得A型正方形的面积为，B型正方形的面积为4，C型长方形的面积为2x，故原有7张纸板的面积为，利用因式分解法对各选项的面积代数式进行分解，即可判定加上1块型纸板可拼出大长方形.
5．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是(　　)
A．64.8 B．24.3 C．16.2 D．8.1
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由 可得到
则
故选： C.
【分析】根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出.
6．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
∴的值一共有6个，
故选：C．
【分析】十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，根据“十字相乘法”对一些特殊的多项式因式分解，是一种十分快捷简便的方法.
7．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
8．（2024八上·万州期末）在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式.设，利用多项式相等得，，故可分解.此时，我们就说多项式既能被整除，也能被整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（　　）
（1）能被整除；（2）若能被整除，则或；（3）若能被整除，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；三元一次方程组及其解法；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1），能被整除，结论正确；
（2），则或，结论正确；
（3）能被整除，
将整式因式分解后，
有一个因式为，
设
，
，
，
解得：，
结论正确；
综上所述：（1）（2）（3）都正确，正确的个数为；
故答案为：D．
【分析】本题考查因式分解的应用，整式除法，解三元一次方程组；（1）利用因式分解，据此可判断（1）的正误；
（2）利用因式分解，据此可求出a的值；（3）由因式分解可设，展开对比系数可得方程组，解方程组可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）
9．（2025八上·固安月考）若△ABC三边、、满足，则△ABC是　 　三角形．
【答案】等腰
【知识点】等腰三角形的概念；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【分析】本题将式子进行因式分解后，利用两式相乘积为0，则可以得出或，此时a、b、c的关系即可得出，从而判断出三角形的形状。
10．（2025八上·玉环期末）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：由，
∵，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】
先利用拆项法可把所求多项式变形为，然后把代入求值即可．
11．多项式 因式分解的结果为 ，则的值为　 　.
【答案】5
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：因为
所以a=1，ab+1=5，
所以b+1=5，
解得b=4，
所以a+b=5.
故答案为：5.
【分析】利用多项式的乘法展开合并，然后根据对应系数相等求出a和b，然后代入代数式计算解答即可.
12．（2024九上·江南期中）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为　 　．
【答案】220
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：220．
【分析】提公因式进行化简，再代值计算即可求出答案.
13．数学家波利亚说过： “为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次， 从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理， 也称为富比尼原理． 例．如： 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 计算图 1 的面积， 把图 1 看作一个大正方形， 它的面积是 ； ．如果把图 1 看作是由 2 个长方形和 2 个小正方形组成的， 它的面积为 ． 由此得到 ． ．如图 2， 正方形 是由四个边长为 的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图 2 的面积进行计算，你发现的等式是　 　(用含 的代数式表示)
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，而SABCD也可视为由4个边长为a、b的长方形面积以及边长为a-b的正方形面积之和，即（a-b）2+4ab.
于是，有.
故填：.
【分析】根据题干的提示，分别从直接计算大正方形面积以及对小长方形、小正方形面积求和的角度建立等式即可.
三、解答题（共7题；共61分)
14． 分解因式：
【答案】解：解法一 原式：
=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x+2)(x+3).
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】首先把多项中的6x2和11x拆分成2项：6x2=x2+5x2，11x=5x+6x，然后再进行分组得出原式，然后把各组分别提取公因式，得到x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)，再进一步提取公因式(x+1)，可得，再把因式利用十字交叉相乘法分成两个一次因式的积即可；
15．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．
【答案】解：∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，
∴a＋b－6＝0且ab﹣4＝0，
则a＋b＝6，ab＝4．
∴－a3b－2a2b2－ab3
＝－ab(a2＋2ab＋b2)
＝－ab(a＋b)2
＝－4×62
＝－144．
即：－a3b－2a2b2－ab3＝－144
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意可知，一个数的绝对值为非负数，一个数的完全平方也为非负数，而两个非负数相加得零，即a+b-6=0，ab-4=0，求得a+b=6，ab=4；将-a3b-2a2b2-ab3中的公因式-ab提取后可得-ab(a+b)2，最后将a+b=6，ab=4代入即可求得代数式的值。
16．（2024八下·桥西期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
（1）若选择B、C卡片，请进行因式分解；
（2）嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论为何整数，其结果总可以被整除”，请确定满足条件的最小正整数的值．
【答案】（1）
（2）由题意可知的值总可以被整除，
即是整数的倍数，
满足条件的最小正整数的值是3．
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】（1）根据题意结合平方差公式即可求解；
（2）先根据平方差公式结合题意因式分解即可得到，进而根据“的值总可以被整除”得到是整数的倍数，从而即可求解。
17．（2023八上·集贤期末）【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
解得，
∴另一个因式为，的值为．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若，则 ；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值；
（3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）解：设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
【知识点】同底数幂的除法；因式分解的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：；
∴；
故答案为：1
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）设另一个因式为，根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3） 设另一个因式为， 根据多项式乘多项式将等号右边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：；
∴；
（2）设另一个因式为，得
，
则，
解得：，
故另一个因式为，k的值为3；
（3）设另一个因式为，
则
，
∴，由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
∴.
18．（人教版八年级数学上册 第十四章整式的乘法与因式分解 单元检测a卷）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y＋4)(x－y－4)
（2）解：∵a2－ab－ac＋bc＝0
∴a(a－b)－c(a－b)=0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】(1)由题干中的分组分解法可知，将前三项运用完全平方公式进行因式分解，x2-2xy+y2=(x-y)2，再运用平方差公式即可将（x-y）2-16进行因式分解。
（2）同样也用分组分解法，先将a2、-ab和-ac、bc分成两组，通过提公因式法将a2、-ab和-ac、bc的公因式分别提取出来，然后再次运用提公因式法将（a-b）提取即可进行因式分解，然后判定三角形ABC的形状。
19．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
20．数学活动课上，老师准备了若干个如图①的三种纸片.甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形.
（1）【观察发现】用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图②的大正方形.观察图②的面积关系，写出正确的等式：　 　；
（2）【操作探究】
若要拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的长方形，则需要甲种纸片　 　张，丙种纸片　 　张，乙种纸片　 　张；（所拼图形不重叠无缝隙）
（3）【拓展延伸】两个正方形ABCD、AEFG如图③摆放，边长分别为x，y，连接CE，DF.若 求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）a2 +2ab+b2 = (a+b)2
（2）1；2；3
（3）解：∵DG=AD-AG=2，AD=x，AG=y，
∴x-y=2，
即
∴52-2xy=4，2xy=48， xy=24，
∴x+y=10或-10(不符合题意，舍去)，
∴阴影部分的面积
=10×2-y-x
=10×2-(x+y)
=20-10=10
【知识点】单项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：(1)观察图形可知，图中的面积可表示为
还可以表示为：((a+b)2，
∴可写出等式
故答案为：a2 +2ab+b2 = (a+b)2
（2）
∴需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张.
故答案为：1；2；3
【分析】（1）根据题意列式即可求出答案.
（2）根据多项式乘多项式去括号化简，再根据图形面积即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得x-y=2，则，即 ，根据题意可得2xy=48， xy=24，再代入等式可得x+y=10，再根据阴影部分面积化简计算即可求出答案.
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