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安徽宿松县部分学校联考 2025-2026 学年下学期 九年级下学期开学试卷
数学
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 是二次函数，则 的值为( )
A. B. C. D.
2.下表是二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值：
则下列说法正确的是( )
A. 二次函数图象开口向下
B. 二次函数的最小值为
C. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根
D. 若点 ， 都在抛物线上，则
3.在反比例函数 的图像的每一条曲线上， 都随 的增大而增大，则 的值可能是( )
A. B. C. D.
4.已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在 中，点 ， 分别为边 ， 的中点下列结论中，错误的是( )
A. B.
C. D.
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6.如图，在 中， ，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在菱形 中，点 在边 上，射线 交 的延长线于点 ，若 ， ，则 的
长为( )
A. B. C. D.
8.如图， 和 关于点 位似，若 ： ： ， 的
周长为 ，则 的周长为( )
A.
B.
C.
D.
9.下列四个图形中，为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
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10.如图所示，在 中， ， ， ，以 为圆心， 为半径的圆与边 有
公共点，则 的取值范围为( )
A. B. 或 C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
11.将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得新抛物线的解析式是 ．
12.如图，在 中， ， ， 平分 ，则 的值为 ．
13.如图，在边长为 的正方形 中， 为 上一点，连接 ，将 沿着 折叠得到
，连接 ， 若 ，且 ，则 ．
14.如图，点 是 的外心，且 ，则 ．
三、计算题：本大题共 2 小题，共 16 分。
15. 本小题 分 已知 ， ，求 ．
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16. 本小题 分 如图，在边长为 的正方形组成的网格中，点 、 、 都在格点上，将 绕点 按逆
时针方向旋转 ，得到 ．
画出旋转后的 ；
求边 在旋转过程中扫过的面积．
四、解答题：本题共 7 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题 分
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含 角的三角板 的直角边 落在 轴
上，含 角的三角板 的直角顶点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过点 ．
求反比例函数的表达式．
将三角板 绕点 顺时针旋转 ， 边上的点 恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点 的坐
标．
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18. 本小题 分
如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ．
求证： ．
若 ， ，求线段 的长．
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19. 本小题 分
如图，在 中， 是 上的点， 是 上一点，且 ， ．
求证： ∽ ；
若 是 的中线，求 的值．
20. 本小题 分
如图，直线 与双曲线 相交于点 ， ．
求双曲线及直线对应的函数表达式；
将直线 向下平移至 处，其中点 ，点 在 轴上．连接 ， ，求 的面积；
请直接写出关于 的不等式 的解集．
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21. 本小题 分
如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上一动点，以 为一边作
， 交射线 于点 ，连接 ， 点 从点 出发，沿 方向以每秒 的速度运动
至点 处停止．设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
求证： ；
求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
求 为何值时，线段 的长度最短．
22. 本小题 分
某地铁段施工距离全长为 米．经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报
价分别为： 甲公司施工单价 万元 米 与施工长度 米 之间的函数关系为 ， 乙
公司施工单价 万元 米 与施工长度 米 之间的函数关系为 注：工程款 施工单价
施工长度
如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款 万元；
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考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程．因设备共享，两公司联
合施工时市政府可节省工程款 万元 从工程款中扣除 ．
如果设甲公司施工 米 ，试求市政府共支付工程款 万元 与 米 之间的函数关系式；
如果市政府支付的工程款为 万元，那么乙公司的施工距离有多长？
23. 本小题 分
如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 、 两点 在 的左侧 ，与 轴交于 点，
连接 ， ， ．
求二次函数的表达式；
若将函数图像向下平移 个单位长度后，仍然与坐标轴有 个交点，求 的取值范围；
在第一象限内的二次函数图像上有一点 ，连接 ，与 相交于点 ，若 ，求 的取值范
围．
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数学答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
11.
12.
13.
14.
三、计算题：本大题共 2 小题，共 16 分。
15. 本小题 分
16. 本小题 分 解： 如图， 为所作；
，
所以边 在旋转过程中扫过的面积
四、解答题：本题共 7 小题，共 74 分。
17. 本小题 分 解： 反比例函数 的图象经过点 ．
，
反比例函数的表达式为： ；
由条件可知 ，
含 角的三角板 为等腰直角三角形， ，
， ，
如图，连接 ， 旋转到 的位置；
，
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的对应点 在 的图象上，且横坐标为 ，
，
，
由旋转可得： ，
．
18. 本小题 分 证明： ，
，
，
，
，
，
解： ，
，
，
，
，
，
．
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19. 本小题 分 ，
，
，
，
，
，
，
∽ ． 的值是
20. 本小题 分 （1）解： ， ；
（2） ， 设直线 ，将点 代入 ， ，
解得 ， 直线 的表达式为 ， ，过点 作 交于 ，设直
线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， 的面积
；
（3） 或 ．
21. 本小题 分 （1）设 与 相交于点 ， 四边形 为菱形， ，
， ， ， ， ， ，
， ，又 ，
， ， ；
（2）过点 作 于 ，则 ， ， ， 四边形 为菱形，
， ， ，即 ， ，
， ，
， ，
；
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（3） ， ， ， ， 为等边三角形，
， ， 线段 的长度最短，即 的长度最短，当 时， 取最
短，如图，
四边形 是菱形， ， ， 为等边三角形，
， ， ， ， 当 时，线
段 的长度最短．
22. 本小题 分 （1）
（2）
当 时， ，整理，得： ，解得：
， ，则 或 ．
答：乙公司的施工距离为 米或 米．
23. 本小题 分 （1）
解： 二次函数 的图像与 轴交于 点， ， ，
， ， ， ， ， ，
， 二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， ，解得：
该二次函数的表达式为 ；
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（2） ， 将函数图像向下平移 个单位长度后，新抛物线的
解析式为 ， 新抛物线 与坐标轴有 个交点，
，且 ， 且 ；
（3）如图，过点 作 轴交 于点 ，设直线 的解析式为 ，则 ，解得：
直线 的解析式为 ，设 ，则 的纵坐标为 ，
，解得： ， ，
，
， ， ， 轴，即 ，
， ， ， ， ，即 ，
， ， 当 时， 有最大值 ， 当
时， ；当 时， ； ．
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